概率論課后習題答案

..Word文檔Word文檔.Word文檔習題1解答1.寫出下列隨機試驗的樣本空間：記錄一個班一次數(shù)學考試的平均分數(shù)（設以百分制記分）；生產(chǎn)產(chǎn)品直到有10件正品為止，記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù)；對某工廠出廠的產(chǎn)品進行檢查，合格的記為“正品”，不合格的記為“次品”，如連續(xù)查出了2件次品就停止檢查，或檢查了4件產(chǎn)品就停止檢查，記錄檢查的結果；在單位圓任意取一點，記錄它的坐標.解：（1）以n表示該班的學生人數(shù)，總成績的可能取值為0，1，2，…，100n，所以該試驗的樣本空間為i{n|i0,1,2,L,100n}.設在生產(chǎn)第10件正品前共生產(chǎn)了k件不合格品，樣本空間為{10k|k0,1,2,L}，或?qū)懗蓒10,11,12,L}.采用0表示檢查到一個次品，以1表示檢查到一個正品，例如0110表示第一次與第四次檢查到次品，而第二次與第三次檢查到的是正品，樣本空間可表示為{00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}.（3）取直角坐標系，則有{(x,y)|x2y21}，若取極坐標系，則有{(,)|01,02π}.2．設A、B、C為三事件，用A、B、C及其運算關系表示下列事件.A發(fā)生而B與C不發(fā)生；A、B、C中恰好發(fā)生一個；A、B、C中至少有一個發(fā)生；A、B、C中恰好有兩個發(fā)生；A、B、C中至少有兩個發(fā)生；A、B、C中有不多于一個事件發(fā)生.解：(1)ABC或ABC或A(BUC)；(2)ABCUABCUABC；(3)AUBUC或ABCUABCUABCUABCUABCUABCUABC；(4)ABCUABCUABC.(5)ABUACUBC或ABCUABCUABCUABC；(6)ABCUABCUABCUABC.3．設樣本空間{x|0x2}，事件A{x|0.5x1}，B{x|0.8x1.6}，具體寫出下列事件：(1)AB；（2）AB；（3）AB；（4）AUB.解：（1）AB{x|0.8x1}；AB{x|0.5x0.8}；AB{x|0x0.5或0.8x2}；（4）AUB{x|0x0.5或1.6x2}.一個樣本空間有三個樣本點，其對應的概率分別為2p,p2,4p1，求p的值.解：由于樣本空間所有的樣本點構成一個必然事件，所以2pp24p11.解之得p311,p311，又因為一個事件的概率總是大于0，所以12p311.已知P(A)=0.3，P(B)=0.5，P(AUB)=0.8，求(1)P(AB)；(2)P(AB)；(3)P(AB).解：(1)由P(AUB)P(A)P(B)P(AB)得P(AB)P(A)P(B)P(AUB)030.50.80.P(AB)P(A)P(AB)0.300.3.P(AB)1P(AB)1P(AUB)10.80.2.設P(AB)=P(AB)，且P(A)p，求P(B).解：由P(AB)=P(AB)1P(AB)1P(AUB)1P(A)P(B)P(AB)得P(A)P(B)1，從而P(B)1p.設3個事件A、B、C，P(A)0.4，P(B)0.5，P(C)0.6，P(AC)0.2，P(BC)0.4且AB，求P(AUBUC).解：P(AUBUC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC)0.40.50.600.20.400.9.將3個球隨機地放入4個杯子中去，求杯子中球的最大個數(shù)分別為1，2，3的概率.解：依題意可知，基本事件總數(shù)為43個.以A,i1,2,3表示事件“杯子中球的最大個數(shù)為i”，則A表示每個杯子最多放一個球， i 1共有A3種方法，故4A36P(A)4. 1 4316A表示3個球中任取2個放入4個杯子中的任一個中，其余一個放入其余3個杯子中，2放法總數(shù)為C2C1C1種，故343C2C1C19P(A)343. 2 43 16A表示3個球放入同一個杯子中，共有C1種放法，故 3 4C11P(A)4. 3 4316在整數(shù)0至9中任取4個，能排成一個四位偶數(shù)的概率是多少?解：從0至9中任取4個數(shù)進行排列共有10×9×8×7種排法.其中有(4×9×8×7－4×8×7＋9×8×7)種能成4位偶數(shù).故所求概率為498748798741P. 10987 90一部五卷的文集，按任意次序放到書架上去，試求下列事件的概率：(1)第一卷出現(xiàn)在旁邊；(2)第一卷及第五卷出現(xiàn)在旁邊；(3)第一卷或第五卷出現(xiàn)在旁邊；(4)第一卷及第五卷都不出現(xiàn)在旁邊；(5)第三卷正好在正中.解：(1)第一卷出現(xiàn)在旁邊，可能出現(xiàn)在左邊或右邊，剩下四卷可在剩下四個位置上任意排，所以p24!/5!2/5.(2)可能有第一卷出現(xiàn)在左邊而第五卷出現(xiàn)右邊，或者第一卷出現(xiàn)在右邊而第五卷出現(xiàn)在左邊，剩下三卷可在中間三人上位置上任意排，所以p23!/5!1/10.(3)pP{第一卷出現(xiàn)在旁邊}+P{第五卷出現(xiàn)旁邊}-P{第一卷及第五卷出現(xiàn)在旁 221 7邊}.551010(4)這里事件是(3)中事件的對立事件，所以P17/103/10.(5)第三卷居中，其余四卷在剩下四個位置上可任意排，所以P14!/5!1/5.把2，3，4，5諸數(shù)各寫在一小紙片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得數(shù)是偶數(shù)的概率.解：末位數(shù)可能是2或4.當末位數(shù)是2(或4)時，前兩位數(shù)字從剩下三個數(shù)字中選排，所以P2A2/A31/2. 3 4一幢10層樓的樓房中的一架電梯，在底層登上7位乘客.電梯在每一層都停，乘客從第二層起離開電梯，假設每位乘客在哪一層離開電梯是等可能的，求沒有兩位及兩位以上乘客在同一層離開的概率.解：每位乘客可在除底層外的9層中任意一層離開電梯，現(xiàn)有7位乘客，所以樣本點總數(shù)為97.事件A“沒有兩位及兩位以上乘客在同一層離開”相當于“9從層中任取7層，各有一A7位乘客離開電梯”.所以包含A7個樣本點，于是P(A)9.9 97某人午覺醒來,發(fā)覺表停了,他打開收音機,想聽電臺報時,設電臺每正點是報時一次,求他(她)等待時間短于10分鐘的概率.解:以分鐘為單位,記上一次報時時刻為下一次報時時刻為60,于是這個人打開收音機的時間必在(0,60),記“等待時間短于10分鐘”為事件A,則有(0,60),A(50,60),101于是P(A).60614.甲乙兩人相約812點在預定地點會面。先到的人等候另一人30分鐘后離去，求甲乙兩人能會面的概率．解:以X,Y分別表示甲、乙二人到達的時刻，那末8X12，8Y12；若以(X,Y)表示平面上的點的坐標，則樣本空間可以用這平面上的邊長為4的一個形1{(X,Y):8X12,8Y12}表示，二人能會面的充要條件是|XY|，即事件2 1 A(X,Y):|XY|,8X12,8Y12．所以所求的概率為： 2 (A)16212412215 P(A) () 16 6415.現(xiàn)有兩種報警系統(tǒng)A和B，每種系統(tǒng)單獨使用時，系統(tǒng)A有效的概率0.92，系統(tǒng)B的有效概率為0.93，在A失靈的條件下，B有效的概率為0.85，求這兩個系統(tǒng)至少有一個有效的概率;在B失靈條件下，A有效的概率.解：設A表示“系統(tǒng)A有效”，B表示“系統(tǒng)B有效”，則P(A)0.92,P(B)0.93,P(B|A)0.85.P(B)P(AB) 由P(B|A) 0.85知P(AB)0.862.1P(A)P(AUB)P(A)P(B)P(AB)0.920.930.8620.988.P(A)P(AB)0.920.862P(A|B) 0.8285. 1P(B) 10.93已知事件A發(fā)生的概率P(A)0.5，B發(fā)生的概率P(B)0.6，以及條件概率P(B|A)=0.8，求A,B和事件的概率.解：由乘法公式得P(AB)P(A)P(B|A)0.50.80.4.所以P(AUB)P(A)P(B)P(AB)0.50.60.40.7.一批零件共100個，其中次品有10個．每次從中任取1個零件，取3次，取出后不放回．求第3次才取得合格品的概率．解：設A表示事件“第i次取得合格品”，則i 10990 9 P(AAA)P(A)P(A|A)P(A|AA) 0.00835. 123 1 2 1 3 1210099981078有兩個袋子，每個袋子都裝有a只黑球，b只白球，從第一個袋中任取一球放入第二個袋中，然后從第二個袋中取出一球，求取得黑球的概率是多少？解：設從第一個袋子摸出黑球A，從第二個袋中摸出黑球為B，則ab a1aP(A)，P(A)，P(B|A)，P(B|A)，ab ab ab1 ab1由全概公式知:aP(B)P(B|A)P(A)P(B|A)P(A).ab1一個機床有的時間加工零件A，其余時間加工零件B．加工零件A時，停機的3概率是0.3，加工零件B時，停機的概率時0.4，求這個機床停機的概率．解：設C表示“機床停機”，A表示“加工零件A”，B表示“加工零件B”，則 1 2 11P(C)P(A)P(C|A)P(B)P(C|B)0.30.40.367. 3 3 3010個考簽中有4個難簽，3個人參加抽簽考試，不重復地抽取，每人一次，甲先，乙次，丙最后.證明3人抽到難簽的概率相同.4證明：設甲、乙、丙分別抽到難簽的事件為A,B,C，則，顯然P(A).1043644P(B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A).10910910P(C)P(AB)P(C|AB)P(AB)P(C|AB)P(AB)P(C|AB)P(AB)P(C|AB)432643463654 10981098109810984.10兩部機器制造大量的同一種機器零件，根據(jù)長期資料總結，甲、乙機器制造出的零件廢品率分別是0.01和0.02．現(xiàn)有同一機器制造的一批零件，估計這一批零件是乙機器制造的可能性比它們是甲機器制造的可能性大一倍，現(xiàn)從這批零件中任意抽取一件，經(jīng)檢查是廢品．試由此結果計算這批零件是由甲生產(chǎn)的概率．解：設A表示“零件由甲生產(chǎn)”，B表示“零件是次品”，則12P(A),P(A),P(B|A)0.01,P(B|A)0.02. 3 3由貝葉斯公式有10.01 P(A)P(B|A)3 0.2. P(A|B) P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)10.0120.02 3 3有朋友自遠方來訪，他乘火車、輪船、汽車、飛機來的概率分別是0.3、0.2、0.1、1110.4．如果他乘火車、輪船、汽車來的話，遲到的概率分別是、、，而乘飛機則不會4312遲到．結果他遲到了，試問他是乘火車來的概率是多少？解：用A表示“朋友乘火車來”，A表示“朋友乘輪船來”，A表示“朋友乘汽車來”，A1 2 3 4表示“朋友乘飛機來”，B表示“朋友遲到了”.則 P(A)P(B|A) 1 P(A|B) 1 1 14P(A)P(B|A)2k kk1加工一個產(chǎn)品要經(jīng)過三道工序，第一、二、三道工序不出現(xiàn)廢品的概率分別是0.9、0.95、0.8．若假定各工序是否出廢品相互獨立，求經(jīng)過三道工序而不出現(xiàn)廢品的概率．解：設A,i1,2,3分別表示第一、二、三道工序不出現(xiàn)廢品，則由獨立性得iP(AAA)P(A)P(A)P(A)0.90.950.80.684. 123 1 2 3三個人獨立地破譯一個密碼，他們能譯出的概率分別是0.2、1/3、0.25．求密碼被破譯的概率．解：設A,i1,2,3分別表示第一、二、三個人破譯出密碼，則i由獨立性得P(AUAUA)12(12(AAU31P(AAA)1231P(A)P(A)P(A) 1 2 3210.80.7530.6.對同一目標，3名射手獨立射擊的命中率是0.4、0.5和0.7，求三人同時向目標各射一發(fā)子彈而沒有一發(fā)中靶的概率?解：設A,i1,2,3分別表示第一、二、三個射手擊中目標，則i由獨立性得P（AAA)P(A)P(A)P(A)(10.4)(10.5)(10.7)0.09. 123 1 2 3甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊，三人擊中的概率分別為0.4、0.5、0.7.飛機被一人擊中而擊落的概率為0.2，被兩人擊中而擊落的概率為0.6，若三人都擊中，飛機必定被擊落，求飛機被擊落的概率.解：設C,i1,2,3依次表示甲、乙、丙擊中飛機，A,i1,2,3分別表示有i人擊中飛i i機，B表示飛機被擊落，則P(A)P(CCC)P(CCC)P(CCC)123 123 1230.40.50.30.60.50.30.60.50.70.060.090.210.36.P(A)P(CCC)P(CCC)P(CCC)123 123 1230.40.50.30.40.50.70.60.50.70.060.140.210.41.P(A)P(CCC)1230.40.50.70.14.由全概率公式，得P(B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A) 1 1 2 2 3 3 0.360.20.410.60.141 0.458.證明：若三個事件A、B、C獨立，則AUB、AB及AB都與C獨立．證明:(1)P((AB)C)P(AC)P(BC)P(ABC)=P(AB)P(C).(2)PABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(C).(3)P((AB)C)P((AAB)C)P(ACABC)=P(AB)P(C).15個乒乓球中有9個新球，6個舊球，第一次比賽取出了3個，用完了放回去，第二次比賽又取出3個，求第二次取出的3個球全是新球的概率．解：設A=第一次取出i個新球，i0,1,2,，3B表示第二次取出3個新球，則i 3 C3C3C2C1C3C1C2C3C3C3P(B)P(A)P(B|A)69698697960.089.iiC3C3C3C3C3C3C3C3 i0 15 15 15 15 15 15 15 15要驗收一批100件的物品，從中隨機地取出3件來測試，設3件物品的測試是相互獨立的，如果3件中有一件不合格，就拒絕接收該批物品.設一件不合格的物品經(jīng)測試查出的概率為0.95，而一件合格品經(jīng)測試誤認為不合格的概率為0.01，如果這100件物品中有4件是不合格的，問這批物品被接收的概率是多少？解：設A=抽到的3件物品中有i件不合格品，i0,1,2,.3B=物品被接收，則i3P(B)P(A)P(B|A) i ii0C3 C2C1 C1C2 C0C3960.9939640.9920.0519640.9910.0529640.9900.053C3 C3 C3 C3 100 100 100 1000.8629.設下圖的兩個系統(tǒng)KL和KR中各元件通達與否相互獨立，且每個元件通達的概率均為p，分別求系統(tǒng)KL和KR通達的概率.KDKDELABCFKDERABC解：設A',B'分別表示系統(tǒng)KL與KR通達,(1)解法一P(A')P{{[AUB)IC]U(DIE)}IF}P(ACFUBCFUDEF)P(ACF)P(BCF)P(DEF)P(ABCF)P(ACDEF)P(BCDEF)P(ABCDEF)p3p3p3p4p5p5p6p3(3p2p2p3).解法二：P(A')P{{[AUB)IC]U(DIE)}IF}P(F){P[(AUB)IC]P(DE)P[(AUB)C(DIE)] p[P(AUB)P(C)P(D)P(E)P(AUB)P(C)P(D)P(E)] p[P(A)P(B)P(A)P(B)]pp3p4[P(A)P(B)P(AB)]p3(3p2p2p3).(2)P(B')P[C(ADUBE)(AUB)C(DUE)](1p)(p2p2p4)(ppp2)p(ppp2)p2(22p5p22p3).習題二參考答案1.隨機變量X的所有可能取值為：1，2，3，4，5，6，分布律為：XX123456kP36113693673653631PX1P"1,1""1,2""1,3""1,4""1,5""1,6""2,1""3,1""4,1""5,1""6,1"1136PX2P"2,2""2,3""2,4""2,5""2,6""3,2""4,2""5,2""6,2"936PX3P"3,3""3,4""3,5""3,6""4,3""5,3""6,3"7 36PX4P"4,4""4,5""4,6""5,4""6,4"536PX5P"5,5""5,6""6,5"336PX6P"6,6"136 1 1(1)；(2). 3 411n1PX2,4,6,...111...lim22221 222426 n0 11 3 22PX31PX31PX1PX2111122244隨機變量X的分布律為：PX0C13322,PX1C21C13212,PX2C22C1311 C335 C3 35 C3 35X0X012kP35223512351因為F(x)P{Xx}，那么當x0時，F(xiàn)(x)P(Xx)P()0，22當0x1時，F(xiàn)(x)P(Xx)P(X0),35當1x2時，221234F(x)P(Xx)P(X0)P(X1),353535當x2時，F(xiàn)(x)P(Xx) 22121 .P(X0)P(X1)P(X2)1353535綜合上述情況得 0 x0;220x1;F(x)35隨機變量X的分布函數(shù)為： 34 1x2;35 1 x2.e1. e11ek e1plimaa 1k k 1e1 1e1 k1ae1（1）0.0729；（2）0.00856；（3）0.99954；（4）0.40951.設X表示設備被使用的個數(shù)則X~b5,0.1（1）PX2C20.120.930.07295（2）PX3PX3PX4PX5=C30.130.92C40.140.91C50.150.90 5 5 5=0.00856PX31PX4PX5=1C40.140.91C50.15=0.99954 5 5PX11PX0=1C00.95=0.409515（1）0.321；（2）0.243.設X為甲投籃中的次數(shù)，Y為乙投籃中的次數(shù)，則（1）PXY3PXkPYk3Ck0.6k0.43kCk0.7k0.33k0.32076 3 3 k0 k0（2）PXY3PXkPXkk13PXkhkPYh k1 h03Ck0.6k0.43khkCh0.7h0.33h 3 3k1 h0C10.610.42C00.33C20.620.41C00.33C10.710.32 3 3 3 3 3 C30.63C00.33C10.710.32C20.720.31 3 3 3 3 0.2431(1)；(2)猜對3次的概率約為3104，這個概率很小，根據(jù)實際推斷原理，可以認70為他確有區(qū)分能力. 1 1所求概率為：C47081令試驗10次中成功次數(shù)為X，則X~b10,70X3C3136773104P107070猜對3次的概率約為3104，這個概率很小，根據(jù)實際推斷原理，可以認為他確有區(qū)分能力.8.(1)e；(2)1e.設X服從泊松分布，其分布率為：tke2tPXk,t2 2 k!30e3232 e32（1）PX0, 2 0!505e51PX0,51221e52（2）PX1, 2 2 0!9.解：此題為P=0.005的n重伯努利試驗，設X為同時發(fā)生故障的臺數(shù)，則 X~B(200,0.005),P{Xk}Ck(0.005)k(10.005)200k200（1）設需要配備x個維修工人，設備發(fā)生故障不能及時排除的事件是{Xx}，即P{Xx}Ck(0.005)k(10.005)200k200P{Xx}0.01，kx1200而由于n=200，P=0.005，所以可以用泊松分布近似替代二項分析，λ=np=1。 e1 P{Xx} 0.01 kx1k!查泊松分布表得x15，求得x4，即配備4人即可。X~B(40,0.005),P{Xk}Ck(0.005)k(10.005)40k40因維修工人只有一個，設備發(fā)生故障不能及時排除的事件是{X2}，則有 P{X2}1P{X2}1P{X0}P{X1} 1(0.995)40400.0050.99539 (0.2)0e0.2(0.2)e0.2 1 0! 1!11.2e0.20.0175由于是2人共同維修100臺設備，這里n=100，P=0.005，λ=np=0.5，則有X~B(100,0.005),P{Xk}Ck(0.005)k(10.005)100k100設備發(fā)生故障不能及時排除的事件是{X3}，所以 P{X3}1P{X3}1P{X0}P{X1}P{X2} 1(0.5)0e0.5(0.5)1e0.5(0.5)2e0.5 0! 1! 2!13 1e0.50.014480.2.x~u20,22P20.1x20.520.520.12220x1,當1xe(1)ln20.69315，1，ln1.250.22314；(2)f(x) . 0, 其它(1)a1,b1；e,x0；（2）f(x) 0, x0ln162ln42P{ln4Xln16}=Fln16Fln41e21e2 (3) .2ln4e2ln22eln4eln211111e2 eln4eln2 424 0,x1 213.(1)F(x)2x4,1x2； x 1,x2當x1時，f(x)0，所以，F(xiàn)(x)x0dt0；當1x2時，f(x)2(11/x2)，所以，F(xiàn)(x)10dtx2(11/t2)dt2t2/tx2x2/x4． 11 11綜合上述得： 0, 2F(x)2x4, x 1, 0, x0 x2 2, 0x1(2)F(x) x22x1,1x22 1 x2x11x2．x2當x1時，f(x)0，所以F(x)10dt22(11/t2)dt2t2/t21當x0時，f(x)0，所以，F(xiàn)(x)x0dt0；當0x1時，f(x)x，所以，F(xiàn)(x)00dtxtdtt2xx2． 0 202當1x2時，f(x)=2x，所以，F(xiàn)(x)00dt1tdt+x2tdtt212tt2x 0 1 2021． x21x22x2+2x1 222當x2時，f(x)0，所以，F(xiàn)(x)00dt1tdt+22tdt+00dtt212tt22 0 1 20 2212221 22綜合上述得： 0, x0 x2 2, 0x1F(x) x22x1,1x22 1 x221 1et241,t0 50 10014.F(t) ；P{50T100}e241e241. T 0, 其他當t0時，f(t)0，所以，F(xiàn)(t)t0dx0； T T tf(x)dx00dxt1ex241dxex241|t1et241F(t)=T T 0241 0P{50T100}F100F50e24150e100241 T T15.0.9547.當x1000時，f(x)0，所以，F(xiàn)(x)x0dt0；1000當x1000時，f(x) ，所以x210000dtx1000dt1000x11000，F(xiàn)(x) 1000t2 t1000 x器件的壽命X大于1500小時的概率：pPX15001F1500111000215003設k為器件的壽命X大于1500小時的個數(shù)，至少有2只壽命大于1500小時的概率Pk21Pk0Pk11C02015C1211410.00410.04120.954753353316.當x0時，f(x)0，所以，F(xiàn)(x)x0dt0；1當x0時，f(x)ex/5，所以500dtx1et/5dtet/5x1ex/5，F(xiàn)(x) 050分布函數(shù)：1ex/5x0F(x) 0 其他某顧客離開的概率：pPX101F1011e10/5e2以Y表示一個月他未等到服務而離開窗口的次數(shù)，則Y~B(5,e2)，即P{Yk}Cke2k(1e2)5k，k0,1,2,3,4,5；5PY01e250.4833PY1C1e21e240.3782PY2C52e221e230.1184PY3C53e231e220.0185PY4C54e241e20.0015PY5e5254.54105P{Y1}1P{Y0}0.516717.(1)0.5328，0.9996，0.6977，0.5；(2)c=3；(3)d0.42.(1)2-3x353532-3P{2X5}=P 2 x 22210.50.841310.69150.5328-4-3x3103-4310-3P{-4X10}=P 2 x 2223.53.50.999810.99980.9996P{X2}=PX2,X2=Px323Px323 x 2x 22.510.510.99380.69150.6977x333010.50.5P{X3}=P 1 x 2P{Xc}P{Xc}x3c3x3c3 P P 2 22 2c3c31 22(2) c3 0.52c302c3（3）因為P{Xd}0.9，則d3P{Xd}1P{Xd}1F(d)1( )0.92 d3 d3 d3 3d即 0.1，可知0，那么 1 0.1 2 2 2 2所以查表得，d0.42。18.應允許最大為31.25.根據(jù)題意，X160~N0,1，所以有，P120X20020016012016024010.80即400.91.28，從而401.28,31.25故允許最大為31.25.129.8.根據(jù)題意，X110~N0,1，所以有，12x110P{Xx}10.0512即x1100.951.65，從而x1101.65,x129.8 12 120.682.題意，考生外語成績X~N(,2),其中72，且P{X96}0.023于是：P{X96}1P{X96}10.0230.977 969672 24又QP{X96}Φ( )Φ( )Φ() 24Φ()0.977查表知：Φ(2)0.97724由Φ(x)的單調(diào)增加性，得2,12因此，X~N(72,122)故 8472 6072P{60X84}Φ( )Φ( )Φ(1)Φ(1)Φ(1)[1Φ(1)]2Φ(1)112 12查表得Φ(1)0.841，故P{60X84}20.84110.682184厘米.設車門的最低高度h根據(jù)題意，X170~N0,1，所以有，6PXh1h1700.016h170 2.33，從而h1702.33,h184即 0.99 6 6故車門的最低高度h為184.(1)22(2)YX20242kp0.30.20.40.1處理后立即得到Y的分布率YY0242iq0.20.70.1(2)))2cos(XY-10-10kp0.30.20.40.1處理后立即得到Y的分布率YY-11ip0.70.3(1)PX1F1x1F(x1)0.3PX1F1x2F(1x1)0.80.30.5PX2Fx2F1x210.80.2YY-112iq0.30.50.2(2)|||YX112iq0.30.50.2處理后立即得到Y的分布率YY12ip0.80.21x2(1)X的密度函數(shù)為f(x)e2(x)，Y2X1的分布函數(shù)為 X 2y1y12F(y)P(Yy)P(2X1y)P(X )f(t)dt,yY 2 XF(y)0,y0Yy1 f(y) e .，y所以Y2X1的密度函數(shù)為Y 21故f(y) e(y1)2/8 Y 222 2 1 x2 YeX1(2)21(2)X的密度函數(shù)為f(x)e2(x)， 的分布函數(shù)為 X 2F(y)P(Yy)P(e-Xy)P(Xlny)f(t)dt,y0Y XlnyF(y)0,y0Y1(lny)21所以YeX的密度函數(shù)為f(y)2e2.y,y0Y0,y01e(lny)2/2,y0f(y)2y ；Y 0, y0 1 x2(3)X的密度函數(shù)為f(x)e2(x)，YX2的分布函數(shù)為 X 2yy2()211.22yy2()211.22yeyYX X0 2 ,y0所以YX2的密度函數(shù)為f(y)1ey/2,y00,y0Yf(y)2y .Y 0, y01,0x25.X的密度函數(shù)為f(x) 0,x0,x(1)設Y2lnX，則有xF(x)P(Yx)P(2lnXx)P(Xe2)f(t)dt。x e2Y X所以f(x)e2xf(e2x)，因此當x0及x時，由f(x)0知f(x)0； Y X X Y 1 1當0x時，由f(x)知f(x)ey/2，所以所求密度函數(shù)為 XY 21ey/2,y2ln f(y)2 ；Y 0, 2lny(2)設YcosX，由于在(0,)區(qū)間上cosX是嚴格單調(diào)遞減函數(shù)，則有1f(y)f(arccosx)(arccosx) ，當1y1時；Y X1y21,1y1所以所求密度函數(shù)為：f(y)1y2 Y 0, 其他(3)當0y1時，F(xiàn)(y)P(Yy)P(sinxy)YP(0Xarcsiny)P(arcsinyX)arcsiny1dx1dx2arcsiny, arcsiny2,0y1f(y)1y2 .Y0,習題三參考答案31. .128其他P{xXx,yYy}=Fx,yFx,yFx,yFx,y2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2P{1X2,3Y5}=F3,5F2,3F1,3F1,5=122252251222322312123213121252153128.2.(1)有放回摸取時的分布律為 33 32P{X0,Y0} ，P{X0,Y1} 55 55 23 22P{X1,Y0} ，P{X1,Y1} 55 55YX0102592561256254(2)無放回摸取時的分布律為 P2 32P{X0,Y0}3，P{X0,Y1} P2 P2 5 5 23 P2P{X1,Y0} ，P{X1,Y1}2 P2 P2 5 5YX01010310311031013.(1)有放回摸取時，(X,Y)的邊緣分布律為YX01ip025925653125625452jp5352(2)無放回摸取時，(X,Y)的邊緣分布律為YX01ip010310353110310152jp5352此結果說明不同的聯(lián)合分布律可以確定相同的邊緣分布律，因此邊緣分布不能唯一確定聯(lián)合分布.4.(1)(X,Y)的聯(lián)合分布律為YX01-121003161(2)離散型隨機變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y)P{Xx,Yy}Fx,ypijxxyyi i0,1,2F(x,y)5,6x1或y0;1x0,y0;x0,0y1; 1,x0,y1. 5.因為X與Y相互獨立，所以PXx,YyPXxPYyPX-2,Y-1PX-2PY-1=11 2 242以此類推，得到下表YX-2113-281161161-161121121024148148121611211216.(X,Y)的分布律YYX123411601602016016316000401600 1 1(1)Y的邊緣分布律P{Y4}ppppp000 4 14 24 34 44 6 6由條件分布率pP{Xx|Yy}ij，i1,2,i j pjpP{Yy|Xx}ij，j1,2,j i pi在Y4的條件下，X的條件分布律；11{1|4}006PXY.11{2|4}166PXY.1{|34}006PXY.1{4|4}006PXY.X1234P0100 1 11(2)X的邊緣分布律P{X2}ppppp00 2 21 22 23 24 6 63由條件分布率pP{Yy|Xx}ij，j1,2,j i pi在X2的條件下，Y的條件分布律；1P{Y1|X2}00.3111P{Y2|X2}.6321P{Y3|X2}00.3111P{Y4|X2}.632YY1234P02102117.(1)；9a(6xy)dxdy0x1,0y2 1=a 6xyx2x2|10dy0y2 1a 6ydy 20y2 1 1a6y2y22y|029a19a=1，a95(2)；12Fx,yxyf(u,v)dudv16uvdudvxy9001 1 y6xx2vxdv90 2 1 1 1 6xyx2yxy29 22 P{X0.5,Y1.5}=F0.5,1.5F0.5,0F0,0F0,1.55128(3).27(1)2e(2xy),當x0,y0時，f(x,y) 0,其它，F(xiàn)(x,y)yxf(u,v)dudvyx2e(2uv)dudv(1e2x)(1ey),y0,x000 0 其它1(2).3P{XY}f(x,y)dxdyf(x,y)dxdy D xy0y2e(2xy)dxdy0ey[1e2y]dy0eydye3ydy112 0 0 33由題意知命中點與靶心(坐標原點)的距離為ZX2Y2，先求Z的分布函數(shù)，當z0時，F(xiàn)ZPZzPX2Y2z0z當z0時，F(xiàn)ZPZzPX2Y2zz=f(u,v)dudv u2v2z1 dudv(1u2v2)2u2v2z2xrcos令 ，則變換的雅可比行列式為yrsinxxrcosrsinJ r, yy sinrcosr故FZ2dzrdr2111r2z111z21z2z2z00(1r2)220Faa2z 1a2a2.1a210.(1)..Word文檔Word文檔.Word文檔y=2x+1y=2x+1-1/21由x軸，y軸以及直線y2x1所圍成的三角形區(qū)域的面積B，4因此(X,Y)的概率密度函數(shù)為： 14,(x0,0y2x1)f(x,y) 2 ；0,其他(2)分布函數(shù)為：F(x,y)PXx,Yy(a)當x1時，F(xiàn)(x,y)P02(b)1當x0時，2y0時，f(x,y)0,所以，F(xiàn)(x,y)00y2x1時，F(xiàn)(x,y)4dxdy4S 2y2x1y梯形 2梯形y2x1時，F(xiàn)(x,y)4dxdy4S 4x12三角形 2三角形(c)當x0時，y0時，f(x,y)0,所以，F(xiàn)(x,y)00y1時，F(xiàn)(x,y)4dxdy4S 2y1y梯形 2梯形y1時，F(xiàn)(x,y)4dxdy4S 1三角形三角形綜上所述 1 0, x2或y0; 1y(4x2y),x0,0y2x1; 2F(x,y)y(2y), x0,0y1; . (2x1)2, 1x0,y2x1; 2 1 x0,y1.11. 14,(x0,0y2x1)f(x,y) 2 0,其他f(x)f(x,y)dy=2x14dy=4(2x1),X 0y1f(y)f(x,y)dx=24dx=2(y1),Y 0所以 1 2(1y),0y14(2x1),x0f(x) 2 ；f(y) ；1.X Y 0, 其它 0, 其它12.3xy2,當0x2,0y1時，f(x,y)2 0,其它， 13 xy31 xf(x) f(x,y)dy= xy2dy=,X 02 2 2222234xyf(y)f(x,y)dx=23xy2dx=23y2,Y 020所以 x 3y2,0y1,0x2f(x)2；f(y).X Y 0, 其它 0, 其它 13.4.8y(2x),當0x1,0yx時，f(x,y) 0,其它，f(x)f(x,y)dy=x4.8y(2x)dy=2.4(2x)y2x2.4x2(2x),X 00f(y)f(x,y)dx=14.8y(2x)dx=4.8y(2xx2)12.4y(32yy2)Y y 22y所以 2.4x2(2x),0x1 2.4y(34yy2),0y1f(x) ；f(y) .X 0, 其它 Y 0, 其它14.由x軸，y軸以及直線y2(1x)所圍成的三角形區(qū)域的面積B1，因此(X,Y)的概率密度函數(shù)為：1,0x1,0y21xf(x,y) ；0,其他..Word文檔Word文檔.Word文檔f(y)f(x,y)dx=21x1dx=21xY 0 f(x,y) 1fY|X(y|x)=f(y)=21xY所以1,0y2(1x)f(y|x)2(1x) .Y|X 0, 其它15.密度函數(shù) xyx2,當0x1,0y2時，f(x,y) 3 0,其它，f(x)f(x,y)dy=02x2xy3dyx2yxy6222x232xX0f(y)f(x,y)dx=1x2xydx=1x31x2y111yY 0 33 6360xyx2f(x|y)=f(x,y)= 3=6x22xyX|Y fY(y)11y 2y36xyx2f(y|x)=f(x,y)= 3=3xyY|X fX(x)2x22x6x231 11 3y 3 y227P{YX}=221 dy=021035ydy10y10402206220所以 6x22xy 3xyf(x|y)；f(y|x)，0x1，0y2.X|Y 2y Y|X 6x2 11 7P{YX}. 22 4016.(1)因為PX0,Y0PX0PY0PX1,Y0PX1PY0PX0,Y1PX0PY1PX1,Y1PX1PY1所以X和Y相互獨立；(2)因為PX0,Y0PX0PY0所以X和Y不相互獨立.17.YX12316191181231a1b1PX1111169183PX211233若X、Y獨立，則PX2,Y2PX2PY2PY2=PXPX1,Y121913=13PX2,Y2=PY2PX1,Y211=2399同理可得PX2,Y3PX2PY3PY3=PXX1,Y1318113=16PPX2,Y3=PY3PX1,Y311=161892 1a；b.9918.習題12中3xy2,當0x2,0y1時，f(x,y)2 0,其它， x,0x2 3y2,0y1f(x)2 ；f(y) .X 0, 其它 Y 0, 其它因為f(x,y)=f(x)f(y) X Y所以X和Y相互獨立。習題13中4.8y(2x),當0x1,0yx時，f(x,y) 0,其它，2.4x2(2x),0x1 2.4y(34yy2),0y1f(x) ；f(y) .X 0, 其它 Y 0, 其它因為f(x,y)f(x)f(y) X Y所以X和Y不相互獨立。習題12中的X和Y相互獨立；習題13中的X和Y不相互獨立.19.由題設知 1 1Px2,1x1，Py2,1y1X Y 0 其他 0 其他又X和Y相互獨立，故X和Y的聯(lián)合概率密度為1，1x1,1y1p(x,y)=p(x)p(y)4 X Y 0， 其他事件{t的二次方程有實根}={判別式=X24Y0}=X24Y故得Pt的二次方程有實根=PX24Ypx,ydxdy1x421dydx114x24y11x21dx 144 11x21dx 024 1x31x2120130.541724130.5417.2420.(X,Y)的概率密度函數(shù)為 1xex,當x0,y0時，f(x,y)(1y)2 0,其它，f(x)=fx,ydyxex1dvxex1xex 0 (1v)2 1v 0f(y)=+fu,ydu+ueu 1du1 xex++eudu 0 (1y)2 (1y)200 1+ 1xexex1 =(1y)2(1y)20f(x,y)f(x)f(y)X和Y相互獨立.1exeye(xy),當x0,y0時，21.F(x,y) 0,其它，1ex,當x0時,F(x)F(x,) X 0, 當x0時.1ey,當y0時,F(y)F(,y) Y 0, 當y0時.F(x,y)F(x)F(y)，因此X和Y相互獨立. X Y22.zx0x0zx011fzfxfzxdx,Z X Y若z≤0,則fz=0Z不可能事件的概率等于0.若0<z<1,fzz1e(zx)dxezzexdx1ezZ 0 0(3)若z≥1,fz1e(zx)dxez1exdxez1ezZ0于是得隨機變量X+Y的密度函數(shù)為 1ez, 0z1,f(z)(e1)ez,z1, Z 0, 其它.23.(X,Y)的概率密度函數(shù)x2y2f(x,y)e22,x,y 22 ZX2Y2，先求Z的分布函數(shù)當z0時，F(xiàn)ZPZzPX2Y2z0z當z0時，F(xiàn)ZPZzPX2Y2zz=f(u,v)dudv u2v2z 1 x2y22 e2dudv22u2v2zxrcos令 ，則變換的雅可比行列式為yrsinxxrcosrsinJ r, yy sinrcosr故rFZ2dzre2r2dr21re22zze2r2dr2ze2z22222e2z2z002200rZ2zFz e22z212e2z222212e2z22z2e2z21zf(z)22e22, z0,Z 0, z0.24.e(xy),f(x,y)0,x0,y0其它1ZXYXZ2U令2，UY YU21|J|||201f(z,u)f2zu,uJe(2zuu)2ZU..Word文檔Word文檔.Word文檔2e2z,2zu0,u0 0, 其他2zu0滿足 ，0u2zu0f(z)f2zu,uJdu2z2e2zdu4ze2zZ 04ze2z, z0,f(z) Z 0, z0.25.fzfxfzxdxR x Y 0x10 0x10滿足 ， 0zx10z10xz zfxfzxdx 0z100fz10fxfzxdx10z20z z10 0 其它10x,當0x10時,f(x)50 0, 其它,115000(600r60r2r3),當0r10時， 1f(r)(20r)3, 當10r20時，R 15000 0 其它.26.由X和Y的概率密度函數(shù)可得X，Y的分布函數(shù)分別為0,當x0時,F(x)x,當0x1時,X1,當x1時, 0, 當y0時,y,當0y2時,F(y) Y 21,于是F(z)1[1F(z)][1F(z)] min X Y0,當z0時， z1(1z)(1),當0z1時， 21,當z1時，0,當z0時，z(3z), 當0z1時，21,當z1時，3z,當0z1時，f(z)2 min 0， 其它.當y2時,習題4解答1.設隨機變量X的分布律為XX012kp141214求:E(X),E(X22)及D(X). 1 1 1解:由期望的定義,可得E(X)0121, 4 2 4 1 1 13E(X2)021222. 4 2 42 3 7從而E(X22)E(X2)22, 2 2D(X)EX2E(X)21.22.把4個球隨機地投入4個盒子中,設X表示空盒子的個數(shù),求:E(X)和D(X).解:先求X的概率分布.X的可能取值為0,1,2,于是3.46PX046 4 64PX13C41C41C3136, 44 64PX2C42(2C43C42)21, 44 64PX341.4464于是 6 36 21 181E(X)0123, 64 64 64 6464 6 36 21 1129 E(X2)02122232 , 64 64 64 6464 12981 1695 D(X)E(X2)[E(X)]2()2 . 64 64 6423.設隨機變量X的概率密度為2(1x)，0x1，f(x) 0， 其它.求:E(X)和D(X).解:E(X)xf(x)dx1x2(1x)dx12xdx12x2dx1. 0 0 0 3D(X)1(x1)22(1x)dx21(x22x1)(1x)dx1.0 3 0 3 9 184.設隨機變量X的概率密度為1x,1x0,f(x)1x,0x1, 0, 其它.求:E(X)和D(X).解E(X)0x(1x)dx1x(1x)dx0, 1 00x2(1x)dx1x2(1x)dx1.E(X2) 1 0 6于是1D(X)E(X2)[E(X)]2.65.設X表示10次獨立重復射擊命中目標的次數(shù),每次射中目標的概率為0.4求,E(X2).解:由于X服從二項分布,所以E(X)4和D(X)0.24.于是有E(X2)D(X)[E(X)]216.24.6.已知隨機變量X服從參數(shù)為2的泊松分布,求E(3X2).解:因為X服從參數(shù)為2的泊松分布,所以E(X)2,從而E(3X2)3E(X)23224.7.設一部機器在一天發(fā)生故障的概率為0.2機器發(fā)生故障時全天停止工作, ,一周5個工作日,若無故障,可獲利潤10萬元;發(fā)生一次故障仍可獲利潤5萬元;若發(fā)生兩次故障,或利潤0元;若發(fā)生3次或3次以上故障就要虧損2萬元.求一周的利潤期望.解:設這部機器有X天發(fā)生故障,一周的利潤為Y萬元,由題意可知X:B(5,0.2),且10,X0,5,X1, Y 0,X2,2,X3.則E(Y)10PX05PX10PX2(2)PX310C0(0.2)0(0.8)55C1(0.2)1(0.8)42[1C0(0.2)0(0.8)5C1(0.2)1(0.8)4C2(0.2)2(0.8)3] 5 5 5 5 5=5.208968.設某工廠生產(chǎn)的圓盤,其直徑在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布,求該圓盤面積的數(shù)學期望.解:設X表示圓盤的直徑,由題意可知X的概率密度為1,axb,f(x)ba 0, 其它.于是該圓盤面積的數(shù)學期望為bx21dx(b2aba2).E(X2)E(X2) 4 4 4aba 129.設隨機變量X的概率密度為ex,x0,f(x) 0,其它.求:(1)Y2X;(2)Ye2X的數(shù)學期望.解:(1)由于X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布,故E(X)1.從而E(Y)E(2X)2E(X)2.（2）E(Y)E(e2X)e2xexdx1. 0 310.設隨機變量和是相互獨立的,且服從同一分布,已知的分布律為Pi1,i1,2,3.又設Xmax(,),Xmin(,).3求二維隨機變量(X,Y的分布律) ;求E(X)和E(X/Y). 解:(1)(X,Y的分布律為) YYX123119292920192930019(2)由(X,Y的分布律可得關于) X的邊緣分布律為X123p191359故 1 1 522E(X)123. 9 3 9911223221323116E(X/Y).191919292939911.設隨機變量(X,Y的概率密度為) 1 f(x,y)(xy), 0x2,0y28求:E(X),E(Y),E(XY)和E(X2Y2).解:E(X)xf(x,y)dxdy