北師大七年級下冊數(shù)學(xué)第四章全等三角形判定一提高

全等三角形判定一（SSS,ASA，AAS）（提高）【學(xué)習(xí)目標】1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“邊邊邊”，判定方法2——“角邊角”，判定方法3——“角角邊”；能運用它們判定兩個三角形全等．2．能把證明角相等或線段相等的問題，轉(zhuǎn)化為證明它們所在的兩個三角形全等．【要點梳理】要點一、全等三角形判定1——“邊邊邊”全等三角形判定1——“邊邊邊”三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）.要點詮釋：如圖，如果A'B'＝AB，A'C'＝AC，B'C'＝BC，則△ABC≌△A'B'C'.要點二、全等三角形判定2——“角邊角”全等三角形判定2——“角邊角”兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）.要點詮釋：如圖，如果∠A＝∠A'，AB＝A'B'，∠B＝∠B'，則△ABC≌△要點三、全等三角形判定3——“角角邊”1.全等三角形判定3——“角角邊”兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）要點詮釋：由三角形的內(nèi)角和等于180°可得兩個三角形的第三對角對應(yīng)相等.這樣就可由“角邊角”判定兩個三角形全等，也就是說，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論.2.三個角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等.如圖，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.這說明，三個角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等.要點四、如何選擇三角形證全等1.可以從求證出發(fā)，看求證的線段或角（用等量代換后的線段、角）在哪兩個可能全等的三角形中，可以證這兩個三角形全等；2.可以從已知出發(fā)，看已知條件確定證哪兩個三角形全等；3.由條件和結(jié)論一起出發(fā)，看它們一同確定哪兩個三角形全等，然后證它們?nèi)龋?.如果以上方法都行不通，就添加輔助線，構(gòu)造全等三角形.【典型例題】類型一、全等三角形的判定1——“邊邊邊”【答案與解析】證明：在△ABD和△ACE中，ABAC1、如圖，在△ABC和△ADE1、如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，求證：∠BAD＝∠CAE.BDCE∴△ABD≌△ACE（SSS）∴∠BAD＝∠CAE（全等三角形對應(yīng)角相等）.【總結(jié)升華】把證明一對角或線段相等的問題，轉(zhuǎn)化為證明它們所在的兩個三角形全等，綜合應(yīng)用全等三角形的判定和性質(zhì).要證∠BAD＝∠CAE，先找出這兩個角所在的三角形分別是△BDA和△CAE，然后證這兩個三角形全等.舉一反三：【變式】（2014秋?雙峰縣校級期中）如圖，已知AB=DC，若要用“SSS”判定△ABC≌△DCB，應(yīng)添加條件是．【答案】AC=DB.類型二、全等三角形的判定2——“角邊角” 2、如圖，G是線段AB上一點，AC和DG相交于點E.請先作出∠ABC的平分線BF，交AC于點F；然后證明：當AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝2∠ADG時，DE＝BF.【思路點撥】通過已知條件證明∠DAC＝∠C，∠CBF＝∠ADG，則可證△DAE≌△BCF【答案與解析】 證明：∵AD∥BC，ADGCBF ADBC DACC∴△DAE≌△BCF（ASA）∴DE＝BF∴∠DAC＝∠C∵BF∴∠DAC＝∠C∵BF平分∠ABC∴∠ABC＝2∠CBF∵∠ABC＝2∠ADG∴∠CBF＝∠ADG在△DAE與△BCF中【變式】已知：如圖，在△MPN中，H是高MQ和NR的交點，且MQ＝NQ．求證：HN＝PM.【答案】證明：∵MQ和NR是△MPN的高，∴∠MQN＝∠MRN＝90°，又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4∴∠1＝∠2在△MPQ和△NHQ中，12MQNQ MQPNQH∴△MPQ≌△NHQ（ASA）∴PM＝HN類型三、全等三角形的判定3——“角角邊”（2016?黃陂區(qū)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，過C點作直線l，點D，E在直線l上，連接AD，BE，∠ADC=∠CEB=90°．求證：△ADC≌△CEB．【思路點撥】先證明∠DAC=∠ECB，根據(jù)AAS證△ADC≌△CEB．【答案與解析】證明：∵∠DAC+∠DCA=∠ECB+∠DCA=90°，∴∠DAC=∠ECB，，，∴△ADC≌△CEB（AAS）．【總結(jié)升華】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、ASA、AAS等．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．平面內(nèi)有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直線MN．過點C作CE⊥MN于點E，過點B作BF⊥MN于點F．當點E與點A重合時（如圖1），易證：AF＋BF＝2CE．當三角板繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置時，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AF、BF、CE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出你的猜想，不需證明．【思路點撥】過B作BH⊥CE與點H，易證△ACE≌△CBH，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，即可證得AF＋BF＝2CE．【答案與解析】解：圖2，AF＋BF＝2CE仍成立，證明：過B作BH⊥CE于點H，∵∠CBH＋∠BCH＝∠ACE＋∠BCH＝90°∴∠CBH＝∠ACE在△ACE與△CBH中，ACHCBHAECCHB90ACBC∴△ACE≌△CBH．（AAS）∴CH＝AE，BF＝HE，CE＝EF，∴AF＋BF＝AE＋EF＋BF＝CH＋EF＋HE＝CE＋EF＝2EC．【總結(jié)升華】正確作出垂線，構(gòu)造全等三角形是解決本題的關(guān)鍵.舉一反三：【變式】已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D為AB邊的中點，∠EDF＝90°，∠EDF繞D點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AC、CB于E、F．當∠EDF繞D點旋轉(zhuǎn)到DE⊥AC于E時（如圖11），易證S S S ；當∠EDF繞D點旋轉(zhuǎn)到DE和AC不垂直時，在圖2情△DEF △CEF2△ABC況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請寫出你的猜想，不需證明.【答案】解：圖2成立；AD證明圖2：過點D作DMAC，DNBCD則DMEDNFMDN90°M在△AMD和△DNB中，E C NF B圖2AMD=DNB=90 AB ADBD∴△AMD≌△DNB（AAS）∴DM＝DN∵∠MDE＋∠EDN＝∠NDF＋∠EDN＝90°，∴∠MDE＝∠NDF在△DME與△DNF中，EMDFDN90 DMDN MDENDF∴△DME≌△DNF（ASA） ∴S S △DME △DNF ∴S =S =S S . 四邊形DMCN 四邊形DECF △DEF △CEF1 可知S =S ， 四邊形DMCN 2△ABC1 ∴S S S ，5、（2015春?龍崗區(qū)期末）小強為了測量一幢高樓高AB，在旗桿CD與樓之間選定一點P．測得旗桿頂C視線PC與地面夾角∠DPC=36°，測樓頂A視線PA與地面夾角∠APB=54°，量得P到樓底距離PB與旗桿高度相等，等于10米，量得旗桿與樓之間距離為DB=36米，小強計算出了樓高，樓高AB是多少米？【思路點撥】根據(jù)題意可得△CPD≌△PAB（ASA），進而利用AB=DP=DB﹣PB求出即可．【答案與解析】解：∵∠CPD=36°，∠APB=54°，∠CDP=∠ABP=90°，∴∠DCP=∠APB=54°，在△CPD和△PAB中∵∴△CPD≌△PAB（ASA），∴DP=AB，∵DB=36，PB=10，∴AB=36﹣10=26（m），答：樓高AB是26米．【總結(jié)升華】此題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意得出△CPD≌△PAB是解題關(guān)鍵．【鞏固練習(xí)】一、選擇題1．（2014秋?西秀區(qū)校級期末）如圖，△ABC中，AB=AC，EB=EC，則由“SSS”可以判定（）A．△ABD≌△ACDB．△ABE≌△ACEC．△BDE≌△CDED．以上答案都不對如圖，AB∥EF，DE∥AC，BD＝CF，則圖中不是全等三角形的是（）A.△BAC≌FEDB.△BDA≌FCEC.△DEC≌CADD.△BAC≌FCE如圖，AB＝BD，∠1＝∠2，添加一個條件可使△ABC≌△DBE，則這個條件不可能是（）A.AE＝ECB.∠D＝∠AC.BE＝BCD.∠1＝∠DEA下列判斷中錯誤的是（）A.有兩角和一邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等B.有兩邊和一角對應(yīng)相等的兩個三角形全等C.有兩邊和其中一邊上的中線對應(yīng)相等的兩個三角形全等D.有一邊對應(yīng)相等的兩個等邊三角形全等△ABC和△A'B'C'中,條件①AB＝A'B',②BC＝B'C',③AC＝A'C',④∠A＝∠A',⑤∠B＝∠B',⑥∠C＝∠C',則下列各組條件中,不能保證△ABC≌△A'B'C'的是()A.①②③ B.①②⑤ C.①③⑤ D.②⑤⑥6．如圖，點A在DE上，AC＝CE，∠1＝∠2＝∠3，則DE的長等于（）A．DCB．BCC．ABD．AE＋AC二、填空題7.已知：如圖，AE＝DF，∠A＝∠D，欲證ΔACE≌ΔDBF，判定定理為AAS，需要添加條件______；或添加條件______，證明全等的理由是ASA.8.（2014秋?白云區(qū)期末）如圖，已知∠1=∠2，∠B=∠C，若直接推得△ABD≌△ACD，則其根據(jù)是__________.9.（2016?濱湖區(qū)一模）如圖，點B、E、C、F在一條直線上，AB∥DE，且AB=DE，請?zhí)砑右粋€條件，使△ABC≌△DEF．10.如圖，AB∥CD，AD∥BC，OE＝OF，圖中全等三角形共有______對.11．如圖，直線l過正方形ABCD的頂點B，點A、C到直線l的距離分別是1和2，則EF的長是___________．12.如圖，AB＝CD，AC＝DB，∠ABD＝25°，∠AOB＝82°，則∠DCB＝_________.三、解答題13．（2016春?會寧縣期中）已知：如圖，等腰三角形ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，直線l經(jīng)過點C（點A、B都在直線l的同側(cè)），AD⊥l，BE⊥l，垂足分別為D、E．求證：△ADC≌△CEB．14.已知：如圖，△ABC中，ABC45°，CDAB于D，BEAC于E，BE與CD相交于點F．求證：BFAC15.（2014秋?杭州期末）如圖，DC∥AB，∠BAD和∠ADC的角平分線相交于E，過E的直線分別交DC、AB于C、B兩點.求證：AD＝AB＋DC.【答案與解析】一、選擇題1.【答案】B．【答案】D；【答案】A；【解析】D選項可證得∠D＝∠A，從而用ASA證全等.【答案】B；【解析】C選項和D選項都可以由SSS定理證全等.【答案】C；【解析】C選項是兩邊及一邊的對角對應(yīng)相等，不能保證全等.【答案】C；【解析】可證∠BAC＝∠E，∠BCA＝∠DCE，所以△ABC≌△EDC，DE＝AB.二、填空題【答案】∠2＝∠1；∠E＝∠F.【答案】AAS；【答案】∠A=∠D或∠ACB=∠F；【解析】解：可添加條件為∠A=∠D或∠ACB=∠F．理由如下：∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF．∵在△ABC和△DEF中，，，，，10.【答案】6；【解析】△ABO≌△CDO，△AFO≌△CEO，△DFO≌△BEO，△AOD≌△COB，△ABD≌△CDB，△ABC≌△CDA.11．【答案】3；【解析】由AAS證△ABF≌△CBE，EF＝FB＋BE＝CE＋AF＝2＋1＝3.12.【答案】66°；82【解析】可由SSS證明△ABC≌△DCB，∠OBC＝∠OCB＝41，所以∠DCB＝2∠ABC＝25°＋41°＝66°三、解答題13.【解析】