勾股定理教學(xué)設(shè)計(全國優(yōu)秀課)

ww課題：18.1.1勾股定理（1）教材：（人教版）義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)八年級（下）教師年級初二授課時間科目數(shù)學(xué)班級初二（1）班課題18.1.1勾股定理（1）教學(xué)目標(biāo)理解勾股定理的兩種證明方法一一畢達哥拉斯證法和趙爽的弦圖證法；應(yīng)用勾股定理解決簡單的直角三角形三邊計算問題；通過對直角三角形三邊關(guān)系的猜想驗證，經(jīng)歷從特殊到一般的探索過程，發(fā)展合情推理，體會數(shù)形結(jié)合的思想；在勾股定理的探索過程中感受數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵，增進數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心.教學(xué)重點探究并理解勾股定理.教學(xué)難點探索勾股定理的驗證方法.教學(xué)方法啟發(fā)式與探究式相結(jié)合.教學(xué)手段多媒體投影、計算機輔助教學(xué)，自制教具實驗輔助.教學(xué)過程設(shè)計教師活動學(xué)生活動設(shè)計意圖舊知新問，引出新課提問：你們對直角三角形都有哪些了解？預(yù)案：學(xué)生易答：直角三角形中有一個直角，兩個銳角互余；三角形兩邊之和大于第三邊等.預(yù)設(shè)問題：直角三角形的三邊長之間滿足怎樣的等量關(guān)系呢？為什么？你能直接從圖形中看出來嗎？從而引出今天我們將共同探討問題一一直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系.猜想探索，形成方法在2500年前，古希臘著名的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家畢達哥拉斯就已經(jīng)對此問題有了明確的結(jié)論并給與了證明，相傳他對三角形三邊關(guān)系的發(fā)現(xiàn)竟然是從地磚中得到的，現(xiàn)在就讓我們一同回到2500年前，體驗下畢達哥拉斯的經(jīng)歷：【活動1】“地磚里的秘密？”地磚中隱含著直角三角形三邊關(guān)系的什么“秘密”學(xué)生交流對直角三角形中的角、邊關(guān)系的認(rèn)識.【活動1】在三個問題的引領(lǐng)激發(fā)學(xué)生探索勾股定理的興趣.下，學(xué)生逐漸發(fā)現(xiàn)三個正方形面積間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形的三邊關(guān)系，進而提出一般直角三角形三邊關(guān)系的猜想.【活動下，學(xué)生逐漸發(fā)現(xiàn)三個正方形面積間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形的三邊關(guān)系，進而提出一般直角三角形三邊關(guān)系的猜想.【活動2】學(xué)生小組合作，在網(wǎng)格紙上畫圖探究正方形R的面積，小組代表交流方法.通過【活動1】對地磚中圖形的探索培養(yǎng)學(xué)生能夠用數(shù)學(xué)的眼光認(rèn)識生活中現(xiàn)象的能力；將面積關(guān)系轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形三邊長之間的數(shù)量關(guān)系，讓學(xué)生體驗“面積法”在幾何證明中的作用為探索一般直角三角形三邊關(guān)系提供了方法線索.呢？(圖1)預(yù)設(shè)問題：問題1:地磚是由全等的直角三角形拼接而成的，每個直角三角形都相鄰三個正方形，這三個正方形面積間有怎樣的關(guān)系？你是怎樣看出來的？問題2：如果用直角三角形三邊長來分別表示這三個正方形的面積，又將反映三邊怎樣的數(shù)量關(guān)系？問題3：等腰直角三角形滿足上述關(guān)系，那么一般直角三角形呢？【發(fā)現(xiàn)】S+S二S藍綠黃n等腰直角三角形直角邊長的平方和等于斜邊的平方.【活動2】“勾三，股四，弦?guī)缀?？”鼓勵學(xué)生利用畢達哥拉斯的面積方法在圖2的網(wǎng)格圖中嘗試探索“勾三股四的直角三角形的弦長”.(圖2)預(yù)設(shè)問題：正方形P、Q的面積為什么易求？正方形R的面積不易求的原因是什么？怎樣將正方形R的面積轉(zhuǎn)化為幾個“格點圖形”的面積和或差來計算呢？預(yù)案:【活動2】對“勾三，股四，弦——7.■■//BRBR0■P-P/CTACAQQ

五”這種較一般的直角三角形/■%??■/■.■-//■B■■■RBRJ■■■五”這種較一般的直角三角形/■%??■/■.■-//■B■■■RBRJ■■■/PP，-CACAQ“補”“割”“平移”“旋轉(zhuǎn)”預(yù)案：已知：RtAABC,ZC二90。,BC二2,AC二3.求AB的長.【板書】猜想:直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.【活動3】我們一起來驗證！已知：RtAABC,ZC二90。,BC二a,AC=b,AB=c.求證：a2+b2=c2.預(yù)案1：【活動3】學(xué)生動手操作，在感受圖形變化的同時，用“數(shù)”描述圖形的面積，進而數(shù)形結(jié)合地得出直角三角形的三邊關(guān)系.小組代表在黑板上用模具展示拼圖結(jié)果，師生共同應(yīng)用代數(shù)法轉(zhuǎn)化等式，證明猜想.的三邊關(guān)系進行探究，讓學(xué)生進一步體驗畢達哥拉斯的面積法，也再次為猜想提供有力證據(jù)；不僅如此，正方形R面積的計算方法已經(jīng)體現(xiàn)“割”和“補啲思想，這為下一步應(yīng)用面積證法進行一般化證明做好鋪墊.c2可代表邊長為c的正方形的面積，那么就存在一個邊長為【活動3】學(xué)生動手操作，在感受圖形變化的同時，用“數(shù)”描述圖形的面積，進而數(shù)形結(jié)合地得出直角三角形的三邊關(guān)系.小組代表在黑板上用模具展示拼圖結(jié)果，師生共同應(yīng)用代數(shù)法轉(zhuǎn)化等式，證明猜想.的三邊關(guān)系進行探究，讓學(xué)生進一步體驗畢達哥拉斯的面積法，也再次為猜想提供有力證據(jù)；不僅如此，正方形R面積的計算方法已經(jīng)體現(xiàn)“割”和“補啲思想，這為下一步應(yīng)用面積證法進行一般化證明做好鋪墊.a2+b2=c2?試動手拼一拼，證一證.證法1：將四個全等的直角三角形圍成如圖所示的正方形=(a—b\+4x丄ab.2證法2：將四個全等的直角三角形圍成如圖所示的正方形*.*(a+b\=c2+4x—ab.2?°?a2+b2=c2預(yù)案2：沿用面積法的思路：a2可代表邊長為a的正方形的面積；b2可代表邊長為b的正方形的面積；C2可代表邊長為C的正方形的面積；要證明a2+b2=c2，則需證明邊長為a的正方形和邊長為b的正方形通過“割補拼接”后得到邊長為c的正方形，請嘗試實驗驗證.方法如圖所示：【歷史介紹】預(yù)案1中的方法1是我國漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的方法，人們稱之為“趙爽弦圖”，2002年北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會就將“趙爽弦圖”定為會標(biāo)；預(yù)案2中的方法是我國古代的劉徽在他的《九章算術(shù)》中應(yīng)用面積“出入相補”的原理給出的“青朱出入圖”法.公元1世紀(jì)中國一部天文學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載的商高和周公的對話：周公問商高“我聽說您對數(shù)學(xué)非常精通，我想請教一下：天沒有梯子可以上去，【活動3】通過使用直角三角形模具完成拼圖過程，讓學(xué)生體會應(yīng)用圖形“割補拼接”面積不變的特點來驗證直角三角形三邊數(shù)量關(guān)系的猜想，培學(xué)生歸納總結(jié)直角三角形三邊關(guān)系，結(jié)合圖形語言，從文字語言和符號語言兩方面描述勾股定理.養(yǎng)學(xué)生由數(shù)到形再由形到數(shù)的數(shù)學(xué)思想以及轉(zhuǎn)化的能力?在實驗拼圖探究的過程中發(fā)展學(xué)生的空間想象力和合情推理能力學(xué)生歸納總結(jié)直角三角形三邊關(guān)系，結(jié)合圖形語言，從文字語言和符號語言兩方面描述勾股定理.養(yǎng)學(xué)生由數(shù)到形再由形到數(shù)的數(shù)學(xué)思想以及轉(zhuǎn)化的能力?在實驗拼圖探究的過程中發(fā)展學(xué)生的空間想象力和合情推理能力.地也沒法用尺子去一段一段丈量，那么怎樣才能得到關(guān)于天地的數(shù)據(jù)呢？”商高回答說：“數(shù)的產(chǎn)生來源于對方和圓這些形體的認(rèn)識.其中有一條原理：當(dāng)直角三角形'矩'得到的一條直角邊'勾'等于3,另一條直角邊'股'等于4的時候，那么它的斜邊'弦'就必定是5.”【階段小結(jié)】以上的兩種方法都不約而同地通過割補拼接的方法把直角三角形三邊關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為正方形面積問題得以解決的。其中的依據(jù)是圖形經(jīng)過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變?這種原理在以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也會應(yīng)用到.三.歸納總結(jié)，描述定理【文字語言】直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.【符號語言】RtAABC中,?/ZC二90，BC=a,AC=b,AB=c.:a2+b2=c2.【圖形語言】四.鞏固練習(xí)，適當(dāng)拓展例如圖，要借助一架云梯登上24米高的建筑物頂部，為了安全需要，需使梯子底端離墻7m.這個梯子至少有多長？如果梯子的頂端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向上也滑動了4米嗎？為什么？學(xué)生分析已知條件，確定直角位置及已知邊的位置，嘗試應(yīng)用勾股定理在直角三角形已知兩邊時求第三邊.教師把握時機向?qū)W生講自我檢測:學(xué)生獨立完成自我述勾股定理的55（基礎(chǔ)題）在下列圖形中標(biāo)出直角三角形中未知邊的長檢測題，并交流解題方法.（提高題）選擇：（1）"趙爽弦圖"是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖），若直角三角形的兩條直角邊的長分別是2和1,則小正方形（陰影區(qū)域）的面積與大正方形的面積比為（41B.-C.-D.3455（2）如圖，直線l上有三個正方形a、b、c，若a、c的面積分別為5和11,A.4B.6五.課堂小結(jié),布置作業(yè)小結(jié)提示：（1）勾股定理的使用條件是什么？（2）直角三角形三邊有什么樣的數(shù)量關(guān)系？（3）勾股定理的探索和應(yīng)用過程中你用到了哪些數(shù)學(xué)方法？領(lǐng)悟到了什么樣的數(shù)學(xué)思想？作業(yè)布置：（基礎(chǔ)必做題）1.求出下列直角三角形中未知邊的長度：學(xué)生在三個問題的引領(lǐng)下回顧并歸納本節(jié)