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文檔簡介
33第排一、基礎(chǔ)知識:(一)處理排列組合問題的常用路:1、特殊優(yōu)先:對于題目中有特要求的元素,在考慮步驟時優(yōu)先安排,然后再去處理無要求的元素。例如:用0,1,2,3,4組重復數(shù)字的五位數(shù),有多少種排法?解:五位數(shù)意味著首位不能是,以處首,有擇,而其余數(shù)位沒有要求,只需將剩下的元素全排列即可,以排法總數(shù)為
4A
44
種2、尋找對立事件:如果一件事正面入手,考慮的情況較多,則可以考慮該事的對立面,再用全部可能的總數(shù)減去對立面?zhèn)€數(shù)即可。例如:在件品中,有格品3件品。從這10件產(chǎn)任意抽出3件,有一件次品的情況有多少種解:如果從正面考慮,則“至少品”包含1件2件,件的情況,需要進行分類討論果從對立面想只用所有抽取情況減去全是正品的情況即可式簡單。
310
37
(種)3先取再(分組再排列
A
mn
是指從個素出m元素這m個素進行排列時會出現(xiàn)所需列的元素并非前一步選出的元素此要將過程拆分成兩個階段,可先將所需元素出,然后再進行排列。例如男生和3名女生中3人從事同的工作這3人有一名女生,則選派方案有多少種。解:本題由于需要先確定人數(shù)的取,再能進行分配(排列案分為兩步,第一步:確定選哪些學生,共有
C
24
C
13
種可能,然后將選出的三個人進排列:A所以共有3C1A3433
種方案(二)排列組合的常見模型1、捆綁法(整體法有相元”,可相元為一個整體,與其他元素進行排列,然后再考慮相鄰素之間的順序即可。例如5人排隊,其中甲乙相,共有多少種不同的排法
4242解:考慮第一步將甲乙視為一個體,與其余3元素排列,則共有A種第二步考4慮甲乙自身順序,有
A
22
種位置,所以排法的總數(shù)為
AA242
種2、插空法:當題目中有“不相元素”時,則可考慮用剩余元素“搭行“插空再各自的排注要在插空的過程中否可以插在兩邊(2要從題目中判斷是否需要自排序例如:有名同隊,其中甲不相鄰,則共有多少種不同的排法解下四名同臺要從5個中插入進去
C
25種選擇,然后四名同學排序,甲排序。所以
25
44
22
種3、錯位排列:排列好的個元經(jīng)過一次再序后,每個元素都不在原先的位置上,則稱為這個素一個錯位排列。例如對于
,則
d
是其中一個錯位排列。3個元素的錯位排列有2素的錯位排列有9種個素的錯位排列有44種以上三種情況可作為結(jié)論記住例如排6班的班主任監(jiān)考六個班其中恰好有兩個班主任監(jiān)考自己班的安排總數(shù)有多少種?解:第一步先確定那兩個班班主監(jiān)考自己班,共有C種然后剩下4個班任均不6監(jiān)考自己班,則為4個元錯排列,共9種。以排數(shù)
C
26
1354、依次插空:如果在n個元的排列中有m個保持相對位置不變,則可以慮先將這m
個元素排好位置,再將n元素一個個插入到隊伍當中(注意每插入一個元,下一個元素可選擇的空)例如:已知
6人排隊,其中
相對位置不變,則不同的排法有少種解慮先將
排好D有個可以選擇D進入后E有空可以擇,以此類推,F(xiàn)有6種,所方法的總數(shù)為
N456120
種5、不同元素分組:將6、相同元素分組:將
nn
個不同元素放入個相同元素放入
mm
個不同的盒中個不同的盒內(nèi),且每盒不空,則同的方法共有C
m1n1
種。解決此類問題常用的方法是擋板法同,所以只需考慮每個盒子里
所含元素個數(shù),則可將這
n
個元素排成一列,共有
n1
個空,使用
m1
個“擋板”進入空檔處,則可將這n個素劃分為m個域,剛好對應(yīng)那m盒子。例如:將個的小球放入到4不同的盒子里那么6球5個檔選3位置放“擋板
35
種可能7、涂色問題:涂色的規(guī)則是“鄰區(qū)域涂不同的顏色題時,可按照選擇顏色的總數(shù)進行分類討論減種顏色的使用意味著多出一對不相鄰的區(qū)域涂相同的顏色(還要注意兩兩不相鄰的情舉出所有不相鄰區(qū)域搭配的可能,再進行涂色即可。例如:最多使用四種顏色涂中四個區(qū)域,不同的涂色方案有多少種?解:可根據(jù)使用顏色的種數(shù)進行類討論(1)用4顏色,則每個區(qū)涂一種顏色即可:
1
44(2)用3種,則有一對相鄰的區(qū)域涂同一種顏色,首先要選擇不相鄰的區(qū)域:用列舉可得:不相鄰所以涂色方案有:
2
34(3)用2顏色,則無法找符合條件的情況,所以討論終止總計
44
34
種二、典型例題:例:某電視臺邀請了6同學父母共人,位家的4位對子女的教育情況,如果這4中恰有一對是夫,則不同選擇的方法種數(shù)有多少思路:本題解決的方案可以是:挑選出一對夫妻,然后在挑選出兩個不是夫妻的即可。1第一步:先挑出一對夫妻:6第二步:在剩下的10人中選兩個不是夫妻的,使用間接法:
210
所以選擇的方法總數(shù)為
NC1C2
5
(種)答案:240種例某一天上個的班節(jié)一天共9節(jié)課午5節(jié),并且教師不能連上3節(jié)第5節(jié)節(jié)算上位一天的課表的所有不同排法有()A.
474
種B.
77
種C.
462
種D.
79
種
32223222思路:本題如果用直接法考慮,在安排的過程中還要考慮兩節(jié)連堂,并且會受到第5,6節(jié)課連堂的影響,分類討論的情較多求如果使用間接法則更為容易在任何特殊要求下,安排的總數(shù)為
9
。不符合要求的情況為上午連上3節(jié):
34
和下午連上三節(jié):,所以同排法的總數(shù)為:3
39
34
33
(種)答案A例:2位男和3位生共5同學站成一排,若男生甲不站兩端位生中有且只有兩位女生相鄰,則不同排法的種是(A.
60
B.
48
C.
42
D.
36思路從3女生中先中相鄰的兩位女生女生要與另一女生不相鄰,則可插空生子男甲站端在插空的過程中需有人站在甲的邊上,再從剩下的兩個空中選一個空插即可。第一步:從三位女生中選出要相的兩位女生:
C
23第二步男出三個空甲的邊上要進入女生個空中要選一個空進女生,1所以共有種選法。2第三步:排列男生甲,乙的位置
22
,排列相鄰女生和單個女生的位:
A
22
,排列相鄰女生相互的位置:
A
22所以共有
23
12
22
22
22
種答案B例:某班班會準備從甲,乙等7名學中派4名生言要,乙兩名同學至少有一人參加甲時參加發(fā)言時不能相鄰的發(fā)言順序種數(shù))A.360B.520C.600D.720思路:因為選人的結(jié)果不同會導安排順序的不同,所以考慮“先取再排乙”同時選中和“甲乙只有一人選中兩種情況討論:若甲乙同時被選中,則只需再從剩下5人中選取人即排時鄰空式有A,52從而第一種情況的總數(shù)為:
1
2A2A253
(種乙一人選中,首先先從甲乙中選一人,有
12
,再從剩下中選取三人,有
C
35
,安排順序時則無要求,所以第
二種情況的總數(shù)為:
2
12
35
44
(種總計答案C例:從單詞equation”5同的字母排成一排,含有qu(其中”相連且順序不變)的不同排列共________種思路:從題意上看,解決的策略分為兩步:第一步要先取出元素,因為”須取出,所以另外元素需從剩下的6個素取,
C
36
種,然后在排列時,因為要求qu相連采捆綁法為一個元素與其它三個元素進行排列A
44
”順序不變,所以不需要再對進行列綜,有
36
44
種480答案:例6設(shè)有編號
1的個茶杯和編號為
1的個杯蓋,將五個杯蓋在五個茶杯上,至少有兩個杯蓋和茶杯編號相同的蓋法有()A.30種B.31種C.32種D.36種思路題可按照相同編號的個進行分類討論兩相同時先從個選出哪兩個相同,有
C
25
種選法,則剩下三個為錯位排列有2情況,所以
1
25
,有三個相同時,同理,剩下兩個錯位排列只一種情況(交換位置
2
315
,有四個相同時則最后一個也只能相同,所以
3
從而SC
25
C
35
1
(種)答案B例:上10臺階,他一可能跨級階,稱為一階步,也可能跨2級臺稱為二階步多跨3級臺為階他共了6步且何相鄰兩步均不同階,則此人所有可能的不同過程的種為()A.6B.8C.10D.12答案A思路:首先要確定在這6步中一步二步三步有步別設(shè)N
,則有
y3z
,解得:
x43xy0,y2,y4zzz0
,因為相鄰兩步不同階,所以符
33要求的只有
x3y2z1
,下面開始安排順序,可以讓一步搭架子,則二階步與三階步必須插入一階步里面的兩個空中以2種法步與三階步的前后安排共有三二二,三二三,二三三程數(shù)
N23答案A例:某旅行社有導游9人會英語2會日語,其余4人英語又會日語,現(xiàn)要從中選6人其中3責英語導游,另外三人負責日語導游,則不同的選擇方法有______思路步驟上可以考慮先選定語導游選日語導游語的組成可按只會英語的和會雙語的人數(shù)組成進行分類論下的人里選出日語導游即可況:沒有會雙語的人加入英語導游隊,則英語導游選擇數(shù)為
C
33
,日語導游從剩下個人擇,有C中,從而6
N
0
C
33
C
36
,第二種情況:有一個會雙語的加入英語導游隊伍,從而可得
N
CC23
C
,依次類推,第三種情況。兩個雙語的加入英語導游隊伍,則N
C2C13
C
,第四種情況,英語導游均為會語的。則
N
3
CC43
,綜上所述,不同的選擇方法總數(shù)為
SC
C
C
1C23
C
C
C
C
C
C
(種答案種例:如圖,用四種不同顏色給中
六個點涂色,要求每個點涂一種色,且圖中每條線段的兩個端點涂不顏色,則不同的涂色方法有(A.
288
種B.
264
種C.
240
種D.種思路:如果用四種顏色涂六個點則需要有兩對不相鄰的點涂相同的顏色。所考列出不鄰的兩對。舉的情況如:B
,
B
,
D
,
B
,BC,BC,BD
,CD
共九組,所以涂色方法共有
44
如果用三種顏色涂六個點,則需有三對不相鄰的點涂相同的顏色,列舉情況如下:BD,CB
共兩組,所以涂色方法共有
34
綜上所述,總計
264
種答案B例:8張分別標有數(shù)1,中取出6卡片排成3,要求3中僅有中間行的兩張卡片上數(shù)字之和為5則不同的排法共有()A.種B.種C.種D.思路:中間行數(shù)字和為有兩情況,即
1和
但這兩組不能同時占據(jù)兩,若按題意思考,以1占行為例則在安排時既要考慮另一組是時被選中,還要考慮同時被選中時不能呆在同一行況比較復雜以慮接求出中間和為的所有情況,再減去兩行和為5的情解:先考慮中間和為5所有情:第一步:先將中間行放入或
:
12第二步:中間行數(shù)字的左右順序
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