穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)課件

1第二章穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)2.1導(dǎo)熱基本定律-傅里葉定律

2.2導(dǎo)熱問題的數(shù)學(xué)描述

2.3典型一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的分析解

2.4通過肋片的導(dǎo)熱

2.5具有內(nèi)熱源的一維導(dǎo)熱問題

2.6多維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的求解2本章研究方法：

從連續(xù)介質(zhì)的假設(shè)出發(fā)、從宏觀的角度來討論導(dǎo)熱熱流量與物體溫度分布及其他影響因素之間的關(guān)系。

一般情況下，絕大多數(shù)固體、液體及氣體都可以看作連續(xù)介質(zhì)。但是當(dāng)分子的平均自由行程與物體的宏觀尺寸相比不能忽略時(shí)，如壓力降低到一定程度的稀薄氣體，就不能認(rèn)為是連續(xù)介質(zhì)。32.1導(dǎo)熱的基本概念與基本定律1.基本概念（1）溫度場(chǎng)

定義：在τ時(shí)刻，物體內(nèi)所有各點(diǎn)的溫度分布稱為該物體在該時(shí)刻的溫度場(chǎng)。一般溫度場(chǎng)是空間坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，在直角坐標(biāo)系中，溫度場(chǎng)可表示為：t=f（x，y，z，τ）t—為溫度;x,y,z—為空間坐標(biāo);-時(shí)間坐標(biāo).

52.1導(dǎo)熱的基本概念與基本定律

（2）等溫面與等溫線

在同一時(shí)刻，溫度場(chǎng)中溫度相同的點(diǎn)連成的線或面稱為等溫線或等溫面。

等溫面上任何一條線都是等溫線。如果用一個(gè)平面和一組等溫面相交,就會(huì)得到一組等溫線。溫度場(chǎng)可以用一組等溫面或等溫線表示。

等溫面與等溫線的特征：（1）同一時(shí)刻，物體中溫度不同的等溫面或等溫線不能相交；（2）在連續(xù)介質(zhì)的假設(shè)條件下，等溫面（或等溫線）或者在物體中構(gòu)成封閉的曲面（或曲線），或者終止于物體的邊界，不可能在物體中中斷。62.1導(dǎo)熱的基本概念與基本定律

（3）溫度梯度溫度沿某一方向x的變化率在數(shù)學(xué)上可以用該方向上溫度對(duì)坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)來表示，即：溫度梯度：系統(tǒng)中某一點(diǎn)所在的等溫面與相鄰等溫面之間的溫差與其法線間的距離之比的極限為該點(diǎn)的溫度梯度，記為gradt。用以反映溫度場(chǎng)在空間的變化特征的物理量。溫度梯度是矢量，指向溫度增加的方向。n--等溫面法線方向的單位矢量，指向溫度增加方向。72.1導(dǎo)熱的基本概念與基本定律

（4）熱流密度熱流密度的大小和方向可以用熱流密度矢量q表示：熱流密度矢量的方向指向溫度降低的方向。在直角坐標(biāo)系中，熱流密度矢量可表示為：9傅里葉定律的適應(yīng)條件：（1）傅里葉定律只適用于各向同性物體。對(duì)于各向異性物體，熱流密度矢量的方向不僅與溫度梯度有關(guān),還與熱導(dǎo)率的方向性有關(guān),因此熱流密度矢量與溫度梯度不一定在同一條直線上。（2）傅里葉定律適用于工程技術(shù)中的一般穩(wěn)態(tài)和非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題，對(duì)于極低溫（接近于0K）的導(dǎo)熱問題和極短時(shí)間產(chǎn)生極大熱流密度的瞬態(tài)導(dǎo)熱過程,如大功率、短脈沖(脈沖寬度可達(dá)10-12～10-15s)激光瞬態(tài)加熱等,傅里葉定律不再適用。103.導(dǎo)熱系數(shù)

導(dǎo)熱系數(shù)反映物質(zhì)導(dǎo)熱能力的大小，絕大多數(shù)材料的導(dǎo)熱系數(shù)值都可以通過實(shí)驗(yàn)測(cè)得。11物質(zhì)的導(dǎo)熱系數(shù)在數(shù)值上具有下述特點(diǎn):(1)對(duì)于同一種物質(zhì),固態(tài)的導(dǎo)熱系數(shù)值最大,氣態(tài)的導(dǎo)熱系數(shù)值最小；(2)一般金屬的導(dǎo)熱系數(shù)大于非金屬的熱導(dǎo)率；(3)導(dǎo)電性能好的金屬,其導(dǎo)熱性能也好；(4)純金屬的導(dǎo)熱系數(shù)大于它的合金；(5)對(duì)于各向異性物體,導(dǎo)熱系數(shù)的數(shù)值與方向有關(guān)；(6)對(duì)于同一種物質(zhì),晶體的導(dǎo)熱系數(shù)要大于非定形態(tài)物體的熱導(dǎo)率。導(dǎo)熱系數(shù)數(shù)值的影響因素較多,主要取決于物質(zhì)的種類、物質(zhì)結(jié)構(gòu)與物理狀態(tài),此外溫度、密度、濕度等因素對(duì)導(dǎo)熱系數(shù)也有較大的影響。其中溫度對(duì)導(dǎo)熱系數(shù)的影響尤為重要。13保溫材料（或稱絕熱材料）：

國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，溫度低于350℃時(shí)導(dǎo)熱系數(shù)小于0.12W/(m?K)的材料稱為保溫材料。多孔材料

絕大多數(shù)建筑材料和保溫材料（或稱絕熱材料）都具有多孔或纖維結(jié)構(gòu)(如磚、混凝土、石棉、爐渣等),不是均勻介質(zhì),統(tǒng)稱多孔材料。

多孔材料的導(dǎo)熱系數(shù)隨溫度的升高而增大。多孔材料的導(dǎo)熱系數(shù)與密度和濕度有關(guān)。一般情況下密度和濕度愈大，熱導(dǎo)率愈大。142.2導(dǎo)熱問題的數(shù)學(xué)描述

1.導(dǎo)熱微分方程依據(jù)：能量守恒和傅里葉定律。假設(shè)：1）物體由各向同性的連續(xù)介質(zhì)組成；2）有內(nèi)熱源，強(qiáng)度為，表示單位時(shí)間、單位體積內(nèi)的生成熱，單位為W/m3。步驟：1）根據(jù)物體的形狀選擇坐標(biāo)系，選取物體中的微元體作為研究對(duì)象；2）根據(jù)能量守恒，建立微元體的熱平衡方程；3）根據(jù)傅里葉定律和已知條件，對(duì)熱平衡方程進(jìn)行歸納、整理，最后得出導(dǎo)熱微分方程式。15導(dǎo)熱過程中微元體的熱平衡：(a)(b)17導(dǎo)熱微分方程的簡(jiǎn)化：（1）導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)（式2）

稱為熱擴(kuò)散率或熱擴(kuò)散系數(shù)，其大小反映物體被瞬態(tài)加熱或冷卻時(shí)溫度變化快慢，反映了導(dǎo)熱過程中材料的導(dǎo)熱能力（）與沿途物質(zhì)儲(chǔ)熱能力（

c

）之間的關(guān)系.a值大，即值大或

c

值小，說明物體的某一部分一旦獲得熱量，該熱量能在整個(gè)物體中很快擴(kuò)散。熱擴(kuò)散率表征物體被加熱或冷卻時(shí)，物體內(nèi)各部分溫度趨于均勻一致的能力，所以a反映導(dǎo)熱過程動(dòng)態(tài)特性，研究非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱重要物理量。

在同樣加熱條件下，物體的熱擴(kuò)散率越大，物體內(nèi)部各處的溫度差別越小。18（2）導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)，無內(nèi)熱源熱物性參數(shù)為常數(shù)（常物性）、無內(nèi)熱源的三維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程。（式3）（3）常物性，穩(wěn)態(tài)（式4）（4）常物性，無內(nèi)熱源，穩(wěn)態(tài)常物性、穩(wěn)態(tài)、三維且有內(nèi)熱源問題的溫度場(chǎng)控制方程。（式5）拉普拉斯方程。稱為拉普拉斯算子。泊桑方程19圓柱坐標(biāo)系下的導(dǎo)熱微分方程式：212.導(dǎo)熱微分方程式的定解條件

導(dǎo)熱微分方程式推導(dǎo)過程中沒有涉及導(dǎo)熱過程的具體特點(diǎn),適用于無窮多個(gè)導(dǎo)熱過程,也就是說有無窮多個(gè)解。

為完整的描寫某個(gè)具體的導(dǎo)熱過程，必須說明導(dǎo)熱過程的具體特點(diǎn),即給出導(dǎo)熱微分方程的定解條件（或稱單值性條件），使導(dǎo)熱微分方程式具有唯一解。

對(duì)于穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題，定解條件中沒有初始條件，僅有邊界條件；對(duì)于非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題，定解條件包括初始時(shí)刻溫度分布的初始條件和導(dǎo)熱物體邊界上溫度或換熱情況的邊界條件。導(dǎo)熱微分方程式與定解條件一起構(gòu)成具體導(dǎo)熱過程完整的數(shù)學(xué)描述。單值性條件一般包括：幾何條件、物理?xiàng)l件、時(shí)間條件、邊界條件。221.幾何條件說明參與導(dǎo)熱物體的幾何形狀及尺寸。幾何條件決定溫度場(chǎng)的空間分布特點(diǎn)和分析時(shí)所采用的坐標(biāo)系。2.物理?xiàng)l件說明導(dǎo)熱物體的物理性質(zhì),例如物體有無內(nèi)熱源以及內(nèi)熱源的分布規(guī)律，給出熱物性參數(shù)(λ、ρ、c、a等)的數(shù)值及其特點(diǎn)等。3.初始條件（又稱時(shí)間條件）說明導(dǎo)熱過程時(shí)間上的特點(diǎn),是穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱還是非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。對(duì)于非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱,應(yīng)該給出過程開始時(shí)物體內(nèi)部的溫度分布規(guī)律（稱為初始條件）：234.邊界條件

說明導(dǎo)熱物體邊界上的熱狀態(tài)以及與周圍環(huán)境之間的相互作用,例如,邊界上的溫度、熱流密度分布以及邊界與周圍環(huán)境之間的熱量交換情況等。常見的邊界條件分為以下三類:(1)第一類邊界條件給出邊界上的溫度值、分布及其隨時(shí)間的變化規(guī)律。最簡(jiǎn)單的例子是規(guī)定邊界溫度保持常數(shù)，tw=常量。對(duì)于非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，要求給出：(2)第二類邊界條件給出邊界上的熱流密度值、分布及其隨時(shí)間的變化規(guī)律。最簡(jiǎn)單的例子是規(guī)定邊界溫度保持常數(shù)，qw=常量。對(duì)于非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，要求給出：25

綜上所述,對(duì)一個(gè)具體導(dǎo)熱過程完整的數(shù)學(xué)描述（即導(dǎo)熱數(shù)學(xué)模型）應(yīng)該包括：(1)導(dǎo)熱微分方程式;(2)定解條件。對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解,就可以得到物體的溫度場(chǎng),進(jìn)而根據(jù)傅里葉定律就可以確定相應(yīng)的熱流分布。建立合理的數(shù)學(xué)模型,是求解導(dǎo)熱問題的第一步,也是最重要的一步。

目前應(yīng)用最廣泛的求解導(dǎo)熱問題的方法:(1)分析解法;(2)數(shù)值解法;(3)實(shí)驗(yàn)方法。這也是求解所有傳熱學(xué)問題的三種基本方法。本章主要介紹導(dǎo)熱問題的分析解法。262.3典型一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的分析解

導(dǎo)熱物體的溫度僅在一個(gè)坐標(biāo)方向發(fā)生變化。1.通過平壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

平壁的長度和寬度都遠(yuǎn)大于其厚度，因而平板兩側(cè)保持均勻邊界條件的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱就可以歸納為一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題。

從平板的結(jié)構(gòu)可分為單層壁，多層壁和復(fù)合壁等類型。a.單層壁導(dǎo)熱b.多層壁導(dǎo)熱c.復(fù)合壁導(dǎo)熱29例2-1用平底鍋燒開水，與水相接觸的鍋底溫度為111℃，熱流密度為42400W/m2.使用一段時(shí)間后，鍋底結(jié)了一層平均厚度為3mm的水垢。假設(shè)此時(shí)與水相接觸的水垢的表面溫度及熱流密度分別等于原來的值，試計(jì)算水垢與金屬鍋底接觸面的溫度。水垢的導(dǎo)熱系數(shù)為1W/(m·k).解：由題意可得：t2=238.2℃30（2）多層平壁

多層平壁由多層不同材料組成，當(dāng)兩表面分別維持均勻恒定的溫度時(shí)，其導(dǎo)熱也是一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。（1）各層厚度分別為δ1、δ2、δ3，各層材料的導(dǎo)熱系數(shù)分別為λ1、λ2、λ3,且分別為常數(shù)；（2）各層之間接觸緊密,相互接觸的表面具有相同的溫度；（3）平壁兩側(cè)外表面分別保持均勻恒定的溫度t1、t4。顯然，通過此三層平壁的導(dǎo)熱為穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱,各層的熱流量相同。

以三層平壁為例，假設(shè)：31（f）三層平壁穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的總導(dǎo)熱熱阻為各層導(dǎo)熱熱阻之和。（g）依此類推，n層多層壁的計(jì)算公式為：（式6）32問：現(xiàn)在已經(jīng)知道了q，如何計(jì)算其中第i層的右側(cè)壁溫？t2t3t4t1q第一層：

第二層：第i層：

33解：材料的平均溫度為：t=(t1+t2)/2=(500+50)/2=275℃

由附錄4查得：

若是多層壁，t2、t3的溫度未知：可先假定它們的溫度，從而計(jì)算出平均溫度并查出導(dǎo)熱系數(shù)值，再計(jì)算熱流密度及t2、t3的值。若計(jì)算值與假設(shè)值相差較大，需要用計(jì)算結(jié)果修正假設(shè)值，逐步逼近，這就是迭代法。34解：先假定各層的平均溫度（即設(shè)定t2和t3

）；查附錄4，代入各種材料的導(dǎo)熱系數(shù)；進(jìn)而算出熱流密度；由熱流密度再驗(yàn)證各層溫度的設(shè)定值，若誤差較大，重新進(jìn)行以上步驟。--迭代法經(jīng)過幾次迭代，算出三層材料的導(dǎo)熱系數(shù)分別為：

λ1=1.12W/（m·k），λ2=0.116W/（m·k），λ3=0.116W/（m·k）代入式：

t2t3t4t1q粘土磚硅藻土石棉板W/m2t2=470℃35例3：一雙層玻璃窗，高2m，寬1m，玻璃厚3mm，玻璃的導(dǎo)熱系數(shù)為0.5W/(mK)，雙層玻璃間的空氣夾層厚度為5mm，夾層中的空氣完全靜止，空氣的導(dǎo)熱系數(shù)為0.025W/(mK)。如果測(cè)得冬季室內(nèi)外玻璃表面溫度分別為15℃和5℃，試求玻璃窗的散熱損失，并比較玻璃與空氣夾層的導(dǎo)熱熱阻。解：這是一個(gè)三層平壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題。根據(jù)(式6)散熱損失為：

可見，單層玻璃的導(dǎo)熱熱阻為0.003K/W，而空氣夾層的導(dǎo)熱熱阻為0.1K/W，是玻璃的33.3倍。362.通過圓筒壁的導(dǎo)熱主要討論圓筒壁穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程中的壁內(nèi)溫度分布及導(dǎo)熱熱流量。（1）單層圓筒壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

假設(shè)：內(nèi)、外半徑分別為r1、r2

，長度為l，λ為常數(shù)、無內(nèi)熱源，內(nèi)外壁溫度t1、t2均勻恒定。

按上述條件，壁內(nèi)溫度只沿徑向變化，如果采用圓柱坐標(biāo),則圓筒壁內(nèi)的導(dǎo)熱為一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，導(dǎo)熱微分方程與相應(yīng)邊界條件為：積分得：

代入邊界條件,可得：37代入得：圓筒壁內(nèi)的溫度分布為對(duì)數(shù)曲線。（式7）（式8）38圓筒壁內(nèi)溫度分布曲線的形狀？39對(duì)（式7）求導(dǎo)數(shù)可得：（式7）根據(jù)傅里葉定律，沿圓筒壁r方向的熱流密度為：（式9）（式8）（式10）長度為l

的圓筒壁的導(dǎo)熱熱阻40（2）多層圓筒壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

由不同材料構(gòu)成的多層圓筒壁。如帶有保溫層的熱力管道、嵌套的金屬管道和結(jié)垢、積灰的輸送管道等。

以三層圓筒壁為例，無內(nèi)熱源，各層的熱導(dǎo)率λ1、λ2、λ3分別為常數(shù)，內(nèi)、外壁面維持均勻恒定的溫度t1、t2。通過各層圓筒壁的熱流量相等，總導(dǎo)熱熱阻等于各層導(dǎo)熱熱阻之和。n層圓筒壁：?jiǎn)挝还荛L的熱流量41例2-4溫度為120℃的空氣從導(dǎo)熱系數(shù)為1=18W/(mK)的不銹鋼管內(nèi)流過，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h1=65W/(m2K),管內(nèi)徑為d1=25mm，厚度為4mm。管子外表面處于溫度為15℃的環(huán)境中，外表面自然對(duì)流的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h2=6.5W/(m2K)。(1)求每米長管道的熱損失；(2)為了將熱損失降低80%，在管道外壁覆蓋導(dǎo)熱系數(shù)為0.04W/(mK)的保溫材料，求保溫層厚度；(3)若要將熱損失降低90%，求保溫層厚度。解：這是一個(gè)含有圓管導(dǎo)熱的傳熱過程，光管時(shí)的總熱阻為：

(1)每米長管道的熱損失為：42(2)設(shè)覆蓋保溫材料后的半徑為r3，由所給條件和熱阻的概念有：

由以上方程解得r3=0.123m故保溫層厚度為12316.5=106.5mm。43(3)若要將熱損失降低90%，按上面方法可得r3=1.07m這時(shí)所需的保溫層厚度為1.070.0165=1.05m

由此可見，熱損失將低到一定程度后，若要再提高保溫效果，將會(huì)使保溫層厚度大大增加。443.通過球殼的導(dǎo)熱

對(duì)于內(nèi)、外表面維持均勻恒定溫度的空心球壁的導(dǎo)熱，在球坐標(biāo)系中也是一個(gè)一維導(dǎo)熱問題。溫度分布：r1r2t1t2熱流密度：熱流量：熱阻：454.變截面或變導(dǎo)熱系數(shù)的一維問題求解導(dǎo)熱問題的主要途徑分兩步：求解導(dǎo)熱微分方程，獲得溫度場(chǎng)；根據(jù)Fourier定律和已獲得的溫度場(chǎng)計(jì)算熱流量；

對(duì)于穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源、第一類邊界條件下的一維導(dǎo)熱問題，可以不通過溫度場(chǎng)而直接獲得熱流量。此方法對(duì)一維變物性、變傳熱面積非常有效。由傅里葉定律：分離變量：（由于是穩(wěn)態(tài)問題，與x無關(guān)）

46當(dāng)隨溫度呈線性分布時(shí)，即＝0(1＋bt)時(shí)472.4通過肋片的導(dǎo)熱肋片：是指依附于基礎(chǔ)表面上的擴(kuò)展表面。又稱翅片?？梢杂行У卦黾訐Q熱面積。48幾種常見的肋片形狀：加裝肋片的目的：強(qiáng)化傳熱。根據(jù)牛頓冷卻公式：增大對(duì)流換熱量有三條途徑：1.加裝肋片，增加換熱面積A；2.加大對(duì)流換熱表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h；3.加大換熱溫差(tw－tf)。491.通過等截面直肋的導(dǎo)熱

以矩形肋為例:高度為H、厚度為δ、寬度為l，與高度方向垂直的橫截面積為Ac

,橫截面的周長為P。假設(shè)（物理模型）：1）肋片材料熱導(dǎo)率λ為常數(shù)；2）肋片根部與肋基接觸良好，溫度一致；3）肋片厚度方向的導(dǎo)熱熱阻δ/λ與表面的對(duì)流換熱熱阻1/h相比很小，可以忽略,肋片溫度只沿高度方向發(fā)生變化,肋片導(dǎo)熱可以近似地認(rèn)為是一維的；4）肋片表面各處對(duì)流換熱系數(shù)h都相同；5）忽略肋片端面的散熱量，認(rèn)為肋端面是絕熱的。50數(shù)學(xué)描述：導(dǎo)熱微分方程可簡(jiǎn)化為：（式a）（式b）邊界條件：表面的總散熱量：（式c）微元體積：內(nèi)熱源強(qiáng)度：（式d）51將（式d）代入（式a）：（式e）稱為過余溫度（式f）邊界條件：二階線性齊次常微分方程，其通解為：（式g）52（式11）雙曲余弦函數(shù)：令x=H，ch0=1，則（式11）變?yōu)椋簩ⅵ却敫盗⑷~定律得：532.肋效率與肋面總效率（1）肋片效率定義：肋片的實(shí)際散熱量與假設(shè)整個(gè)肋片都具有肋基溫度時(shí)的理想散熱量之比?？梢?，肋片效率是mH的函數(shù)。直肋：環(huán)肋：54矩形和三角形肋片效率隨mH的變化規(guī)律如圖。mH愈大，肋片效率愈低。（1）肋片材料的熱導(dǎo)率λ，（2）肋片高度H，（3）肋片厚度δ，（4）肋片與周圍流體間對(duì)流換熱的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h，肋片效率的影響因素：5556變截面肋片：在一定散熱量條件下，什么幾何形狀肋的材料消耗量最少？

理論分析證明，在一定散熱量的條件下，具有凹拋物線剖面的肋片最省材料。工程上常采用工藝簡(jiǎn)單、性能接近凹拋物線型肋片的三角肋或者梯形肋。57（2）肋面總效率：

流體溫度為tf，流體與整個(gè)表面的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h，肋片表面積為Af，兩個(gè)肋片