測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理課件

第2章

誤差的基本理論分析本章主要內(nèi)容1測(cè)量誤差的基本概念2表達(dá)誤差的幾種形式3誤差的性質(zhì)和分類4有效數(shù)字5系統(tǒng)誤差的矯正6隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)學(xué)原理7粗大誤差的剔除8誤差的合成9數(shù)據(jù)的一元線性回歸分析10測(cè)量結(jié)果的表達(dá)形式測(cè)量誤差的基本概念基本名詞標(biāo)稱值

：計(jì)量和測(cè)量器具上標(biāo)注的量值（通常給出準(zhǔn)確度等級(jí)或誤差范圍）。示值：測(cè)量?jī)x器上給出的量值，也稱測(cè)量值。測(cè)量結(jié)果與真值一致的程度。由于涉及到“不可知”的真值，只是定性的概念。定量描述：準(zhǔn)確度等級(jí)、不確定度。在相同條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行多次連續(xù)測(cè)量所得結(jié)果的一致性。準(zhǔn)確度：

重復(fù)性：測(cè)量誤差：測(cè)量結(jié)果與被測(cè)量真值之差。測(cè)量誤差及其表示方法注意：在實(shí)際測(cè)試中真值無法準(zhǔn)確獲得，因此常用約定真值或相對(duì)真值代替真值來確定測(cè)量誤差。誤差公理：

一切測(cè)量都有誤差，誤差自始至終存在于所有科學(xué)試驗(yàn)的過程中。誤差絕對(duì)誤差相對(duì)誤差粗大誤差系統(tǒng)誤差隨機(jī)誤差表示形式性質(zhì)特點(diǎn)引用誤差容許誤差測(cè)量誤差分類儀表誤差相對(duì)誤差（RelativeError）定義：絕對(duì)誤差與被測(cè)量真實(shí)值的比值。相對(duì)誤差真值相對(duì)誤差絕對(duì)誤差約定真值或相對(duì)真值測(cè)量值

在實(shí)際測(cè)量中，相對(duì)誤差主要用來評(píng)價(jià)測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確度，相對(duì)誤差越小準(zhǔn)確度愈高。示值相對(duì)誤差引用誤差

相對(duì)誤差可以評(píng)價(jià)不同被測(cè)量的測(cè)量精度，卻不能用來評(píng)價(jià)不同儀表的質(zhì)量。因?yàn)橄鄬?duì)誤差與被測(cè)量大小或儀表的具體示值x有關(guān)。為合理的評(píng)價(jià)儀表的測(cè)量質(zhì)量，引入引用誤差的概念。最大引用誤差最大引用誤差：在規(guī)定的工作條件下，當(dāng)被測(cè)量平穩(wěn)地增加和減少時(shí)，在儀表全量程所取得的諸示值的引用誤差（絕對(duì)值）的最大者。該標(biāo)稱范圍（或量程）上限引用誤差

儀器標(biāo)稱范圍（或量程）內(nèi)的最大絕對(duì)誤差

最大引用誤差是儀表基本誤差的主要型式，故稱之為儀表的基本誤差。儀表的準(zhǔn)確度等級(jí)我國(guó)電工測(cè)量?jī)x表的準(zhǔn)確度等級(jí)（AccuracyClass）就是按照最大引用誤差進(jìn)行分級(jí)的。通常用最大引用誤差去掉正負(fù)號(hào)和百分號(hào)后的數(shù)字來表示精度等級(jí)，精度等級(jí)用符號(hào)G表示。國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB776—76《電測(cè)量指示儀表通用技術(shù)條件》規(guī)定，測(cè)量指示儀表的精度等級(jí)G分為：

0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0七個(gè)等級(jí)。對(duì)應(yīng)的引用誤差分別為：

0.1％、0.2%、0.5%、1.0%、1.5%、2.5%、5.0%

檢測(cè)儀器的精度等級(jí)由生產(chǎn)廠商根據(jù)其最大引用誤差的大小并以“選大不選小”的原則就近套用上述精度等級(jí)得到。一個(gè)電壓表，其滿量程為100V，若其最大誤差出現(xiàn)在50V處且為0.12V，則最大引用誤差：則可以確定儀表等級(jí)為0.2級(jí)?！纠俊纠?/p>

某1.0級(jí)電壓表，滿度值（標(biāo)稱范圍上限）為300，求測(cè)量值分別為300，200和100時(shí)的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差。根據(jù)題意得

最大絕對(duì)誤差為

他們的相對(duì)誤差分別為：

可見，在同一標(biāo)稱范圍內(nèi)，測(cè)量值越小，其相對(duì)誤差越大。

【解】?jī)x表的準(zhǔn)確度等級(jí)

注意2：由于對(duì)于同一等級(jí)的檢測(cè)儀器，其絕對(duì)誤差隨滿量程值的增大而增大，為提高測(cè)量的精確度，需要被測(cè)量與儀表的量程相適應(yīng)，被測(cè)量一般應(yīng)在滿量程的2/3以上（相對(duì)誤差小于1.5%）。

注意1：測(cè)量?jī)x表產(chǎn)生的測(cè)量誤差不但與儀表準(zhǔn)確度等級(jí)有關(guān)，而且還與量程有關(guān)。容許誤差容許誤差：測(cè)量?jī)x器在規(guī)定的條件下，測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)或規(guī)程允許產(chǎn)生的最大誤差工作誤差：額定工作范圍內(nèi)儀器誤差的極限值。（一般偏大）固有誤差：所有影響量處于基準(zhǔn)條件下儀器所具有的誤差。影響誤差：某一影響量處于額定范圍，其它影響量處于基準(zhǔn)條件下儀器所具有的誤差。（如溫度誤差）

穩(wěn)定性誤差：影響量保持不變情況下，規(guī)定時(shí)間內(nèi)儀器輸出的偏差。

容許誤差描述方式(4種）：

某四位半數(shù)字電壓表，量程為2V，工作誤差為=0.025%UX1個(gè)字，用該表測(cè)量時(shí)，讀數(shù)分別為0.0012V和1.9888V，試求兩種情況下的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差。解：四位半表分辨率為0.0001V1.9999【例】測(cè)量誤差的分類

1系統(tǒng)誤差(SystematicError)

2隨機(jī)誤差(randomerror)3粗大誤差(GlossError)根據(jù)測(cè)量誤差的性質(zhì)，測(cè)量誤差可分為3類：系統(tǒng)誤差在同一測(cè)量條件下，多次重復(fù)測(cè)量同一量時(shí)，測(cè)量誤差的絕對(duì)值和符號(hào)都保持不變，或在測(cè)量條件改變時(shí)按一定規(guī)律變化的誤差，稱為系統(tǒng)誤差，簡(jiǎn)稱系差。定義：來源：

在重復(fù)性條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行無限多次測(cè)量所得結(jié)果的平均值與被測(cè)量的真值之差，簡(jiǎn)稱系差。定量定義：基本誤差:測(cè)量設(shè)備不準(zhǔn)確或準(zhǔn)確度等級(jí)不高。

附加誤差:超過正常工作范圍帶來的誤差。

理論誤差（方法誤差）:測(cè)量方法、理論不完善所帶來的誤差。

人員誤差：試驗(yàn)人員疏忽大意、測(cè)量素質(zhì)不高產(chǎn)生的人員誤差。測(cè)量值與在重復(fù)性條件下對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行無限多次測(cè)量結(jié)果的平均值之差。定義定量定義：在相同測(cè)量條件下,多次測(cè)量同一量值時(shí)（等精度測(cè)量），絕對(duì)值大小和符號(hào)以不可預(yù)定方式變化的誤差，又稱為偶然誤差，簡(jiǎn)稱隨差。來源：測(cè)量裝置本身因素；信號(hào)處理電路的隨機(jī)噪聲等實(shí)驗(yàn)環(huán)境的偶然性微小變化：溫度波動(dòng)、噪聲干擾、電磁場(chǎng)微變、電源電壓的隨機(jī)起伏、地面振動(dòng)，熱起伏、空氣擾動(dòng)、大地微震等人為因素：人員測(cè)量人員感官等（對(duì)測(cè)量值影響微小但卻互不相關(guān)的大量因素）隨機(jī)誤差例：對(duì)一不變的電壓在相同情況下，多次測(cè)量得到1.235V，1.237V，1.234V，1.236V，1.235V，1.237V。在測(cè)量中，隨機(jī)誤差是不可避免的。單次測(cè)量的隨差沒有規(guī)律，隨機(jī)誤差的大小、方向均隨機(jī)不定，不可預(yù)見，不可修正;多次測(cè)量，測(cè)量值和隨機(jī)誤差的總體服從概率統(tǒng)計(jì)規(guī)律;可用概率統(tǒng)計(jì)的方法處理測(cè)量數(shù)據(jù)，對(duì)隨機(jī)誤差的總體大小及分布做出估計(jì)，并采取適當(dāng)措施減小隨機(jī)誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響。隨機(jī)誤差特征有效數(shù)字有效數(shù)字基本概念

定義1：考慮了誤差以后有意義的數(shù)字稱為有效數(shù)字。定義2：由數(shù)字組成的一個(gè)數(shù)，除最末一位數(shù)字是不確切或可疑值外，其它數(shù)字均為確切值，則該數(shù)的所有數(shù)字稱為有效數(shù)字測(cè)量結(jié)果保留有效位數(shù)的原則：最末一位數(shù)字是不可靠的，而倒數(shù)第二位數(shù)字是可靠的。

數(shù)字舍入規(guī)則

計(jì)算和測(cè)量過程中，需要對(duì)多位的近似數(shù)進(jìn)行取舍，應(yīng)按照下述原則進(jìn)行舍入處理：大于5進(jìn)一：若舍去部分的數(shù)值大于保留部分末位的半個(gè)單位，則末位數(shù)加1。小于5舍去：若舍去部分的數(shù)值小于保留部分末位的半個(gè)單位，則末位數(shù)減1。等于5應(yīng)用偶數(shù)法則：若舍去部分的數(shù)值等于保留部分末位的半個(gè)單位，當(dāng)末位為偶數(shù)時(shí)則末位不變，當(dāng)末位是奇數(shù)時(shí)則末位加1。

數(shù)據(jù)記錄、運(yùn)算的準(zhǔn)確性要和測(cè)量的準(zhǔn)確性相適應(yīng)！誤差一般只取一位有效數(shù)字（特殊情況下最多取兩位有效數(shù)字），測(cè)量結(jié)果的末位數(shù)應(yīng)與誤差的末位數(shù)對(duì)齊

有效數(shù)字:所有準(zhǔn)確數(shù)字和一位欠準(zhǔn)確數(shù)字?jǐn)?shù)學(xué)：

物理測(cè)量：

01234(a)分度值1mm

L=3.23cm

三位01234(b)分度值1cm

L=3.2cm

二位有效數(shù)字位數(shù)越多，測(cè)量精度越高系統(tǒng)誤差的削弱和消除系統(tǒng)誤差的特征和分類

在同一條件下，多次測(cè)量同一量值時(shí)，誤差的絕對(duì)值和符號(hào)保持不變，或者在條件改變時(shí)，誤差按一定的規(guī)律變化。1）消除系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因2）引入修正值進(jìn)行校正(最適合測(cè)量?jī)x表使用者)3）利用特殊的測(cè)量方法消除系統(tǒng)誤差的削弱或消除的方法最理想最基本的方法1)從產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的來源上消除基本誤差：選擇準(zhǔn)確度等級(jí)高的儀器設(shè)備；所用量具儀器是否處于正常工作狀態(tài)，是否經(jīng)過檢定，檢定證書是否在有效期內(nèi)；附加誤差：使儀器設(shè)備工作在其規(guī)定的工作條件下，如溫度、振動(dòng)、塵污、氣流等；使用前正確調(diào)零、預(yù)熱以消除儀器設(shè)備的附加誤差；方法誤差和理論誤差：所采用的測(cè)量方法和計(jì)算方法是否正確，有無理論誤差；選擇合理的測(cè)量方法，設(shè)計(jì)正確的測(cè)量步驟；人員誤差：提高測(cè)量人員的測(cè)量素質(zhì)，改善測(cè)量條件(選用智能化、數(shù)字化儀器儀表等)。注意避免測(cè)量人員帶入主觀誤差如視差、視力疲勞、注意力不集中等方法：預(yù)先將測(cè)量器具的系統(tǒng)誤差檢定出來或計(jì)算出來，取與誤差大小相同而符號(hào)相反的值作為修正值，將測(cè)得值加上相應(yīng)的修正值，即可得到不包含該系統(tǒng)誤差的測(cè)量結(jié)果。修正值＝－誤差=－（測(cè)量值－真值）實(shí)際值（A）＝測(cè)量值（Ax）＋修正值（C）2）用修正方法減少系統(tǒng)誤差注意：在某些自動(dòng)測(cè)量系統(tǒng)中，預(yù)先將更正值儲(chǔ)存于計(jì)算機(jī)的內(nèi)存中，這樣可對(duì)測(cè)量結(jié)果中的系統(tǒng)誤差自動(dòng)進(jìn)行修正。修正值C由計(jì)量部門檢定時(shí)給出修正值的獲取方法1）儀表的檢定證書給出。2）通過理論推導(dǎo)求取?！纠侩娏鞅頊y(cè)電流不計(jì)電流表內(nèi)阻：計(jì)及電流表內(nèi)阻：則：修正值：ERab+–IARA被測(cè)等效電路修正值的獲取方法3）通過試驗(yàn)求取。

通過實(shí)驗(yàn)獲得修正表格、修正曲線、修正公式---按規(guī)律校正對(duì)不斷變化的系統(tǒng)誤差：對(duì)有規(guī)律的系統(tǒng)誤差：

現(xiàn)測(cè)現(xiàn)修（如零點(diǎn)誤差、增益誤差等）（如溫度、濕度、頻率修正等）

注意1：由于修正值本身也包含有一定的誤差，因此用這種方法不可能將全部系統(tǒng)誤差修正掉，總要?dú)埩羯倭康南到y(tǒng)誤差。

注意2：由于這些殘留的系統(tǒng)誤差相對(duì)隨機(jī)誤差而言已不明顯了，往往可以把它們統(tǒng)歸成偶然誤差來處理。

消除系統(tǒng)誤差的幾種主要測(cè)量方法：替代法交換法差值法對(duì)稱測(cè)量法正負(fù)誤差補(bǔ)償法迭代自校法

3）采用特殊的測(cè)量方法替代法替代法主要用于消除定值系統(tǒng)誤差，操作方法：在測(cè)量條件不變的情況下，用一已知的標(biāo)準(zhǔn)量去替代未知的被測(cè)量，通過調(diào)整標(biāo)準(zhǔn)量而保持替代前后儀器的示值不變，結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)量的值等于被測(cè)量值。

測(cè)量某未知電阻R，要求誤差小于0.1%。1）首先將它接入一個(gè)電橋中(如圖)，該電橋的誤差為1%。調(diào)整橋臂電阻R1、R2

使電橋平衡；2）取下Rx，換上標(biāo)準(zhǔn)電阻箱R5(電阻箱為0.1級(jí))。3）保持R1

、R2

不動(dòng)，調(diào)節(jié)R5的大小，使電橋再次平衡，此時(shí)被測(cè)電阻Rx=R5

。只要測(cè)量靈敏度足夠，根據(jù)這種方法測(cè)量Rx的準(zhǔn)確度與標(biāo)準(zhǔn)電阻箱的準(zhǔn)確度相當(dāng)，而與檢流計(jì)G

和電阻R1、R2的恒值誤差無關(guān)，因此可以滿足測(cè)量要求【例】電橋法測(cè)電阻通過交換被測(cè)量和標(biāo)準(zhǔn)量的位置，從前后兩次換位測(cè)量結(jié)果的處理中，削弱或消除系統(tǒng)誤差。特別適用于平衡對(duì)稱結(jié)構(gòu)的測(cè)量裝置中，并通過交換法可檢查其對(duì)稱性是否良好。第一次平衡 第二次平衡 上兩式相乘、開方得：交換法例：在電橋中采用交換法測(cè)電阻交換法

隨機(jī)誤差的處理

測(cè)量誤差的數(shù)學(xué)表達(dá)

根據(jù)誤差理論，任何一次測(cè)量中，一般都含有系統(tǒng)誤差ε和隨機(jī)誤差δ，即ΔA=ε+δ=Ax-A0在一般工程測(cè)量中，系統(tǒng)誤差遠(yuǎn)大于隨機(jī)誤差，即ε>>δ，相對(duì)來講隨機(jī)誤差可以忽略不計(jì)，此時(shí)只需處理和估計(jì)系統(tǒng)誤差即可。在精密測(cè)量中，系統(tǒng)誤差已經(jīng)消除或小得可以忽略不計(jì)時(shí)，即ε≈0。只需處理隨機(jī)誤差。無系差等精度測(cè)量：不考慮系統(tǒng)誤差，各種測(cè)量因素都相同的測(cè)量。隨機(jī)誤差統(tǒng)計(jì)特性

隨機(jī)誤差就個(gè)體而言并無規(guī)律可循，但其總體卻服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律，總的來說隨機(jī)誤差具有下列特性：有界性(2)單峰性(3)對(duì)稱性(4)抵償性0概率分布密度函數(shù)設(shè)隨機(jī)變量x的值位于-∞與x之間的概率是x的函數(shù)F(x)：則稱F(x)為x的概率分布函數(shù)；稱f(x)為x的概率分布密度函數(shù)；為x在[x1,x2]之間的概率。

式中

σ和σ2——隨機(jī)誤差δ的標(biāo)準(zhǔn)差和方差

隨機(jī)誤差的正態(tài)分布實(shí)踐和理論證明，大量的隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布規(guī)律，其概率密度函數(shù)為：測(cè)量中的隨機(jī)誤差通常是多種相互獨(dú)立的因素造成的許多微小誤差的總和。中心極限定理：假設(shè)被研究的隨機(jī)變量可以表示為大量獨(dú)立的隨機(jī)變量的和，其中每一個(gè)隨機(jī)變量對(duì)于總和只起微小作用，則可認(rèn)為這個(gè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布。為什么測(cè)量數(shù)據(jù)和隨機(jī)誤差大多接近正態(tài)分布？隨機(jī)誤差的非正態(tài)分布常見的非正態(tài)分布：均勻分布

t分布三角分布反正弦分布

特點(diǎn)：在某一區(qū)域內(nèi)，隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率處處相等，而在該區(qū)域外隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率為零。均勻分布的概率密度函數(shù)φ(δ)為：

式中a——隨機(jī)誤差δ的極限值。儀器度盤刻度差引起的誤差；儀器最小分辨率限制引起的誤差數(shù)字儀表的量化(±1)誤差數(shù)字計(jì)算中的舍入誤差對(duì)于一些只知道誤差出現(xiàn)的大致范圍，而不知其分布規(guī)律的誤差，在處理時(shí)經(jīng)常按均勻分布的誤差對(duì)待。

均勻分布

特點(diǎn)：主要用來處理小樣本(即測(cè)量數(shù)據(jù)比較少)的測(cè)量數(shù)據(jù)。(正態(tài)分布理論只適合于大樣本的測(cè)量數(shù)據(jù))t分布的概率密度函數(shù)φ(t)為：

和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的圖形類似；特點(diǎn)是分布與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值無關(guān)，但與自由度(n-1)有關(guān)；當(dāng)n較大(n>30)時(shí)，t分布和正態(tài)分布的差異就很小了，當(dāng)n→∞時(shí)，兩者就完全相同了。t分布（學(xué)生分布）（自由度）隨機(jī)變量的數(shù)字特征測(cè)量次數(shù)隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望:測(cè)量數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)期望被測(cè)量的真值無數(shù)多次測(cè)量的平均值隨機(jī)誤差補(bǔ)償特性:由得被測(cè)量量值數(shù)學(xué)期望:體現(xiàn)隨機(jī)變量的分布中心，反映其平均特性。隨機(jī)變量的數(shù)字特征

方差是用來描述隨機(jī)變量與其數(shù)學(xué)期望的分散程度。設(shè)隨機(jī)變量A的數(shù)學(xué)期望為M(A)，則A的方差定義為：

物理意義：

數(shù)據(jù)信號(hào)偏離期望值的程度，也是信號(hào)能量的一種表示。

隨機(jī)變量的數(shù)字特征

標(biāo)準(zhǔn)偏差定義為：

標(biāo)準(zhǔn)偏差同樣描述隨機(jī)變量與其數(shù)學(xué)期望的分散程度，并且與隨機(jī)變量具有相同量綱。標(biāo)準(zhǔn)偏差意義標(biāo)準(zhǔn)偏差是代表測(cè)量數(shù)據(jù)和測(cè)量誤差分布離散程度的特征數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)偏差越小，則曲線形狀越尖銳，說明數(shù)據(jù)越集中；標(biāo)準(zhǔn)偏差越大，則曲線形狀越平坦，說明數(shù)據(jù)越分散。正態(tài)分布的統(tǒng)計(jì)特性參數(shù)

正態(tài)分布誤差的數(shù)學(xué)期望為：方差為：數(shù)學(xué)期望：標(biāo)準(zhǔn)差：方差：平均分布的統(tǒng)計(jì)特性參數(shù)

有限次測(cè)量的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值

求被測(cè)量的數(shù)字特征，理論上需無窮多次測(cè)量，但在實(shí)際測(cè)量中只能進(jìn)行有限次測(cè)量，怎么辦？（1）有限次測(cè)量的數(shù)學(xué)期望的估計(jì)值？（2）有限次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值？

對(duì)某量進(jìn)行一系列無系差等精度測(cè)量時(shí)，由于存在隨機(jī)誤差，因此其獲得的測(cè)量值不完全相同，該測(cè)量列的最佳估計(jì)值是測(cè)量列的算術(shù)平均值，并作為最后的測(cè)量結(jié)果。算術(shù)平均值原理設(shè)A1，A2,…A3為n次測(cè)量所得的值，則算術(shù)平均值為:算術(shù)平均值特性

若測(cè)量次數(shù)有限，由參數(shù)估計(jì)知，算術(shù)平均值是該測(cè)量總體期望的一個(gè)最佳的估計(jì)量，即滿足無偏性、有效性、一致性和充分性。(1)無偏性：估計(jì)值圍繞被估計(jì)參數(shù)波動(dòng)，且M()＝M（A）。(2)有效性：的波動(dòng)幅度比單次測(cè)量小。(3)一致性：隨著測(cè)量次數(shù)增加，趨近于被測(cè)量參數(shù)M(A)。(4)充分性：包含了樣本的全部信息。有限次測(cè)量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值（實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差）：貝塞爾公式注意：因?yàn)椋詎個(gè)剩余誤差不是獨(dú)立的，而只有n-1個(gè)獨(dú)立變量。

一般情況下，被測(cè)量的真值為未知，不可能按定義求得隨機(jī)誤差，這時(shí)可用算術(shù)平均值代替被測(cè)量的真值進(jìn)行計(jì)算。此時(shí)的隨機(jī)誤差稱為剩余誤差（殘余誤差）：方差的估計(jì)值：有限次測(cè)量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值方差的實(shí)用算法：方差的遞推算法：算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值算術(shù)平均值的方差：算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差：測(cè)量列的方差估計(jì)測(cè)量列的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)平均值的方差估計(jì)

在多次測(cè)量的測(cè)量列中，是以算術(shù)平均值作為測(cè)量結(jié)果，算術(shù)平均值也是隨機(jī)變量，因此必須研究算術(shù)平均值不可靠的評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)。結(jié)論2：算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差比總體或單次測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差小倍。增加測(cè)量次數(shù)n，可減少標(biāo)準(zhǔn)偏差，提高測(cè)量準(zhǔn)確度。證明*

故：結(jié)論1：用平均值估計(jì)被測(cè)量比測(cè)量列任何一個(gè)數(shù)據(jù)估計(jì)可信。n>10時(shí)測(cè)量準(zhǔn)確度增長(zhǎng)緩慢：增加測(cè)量次數(shù)花費(fèi)較大，效果較小；此外，由于增加測(cè)量次數(shù)難以保證測(cè)量條件的恒定，從而引入新的誤差。實(shí)際測(cè)量中，測(cè)量次數(shù)一般取10~20次。若要進(jìn)一步提高測(cè)量準(zhǔn)確度，需從選擇更高準(zhǔn)確度的測(cè)量?jī)x器、更合理的測(cè)量方法、更好的控制測(cè)量條件等方面入手。測(cè)量精度與測(cè)量次數(shù)的關(guān)系【例】

用溫度計(jì)重復(fù)測(cè)量某個(gè)不變的溫度，得11個(gè)測(cè)量值的序列（見下表）。求測(cè)量值的平均值及其標(biāo)準(zhǔn)偏差估計(jì)值。解：計(jì)算平均值計(jì)算各測(cè)量值殘差：標(biāo)準(zhǔn)偏差估計(jì)：

平均值標(biāo)準(zhǔn)偏差估計(jì)：置信度的概念——表征測(cè)量數(shù)據(jù)或結(jié)果可信賴程度的一個(gè)參數(shù)。

置信區(qū)間

[M(A)-Kσ(A),M(A)+Kσ(A)］K——置信因子

置信概率在置信區(qū)間內(nèi)包含真值的概率P。置信概率可信度置信度的物理意義：1測(cè)量數(shù)據(jù)處于數(shù)學(xué)期望（真值）附近一個(gè)置信區(qū)間內(nèi)的概率。2測(cè)量數(shù)據(jù)在一個(gè)置信區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)數(shù)學(xué)期望（真值）的概率。

測(cè)量結(jié)果的置信度置信區(qū)間下的置信概率可由置信區(qū)間對(duì)概率密度函數(shù)定積分求得：置信限：

k——置信系數(shù)（或置信因子）置信概率是圖中陰影部分面積測(cè)量結(jié)果的置信度分布和標(biāo)準(zhǔn)差一定，置信區(qū)間越寬，置信概率就越大。置信區(qū)間一定，標(biāo)準(zhǔn)差越小，置信概率越大。置信概率一定時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差越小，置信區(qū)間越窄。置信度問題（1）給定置信區(qū)間求置信概率。（2）給定置信概率求計(jì)算置信區(qū)間關(guān)鍵是確定置信因子分布和置信因子確定后，則置信概率為：正態(tài)分布的置信概率正態(tài)分布：置信概率P：令：正態(tài)分布的置信概率當(dāng)k=3時(shí)置信因子k置信概率P/Ф(K)10.682720.954530.9973區(qū)間越寬，置信概率越大注意：誤差的絕對(duì)值大于3σ的概率只有0.0027，可以認(rèn)為不可能發(fā)生的小概率隨機(jī)事件。因此常把標(biāo)準(zhǔn)差的3倍作為正態(tài)分布下測(cè)量數(shù)據(jù)的極限誤差。置信因子K和置信概率P/Ф(K)數(shù)值關(guān)系表格見表2－1。對(duì)某電阻作無系差等精度獨(dú)立測(cè)量，已知測(cè)量數(shù)據(jù)R服從正態(tài)分布，且標(biāo)準(zhǔn)差是0.2Ω

，試求被測(cè)電阻落在[Ri-0.5,Ri+0.5]Ω的概率。解：已知σ

＝0.2Ω,Kσ=0.5Ω所以：由表2－1得：【例1】對(duì)某電壓作無系差等精度獨(dú)立測(cè)量，測(cè)量值服從正態(tài)分布，已知被測(cè)量真值U0＝79.83V,且標(biāo)準(zhǔn)差σ(U)=0.02V

，試按99％的可能性估計(jì)測(cè)量數(shù)據(jù)可能出現(xiàn)的范圍。解：已知P＝99％＝0.99,σ（U）=0.02V，U0＝79.83V所求置信區(qū)間：由表2－1查得置信概率為0.99時(shí)對(duì)應(yīng)的置信因子，為：【例2】由此可得測(cè)量值Ui的出現(xiàn)范圍：79.78<Ui<79.88t分布的置信概率t分布：代入置信概率定義公式：t分布與測(cè)量次數(shù)有關(guān)。當(dāng)足夠大時(shí)，t分布趨于正態(tài)分布。給定置信概率和測(cè)量次數(shù)n，查表2－2得置信因子Kt。

t分布的置信區(qū)間【例】對(duì)某電容作8次無系差等精度獨(dú)立測(cè)量，測(cè)量值如下（單位uf），試求被測(cè)電容的估計(jì)值及其置信區(qū)間（P＝0.99）。Ci（75.01,75.04,75.07,75.03,75.09,75.06,75.02,75.08）解：根據(jù)平均值原理，被測(cè)電容的估計(jì)值：測(cè)量列方差估計(jì)值：測(cè)量列標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)值：平均值標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)值：當(dāng)P＝0.99,k=7時(shí)，由表2－2查得Kt＝3.5,于是可得被測(cè)電容置信區(qū)間為：所以被測(cè)電容真值C0以0.99的概率處于75.01至75.09之間。（2）均勻分布的置信概率均勻分布：代入置信概率定義公式：標(biāo)準(zhǔn)差：均勻分布的測(cè)量誤差不可能超過a，a為極限誤差。通常取，此時(shí)誤差的置信概率為100％。（3）均勻分布的置信因子時(shí)結(jié)論：，P＝1

粗大誤差的剔除粗大誤差的剔除粗大誤差產(chǎn)生原因:①測(cè)量人員的主觀原因：操作失誤或錯(cuò)誤記錄；②客觀外界條件的原因：測(cè)量條件意外改變、受較大的電磁干擾，或測(cè)量?jī)x器偶然失效等。粗大誤差出現(xiàn)的概率很小，處理方法是列出可疑數(shù)據(jù)，分析是否是粗大誤差，若是，則應(yīng)將對(duì)應(yīng)的測(cè)量值剔除。

粗大誤差的統(tǒng)計(jì)學(xué)判別準(zhǔn)則統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法的基本思想是：給定一置信概率，確定相應(yīng)的置信區(qū)間，凡超過置信區(qū)間的誤差就認(rèn)為是粗大誤差，并予以剔除。在正態(tài)分布等精度測(cè)量中，隨機(jī)誤差大于3σ的概率僅為0.0027%，屬小概率事件。拉依達(dá)（萊特）檢驗(yàn)法：設(shè)測(cè)量數(shù)據(jù)中，測(cè)量值A(chǔ)k的隨機(jī)誤差為δk，當(dāng)：測(cè)量值為粗大誤差的異常值，應(yīng)予以剔除。

粗大誤差的統(tǒng)計(jì)學(xué)判別準(zhǔn)則

在實(shí)際應(yīng)用中使用剩余誤差和標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值：注意：當(dāng)測(cè)量次數(shù)你n≤10時(shí)，該準(zhǔn)則失效?！咀C明】因?yàn)樗约串?dāng)n≤10時(shí)，

粗大誤差的統(tǒng)計(jì)學(xué)判別準(zhǔn)則格拉布斯(grubbs)檢驗(yàn)法：當(dāng)測(cè)量數(shù)據(jù)Ak的剩余誤差νk滿足：式中，g0（n,α）值由重復(fù)測(cè)量次數(shù)n及顯著性水平α

（超差概率，1－P）確定，由數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法推導(dǎo)。則測(cè)量值為粗大誤差的異常值，應(yīng)予以剔除。應(yīng)注意的問題①

所有的檢驗(yàn)法都是人為主觀擬定的，至今無統(tǒng)一的規(guī)定。當(dāng)偏離正態(tài)分布和測(cè)量次數(shù)少時(shí)檢驗(yàn)不一定可靠。②

若有多個(gè)可疑數(shù)據(jù)同時(shí)超過檢驗(yàn)所定置信區(qū)間，應(yīng)逐個(gè)剔除，重新計(jì)算，再行判別。若有兩個(gè)相同數(shù)據(jù)超出范圍時(shí)，應(yīng)逐個(gè)剔除。③在一組測(cè)量數(shù)據(jù)中，可疑數(shù)據(jù)應(yīng)很少。反之，說明系統(tǒng)工作不正常。

無系統(tǒng)誤差（準(zhǔn)確度較高的儀表）等精度多次測(cè)量得Ai,i=1,2,3……n（1）求平均值：（2）求標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)值：（3）剔除粗大誤差A(yù)K，若有重復(fù)（1）、（2）；（4）計(jì)算其算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差：（5）給出置信概率下結(jié)果：?jiǎn)挝淮执笳`差剔除小結(jié)用準(zhǔn)確度較高的測(cè)量?jī)x器對(duì)某電阻進(jìn)行16次等精度測(cè)量，測(cè)量結(jié)果：34.86,35.21,34.97,35.14,35.35,35.21,35.16,35.22,35.30,35.71,35.94,35.63,35.65,35.70,35.24,35.36，求被測(cè)量電阻的測(cè)量結(jié)果。解：a.無系統(tǒng)誤差；

b.c.

d.第13次，36.65-35.30=1.35>該值應(yīng)剔除。

e.重新計(jì)算15次測(cè)量的

f.【例】測(cè)量誤差的估計(jì)

和測(cè)量結(jié)果的表示直接測(cè)量的誤差估計(jì)已知儀表量程和準(zhǔn)確度等級(jí)，單次測(cè)量結(jié)果誤差表示為：已知儀表的基本誤差或容許誤差（數(shù)字表），單次測(cè)量結(jié)果誤差表示為：

儀表基本誤差或容許誤差儀表準(zhǔn)確度等級(jí)直接測(cè)量的誤差估計(jì)若進(jìn)行了多次測(cè)量，則還應(yīng)考慮隨機(jī)誤差的影響。若多次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值為σ，則測(cè)量誤差為：置信因子已知儀表量程和準(zhǔn)確度等級(jí)已知儀表的基本誤差或容許誤差

問題：用間接法測(cè)量電阻消耗的功率時(shí)，需測(cè)量電阻R、端電壓V和電流I三個(gè)量中的兩個(gè)量，如何根據(jù)電阻、電壓或電流的誤差來推算功率的誤差呢？誤差合成的一般公式：設(shè)測(cè)量結(jié)果y是n個(gè)獨(dú)立變量A1,A2，…，An的函數(shù)，即

y=f(A1,A2,…,An)

與被測(cè)量有函數(shù)關(guān)系的各個(gè)直接測(cè)量值

y

為間接測(cè)量值間接測(cè)量結(jié)果的誤差估計(jì)（誤差合成）間接測(cè)量的誤差估計(jì)絕對(duì)誤差傳遞系數(shù)獨(dú)立變量Ai的絕對(duì)誤差A(yù)i產(chǎn)生的絕對(duì)誤差分量絕對(duì)誤差合成一般公式相對(duì)誤差傳遞系數(shù)獨(dú)立變量Ai的相對(duì)誤差A(yù)i產(chǎn)生的相對(duì)誤差分量相對(duì)誤差合成一般公式*重點(diǎn)是要確定誤差傳遞系數(shù)CΔ和Cγ。

函數(shù)總誤差等于各誤差分量的代數(shù)和

確定誤差傳遞系數(shù)是誤差合成的關(guān)鍵。傳遞系數(shù)確定的常用方法有微分確定法、計(jì)算機(jī)仿真確定法和實(shí)驗(yàn)確定法。(1)微分確定法

條件：適合于確切知道函數(shù)的關(guān)系式，已知y=f(A1,A2,…,An)。

結(jié)論：（2）計(jì)算機(jī)仿真確定法（函數(shù)關(guān)系復(fù)雜，不易求導(dǎo)的場(chǎng)合,特別是多變量隱函數(shù))（3）實(shí)驗(yàn)確定法（不必知道函數(shù)關(guān)系，但需要控制誤差量，難度較大）

變量Ai對(duì)函數(shù)y的絕對(duì)誤差傳遞系數(shù)等于y對(duì)Ai的一階偏導(dǎo)數(shù)。

變量Ai對(duì)函數(shù)y的相對(duì)誤差傳遞系數(shù)，等于函數(shù)y的對(duì)數(shù)對(duì)Ai的一階偏導(dǎo)數(shù)乘以Ai。

誤差傳遞系數(shù)的確定誤差傳遞系數(shù)典型公式【例】測(cè)量結(jié)果的表示

在剔除粗大誤差后，只剩下系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差

各次測(cè)得值的絕對(duì)誤差等于系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的代數(shù)和.測(cè)量結(jié)果的表示

如含有已定系統(tǒng)誤差y,測(cè)量結(jié)果可表示為：若y＝0，即不含有可修正系統(tǒng)誤差y,測(cè)量結(jié)果可表示為：注意：Δm包括未定的系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差。測(cè)量結(jié)果的表示

測(cè)量結(jié)果應(yīng)指明置信因子K的大小或測(cè)量結(jié)果的概率分布及置信概率P(P＝0.68)(P＝0.99)K=1K=2K=3測(cè)量結(jié)果置信概率P＝0.95時(shí)不必注明，其它概率均在結(jié)果以括號(hào)給出。常見形式有：測(cè)量單位只出現(xiàn)一次，且列于最后。有效值位數(shù)與誤差大小相適應(yīng)。注意：測(cè)量結(jié)果的處理步驟

1對(duì)測(cè)量值進(jìn)行系統(tǒng)誤差修正，將數(shù)據(jù)依次列成表格；2求出算術(shù)平均值3列出殘差，并驗(yàn)證4按貝塞爾公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值5按拉伊達(dá)準(zhǔn)則或格拉布斯準(zhǔn)則檢查是否有粗大誤差；6如有粗大誤差，剔除粗大誤差重新計(jì)算算術(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)差；7計(jì)算算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差：8通過儀器的容許誤差或準(zhǔn)確度等級(jí)估計(jì)未定系統(tǒng)誤差Δ；測(cè)量結(jié)果的處理步驟

9置信區(qū)間的估計(jì)。根據(jù)置信概率查表查得置信因子,可得極限誤差則置信區(qū)間為：10測(cè)量結(jié)果表示；【例】

對(duì)某電壓進(jìn)行了