【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】高中數(shù)學(xué)(人教版選修21)配套練習(xí)：3.1.2空間向量數(shù)乘運(yùn)算(含答案解析)

空間向量的數(shù)乘運(yùn)算課時(shí)目標(biāo)1.掌握空間向量數(shù)乘運(yùn)算的定義和運(yùn)算律，認(rèn)識(shí)共線(平行)向量、共面向量的意義，掌握它們的表示方法.2.能理解共線向量定理和共面向量定理及其推論，并能運(yùn)用它們證明空間向量的共線和共面的問(wèn)題．1．空間向量的數(shù)乘運(yùn)算(1)向量的數(shù)乘：實(shí)數(shù)目的數(shù)乘運(yùn)算．當(dāng)

λ與空間向量a的乘積仍舊是一個(gè)向量，記作________，稱為向λ>0時(shí)，λa與向量a方向________；當(dāng)λ<0時(shí)，λa與向量a方向________；λa的長(zhǎng)度是

a的長(zhǎng)度的

________倍．(2)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算知足分派律與聯(lián)合律．分派律：

______________；聯(lián)合律：

______________.2．共線向量(1)共線向量：假如表示空間向量的有向線段所在的直線相互

________或________，則這些向量叫做共線向量或平行向量．(2)對(duì)空間隨意兩個(gè)向量a、b(b≠，0)a∥b的充要條件是________________．(3)方向向量：如圖l為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量a的直線，對(duì)空間隨意一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使____________，此中向量a叫做直線l的方向向量．3．共面向量(1)共面向量：平行于________________的向量，叫做共面向量．(2)假如兩個(gè)向量a、b不共線，那么向量p與向量a、b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使__________．空間內(nèi)一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使______________．對(duì)空間隨意一點(diǎn)

O，點(diǎn)

P在平面

ABC

內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)

(x，y)，使________________．一、選擇題1．以下命題中正確的選項(xiàng)是( )A．若a與b共線，b與c共線，則a與c共線B．向量a，b，c共面，即它們所在的直線共面C．零向量沒(méi)有確立的方向D．若a∥b，則存在獨(dú)一的實(shí)數(shù)λ，使a＝λb2．知足以下條件，能說(shuō)明空間不重合的A、B、C三點(diǎn)共線的是( )→→→→→→A.AB＋BC＝ACB.AB－BC＝AC→→→→C.AB＝BCD.|AB|＝|BC|3.如圖，空間四邊形OABC中，M、N分別是OA、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，→→且MG=2GN，則OG=xOA＋yOB＋zOC，則( )111A．x＝3，y＝3，z＝31，y＝1，z＝1B．x＝336111C．x＝6，y＝6，z＝3D．x＝1，y＝1，z＝16334．在以下條件中，使M與A、B、C必定共面的是()→→A.OM＝2OA－OB－OC1→＋11→B.OM＝OA3OB＋OC52→→＝0C.MA＋MB＋MC→→D.OM＋OA＋OB＋OC＝05.在平行六面體→→ABCD－A1B1C1D1中，向量D1A，D1C，A1C1是( )A．有同樣起點(diǎn)的向量B．等長(zhǎng)向量C．共面向量D．不共面向量6．以下命題中是真命題的是( )A．分別表示空間向量的兩條有向線段所在的直線是異面直線，則這兩個(gè)向量不是共面向量B．若|a|＝|b|，則a，b的長(zhǎng)度相等而方向同樣或相反→→→→→→→→C.若向量AB,CD，知足|AB|>|CD|，且AB與CD同向，則AB>CD→與→知足→＋→＝，則→∥→D.若兩個(gè)非零向量ABCDABCD0ABCD二、填空題→7.在空間四邊形ABCD中，連接AC、BD,若△BCD是正三角形，且E為此中心，則AB→3→→BC－2DE－AD的化簡(jiǎn)結(jié)果為_(kāi)_______．28.在正四周體→→的中點(diǎn)，E為AD的中O－ABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D為BC→點(diǎn)，則OE＝______________(用a，b，c表示)．9.已知P和不共線三點(diǎn)A,B,C,四點(diǎn)共面且關(guān)于空間隨意一點(diǎn)→→O，都有OP＝2OA＝2OA→＋OB＋λOC，則λ＝________.三、解答題10．已知ABCD—A′B′C是′平D行′六面體．1→→2→；＋BC＋3AB(1)化簡(jiǎn)2AA′(2)設(shè)M是底面ABCD的中心，N是側(cè)面BCC′B對(duì)′角線BC′上的3分點(diǎn)，設(shè)MN→4＝αAB→→＋βAD＋γAA′，試求α，β，γ的值．11．設(shè)A，B，C及A1，B1，C1分別是異面直線l1，l2上的三點(diǎn)，而M，N，P，Q分別是線段AA1，BA1，BB1，CC1的中點(diǎn)．求證：M，N，P，Q四點(diǎn)共面．能力提高12.如下圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，M為AC與BD的交點(diǎn)，若A1B1＝→→→a，A1D1＝b，A1A＝c，則以下向量中與B1M相等的向量是( )1111A．－2a＋2b＋cB.2a＋2b＋c1111C.2a－2b＋cD．－2a－2b＋c13.如下圖，已知點(diǎn)O是平行六面體ABCD－A1B1C1D1對(duì)交線的交點(diǎn)，點(diǎn)P是空間任意一點(diǎn)→→→→→→→→.嘗試究PA＋PB＋PC＋PD＋PA1＋PB1＋PC1＋PD1與PO的關(guān)系．1．向量共線的充要條件及其應(yīng)用利用向量共線判斷a，b所在的直線平行．利用向量共線能夠證明三點(diǎn)共線．2．利用共面向量的充要條件能夠證明空間四點(diǎn)共面．3．1.2空間向量的數(shù)乘運(yùn)算知識(shí)梳理1．(1)λa同樣相反|λ|(2)λ＋(ab)＝λa＋λbλ(μ＝a)(λμ)a2．(1)平行重合(2)存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb→→(3)OP＝OA＋ta3．(1)同一個(gè)平面(2)p＝xa＋yb→→→AP＝xAB＋yAC→→→→OP＝OA＋xAB＋yAC作業(yè)設(shè)計(jì)1．C[A中，若b＝0，則a與c不必定共線；B中，共面向量的定義是平行于同一平面的向量，表示這些向量的有向線段所在的直線不必定共面；D中，若b＝0，a≠0，則不存在λ.]2．C→→→B，故A、B、C三點(diǎn)共線．][由AB＝BC知AB與BC共線，又因有一共同的點(diǎn)3．D→→→1→→[∵OG＝OM＋MG＝OA＋MG，①2→→→→OG＝OC＋CN＋NG，②→→→→OG＝OB＋BN＋NG，③→→→→又BN＝－CN，MG＝－2NG，→1→→→∴①＋②＋③，得3OG＝2OA＋OB＋OC，即x＝1，y＝1，z＝1.]633→→→→→4．C[∵M(jìn)A＋MB＋MC＝0，∴MA＝－MB－∴M與A、B、C必共面．只有選項(xiàng)C切合．]5．C[

→MC.如下圖，由于→→→→→D1C－D1A＝AC，而AC＝A1C1，→→→∴D1C－D1A＝A1C1，→→→即D1C＝D1A＋A1C1，→→→→→而D1A與A1C1不共線，所以D1C，D1A，A1C1三向量共面．]6．D[A錯(cuò)．由于空間任兩向量平移以后可共面，所以空間隨意兩向量均共面．B錯(cuò)．由于|a|＝|b|僅表示a與b的模相等，與方向沒(méi)關(guān)．錯(cuò)．由于空間向量不研究大小關(guān)系，只好對(duì)向量的長(zhǎng)度進(jìn)行比較，所以也就沒(méi)有→這類寫(xiě)法．AB>CD→→→→→→→→D對(duì)．∵AB＋CD＝0，∴AB＝－CD，∴AB與CD共線，故AB∥CD正確．]7．0分析→3→如圖，取BC的中點(diǎn)F，連接DF，則DF＝2DE，1→3→→→→→→→→→AB＋2BC－2DE－AD＝AB＋BF－DF＋DA＝AF＋FD＋DA＝0.1118.2a＋4b＋4c分析→1→→如圖，OE＝(OA＋OD)21→11→→＝OA＋×(OB＋OC)2221112a＋4b＋4c.9．－2分析P與不共線三點(diǎn)A，B，C共面，→→→→且OP＝xOA＋yOB＋zOC(x，y，z∈R)，則x＋y＋z＝1是四點(diǎn)共面的充要條件．10．解(1)方法一取AA′的中點(diǎn)為E，則1→→AA'＝EA'.2→→→→又BC＝A'D'，AB＝D'C'，取F為D′C的′一個(gè)三平分點(diǎn)2(D′F＝3D′C′)，→2→則D'F＝3AB.1→→2→∴AA'＋BC＋AB23→→→→＝EA'＋A'D'＋D'F＝EF.方法二取AB的三平分點(diǎn)→2→P使得PB＝AB，31→→2→取CC′的中點(diǎn)Q，則AA'＋BC＋AB231→→2→→→→＝CC'＋BC＋AB＝CQ＋BC＋PB23→→→→＝PB＋BC＋CQ＝PQ.(2)連接BD，則M為BD的中點(diǎn)，→→→MN＝MB＋BN1DB→＋3BC'→241→→3→→＝(DA＋AB)＋(BC＋CC')241→→3→→＝(－AD＋AB)＋(AD＋AA')241→1→3→2AB＋4AD＋4AA'.∴α＝1，β＝1，γ＝3.244→1→→1→11．證明∵NM＝2BA，NP＝2A1B1，→→→→∴BA＝2NM，A1B1＝2NP.→→→→又∵PQ＝PB＋BC＋CQ＝1→→1→→BB1＋BC＋(CB1＋B1C1)22＝1→→→1→→(B1C1＋CB)＋BC＋(CB1＋B1C1)221→→1)，①＝(BC＋B1C2又A，B，C及A1，B1，C1分別共線，→→→→→→∴BC＝λBA＝2λNM，B1C1＝ωA1B1＝2ωNP.代入①式，得→1(2→→PQ＝λNM＋2ωNP)2→→＝λNM＋ωNP.→→→∴PQ，NM，NP共面．∴M，N，P，Q四點(diǎn)共面．→→→→1→12．A[B1M＝B1B＋BM＝A1A＋BD21→→1→1→1＋c＝c＋(BA＋BC)＝－2A1B1＋A1D221＝－2a＋2b＋c.]13．解設(shè)E、E1分別是平行六面體的面ABCD與A1B1