平方差公式（2）（北師大版）

1.5.2平方差公式（2）數(shù)學(xué)（北師大版）七年級

下冊第一章整式的乘除學(xué)習(xí)目標(biāo)靈活地運(yùn)用平方差公式進(jìn)行簡便計(jì)算.2.了解平方差公式的幾何意義，體會數(shù)形結(jié)合的思想方法.3.利用平方差公式解答簡單問題.

導(dǎo)入新課

王敏同學(xué)去商店買了單價是9.8元/千克的糖果10.2千克，售貨員剛拿起計(jì)算器，王敏就說出應(yīng)付99.96元，結(jié)果與售貨員計(jì)算出的結(jié)果相吻合.售貨員很驚訝地說：“你好像是個神童，怎么算得這么快？”

王敏同學(xué)說：“過獎了，我利用了在數(shù)學(xué)上剛學(xué)過的一個公式.”

你知道王敏同學(xué)用的是一個什么樣的公式嗎？

導(dǎo)入新課1.平方差公式：(a+b)(a－b)=a2－b2

2.公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：左邊是兩個二項(xiàng)式的乘積，即兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積；右邊是兩數(shù)的平方差。3.應(yīng)用平方差公式的注意事項(xiàng)

1）注意平方差公式的適用范圍

2）字母a、b可以是數(shù)，也可以是整式

3）注意計(jì)算過程中的符號和括號講授新課一平方差公式的幾何驗(yàn)證如圖1,邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形.ab圖1講授新課(1)請表示圖1中的陰影部分的面積.(2)小穎將陰影部分拼成了一個長方形(圖2)，這個長方形的長和寬分別是多少？你能表示出它的面積嗎？a2-b2長=a+b;寬=a-b;面積=(a+b)(a-b)(3)比較(1)(2)的結(jié)果，你能驗(yàn)證平方差公式嗎？由于(1)(2)表示的面積相同，所以可以驗(yàn)證平方差公式.abab圖1圖2講授新課aabba+ba-bbb幾何驗(yàn)證平方差公式講授新課aabba2-b2abbb(a+b)(a-b)(a+b)(a-b)=a2-b2a-ba-b講授新課aaa2baa2-b2ab講授新課baab12(a+b)(a-b)12(a+b)(a-b)baab(a+b)(a-b)=a2-b2講授新課平方差公式的運(yùn)用二

想一想：（1）計(jì)算下列各式，并觀察他們的共同特點(diǎn)：6×8=4814×16=22469×71=48997×7=49

15×15=225

70×70=4900

（2）從以上的過程中，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？請用字母表示這一規(guī)律，你能說明它的正確性嗎？(a+b)(a?b)=a2?b2講授新課例1

計(jì)算:(1)103×97;(2)118×122.解:103×97=(100+3)(100－3)=1002－32=10000–9=9991；解:118×122=(120－2)(120＋2)=1202－22=14400－4=14396.注意：不能直接應(yīng)用公式的，要經(jīng)過變形才可以應(yīng)用講授新課例2

計(jì)算：(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2;(2)(2x－5)(2x+5)–2x(2x－3).解：(1)原式=a2(a2－b2)+a2b2=a4－a2b2+a2b2=a4;(2)原式=(2x)2－25－(4x2－6x)=4x2－25－4x2+6x=6x－25.講授新課例3對于任意的正整數(shù)n，整式(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的值一定是10的整數(shù)倍嗎？即(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的值是10的倍數(shù)．解：原式＝9n2-1-(9-n2)＝10n2-10.因?yàn)?10n2-10)÷10=n2-1.n為正整數(shù)，所以n2-1為整數(shù)方法總結(jié)：在探究整除性或倍數(shù)問題時，一般先將代數(shù)式化為最簡，然后根據(jù)結(jié)果的特征，判斷其是否具有整除性或倍數(shù)關(guān)系．1.如圖，在邊長為a的正方形中裁掉一個邊長為b的小正方形(如圖1)，將剩余部分沿虛線剪開后拼接(如圖2)，通過計(jì)算，用拼接前后兩個圖形中陰影部分的面積可以驗(yàn)證等式()A.a2-b2=(a+b)(a-b)B.(a+b)2=a2+2ab+b2C.(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2D.(a-b)2=a2-2ab+b2A當(dāng)堂檢測2.如圖1，將邊長為x的大正方形剪去一個邊長為1的小正方形（陰影部分），并將剩余部分沿虛線剪開，得到兩個長方形，再將這兩個長方形拼成圖2所示長方形．這兩個圖能解釋下列哪個等式（）A．x2﹣2x+1＝（x-1）2 B．x2-1＝（x+1）（x-1） C．x2+2x+1＝（x+1）2 D．x2-x＝x（x-1）B當(dāng)堂檢測3.計(jì)算a2-(a+1)(a-1)的結(jié)果是()A.1B.-1C.2a2+1D.2a2-1A4.計(jì)算20202-2019×2021=____.15.已知a-b=1，a+b=2021，則a2-b2的值為_____.2021當(dāng)堂檢測解:(1)102×98=1002-22=10000–4=（100＋2）(100－2)=9996；6.計(jì)算:(1)102×98;(2)51×49;(2)原式=（50＋1）(50－1)=502-12=2500–1=2499；當(dāng)堂檢測7.計(jì)算:(1)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)(2)(y+2)(y-2)–(y-1)(y+5).解:(1)原式=(3x)2-42-(6x2+5x-6)（2）原式=y2-22-(y2+4y-5)=y2-4-y2-4y+5=-4y+1.=9x2-16-6x2-5x+6=3x2-5x-10.當(dāng)堂檢測8.計(jì)算：20152－

2014×2016.解：20152

－

2014×2016=20152－

(2015－1)(2015+1)=20152－（20152－12)=20152－

20152+12=1當(dāng)堂檢測9.對于任意一個正整數(shù)n，整式A=(4n+1)·(4n-1)-(n+1)·(n-1)能被15整除嗎？請說明理由.解:能.理由如下：A=(4n)2-1-(n2-1)=16n2-1-n2+1=15n2.因?yàn)閚是正整數(shù)，所以15n2一定能被15整除.當(dāng)堂檢測10.如果兩個連續(xù)奇數(shù)分別是2n-1，2n+1（其中n為正整數(shù)），證明兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù).證明：（2n+1）2-(2n-1)2=[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)]=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n×2=8n因?yàn)?n是8的倍數(shù)，所以結(jié)論成立.注意：逆用了平方差公式奧！當(dāng)堂檢測課堂