人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)教案集

第一十六章二次根式

教材分析：

1.本單元教學(xué)的主要內(nèi)容：

二次根式的概念；二次根式的加減：二次根式的乘除；最簡(jiǎn)二次根式.

學(xué)情分析：

新學(xué)期，根據(jù)八年級(jí)的實(shí)際，首先是先摸清底子，穩(wěn)住學(xué)生，然后根據(jù)學(xué)生學(xué)情分布情況，

重新劃分學(xué)習(xí)小組，對(duì)新轉(zhuǎn)班過(guò)來(lái)的學(xué)生，做好各方面的工作，使他們迅速適應(yīng)新環(huán)境，然

后，盡快幫他們找到新的學(xué)習(xí)榜樣和新學(xué)伴，幫他們樹(shù)立競(jìng)爭(zhēng)意識(shí)和發(fā)展意識(shí)以及創(chuàng)新意識(shí),

鼓勵(lì)大家在新學(xué)期，獲得更大的進(jìn)步，取得更大的發(fā)展。

教學(xué)目標(biāo)：

1.知識(shí)與技能

(1)理解二次根式的概念.

(2)理解右(a>0)是一個(gè)非負(fù)數(shù)，(&)2=a(a)0),J/=a(a20).

(3)掌握G,4b=4ab(a20,b20),4ab~4a,>Jb；

JaaaJa

(a>0,b>0),,—(a,0,b>0).

(4)了解最簡(jiǎn)二次根式的概念并靈活運(yùn)用它們對(duì)二次根式進(jìn)行加減.

2.過(guò)程與方法

(1)先提出問(wèn)題，讓學(xué)生探討、分析問(wèn)題，師生共同歸納，得出概念.再對(duì)概念的內(nèi)

涵進(jìn)行分析，得出兒個(gè)重要結(jié)論，并運(yùn)用這些重要結(jié)論進(jìn)行二次根式的計(jì)算和化簡(jiǎn).

(2)用具體數(shù)據(jù)探究規(guī)律，用不完全歸納法得出二次根式的乘(除)法規(guī)定，并運(yùn)用

規(guī)定進(jìn)行計(jì)算.

(3)利用逆向思維，得出二次根式的乘(除)法規(guī)定的逆向等式并運(yùn)用它進(jìn)行化簡(jiǎn).

(4)通過(guò)分析前面的計(jì)算和化簡(jiǎn)結(jié)果，抓住它們的共同特點(diǎn)，給出最簡(jiǎn)二次根式的概

念.利用最簡(jiǎn)二次根式的概念，來(lái)對(duì)相同的二次根式進(jìn)行合并，達(dá)到對(duì)二次根式進(jìn)行計(jì)算和

化簡(jiǎn)的目的.

3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀

通過(guò)本單元的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生：利用規(guī)定準(zhǔn)確計(jì)算和化簡(jiǎn)的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神，經(jīng)過(guò)探索二

次根式的重要結(jié)論，二次根式的乘除規(guī)定，發(fā)展學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力.

教學(xué)重點(diǎn)

1.二次根式右(a》0)的內(nèi)涵.4a(a20)是一個(gè)非負(fù)數(shù)；(C),=a(a'O)；

y/a^=a(a20)及其運(yùn)用.

2.二次根式乘除法的規(guī)定及其運(yùn)用.

3.最簡(jiǎn)二次根式的概念.

4.二次根式的加減運(yùn)算.

教學(xué)難點(diǎn)

1.對(duì)&(a'O)是一個(gè)非負(fù)數(shù)的理解；對(duì)等式(、萬(wàn))2=a(a20)及J/=a(a》

0）的理解及應(yīng)用.

2.二次根式的乘法、除法的條件限制.

3.利用最簡(jiǎn)二次根式的概念把一個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式.

教學(xué)關(guān)鍵

1.潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生從具體到一般的推理能力，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn).

2.培養(yǎng)學(xué)生利用二次根式的規(guī)定和重要結(jié)論進(jìn)行準(zhǔn)確計(jì)算的能力，培養(yǎng)學(xué)生一絲不茍

的科學(xué)精神.

單元課時(shí)劃分

本單元教學(xué)時(shí)間約需11課時(shí)，具體分配如下：

16.1二次根式3課時(shí)

16.2二次根式的乘法3課時(shí)

16.3二次根式的加減3課時(shí)

教學(xué)活動(dòng)、習(xí)題課、小結(jié)2課時(shí)

16.1二次根式

教學(xué)內(nèi)容

二次根式的概念及其運(yùn)用

教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能目標(biāo)：理解二次根式的概念，并利用〃'（a，0）的意義解答具體題目.

過(guò)程與方法目標(biāo)：提出問(wèn)題，根據(jù)問(wèn)題給出概念，應(yīng)用概念解決實(shí)際問(wèn)題.

情感與價(jià)值目標(biāo)：通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生：利用規(guī)定準(zhǔn)確計(jì)算和化簡(jiǎn)的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神，

發(fā)展學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力.

教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：形如右（a20）的式子叫做二次根式的概念；

2.難點(diǎn)與關(guān)鍵：利用“五（a20）”解決具體問(wèn)題.

教法：1、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法：通過(guò)教師精心設(shè)計(jì)的問(wèn)題鏈，使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，感悟新知，建

立分式的模型，引導(dǎo)學(xué)生觀察、類比、參與問(wèn)題討論，使感性認(rèn)識(shí)上升為理性認(rèn)識(shí)，充分體

現(xiàn)了教師主導(dǎo)和學(xué)生主體的作用，對(duì)實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)起了重要的作用；2、講練結(jié)合法：在

例題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生閱讀，與平方根進(jìn)行類比，獲得解決問(wèn)題的方法后配以精講，并進(jìn)行

分層練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的閱讀習(xí)慣和規(guī)范的解題格式。

學(xué)法：1、類比的方法通過(guò)觀察、類比，使學(xué)生感悟二次根式的模型，形成有效的學(xué)習(xí)策

略。

2、閱讀的方法讓學(xué)生閱讀教材及材料，體驗(yàn)一定的閱讀方法，提高閱讀能力。

3、分組討論法將自己的意見(jiàn)在小組內(nèi)交換，達(dá)到取長(zhǎng)補(bǔ)短，體驗(yàn)學(xué)習(xí)活動(dòng)中的交流

與合作。

4、練習(xí)法采用不同的練習(xí)法，鞏固所學(xué)的知識(shí)；利用教材進(jìn)行自檢，小組內(nèi)進(jìn)行他

檢，提高學(xué)生的素質(zhì)。

媒體設(shè)計(jì)：PPT課件，展臺(tái)。

課時(shí)安排：1課時(shí)。

教學(xué)過(guò)程

一、復(fù)習(xí)引入

（學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成下列三個(gè)問(wèn)題：

問(wèn)題1：已知反比例函數(shù)y=32,那么它的圖象在第一象限橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)的坐標(biāo)

x

是?

問(wèn)題2：如圖，在直角三角形ABC中,AC=3,BC=1,ZC=90°,那么AB邊的長(zhǎng)是.

A

老師點(diǎn)評(píng)：

問(wèn)題1：橫、縱坐標(biāo)相等，即*=丫，所以X2=3.因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以x=0,所以

所求點(diǎn)的坐標(biāo)（百，也）.

問(wèn)題2：由勾股定理得AB=JJU

二、探索新知

很明顯百、麗，都是一些正數(shù)的算術(shù)平方根.像這樣一些正數(shù)的算術(shù)平方根的式子,

我們就把它稱二次根式.因此，一般地，我們把形如右（a20）的式子叫做二次根式,

稱為二次根號(hào).

議一議：

1.T有算術(shù)平方根嗎？

2.0的算術(shù)平方根是多少？

3.當(dāng)a<0,&有意義嗎？

例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：丘、6、>、G（x〉0）、J5、

X

痣、-0、一!—、Jx+y（x20,yNO）.

x+y

分析：二次根式應(yīng)滿足兩個(gè)條件：第一，有二次根號(hào)“?”：第二，被開(kāi)方數(shù)是正數(shù)

或0.

解：二次根式有：6、4x（x>0）、瓜、-0、y/x+y（x20,y20）；不是二次

根式的有：我、痣、」一

xx+y

例2.當(dāng)x是多少時(shí)，，3x-l在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義?

分析：由二次根式的定義可知，被開(kāi)方數(shù)一定要大于或等于0,所以3x-l>0,J不

才能有意義.

解：由3xT20,得：x>—

3

當(dāng)X2!時(shí)，J3x-1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.

3

三、應(yīng)用拓展

例3.當(dāng)x是多少時(shí)，j2x+3+」一在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義?

X4-1

分析：要使j2x+3+」一在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,必須同時(shí)滿足J2x+3中的20和」一

x+lX+1

的x+l#0.

2x+3>0

解：依題意，得

x+1w0

3

由①得：X^--

2

由②得：x#-l

31

當(dāng)X2-—且xW-l時(shí)，j2x+3+——在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.

2x+1

例4⑴已知y=JT^+JT^+5,求土的值.（答案⑵

y

⑵若而1+屈工=0,求aZO'b?004的值.（答案：,）

四、歸納小結(jié)

本節(jié)課要掌握：

1.形如&（a20）的式子叫做二次根式，“、廠”稱為二次根號(hào).

2.要使二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須滿足被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù).

五、布置作業(yè)

一、選擇題

1.下列式子中，是二次根式的是（）

A.-V?B.折C.4xD.x

2.下列式子中，不是二次根式的是（）

A.\/4B.J16C.A/8D.—

X

3.已知一個(gè)正方形的面積是5,那么它的邊長(zhǎng)是（）

A.5B.V5C.|D.以上皆不對(duì)

二、填空題

1.形如的式子叫做二次根式.

2.面積為a的正方形的邊長(zhǎng)為.

3.負(fù)數(shù)平方根.

三、綜合提高題

1.某工廠要制作一批體積為In?的產(chǎn)品包裝盒，其高為0.2m,按設(shè)計(jì)需要，底面應(yīng)做

成正方形，試問(wèn)底面邊長(zhǎng)應(yīng)是多少？

W^+x2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？

2.當(dāng)x是多少時(shí),

X

3.若J3-X+4-3有意義,則4^=—

4.使式子J-（x-5產(chǎn)有意義的未知數(shù)x有（）個(gè).

A.0B.1C.2I）.無(wú)數(shù)

5.已知a、b為實(shí)數(shù)，且V^?+2jl0-2a=b+4,求a、b的值.

答案：

一、1.A2.D3.B二、1.4a（a》0）2.03.沒(méi)有

三、1.設(shè)底面邊長(zhǎng)為x,則0.2x?=l,解答：x=石.2.依題意得：12'+3'°」X2一萬(wàn)

"0八

...當(dāng)X>--且xWO時(shí)，■光+3+x2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)沒(méi)有意義.

2x

3.—4.B5.a=5,b=-4

3

板書(shū)設(shè)計(jì)：

§16.1.1.二次根式（1）

情境引入例2學(xué)生板演

二次根式的定義例3

例1例4小結(jié)

16.1二次根式（2）

教學(xué)內(nèi)容

1.y/a（a>0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)；

2.（6）%%20）.

教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能目標(biāo)：理解G（a20）是一個(gè)非負(fù)數(shù)和（G）2=a（a20）,并利用它們進(jìn)行

計(jì)算和化簡(jiǎn).

過(guò)程與方法目標(biāo)：過(guò)復(fù)習(xí)二次根式的概念，用邏輯推理的方法推出血（a20）是一個(gè)非負(fù)

數(shù)，用具體數(shù)據(jù)結(jié)合算術(shù)平方根的意義導(dǎo)出（G）-a（a）0）；最后運(yùn)用結(jié)論嚴(yán)謹(jǐn)解題.

情感與價(jià)值目標(biāo)：通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生：利用規(guī)定準(zhǔn)確計(jì)算和化簡(jiǎn)的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神，

發(fā)展學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力.

教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：W（a20）是一個(gè)非負(fù)數(shù)；（、份）-a（a20）及其運(yùn)用.

2.難點(diǎn)、關(guān)鍵：用分類思想的方法導(dǎo)出夜（a20）是一個(gè)非負(fù)數(shù)；用探究的方法導(dǎo)

出（4a）%（a》0）.

教法：1、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法：通過(guò)教師精心設(shè)計(jì)的問(wèn)題鏈，使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，感悟新知，建

立分式的模型，引導(dǎo)學(xué)生觀察、類比、參與問(wèn)題討論，使感性認(rèn)識(shí)上升為理性認(rèn)識(shí)，充分體

現(xiàn)了教師主導(dǎo)和學(xué)生主體的作用，對(duì)實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)起了重要的作用：2、講練結(jié)合法：在

例題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生閱讀、類比，獲得解決問(wèn)題的方法后配以精講，并進(jìn)行分層練習(xí)，培

養(yǎng)學(xué)生的閱讀習(xí)慣和規(guī)范的解題格式。

學(xué)法：1、類比的方法通過(guò)觀察、類比，使學(xué)生理解人（a>0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)和（右）

z=a（a>0）,形成有效的學(xué)習(xí)策略。

2、閱讀的方法讓學(xué)生閱讀教材及材料-，體驗(yàn)一定的閱讀方法，提高閱讀能力。

3、分組討論法將自己的意見(jiàn)在小組內(nèi)交換，達(dá)到取長(zhǎng)補(bǔ)短，體驗(yàn)學(xué)習(xí)活動(dòng)中的交流

與合作。

4、練習(xí)法采用不同的練習(xí)法，鞏固所學(xué)的知識(shí)；利用教材進(jìn)行自檢，小組內(nèi)進(jìn)行他

檢，提高學(xué)生的素質(zhì)。

媒體設(shè)計(jì)：PPT課件，展臺(tái)。

課時(shí)安排：1課時(shí)。

教學(xué)過(guò)程

一、復(fù)習(xí)引入

（學(xué)生活動(dòng)）口答

1.什么叫二次根式？

2.當(dāng)a20時(shí)，叫什么？當(dāng)a<0時(shí)，&有意義嗎？

老師點(diǎn)評(píng)（略）.

二、探究新知

議一議：g（a>0）是一個(gè)什么數(shù)呢？

老師點(diǎn)評(píng)：

&（a-0）是一個(gè)非負(fù)數(shù).

做一做：根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空：

（74）2=_；（V2）2=__；（>/9）2=__；（V3）2=

（即=一；《J——；IC）'——?

老師點(diǎn)評(píng)：”是4的算術(shù)平方根，根據(jù)算術(shù)平方根的意義，、〃是一個(gè)平方等于4的

非負(fù)數(shù)，因此有（）=4.

同理可得：（V2）、2,（?。㎎9,（6）2=3,（J-）（J-）2=-,（VO）

V33\22

2=0,所以

（\[a）2=a（a20）

例1、計(jì)算

1.（^1）22.（3A/5）23.>24.（書(shū)）？

分析：我們可以直接利用（G）Ja（a20）的結(jié)論解題.

解：(J-)2,(375)2=32?(V5)2=32-5=45,

V22

（也八包一

2224

三、鞏固練習(xí)

計(jì)算下列各式的值：

（加）2（舟呼）2心,

(3⑹2_(5同

四、應(yīng)用拓展

例2、計(jì)算

1.(Vx+T)2(x^o)2.(行)23.(yla2+2a+\)2

4.(V4X2-12X+9)2

分析：(1)因?yàn)閤20,所以x+l〉0；(2)a>O；(3)a2+2a+l=(a+1)》0；

(4)4x-12x+9=(2x)-2?2x?3+3=(2x-3)2>0.

所以上面的4題都可以運(yùn)用(J3)-a(a20)的重要結(jié)論解題.

解：(1)因?yàn)閤20,所以x+l〉0

(VTH)2=x+l

(2)Va^O,(Vo7)2=a2

(3)Va2+2a+l=(a+1)2

XV(a+1),O,.-.a2+2a+l>0,AVa2+2a+l=a2+2a+l

(4)V4x-12x+9=(2x)-2?2x-3+32=(2x-3)2

又■(2x-3)z>0

.,.4x-12x+9^0,Z.(V4X2-12X+9)=4x-12x+9

例3、在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式：

(1)x-3(2)x-4(3)2x-3

分析：(略)

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：

1.4a(a20)是一個(gè)非負(fù)數(shù)；

2.(4a)Ja(a20);反之:a=(4a)2(a》0).

六、布置作業(yè)

一、選擇題

1.下列各式中后、扃、“2一1、揚(yáng)+丁、7?12+20,J-144,二次根式

的個(gè)數(shù)是().

A.4B.3C.2D.1

2.數(shù)a沒(méi)有算術(shù)平方根，則a的取值范圍是().

A.a>0B.aNOC.a<0D.a=0

二、填空題

1.(-V3)2-.

2.已知而1有意義，那么是一個(gè)數(shù).

三、綜合提高題

1.計(jì)算

2

(1)(V9)(2)-(6)2⑶(，而)2(4)(-3\3)

2

(5)(26+3后)(26-3揚(yáng)

2.把下列非負(fù)數(shù)寫(xiě)成個(gè)數(shù)的平方的形式：

(1)5(2)3.4(3)-(4)x(x20)

6

3.已知yjx-y+\+-x/x-3=0,求x'的值.

4.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式：

(1)x-2(2)x-93x-5

答案：一、1.B2.C；二、1.32.非負(fù)數(shù)；三、1.(1)(79)J9(2)-

I?3(22

(V3)=-3(3)(-V6)2=-X6=-；(4)(-3.-)2=9X-=6(5)-6

242V33

2.(1)5=(6)？；(2)3.4=(^4)2；(3)-=(J-)2；(4)x=(4)

6v6

(x20)

-

xy+1=0x=3.9/—/—

3.<-<xy=3=81；4.(1)x-2=(X+J2)(x-j2)

九一3=0[y=4

(2)x"-9=(X2+3)(X2-3)=(X2+3)(X+6)(x-6)；⑶略

板書(shū)設(shè)計(jì)：

§16.1.二次根式(2)

情境引入例1學(xué)生板演

1.y/a(a>0)是一個(gè)非負(fù)數(shù)；例2

2.(Va)2=a(a20);

反之：a=(>[a)2(a20).例3小結(jié)

16.1二次根式（3）

教學(xué)內(nèi)容：、岳=a（a》0）

教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能目標(biāo)：理解J7=a（a）0）并利用它進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn).

過(guò)程與方法目標(biāo)：通過(guò)具體數(shù)據(jù)的解答，探究J^=a（a20）,并利用這個(gè)結(jié)論解決具體

問(wèn)題.

情感與價(jià)值目標(biāo)：通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生：利用規(guī)定準(zhǔn)確計(jì)算和化筒的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神，

發(fā)展學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力.

教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：—a（a》0）.

2.難點(diǎn)：探究結(jié)論.

3.關(guān)鍵：講清a20時(shí)，"=&才成立.

教法：1、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法：通過(guò)教師精心設(shè)計(jì)的問(wèn)題鏈，使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，感悟新知，建

立分式的模型，引導(dǎo)學(xué)生觀察、類比、參與問(wèn)題討論，使感性認(rèn)識(shí)上升為理性認(rèn)識(shí)，充分體

現(xiàn)了教師主導(dǎo)和學(xué)生主體的作用，對(duì)實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)起了重要的作用：2、講練結(jié)合法：在

例題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生閱讀類比，獲得解決問(wèn)題的方法后配以精講，并進(jìn)行分層練習(xí)，培養(yǎng)

學(xué)生的閱讀習(xí)慣和規(guī)范的解題格式

學(xué)法：1、類比的方法通過(guò)觀察、類比，使學(xué)生感悟值=2（a》0）,形成有效的學(xué)習(xí)策

略。

2、閱讀的方法讓學(xué)生閱讀教材及材.料，體驗(yàn)一定的閱讀方法，提高閱讀能力。

3、分組討論法將自己的意見(jiàn)在小組內(nèi)交換，達(dá)到取長(zhǎng)補(bǔ)短，體驗(yàn)學(xué)習(xí)活動(dòng)中的交流

與合作。

4、練習(xí)法采用不同的練習(xí)法，鞏固所學(xué)的知識(shí)；利用教材進(jìn)行自檢，小組內(nèi)進(jìn)行他

檢，提高學(xué)生的素質(zhì)。

媒體設(shè)計(jì)：PPT課件，展臺(tái)。

課時(shí)安排：1課時(shí)。

教學(xué)過(guò)程:一、復(fù)習(xí)引入

1.形如。（a20）的式子叫做二次根式；

2.G（a>0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)；

3.）2=a（a20）.

那么，我們猜想當(dāng)a20時(shí)，J/ua是否也成立呢？下面我們就來(lái)探究這個(gè)問(wèn)題.

二、探究新知

填空：

=______；A/O.OI2=______；J(.?

(老師點(diǎn)評(píng))：根據(jù)算術(shù)平方根的意義，我們可以得到：

應(yīng)2Vo.oi2=0.oi；J(.)j,J(|y；再=0；J(|o.

因此，一般地：J/=a(a20)

例1、化簡(jiǎn)

(1)V9(2)J(-4>(3)V25(4)J(-3>

分析:因?yàn)?D9=-32,(2)(-4)%,(3)25=52,

(4)(-3)J*所以都可運(yùn)用"=a(a>0)去化簡(jiǎn).

解：(1)囪=正=3(2)7(-4)2=7?=4

(3)岳=疔=5(4)J(-3)2=疔=3

三、應(yīng)用拓展

例2、填空：當(dāng)a20時(shí)，4^=.當(dāng)a<0時(shí)，J/=,并根據(jù)這一性

質(zhì)回答下列問(wèn)題.

(1)若J/=a,則a可以是什么數(shù)？

(2)若J/=-a,則a可以是什么數(shù)？

(3)V??>a,則a可以是什么數(shù)？

分析：:J/=a(a20),.?.要填第一個(gè)空格可以根據(jù)這個(gè)結(jié)論，第二空格就不行，應(yīng)

變形，使“()2”中的數(shù)是正數(shù)，因?yàn)椋?dāng)aWO時(shí)，J(-a)?,那么-a20.

(1)根據(jù)結(jié)論求條件：(2)根據(jù)第二個(gè)填空的分析，逆向思想；(3)根據(jù)(1)、(2)可知J/=

Ia|,而IaI要大于a,只有什么時(shí)候才能保證呢?a<0.

解：(1)因?yàn)樾?@,所以a》0；

(2)因?yàn)镴/=-a,所以a<0；

(3)因?yàn)楫?dāng)a，0時(shí)J/=a,要使J/>a,即使a>a所以a不存在；當(dāng)a<0時(shí)，=~a,

要使J/>a,即使-a〉a,a<0綜上,a<0

例3、當(dāng)x>2,化簡(jiǎn)J(x_2>_J(1_2X)2.

分析：(略)

四、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：C=a(a》0)及其運(yùn)用，同時(shí)理解當(dāng)a<0時(shí)，J/=-a的應(yīng)用拓

展.

五、布置作業(yè)

一、選擇題

33

2.a20時(shí)，行、J(-4比較它們的結(jié)果，下面四個(gè)選項(xiàng)中正確的是().

A.必=4—a]》一籽B.必>J(F)2>一在

C.行<<_"D.一值>"=)(_4)2

二、填空題

1.-j0.0004=_

2.若疝而是一個(gè)正整數(shù)，則正整數(shù)m的最小值是__

三、綜合提高題

1.先化簡(jiǎn)再求值：當(dāng)a=9時(shí)，求a+Jl-2”+力的值,甲乙兩人的解答如下：

甲的解答為：原式=a+J(l-4=a+(1-a)=1；

乙的解答為：原式=a+J(]-a)2=a+(a-l)=2aT=17.

兩種解答中，的解答是錯(cuò)誤的，錯(cuò)誤的原因是.

2.若|1995-a|+Ja-2000=a,求a-1995?的值.

(提示：先由a-200020,判斷1995-a的值是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，去掉絕對(duì)值)

3.若-3WxW2時(shí)，試化簡(jiǎn)|x-2|+J(x+3>+&-10x+25。

答案:一、1.C2.A；二、1.-0.022.5；三、1.甲甲沒(méi)有先判定1-a是正數(shù)還是

負(fù)數(shù)

2.由已知得a-2000\0,a>2000

所以a-1995+yja-2000=a,Ja—2000=1995,a-2000=1995',

所以a-19952=2000.

3.10-x

板書(shū)設(shè)計(jì)：

§16.1.二次根式(3)

情境引入例2學(xué)生板演

=a(a^O).例3

例1練習(xí)小結(jié)

教學(xué)反思:

16.2二次根式的乘除(1)

教學(xué)內(nèi)容：4a,\[b=\[ab(a>0,b>0),反之=,Jb(a>0,b>0)及其

運(yùn)用.

教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能目標(biāo)：理解右,\[b=\[ab(a>0,b20),\[ab-4a?4b(a20,b

20),并利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn)

過(guò)程與方法目標(biāo)：由具體數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導(dǎo)出。?6=疝(a20,b20)并運(yùn)

用它進(jìn)行計(jì)算；利用逆向思維，得出疝=6?4b(a20,b20)并運(yùn)用它進(jìn)行解題和

化簡(jiǎn).

情感與價(jià)值目標(biāo)：通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生：利用規(guī)定準(zhǔn)確計(jì)算和化簡(jiǎn)的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精

神，發(fā)展學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力.

教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵

重點(diǎn)：yfa,y/b=4ab(a>0,b20),4ab=>Ja,>Jh(a20,b20)及它們的運(yùn)

用.

難點(diǎn)：發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導(dǎo)出。,-Jb—\[ab（a》0,b20）.

關(guān)鍵：要講清4ab(a<0,b<0)=夜振，如J(—2)x(—3)=J-(-2)x-(-3)或

7（-2）x（-3）=VM=V2X百.

教法：1、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法：通過(guò)教師精心設(shè)計(jì)的問(wèn)題鏈，使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，感悟新知，建

立分式的模型，引導(dǎo)學(xué)生觀察、類比、參與問(wèn)題討論，使感性認(rèn)識(shí)上升為理性認(rèn)識(shí)，充分體

現(xiàn)了教師主導(dǎo)和學(xué)生主體的作用，對(duì)實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)起了重要的作用；2、講練結(jié)合法：在

例題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生閱讀，與算術(shù)平方根的乘法進(jìn)行類比，獲得解決問(wèn)題的方法后配以精

講，并進(jìn)行分層練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的閱讀習(xí)慣和規(guī)范的解題格式。

學(xué)法：1、類比的方法通過(guò)觀察、類比，使學(xué)生感悟二次根式的乘法法則，形成有效的學(xué)

習(xí)策略。

2、閱讀的方法讓學(xué)生閱讀教材及材料，體驗(yàn)一定的閱讀方法，提高閱讀能力。

3、分組討論法將自己的意見(jiàn)在小組內(nèi)交換，達(dá)到取長(zhǎng)補(bǔ)短，體驗(yàn)學(xué)習(xí)活動(dòng)中的交流

與合作。

4、練習(xí)法采用不同的練習(xí)法，鞏固所學(xué)的知識(shí)；利用教材進(jìn)行自檢，小組內(nèi)進(jìn)行他

檢，提高學(xué)生的素質(zhì)。

媒體設(shè)計(jì)：PPT課件，展臺(tái)。

課時(shí)安排：1課時(shí)。

教學(xué)過(guò)程

一、復(fù)習(xí)引入

（學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)完成下列各題.

1.填空

(1)74x79=______,74^9=；

(2)V16X^25=,J16x25=.

(3)7100x736=，7100x36=.

參考上面的結(jié)果，用“>、<或=”填空.

V4XV974^9,V16XV25V16x25,V100X

V36V100x36

2.利用計(jì)算器計(jì)算填空

(1)72xV36，(2)V2xV5回,

(3)75x76V30,(4)V4xV5而，

（5）幣xVioV70.

老師點(diǎn)評(píng)（糾正學(xué)生練習(xí)中的錯(cuò)誤）

二、探索新知

（1）被開(kāi)方數(shù)都是正數(shù)；

（2）兩個(gè)二次根式的乘除等于一個(gè)二次根式，并且把這兩個(gè)二次根式中的數(shù)相乘，作

為等號(hào)另一邊二次根式中的被開(kāi)方數(shù).

一般地，對(duì)二次根式的乘法規(guī)定為:y/a,4b=4ab.(a，0,b20)

反過(guò)來(lái):=G?&(a20,b，0)

例1.計(jì)算

（1）VsxV7（2）2(3)V9XV27(4)

分析：直接利用G-y/b=y[ab（a）0,b20）計(jì)算即可.

解：⑴V5X>/7=>/35

；x9=6

(2)

M義亞=19x27=J9?x3=96

；x6=y/3

(4)

例2化簡(jiǎn)

(1)J9xl6(2)716x81(3),81x100

(4)MV(5)V54

分析：利用瘋=6-4h（aNO,b，0）直接化簡(jiǎn)即可.

解：(1)V9xl6=V9XV16=3X4=12

(2)716x81=716xVH=4X9=36

(3)781x100=V81XV100=9X10=90

（4）收后=用X后手=由XEX后=3xy

(5)V54=—9x6=V?XV6=3V6

三、鞏固練習(xí)

(i)計(jì)算：①Vi6x瓜②3V6x2V10③,J~ay

(2)化簡(jiǎn)：而；在；V24;V54;Ji2a2b2

四、應(yīng)用拓展

例3.判斷下列各式是否正確，不正確的請(qǐng)予以改正：

(1)J(-4)x(-9)=J-4xJ-9

(2)J4—XV25=4XJ—xV25=4J—X725=4712=873

V25V25V25

解：(1)不正確.

改正：J(—4)x(—9)=="4次=2義3=6

(2)不正確.

改正：J4—XV25=J—XV25=J—x25=VT12=V16x7=477

五、歸納小結(jié)：本節(jié)課應(yīng)掌握：（1）4a,4b=4ab-（a）0,b>0）,4ab=4a?\[b

（a20,b20）及其運(yùn)用.

六、布置作業(yè)：一、選擇題

1.若直角三角形兩條直角邊的邊長(zhǎng)分別為后cm和在cm,那么此直角三角形斜邊

長(zhǎng)是（）.

A.85/2cmB.3A/3cmC.9cmD.27cm

—」的結(jié)果是（）.

2.化簡(jiǎn)a

a

A.J-aB.y[aC.-yj-aD.-y[a

3.等式J7TT&斤=J%?一1成立的條件是（）

A.x21B.x2TC.TWxWlD.x21或xWT

4.下列各等式成立的是().

A.46X2石=8V5B.573X4A/2=20>/5

C.4百X30=7石D.5A/3X4A/2=20V6

二、填空題：1.71014=

2.自由落體的公式為S='g/(g為重力加速度，它的值為10m/8),若物體下落的高

2

度為720m,則下落的時(shí)間是.

三、綜合提高題：1.一個(gè)底面為30cmX30cm長(zhǎng)方體玻璃容器中裝滿水，現(xiàn)將一部分

水例入一個(gè)底面為正方形、高為10cm鐵桶中，當(dāng)鐵桶裝滿水時(shí)，容器中的水面下降了20cm,

鐵桶的底面邊長(zhǎng)是多少厘米？

2.探究過(guò)程：觀察下列各式及其驗(yàn)證過(guò)程.

通過(guò)上述探究你能猜測(cè)出:(a>0),并驗(yàn)證你的結(jié)論.

答案:一、1.B2.C3.A4.D；二、1.13762.12s

三、1.設(shè)：底面正方形鐵桶的底面邊長(zhǎng)為X,

則x'x10=30X30X20,x=30X30X2,

x=730x30X-X/2=3OV2.

板書(shū)設(shè)計(jì):

16.2二次根式的乘除(1)

情境引入例2學(xué)生板演

4a?4b=y[ab(a>0,b20),例3

反之=G,4b(a20,b20).

例1練習(xí)小結(jié)

16.2二次根式的乘除(2)

教學(xué)內(nèi)容

4a[a_4a

(a>0,b>0),反過(guò)來(lái)(a>0,b>0)及利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn).

而Vb4b

教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能目標(biāo)：理解組1口

(a20,b>0)(a20,b>0)及利用它們

4bU

進(jìn)行運(yùn)算.

過(guò)程與方法目標(biāo)：利用具體數(shù)據(jù)，通過(guò)學(xué)生練習(xí)活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出除法規(guī)定，并

用逆向思維寫(xiě)出逆向等式及利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn).

情感與價(jià)值目標(biāo)：通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生：利用規(guī)定準(zhǔn)確計(jì)算和化簡(jiǎn)的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精

神，發(fā)展學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力.

4a_la

教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵：1.重點(diǎn)：理解(a20,b>0),(a，0,b>0)及利用

b4b

它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn).

2.難點(diǎn)關(guān)鍵：發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出二次根式的除法規(guī)定.

教法：1、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法：通過(guò)教師精心設(shè)計(jì)的問(wèn)題鏈，使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，感悟新知，建

立分式的模型，引導(dǎo)學(xué)生觀察、類比、參與問(wèn)題討論，使感性認(rèn)識(shí)上升為理性認(rèn)識(shí)，充分體

現(xiàn)了教師主導(dǎo)和學(xué)生主體的作用，對(duì)實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)起了重要的作用；2、講練結(jié)合法：在

例題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生閱讀，與商的平方根進(jìn)行類比，獲得解決問(wèn)題的方法后配以精講，并

進(jìn)行分層練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的閱讀習(xí)慣和規(guī)范的解題格式。

學(xué)法：1、類比的方法通過(guò)觀察、類比，使學(xué)生感悟二次根式的除法法則，形成有效的學(xué)

習(xí)策略。

2、閱讀的方法讓學(xué)生閱讀教材及材料，體驗(yàn)一定的閱讀方法，提高閱讀能力。

3、分組討論法將自己的意見(jiàn)在小組內(nèi)交換，達(dá)到取長(zhǎng)補(bǔ)短，體驗(yàn)學(xué)習(xí)活動(dòng)中的交流

與合作。

4、練習(xí)法采用不同的練習(xí)法，鞏固所學(xué)的知識(shí)；利用教材進(jìn)行自檢，小組內(nèi)進(jìn)行他

檢，提高學(xué)生的素質(zhì)。

媒體設(shè)計(jì)：PPT課件，展臺(tái)。

課時(shí)安排：1課時(shí)。

教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)引入

（學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們完成下列各題：

1.寫(xiě)出二次根式的乘法規(guī)定及逆向等式.

2.填空

(1)

V16

3.利用計(jì)算器計(jì)算填空:

V3，V2V2

(2)耳⑷

出

規(guī)律:

忑一

二、探索新知

一般地，對(duì)二次根式的除法規(guī)定:(a>0,b>0),

fa_y/a

反過(guò)來(lái),Nb4b(a20,b>0)

下面我們利用這個(gè)規(guī)定來(lái)計(jì)算和化簡(jiǎn)一些題目.

yfa_[a

分析:上面4小題利用yfbNb(aNO,b>0)便可直接得出答案.

3

(2)8=43x4=>/3X=2G

8rrvl

分析：直接利用1口=5(a>o,b>0)就可以達(dá)到化簡(jiǎn)之目的.

Vby/b

分析：式子4=骼，只有a2°，b>0時(shí)才能成立.

因此得到9-x20且x-6>0,即6<xW9,又因?yàn)閤為偶數(shù)，所以x=8.

A…[9-x>0[x<9

解：由題意得《，即《

x-6>O[x>6

；.6<xW9

Vx為偶數(shù)

/.x=8

(x-4)(1)

工原式二(l+x)

(x+l)(x-l)

x-4

(1+x)

x+\

Jx-4I-------------

=(1+X);=J(i+x)(x—4)

J(x+1)

.?.當(dāng)x=8時(shí)，原式的值=J?^=6.

四、歸納小結(jié)

\Jaa一ayJa

本節(jié)課要掌握(a20,b>0)和q—=j(a^O,b>0)及其運(yùn)用

五、布置作業(yè)

一、選擇題

1計(jì)算惇居

的結(jié)果是().

V2

A.-V5BC.V2D.

7-7

2.閱讀下列運(yùn)算過(guò)程:

1_V3_732_2752V5

也x6-3'百一氐6"V

2

數(shù)學(xué)上將這種把分母的根號(hào)去掉的過(guò)程稱作“分母有理化”，那么，化簡(jiǎn)二的結(jié)果是

().

A.2B.6C.—V6D.V6

3

二、填空題

1；⑶票

1.分母有理化：(1)；(2)

372

2.已知x=3,y=4>z=5,那么+的最后結(jié)果是

三、綜合提高題

1.有一種房梁的截面積是一個(gè)矩形，且矩形的長(zhǎng)與寬之比為百：1,現(xiàn)用直徑為

3715cmW?種圓木做原料加工這種房梁，那么加工后的房染的最大截面積是多少？

(m>0,n>0)

a1

(a>0)

m-n

M五x加近2叵

答案：一、LA2.C二、1.(1)—;(2)—;(3)

662y[5~2y[5-23

三、1.設(shè)：矩形房梁的寬為x(cm),則長(zhǎng)為百xcm,依題意，得：(V3x)2+x2=(3>/15)

4xJ9X15,x=—V15(cm),6x?x二6■百(cm2).

24

=~=--二=-JG(2)原式

mVmmmm.

r)(〃"嗎"嘰，:一2叵，屆

V2a~m+〃m-nv2

板書(shū)設(shè)計(jì)：

16.2二次根式的乘除(2)

情境引入例2學(xué)生板演

(a》0,b>0),

反過(guò)來(lái)=(a>0,b>0)例3

\b4b

例1練習(xí)小結(jié)

16.2二次根式的乘除(3)

教學(xué)內(nèi)容:最簡(jiǎn)二次根式的概念及利用最簡(jiǎn)二次根式的概念進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)運(yùn)算.

教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能目標(biāo)：理解最簡(jiǎn)二次根式的概念，并運(yùn)用它把不是最筒二次根式的化成最簡(jiǎn)

二次根式.

過(guò)程與方法目標(biāo)：通過(guò)計(jì)算或化簡(jiǎn)的結(jié)果來(lái)提煉出最簡(jiǎn)二次根式的概念，并根據(jù)它的特

點(diǎn)來(lái)檢驗(yàn)最后結(jié)果是否滿足最簡(jiǎn)二次根式的要求.

情感與價(jià)值目標(biāo)：通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生：利用規(guī)定準(zhǔn)確計(jì)算和化簡(jiǎn)的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精

神，發(fā)展學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力.

重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：最簡(jiǎn)二次根式的運(yùn)用.

2.難點(diǎn)關(guān)鍵：會(huì)判斷這個(gè)二次根式是否是最簡(jiǎn)二次根式.

教法：1、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法：通過(guò)教師精心設(shè)計(jì)的問(wèn)題鏈，使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，感悟新知，建

立分式的模型，引導(dǎo)學(xué)生觀察、類比、參與問(wèn)題討論，使感性認(rèn)識(shí)上升為理性認(rèn)識(shí)，充分體

現(xiàn)了教師主導(dǎo)和學(xué)生主體的作用，對(duì)實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)起了重要的作用；2、講練結(jié)合法：在

例題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生閱讀，類比，獲得解決問(wèn)題的方法后配以精講，并進(jìn)行分層練習(xí)，培

養(yǎng)學(xué)生的閱讀習(xí)慣和規(guī)范的解題格式。

學(xué)法：1、類比的方法通過(guò)觀察、類比，使學(xué)生感悟最簡(jiǎn)二次根式的模型，形成有效的學(xué)

習(xí)策略。

2、閱讀的方法讓學(xué)生閱讀教材及材料，體驗(yàn)一定的閱讀方法，提高閱讀能力。

3、分組討論法將自己的意見(jiàn)在小組內(nèi)交換，達(dá)到取長(zhǎng)補(bǔ)短，體驗(yàn)學(xué)習(xí)活動(dòng)中的交流

與合作。

4、練習(xí)法采用不同的練習(xí)法，鞏固所學(xué)的知識(shí)；利用教材進(jìn)行自檢，小組內(nèi)進(jìn)行他

檢，提高學(xué)生的素質(zhì)。

媒體設(shè)計(jì)：PPT課件，展臺(tái)。

課時(shí)安排：1課時(shí)。

教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)引入

請(qǐng)同學(xué)們完成下列各題

,、［笆/I、6(八3五樞

1.計(jì)算(1)-F,(2)—,—，(3)—,—

V5V27yJ2a

V3_V15372_V678_14a

755'V273'京a

2.現(xiàn)在我們來(lái)看本章引言中的問(wèn)題：如果兩個(gè)電視塔的高分別是hikm,hekm,那么它們的

傳播半徑的比是—

它們的比是武

二、探索新知

觀察上面計(jì)算題1的最后結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)這些式子中的二次根式有如下兩個(gè)特點(diǎn):

1.被開(kāi)方數(shù)不含分母；

2.被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式.

我們把滿足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式.

那么上題中的比是否是最簡(jiǎn)二次根式呢？如果不是，把它們化成最簡(jiǎn)二次根式.

學(xué)生分組討論，推薦3~4個(gè)人到黑板上板書(shū).

老師點(diǎn)評(píng)：不是.

例2.如圖，在RtZ\ABC中,ZC=90°，AC=2.5cm,BC=6cm,求AB的長(zhǎng).

解：因?yàn)锳B'ACZ+BC?

所以AB=1+62=J(|)2+36=舊=嚼*=6.5(cm)

因此AB的長(zhǎng)為6.5cm.

三、應(yīng)用拓展

例3.觀察下列各式，通過(guò)分母有理數(shù)，把不是最簡(jiǎn)二次根式的化成最簡(jiǎn)二次根式:

1_lx(挺-1)二夜，石1,

V2+1(V2+1)(72-1)-2-1，

1_lx(V3-V2)V3-V2f-行

萬(wàn)口F西溝莊面一不二

同理可得：1~~尸=，？-6，...

V4+V3

從計(jì)算結(jié)果中找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律計(jì)算

+-廠1L+-＞廠+……——11——(V2002+1)的值.

V2+1V3+V2V4+V3V2002+VW1

分析：山題意可知，本題所給的是一組分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以

達(dá)到化簡(jiǎn)的目的.

解：原式=(y/2_1+A/3-V2+5/4-A/3++V2002-V2001)x(V2002+D

二(V2002-1)(V2002+1)

=2002-1=2001

四、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：最簡(jiǎn)二次根式的概念及其運(yùn)用.

五、布置作業(yè)

一、選擇題

1.如果有（y>°）是二次根式，那么，化為最簡(jiǎn)二次根式是（）.

A.牛（y>0）B.yfxy（y>0）C.（y>0）D.以上都不對(duì)

2.把（a-1）.一一L中根號(hào)外的（aT）移入根號(hào)內(nèi)得（）.

Va-\

A.y/ci—1B.*\/l—u,