與中點有關的輔助線作法例析

與中點有關的輔助線作法例析安徽省利辛縣教育局督導室夏飛線段的中點是幾何圖形中的一個特殊點解與中點有關的問題時果適當?shù)靥砑虞o助線巧地利用中點則是處理中點問題的關鍵但由于含有中點條件問題的輔助線的作法靈活，不少同學難以掌握。下面就針對中點問題舉例談談幾種添加輔助線的方法．一遇中找點這種方法常用于解決三角形和梯形的有關問題要連接兩個中點作中位線利其性質．因此，在三角形中，已知三角形兩邊中點，連結兩個中點，即可構造三角形的中位線；在梯形中，已知梯形兩腰中點，連結兩個中點，即可構造梯形的中位線．例：圖1，E、F分為、AD的中點，射線BA、EF交點，射線CDEF交點．證：

．分：接AC并取其中點P，構造，證明可得證．證：接AC，取AC的點P，連接PE、PF

，再利用中位線的性質即∵為BC的中，∥，，同理PF∥CD，∵，∴

．，，

由∥，

，由PF∥CD，得．說：知三角形一邊的中點或梯形一腰的中點，常過中點作中位線．二遇中作線這種方法常用于解決直角三角形或等腰三角形的有關問題是運用直角三角形斜邊上的中線或等腰三角形底邊上的中線性質此遇到直角三角形斜邊上的中點或等腰三角形底邊上的中點，應聯(lián)想到作中線．例如eq\o\ac(△,，)ABC中高為的中點證．分：△中現(xiàn)了ADC和eq\o\ac(△,Rt)ADB這兩個直角三角形因為E為BC的中點，即題目中有中點與直角三角形的條件．按照“遇到中點找中點”的方法，可取△ADC斜邊AC的中點（或AB的點），連接EF，即eq\o\ac(△,得)ABC的位線；再依據(jù)“遇到中點作中線”的方法，連接，即得到eq\o\ac(△,Rt)ADC斜AC上的中線，然后只要證明即可．證：AC的點，連接EF、．∵、F分為BC、AC的點，∴∥AB，∵AD高，∴△ADC是直角三角形．

．

又∵F為邊AC的點，∴

，．由∥，得又∵，．

．∴．說：一點是直角三角形斜邊的中點或等腰三角形底邊的中點，則應常想到作中線．三遇中倍線這種方法是指若中出現(xiàn)由中引出的線段應常想到成倍延長這一線段可解題提供更為廣闊的思路．例：圖3在ABC中已知D為BC邊點⊥ED于D交ABAC于F、E．求證：．分：證的線段、、EF間沒有明顯關系。但點D是BC邊的中點，故應考慮倍長ED倍長FD也可）到點，連結BG、FG則：BGD△CED所以則，樣就把

，又因為FD⊥，

BFCE、轉到了△中，再利用三角形三邊關系即可證得結．證：長ED到G使

．∵點是BC的中點，∴

，又∵∴△BGD△CED∴；在△中，

，∵

，⊥，∴，在△中，∴．

，說：倍長線段”法在解題過程中有著很重要作用，通過倍長相應的線段，再結合相應的條件可得到全等三角形從而可轉移角但須注意它的使用前提是已知條件中存在著線段的中點．四遇中，結為例時常中作行在解決有些幾何問題中盡遇了中點但證明的結論是比例式此時可考慮過中點作平行線．例：圖，過△ABC的點任一直線，與邊中線AD分交于點F、E．求證：．

分：AD是線，則D為的點，要證明的結論為比例式，且AED又在一個三角形內D點DM∥AB是△BFC的位線

時又可證得AEF∽△DME則有結論成立．證：點作∥交CE于M，則：．

，接下去利用等量代換即可證得∵

，∥AB，∴，是△的位線，∴．在△AEF與△DME中，，，∴△∽△DME，

∴，∴即

，．[注此例也可按照“遇到點找中點”的方法，取中點M，后接DM．]說：點是圖形中的特殊點，中線、中位線是三角形中特殊線段，在解題中，如果能靈活運用與它們相關的性質，巧作輔助線，可使許多問題迅速得到解決．五遇線垂平線的，常這點線的點接起由線段垂直平分線上的點線段兩端點的距離相等以可根據(jù)這一性質定理，若遇到線段垂直平分線上的點常這一點與線段的端點連接起來往使問題變得簡便，從而順利證得結論成立．例如設P是邊ABC的邊任一點連接AP作AP中垂線交、ACMN．證：．分：接PM、PN因為MN是AP的垂線，所以

，，eq\o\ac(△,則)MPNMAN，于是有

．又由于有△BPM△，是可證得．

，可得：，是

證明：連接PM、．在△MPN與△MAN中∵MN是AP的垂線，∴

，，是共邊，∴△MPN≌△MAN），∴又∵

，∴

，∴△BPM，∴．從上述幾例含有中點條件的問題可以看出三角形中