燕博園2021屆高三年級綜合能力測試(CAT)(一)數(shù)學(xué) (廣東卷)

燕博園屆三年級綜能力測試CAT（一）數(shù)學(xué)（廣卷）一、單選題：本題共小，每小題分共分在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．．已知集合

Ax|

≥4}，A

B

（）A．

B．

[2,5)

C．

{2,4}

D．

{3,5}．答案：C解析：A所以

AB3,4}．

，

B{x2≥4}xx≥2}

，．已知點(diǎn)

(

，

，則以線段

AB

為直徑的圓的方程為（）A．C．

(6)61(4)(9)(

B．D．

(x(x6)．答案：B解析：在圓上任取一點(diǎn)

(xy)

，則

AP

，xy4)(y9)(3)

，當(dāng)點(diǎn)與A或重時，上式仍然成立，所以圓的方程為

(6)9)(3)

．．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間

(

上單調(diào)遞增的是（）A．

B．

yx

1x

C．

y

x

D．

logx2．答案：C解析：選項(xiàng)A，

的定義域?yàn)?/p>

[

，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以不是奇函數(shù)；選項(xiàng)B，

yx

1x

是奇函數(shù)，但是在區(qū)間(上調(diào)減；選項(xiàng)，

f()

，定義域?yàn)?/p>

R

，且

f(

(x)

，f()

為奇函數(shù)，又因?yàn)?/p>

y

x

是增函數(shù)，

y

是減函數(shù)，所以

f(x)

在

R

上單調(diào)遞增；故正．選項(xiàng)D，

x2

是偶函數(shù)．．已知正六邊形

中，

（）

A．

AF

B．

BE

C．

D．

．答案：D解析圖六形的中心為

O

CDBO

CDABBO

．E

DF

O

CA

B．若

(12)2(,)

，則

（）A．60．答案：B

B．．D解析：

(12)

2)

2)

2)

2)

292a

，41

，

，

．．侯乙編鐘現(xiàn)存于湖北省博物館是世界上目前已知的最大、最重、音樂性能最完好的青銅禮器，全套編鐘可以演奏任何調(diào)性的音樂并做旋宮轉(zhuǎn)調(diào)．其初始四音為宮、徵、商、羽．我國古代定采用律管進(jìn)行“三分損益法”．將一支律管所發(fā)的音定為一個基音，然后將律管長度減短三分之一（即損一”）或增長三分之一（即“益一”），即可得到其他的音．若以宮音為基音，宮音“損一”可得徵，徵音“益一”可得商音，商音“損一”可得羽則羽音律管長度與宮音律管長度之比是（）A．C．

231627

B．D．

896481．答案：C解析：

42163

．．已知函數(shù)

f(x)Asin(，，均正常數(shù)鄰兩個零點(diǎn)的差為

2

，對任意，f(x)≥f

恒成立，則下列結(jié)論正確的是（）A．C．

ff(f(f(0)f(2)

B．D．

ff(2)f(fff(．答案：A

解析：設(shè)函數(shù)

f(x

的最小正周期為，則

2T22T

，當(dāng)

x

3

時函數(shù)

f(

取得最小值取

3.14

則

f(

在

[0.52,2.09]

上單調(diào)遞減

[2.09,3.66]

上單調(diào)遞增，f(f(1.14)

，

f(0)ff

，

ff(2)

，f(0)(f(2)

，故選A．若函數(shù)

f(

2ex

(為然對數(shù)底數(shù)是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．

≤

B．

≤

C．

D．

≤≤．答案：D解析：依題意可知

f

2

axe

≤

恒成立，

0

恒成立，當(dāng)a時該式顯然成立；當(dāng)

a

時，

a

0

1

．綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是[0,1]．二、多項(xiàng)選擇題：本題共小，每小題5分，共分在每小題給出的個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分選對但不全的得分，有選錯的得0分．年來，某市為促進(jìn)生活垃圾的類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾類，并分別設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱．為調(diào)查居民生活垃圾的分類投放情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取了該市三類垃箱中總計t生垃圾，經(jīng)分揀以后統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下(位t)．據(jù)樣本估計本市生活垃圾的分類投放情況，則下列說法正確的是（）廚余垃圾可回收垃圾其他垃圾A．廚余垃圾投放確的概率為

“廚余垃圾箱23

“可回收垃圾箱

“其他垃圾箱B．居民生活垃圾放錯誤的概率為

310C．市三類垃圾中投放正確的概率最高的是可回收垃圾D．廚垃圾在“廚余垃圾”箱收垃圾”箱他圾”箱的投量的方差為18000．答案：ABC解析：選項(xiàng)A，廚余垃圾投放正確的概率為

4004001003

，故正確；選項(xiàng)B，居民生活垃投放錯誤的概率為

100100303020=100010

，故正確；可回收垃圾投放正確的概率為

240460其他垃圾圾投放正確的概率為所240306020該市三類垃圾中投放正確的概率最高的是可回收垃圾，故正；

選項(xiàng)D，設(shè)

x，100，x100，則x，方差

s

2

1200)3

2(1002200)

]

，故錯．．?dāng)?shù)

f(x)x

ax

(a)

的大致圖像可能是（）A．案解析：當(dāng)a，()

BD，對應(yīng)選項(xiàng)A；當(dāng)

時，當(dāng)

x

時，

f(x)x

a為對勾函數(shù)的一部分，當(dāng)x時f()x

單調(diào)遞減，對應(yīng)選項(xiàng)B；當(dāng)a時當(dāng)x時f()x

ax

單調(diào)遞增，當(dāng)時f)x

，其中

x

ax為對勾函數(shù)的一部分，對應(yīng)選項(xiàng)D．故選ABD．11已知方程

x

2

sin

，則（）A．存在實(shí)數(shù)方程對應(yīng)的圖形是圓，且圓的面積為

3B．存在實(shí)數(shù)方程對應(yīng)的圖形是平行于

軸的兩條直線C．在實(shí)數(shù)

，該方程對應(yīng)的圖形是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，且雙曲線的離心率為

D．存實(shí)數(shù)，方程對應(yīng)的圖形是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且橢圓的離心率為11答案CD

解析：

x

2sin2

cos

，選項(xiàng)A，該方程對應(yīng)的圖形是圓，則必有

，cos

12

，此時sin，方程為

22

23，此時圓的面積為3

，故A錯；選項(xiàng)B要使該方程對應(yīng)的圖形是平行于x軸的兩條直線，則必有

in

，此時2

，方程不成立，故B誤；

3232若該方程對應(yīng)的圖形是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，且雙曲線的離心率為

，則

11sin2sin

，解得cos

12

，且

3x23y．此時方程為2

，故C正確．該方程對應(yīng)的圖形是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且橢圓的離心率為

3，則3

，又由

a22

，可得

b2a

取

a

1cos

1b2，sin

22

23

得

cos

13

2

，此時方程為

24

，故D正．．棱V

中

eq\o\ac(△,，)ABC

是等邊三角形頂

在底面

的投影是底面的中心側(cè)面

側(cè)面，（）A．二面角

BC

的大小為

3B．此三棱錐的側(cè)積與其底面面積之比為

3C．

V

到平面

ABC

的距離與

V

的長之比為

D．此棱錐的體積與其外接球的體積之比為

．案BCD解析：將該三棱錐放在正方體當(dāng)中，如圖所示，設(shè)正方體的棱長為，選項(xiàng)A，中D，連接AD，，則即二面角BC

的平面角，ADV，然ADV3

，故A錯；選項(xiàng)B棱的側(cè)面積為

3

1322

積

32

面積與底面面積之比為3，故B確；在

△ADV

中

V

作

VEAD

足為

E

證得

VE

平面

ABC

VE

AV

，所以正；此三棱錐的體積

V1

1136

3，外接球的半徑，接球的體積2

，所以

．

VE

D三、填空題：本題共4小，每小題，共分．把答案填在中的橫線上．．?dāng)?shù)

z

12

的虛部是．．案：

35解析：

1(1i)(23i2i)(2

3，其虛部為．5．列

{}

的前

項(xiàng)和為

，且

a1

，

(N*)

，則

a2

2n

．．案：

4n3解析：由

(n*

，可知數(shù)列

{}

是首項(xiàng)為

1

，公比為的等比數(shù)列，所以

2

，當(dāng)

時，

1

，即

1

a1

當(dāng)

≥

時，

nn

，所以

a242n

4

n

1nn1

．若個圓錐的軸截面是等邊三角形表積與體積的數(shù)值相等該圓錐的底面半徑為，該圓錐的內(nèi)切球體積為一分第二空3分．案：3

解析：設(shè)圓錐的底面半徑為r，高

h3r

，母線長

l2r

，根據(jù)題意可得

13

2

2

，即

3

2

2

2

得

r3

三錐的內(nèi)切球半徑即為截面正三角形內(nèi)切圓的半徑，為

3r3

，所以內(nèi)切球的體積

4V3

．．報道，某地遭遇了70年遇的沙漠蝗蟲災(zāi)害．在所有的農(nóng)業(yè)害蟲中，沙漠蝗蟲對人類糧食作物危害最大．沙漠蝗蟲繁殖速度很快，遷徙能力很強(qiáng)，給農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和糧食安全構(gòu)成重大威脅．已知某蝗蟲群在適宜的環(huán)境條件下，每經(jīng)過天數(shù)量就會增長為原來的倍該蝗蟲群當(dāng)前有1億只蝗蟲，則經(jīng)過

天，蝗蟲數(shù)量會達(dá)到4000億考數(shù)據(jù)：

lg20.30，0.48

．案解析：設(shè)經(jīng)過

天，蝗蟲數(shù)量

y

（單位：億只

15

時，

y

，所以

a15

，

，x15

，令015，

x15

40002lg3.6，x3.654

天．四、解答題：本大題共6小，共70分解答須寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．分）已知數(shù)列

{}足：2n

(n≥2,nN

*

)1

．（1）求證：數(shù)列

{ln(an

是等差數(shù)列，（2）求數(shù)列

{}

的前

n項(xiàng)．．析）明）為

a2n

n

n

，2an

n

………所以

ln(ln(alnnn

2annln2，n2,3,an

，………所以數(shù)列

{ln(an

是以首項(xiàng)為ln2公差為ln2的差數(shù)列．………………5分（2）由（）得

ln(1)lnln21

，………分則

a

……………分所以

Sn

2(11

n

)

n

………………10分分已知等腰三角形

，

AC

，

D

為邊

上的一點(diǎn)，DAC

再條件①、條件②、條件③中選擇兩個作為已知，求△的積BD的．條件①AB；條件②條件③

cosBACCD．

13

；注：如果選擇多種方案分別解答，那么按第一種方案解答計分．AB．擇①②，

C因?yàn)?/p>

ABAC

，

AB

，

BAC

13

，

CC所以

，，

2

2

AC

2

AC·cosBAC96

．所以

BC，CsinB

cos3

．…………………因?yàn)?/p>

90以BAD

．………………7分在Rt△ACD中，

…………分所以

6

……………………分所以ABD的面積為

12

AB2

……………………12分選擇①③因?yàn)?/p>

90，，

，所以

BcosC

AC3

………………………分所以

ABBC

，即

BC

……分所以

6

……………10分所以ABD的面積為

12

AB2

…分選擇②③因?yàn)?/p>

ABAC

，

BAC

13

，所以

Csin

cos3

…………5分因?yàn)?/p>

90CD，以·cos

2

……7分所以

BC

2AC

…………9分所以

CD

6

…………………分所以ABD的面積為

12

AB2

…………………分分）如圖，在直角梯形

中，

AEEF

，且

EF

，直角梯形

EFC11

可以通過直角梯形以直角EF為轉(zhuǎn)軸得到．（1）求證：平面

CDEF面BC；1

（2）若二面角

CEF

為

3

，求直線C與面ABC所成角的正弦值．明直角梯形中，EF且直角梯形

EFC11

1D1FE是通過直角梯形AEFB以直線EF為軸旋轉(zhuǎn)而得，………………………1分所以

EF

．所以

EF

，

CF

，……………………分又

CF，以EF面F………分11又EF面D，以平面CD面BCF．…………11z

F（2）解：由（）可知BFEF，F(xiàn)EF

，因?yàn)槎娼?/p>

CEF

為

3

，所以

FB

3

………………………6分過點(diǎn)F作平面AEFB的線如圖，建立空間直角坐標(biāo)系．由

BF，得：E(4,0,0)，3)，B(0,4,0)，(4,2,0)，1所以

2,0)，3)，EC4,2,23)11

，…………………9分

i999nnn??9992i999nnn??9992設(shè)平面ABC的向量為yz1

，則

，即

y

，令

，則

，

32

．于是

,3,1

…………11分所以直線

C

與平面

1

所成角的正弦值為

nn

23114193822

…12分）為幫助鄉(xiāng)村脫貧，某勘探隊計劃了解當(dāng)?shù)氐V脈某金屬的分布情況，測得了平均金屬含y

(單位：

/

)與樣本對原點(diǎn)的距離

(單：

)的數(shù)據(jù)，并作了初步處理，得到了下面的一些統(tǒng)理的值中

ui

119，uii

x

(x)i

2

)i

2

(yi

)

xuyy)iiiii

i

i

ii97.906014.1226.13

（1）利用樣本相關(guān)系數(shù)的知識，判斷

ybx

與

d

哪一個更適宜作為平均金屬含量

y

關(guān)于樣本對原點(diǎn)的距離

的回歸方程類型（2）根據(jù)（1的結(jié)果回答下列問題：（i）建立

y

關(guān)于

的回歸方程；（ii樣本對原點(diǎn)的距離時，屬含量的預(yù)報值多?（3）已知該金屬在距離原點(diǎn)

時的平均開采成本

（單位：元）

，

y

關(guān)系為

1000(yln(1≤100)

，根據(jù)（）的結(jié)果回答，為值時，開采成本最?附：對于一組數(shù)據(jù)

tst,),t,12nn

，其線性相關(guān)系數(shù)

r

tsiiit)2s)ii

2

，i

i其回歸直線

的斜率和截距的最小二乘估計分別為：

i

()(iit)i

，

．i．析）題意知

(x,ii

的線性相關(guān)系數(shù)為

r1

iiiii

0.898

，………1分i

i

99????2??99????2??(,y)ii

的線性相關(guān)系數(shù)為

r2

)(yiiiy)ii

2

，………………ii因?yàn)?/p>

rr1

故

y

dx

更適宜作為平均金屬含量

y

關(guān)于樣本對原點(diǎn)的距離

的回歸方程類型……(i)令

u

1x

，先建立關(guān)的性歸方程，由于d

iiii

0.14

，

c100

，i所以y關(guān)于的性回歸方程為

u，此y關(guān)的歸方程為

10x

………6分(ii)由i)，

x

時，金屬含量的預(yù)報值是

100

1020

…………………分根據(jù)（）的結(jié)果知，吸附物質(zhì)儲存成本W(wǎng)

的預(yù)報值10(1000(ylnx)x≤x≤

，………………分故

1x

(1x≤20)

，令

，得

10(x與W

在區(qū)間[1,100]的況如下：[1,10)＋W

－)

↗

ln10)

↘……………11分所以，當(dāng)

10

時，

(x)

取得最大值．故

10

時，開采成本最大．…………分12分已知橢圓

:

y2a0)ab

的右頂點(diǎn)為，線過圓C的右焦點(diǎn)

，點(diǎn)

B

到直線

m

的距離為

22

．（1）求橢圓的程；（2）橢圓

C

的左頂點(diǎn)為

A

，

M

是橢圓位于

軸上方部分的一個動點(diǎn)，以點(diǎn)

為圓心，過點(diǎn)

M

的圓與

軸的右交點(diǎn)為

T

，過點(diǎn)

B

作

軸的垂線

l

交直線

AM

于點(diǎn)

N

，過點(diǎn)

作直線

FE

，交直線

l

于點(diǎn)

0000E

．求

的值．．析）題意可知

(,0)

．因?yàn)橹本€

m:xy

過橢圓

的右焦點(diǎn)

F

，所以點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)…………分因?yàn)辄c(diǎn)到線的離為

22

，所以．解得a2．……………2分又因?yàn)?/p>

，可以解得2．……………分所以橢圓

的方程為

y43

．………………………4分（2）由（）可知

(

，因?yàn)橹本€

MT

，由題意可知

平分

MFB

．所以點(diǎn)

E

到直線

MF

的距離

d

．…………………設(shè)直線AM為y(x0)，(2,4)．設(shè)E(2,t)，(xy)0

．由

x2y43

，得

k2x2kk20

，所以

，

0

1622所4k42

12k，y4k2

…………………分①當(dāng)軸時，此0因?yàn)镋F平MFB所以

1,24

所以N．，可得(2,1)所以

．………………分②當(dāng)

MF

不與

軸垂直時，此時

12

，

MF

0k0

2

．所以直線MF的程為4kxk

2

y

．…………………因?yàn)辄c(diǎn)

E

在直線

MF

的右側(cè)，所以

8

，所以點(diǎn)到線MF的離d

2tkk

kx2tk1622

．所以

kx2

．以t

．所以

……分

綜上，

．………………………12分分）已知函數(shù)

f(x)

xln

，

．（1）討論

f(x)

的零點(diǎn)個數(shù)；（2）記方程圍．

lnx的為，果關(guān)于的程f(x

有兩個大于1的等實(shí)數(shù)根，求a的取值范）數(shù)

f(x

的定義域?yàn)?/p>

(0,1)(1,

，且

f(x)

xlnln

．令

m(x)lnx，則f

的零點(diǎn)個數(shù)等價于

m(x在(0,1)

(1,

的零點(diǎn)個數(shù)…………分由于

m

1xxx

，所以

(x)

在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減，