微分經(jīng)濟數(shù)學趙樹嫄公開課獲獎課件

第五節(jié)函數(shù)旳微分一、微分概念

二、微分運算法則三、微分在近似計算中應用四、微分在估計誤差中應用

第二章

10/10/1第1頁恩格斯在《自然辯證法》中，對微分作了一種形象解釋：硫磺在一定溫度下被蒸發(fā)為硫磺氣，取一塊正方形硫磺薄板，放入容器，立即減少容器內(nèi)溫度，則硫磺氣凝固為硫磺，一部分附著于薄板，設薄板一對相鄰兩邊和兩面均被某種不能附著硫磺物質(zhì)遮蓋，再設另一對相鄰兩邊那一層硫磺分子，而誤差就是附著在角點一種硫磺分子。由于兩條直線上分子諸多，誤差這一種分子和它們相比，是微局限性道。10/10/2第2頁邊長由一、微分概念

引例:一塊正方形金屬薄片受溫度變化影響,問此薄片面積變化了多少?設薄片邊長為

x,面積為

A,則面積增量為有關△x線性主部高階無窮小時為故稱為函數(shù)在微分當

x

在取得增量時,變到其10/10/3第3頁微分,定義:若函數(shù)在點增量可表示為(A

為不依賴于△x

常數(shù))則稱函數(shù)而

稱為記作即在點可微,注1：注2：10/10/4第4頁定理:函數(shù)證:“必要性”

已知在點可微,則故在點可導,且在點可微充要條件是在點處可導,且即10/10/5第5頁定理:函數(shù)在點可微充要條件是在點處可導,且即“充足性”已知即在點可導,則10/10/6第6頁注1：函數(shù)變化率問題函數(shù)增量問題微分:導數(shù):注3：導數(shù)與微分辨別10/10/7第7頁注4：時,因此時很小時,有近似公式與是等價無窮小,當故當10/10/8第8頁微分幾何意義當很小時,則有從而導數(shù)也叫作微商切線縱坐標增量自變量微分,記作記10/10/9第9頁例如,基本初等函數(shù)微分公式(見P115表)又如,10/10/10第10頁二、微分運算法則設

u(x),v(x)均可微,則(C

為常數(shù))分別可微,微分為微分形式不變性5.復合函數(shù)微分則復合函數(shù)10/10/11第11頁例1.求

解:例2.設求

解:運用一階微分形式不變性,有10/10/12第12頁例2.在如下括號中填入合適函數(shù)使等式成立:闡明:上述微分反問題是不定積分要研究內(nèi)容.注意:數(shù)學中反問題往往出現(xiàn)多值性.例如10/10/13第13頁三、微分在近似計算中應用當很小時,使用原則:得近似等式:10/10/14第14頁尤其當很小時,常用近似公式:很小)證明:令得10/10/15第15頁近似值.解:設取則例4.求10/10/16第16頁近似值.解:例5.計算10/10/17第17頁例6.有一批半徑為1cm球,

為了提高球面光潔度,解:已知球體體積為鍍銅體積為

V

在時體積增量因此每只球需用銅約為(g)用銅多少克.

估計一下,每只球需要鍍上一層銅,厚度定為0.01cm,10/10/18第18頁四、微分在估計誤差中應用某量精確值為A,其近似值為

a,稱為a

絕對誤差稱為a

相對誤差若稱為測量

A

絕對誤差限稱為測量

A

相對誤差限10/10/19第19頁誤差傳遞公式:已知測量誤差限為按公式計算y

值時誤差故

y

絕對誤差限約為相對誤差限約為若直接測量某量得

x,10/10/20第20頁例7.

設測得圓鋼截面直徑

測量D絕對誤差限欲運用公式圓鋼截面積,解:計算

A

絕對誤差限約為

A

相對誤差限約為試估計面積誤差.計算(mm)10/10/21第21頁內(nèi)容小結1.微分概念

微分定義及幾何意義

可導可微2.微分運算法則微分形式不變性:(u

是自變量或中間變量)3.微分應用近似計算估計誤差10/10/22第22頁思索與練習1.設函數(shù)圖形如下,試在圖中標出點處及并闡明其正負.10/10/23第23頁2.5.

設由方程確定,解:方程兩邊求微分,當時由上式得求得10/10/24第24頁6.設

且則作業(yè)P1221;3(4),(7),(8),(9),(10);4;5;8(1);9(2);1210/10/25第25頁