2019版數(shù)學(xué)（文）高分計(jì)劃一輪高分講義：第7章立體幾何 7.4　直線(xiàn)、平面平行的判定與性質(zhì)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精7．4直線(xiàn)、平面平行的判定與性質(zhì)[知識(shí)梳理]1．直線(xiàn)與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理2．平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理3．必記結(jié)論(1）兩個(gè)平面平行,其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線(xiàn)平行于另一個(gè)平面．（2）夾在兩個(gè)平行平面間的平行線(xiàn)段長(zhǎng)度相等．（3)經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行．（4）兩條直線(xiàn)被三個(gè)平行平面所截,截得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例．（5）如果兩個(gè)平面分別和第三個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面互相平行．［診斷自測(cè)]1．概念思辨(1）若一條直線(xiàn)和平面內(nèi)一條直線(xiàn)平行，那么這條直線(xiàn)和這個(gè)平面平行．()（2)若直線(xiàn)a∥平面α，P∈α，則過(guò)點(diǎn)P且平行于直線(xiàn)a的直線(xiàn)有無(wú)數(shù)條．()(3)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．()(4）如果兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)平行或異面．（)答案(1）×(2）×(3)×(4）√2．教材衍化（1）（必修A2P61T1（2)）如果直線(xiàn)a平行于平面α，直線(xiàn)b∥a，則b與α的位置關(guān)系是()A．b與α相交 B．b∥α或b?αC．b?α D．b∥α答案B解析兩條平行線(xiàn)中的一條與已知平面相交，則另一條也與已知平面相交,所以由直線(xiàn)b∥a,可知若b與α相交，則a與α也相交，而由題目已知，直線(xiàn)a平行于平面α，所以b與α不可能相交，所以b∥α或b?α。故選B.（2)(必修A2P58T3)已知m，n表示兩條不同的直線(xiàn)，α，β，γ表示三個(gè)不重合的平面，下列命題中正確的個(gè)數(shù)是（）①若α∩γ＝m,β∩γ＝n，且m∥n，則α∥β；②若m，n相交且都在α,β外,m∥α,m∥β,n∥α，n∥β，則α∥β;③若m∥α，m∥β，則α∥β；④若m∥α，n∥β，且m∥n，則α∥β。A．1 B．2C．3 D．4答案A解析①僅滿(mǎn)足m?α，n?β，m∥n，不能得出α∥β，此命題不正確；②設(shè)m，n確定平面為γ，則有α∥γ,β∥γ，從而α∥β，此命題正確；③④均不滿(mǎn)足兩個(gè)平面平行的條件,故③④均不正確．故選A.3．小題熱身(1）如圖，已知六棱錐P－ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC,PA＝2AB,則下列結(jié)論正確的是(）A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直線(xiàn)BC∥平面PAED．直線(xiàn)PD與平面ABC所成的角為45°答案D解析選項(xiàng)A,B，C顯然錯(cuò)誤．∵PA⊥平面ABC，∴∠PDA是直線(xiàn)PD與平面ABC所成的角．∵ABCDEF是正六邊形,∴AD＝2AB.∵tan∠PDA＝eq\f（PA，AD）＝eq\f（2AB,2AB)＝1，∴直線(xiàn)PD與平面ABC所成的角為45°.故選D。(2)已知a,b,c為三條不重合的直線(xiàn),α，β，γ為三個(gè)不重合的平面，現(xiàn)給出六個(gè)命題：①eq\b\lc\\rc\}（\a\vs4\al\co1(a∥cb∥c））?a∥b；②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1（a∥γb∥γ）)?a∥b；③eq\b\lc\\rc\｝(\a\vs4\al\co1（c∥αc∥β））?α∥β；④eq\b\lc\\rc\}（\a\vs4\al\co1（α∥γβ∥γ)）?α∥β；⑤eq\b\lc\\rc\}（\a\vs4\al\co1（c∥αa∥c）)?a∥α；⑥eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥γα∥γ)）?a∥α。其中正確的命題是________．（填序號(hào)）答案①④解析由三線(xiàn)平行公理,知①正確；兩條直線(xiàn)同時(shí)平行于一平面，這兩條直線(xiàn)可相交、平行或異面,故②錯(cuò)誤；兩個(gè)平面同時(shí)平行于一直線(xiàn)，這兩個(gè)平面相交或平行,故③錯(cuò)誤；面面平行具有傳遞性，故④正確;一直線(xiàn)和一平面同時(shí)平行于另一直線(xiàn)，這條直線(xiàn)和平面平行或直線(xiàn)在平面內(nèi)，故⑤錯(cuò)誤；一直線(xiàn)和一平面同時(shí)平行于另一平面,這條直線(xiàn)和平面可能平行也可能直線(xiàn)在平面內(nèi)，故⑥錯(cuò)誤．題型1平行關(guān)系命題的真假判定eq\o(\s\up7（）,\s\do5(典例))（2017·豫西五校聯(lián)考）已知m,n，l1,l2表示不同直線(xiàn)，α，β表示不同平面,若m?α,n?α，l1?β，l2?β，l1∩l2＝M,則α∥β的一個(gè)充分條件是（）A．m∥β且l1∥α B．m∥β且n∥βC．m∥β且n∥l2 D．m∥l1且n∥l2排除法．答案D解析對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)m∥β且l1∥α?xí)r,α，β可能平行也可能相交，故A不是α∥β的充分條件；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)m∥β且n∥β時(shí)，若m∥n，則α,β可能平行也可能相交，故B不是α∥β的充分條件；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)m∥β且n∥l2時(shí)，α,β可能平行也可能相交,故C不是α∥β的充分條件;對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)m∥l1，n∥l2時(shí),由線(xiàn)面平行的判定定理可得l1∥α，l2∥α，又l1∩l2＝M，由面面平行的判定定理可以得到α∥β,但α∥β時(shí)，m∥l1且n∥l2不一定成立，故D是α∥β的一個(gè)充分條件．故選D。方法技巧解決平行關(guān)系命題真假判斷的一般思路1．判斷與平行關(guān)系相關(guān)命題的真假,必須熟悉線(xiàn)、面平行關(guān)系的各個(gè)定義、定理，無(wú)論是單項(xiàng)選擇還是含選擇項(xiàng)的填空題，都可以從中先選出最熟悉最容易判斷的選項(xiàng)先確定或排除,再逐步判斷其余選項(xiàng)．2．(1)結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形，結(jié)合圖形作出判斷．（2）特別注意定理所要求的條件是否完備，圖形是否有特殊情況,通過(guò)舉反例否定結(jié)論或用反證法推斷命題是否正確．3．結(jié)合實(shí)物進(jìn)行空間想象，比較判斷．沖關(guān)針對(duì)訓(xùn)練(2017·山西長(zhǎng)治二模)已知m，n是兩條不同的直線(xiàn),α，β，γ是三個(gè)不同的平面,則下列命題中正確的是（)A．若α⊥γ，α⊥β，則γ∥βB．若m∥n,m?α，n?β，則α∥βC．若m∥n，m⊥α,n⊥β，則α∥βD．若m∥n，m∥α，n∥β,則α∥β答案C解析對(duì)于A，墻角的三個(gè)墻面α，β，γ滿(mǎn)足條伴,但γ與β相交，故A錯(cuò)誤;m?α,n?β,且m，n平行于α，β的交線(xiàn)時(shí)符合B中條件,但α與β相交，故B錯(cuò)誤；由m∥n，m⊥α可推出n⊥α，結(jié)合n⊥β可推出α∥β，故C正確;由D中的條件得α與β可能平行也可能相交，故D錯(cuò)誤．所以選C。題型2直線(xiàn)與平面平行的判定與性質(zhì)角度1直線(xiàn)與平面平行的判定與性質(zhì)eq\o(\s\up7(），\s\do5(典例））(2017·保定期中)如圖，P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，E是PD的中點(diǎn)．（1）求證：PB∥平面EAC；(2)若M是CD上異于C、D的點(diǎn),連接PM交CE于G,連接BM交AC于H，求證：GH∥PB。利用中位線(xiàn)證線(xiàn)線(xiàn)平行從而證線(xiàn)面平行；利用線(xiàn)面平行證線(xiàn)線(xiàn)平行．證明（1）連接BD,交AC于O，連接EO,則O是BD的中點(diǎn)，又E是PD的中點(diǎn),∴PB∥EO，∵PB?平面EAC，EO?平面EAC,∴PB∥平面EAC。（2）由(1）知PB∥平面EAC，又平面PBM∩平面EAC＝GH，∴根據(jù)線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理得GH∥PB。角度2直線(xiàn)與平面平行的探索性問(wèn)題eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例））(2018·包河區(qū)校級(jí)月考)在底面是菱形的四棱錐P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝eq\r（2)a，點(diǎn)E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，平面PAB∩平面PCD＝l.(1)證明:l∥CD；(2）在棱PC上是否存在一點(diǎn)F，使BF∥平面AEC？證明你的結(jié)論．探求點(diǎn)的位置時(shí)多為線(xiàn)段中點(diǎn)或等分點(diǎn)等特殊點(diǎn)．證明(1)∵菱形ABCD，∴AB∥CD,又AB?平面PCD，CD?平面PCD，∴AB∥平面PCD,又AB?平面PAB，平面PAB∩平面PCD＝l,∴AB∥l，∵AB∥CD，∴l(xiāng)∥CD。（2）當(dāng)F是棱PC的中點(diǎn)時(shí)，BF∥平面AEC.證明如下，如圖取PE的中點(diǎn)M，連接FM，由于M為PE中點(diǎn),F為PC中點(diǎn)，所以FM∥CE。①由M為PE中點(diǎn)，得EM＝eq\f（1，2）PE＝ED，知E是MD的中點(diǎn),連接BM,BD，設(shè)BD∩AC＝O，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，則O為BD的中點(diǎn)，由于E是MD的中點(diǎn)，O是BD的中點(diǎn)，所以BM∥OE。②由①FM∥CE②BM∥OE知，平面BFM∥平面AEC，又BF?平面BFM，所以BF∥平面AEC。方法技巧線(xiàn)面平行問(wèn)題的證明策略1．證明直線(xiàn)與平面平行的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線(xiàn)平行的直線(xiàn),可利用幾何體的特征，合理利用中位線(xiàn)定理、線(xiàn)面平行的性質(zhì),或者構(gòu)造平行四邊形等證明兩直線(xiàn)平行．注意說(shuō)明已知的直線(xiàn)不在平面內(nèi)．2．判斷或證明線(xiàn)面平行的方法：①線(xiàn)面平行的定義(反證法）;②線(xiàn)面平行的判定定理;③面面平行的性質(zhì)定理．3．線(xiàn)面平行的探究性問(wèn)題解決探究性問(wèn)題一般先假設(shè)求解的結(jié)果存在，從這個(gè)結(jié)果出發(fā),尋找使這個(gè)結(jié)論成立的充分條件，如果找到了使結(jié)論成立的充分條件，則存在；如果找不到使結(jié)論成立的充分條件(出現(xiàn)矛盾)，則不存在，而對(duì)于探求點(diǎn)的問(wèn)題，一般是先探求點(diǎn)的位置，多為線(xiàn)段的中點(diǎn)或某個(gè)三等分點(diǎn)，然后給出符合要求的證明．沖關(guān)針對(duì)訓(xùn)練（2017·濟(jì)南一模）如圖，在多面體ABCDEF中,底面ABCD是菱形，AB＝2，∠DAB＝60°,EF∥AC,EF＝eq\r（3）.求證：FC∥平面BDE。證明設(shè)AC∩BD＝O，連接EO?！叩酌鍭BCD是菱形,∠DAB＝60°,∴OC＝eq\r（3).∵EF∥AC，EF＝OC＝eq\r(3）,∴EFCO為平行四邊形，∴FC∥EO，∵FC?平面BDE,EO?平面BDE，∴FC∥平面BDE。題型3平面與平面平行的判定與性質(zhì)eq\o（\s\up7（)，\s\do5（典例)）如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中,E,F，G，H分別是AB，AC，A1B1,A1C1的中點(diǎn)，求證:(1）B，C,H,G四點(diǎn)共面；（2）平面EFA1∥平面BCHG.利用中位線(xiàn)、平行四邊形證線(xiàn)線(xiàn)平行,再證線(xiàn)面平行、面面平行．證明(1)∵G，H分別是A1B1,A1C1的中點(diǎn)，∴GH是△A1B1C1的中位線(xiàn),則GH∥B1C1，又∵B1C1∥BC,∴GH∥BC,∴B，C，H，G四點(diǎn)共面．(2)∵E，F(xiàn)分別為AB,AC的中點(diǎn)，∴EF∥BC,∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG，又G，E分別為A1B1，AB的中點(diǎn)，A1B1綊AB，∴A1G綊EB?！嗨倪呅蜛1EBG是平行四邊形，∴A1E∥GB?！逜1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG。［條件探究1]在典例條件下，若D1，D分別為B1C1，BC的中點(diǎn)，求證：平面A1BD1∥平面AC1D.證明如圖所示，連接A1C交AC1于點(diǎn)M，∵四邊形A1ACC1是平行四邊形，∴M是A1C的中點(diǎn)，連接MD，∵D為BC的中點(diǎn)，∴A1B∥DM.∵A1B?平面A1BD1，DM?平面A1BD1,∴DM∥平面A1BD1。又由三棱柱的性質(zhì)知，D1C1綊BD，∴四邊形BDC1D1為平行四邊形，∴DC1∥BD1.又DC1?平面A1BD1，BD1?平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1。又∵DC1∩DM＝D，DC1，DM?平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.［條件探究2]在典例中,若將條件“E,F，G，H分別是AB,AC，A1B1,A1C1的中點(diǎn)”變?yōu)椤包c(diǎn)D，D1分別是AC，A1C1上的點(diǎn)，且平面BC1D∥平面AB1D1”，試求eq\f（AD，DC)的值．解連接A1B交AB1于O,連接OD1.由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1,平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O.所以BC1∥D1O，則eq\f(A1D1,D1C1）＝eq\f（A1O,OB）＝1。同理可證AD1∥DC1，則eq\f（A1D1,D1C1）＝eq\f(DC,AD),∴eq\f(DC，AD)＝1,即eq\f（AD，DC)＝1.方法技巧1．判定面面平行的方法(1)利用面面平行的判定定理，轉(zhuǎn)化為證明線(xiàn)面平行．（2)證明兩平面垂直于同一條直線(xiàn)．(3)證明兩平面與第三個(gè)平面平行．2．面面平行條件的應(yīng)用（1）兩平面平行,分析構(gòu)造與之相交的第三個(gè)平面，交線(xiàn)平行．（2)兩平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行．提醒：利用面面平行的判定定理證明兩平面平行，需要說(shuō)明是在一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)是相交直線(xiàn)．沖關(guān)針對(duì)訓(xùn)練（2018·西安模擬)如圖,四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝eq\r（2)。（1)證明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD－A1B1D1的體積．解（1)證明:由題設(shè)知BB1綊DD1，∴四邊形BB1D1D是平行四邊形，∴BD∥B1D1。又BD?平面CD1B1,B1D1?平面CD1B1，∴BD∥平面CD1B1?！逜1D1綊B1C1綊BC，∴四邊形A1BCD1是平行四邊形，∴A1B∥D1C.又A1B?平面CD1B1，D1C?平面CD1B1，∴A1B∥平面CD1B1。又∵BD∩A1B＝B，∴平面A1BD∥平面CD1B1。（2)∵A1O⊥平面ABCD,∴A1O是三棱柱ABD－A1B1D1的高．又∵AO＝eq\f(1，2）AC＝1，AA1＝eq\r(2）,∴A1O＝eq\r(AA\o\al（2，1)－OA2）＝1。又∵S△ABD＝eq\f（1,2）×eq\r（2）×eq\r(2)＝1,∴VABD－A1B1D1＝S△ABD×A1O＝1.1。(2017·福建八校聯(lián)考)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是棱CD上的動(dòng)點(diǎn)，則直線(xiàn)MC1與平面AA1B1B的位置關(guān)系是(）A．相交 B．平行C．異面 D．相交或平行答案B解析如圖，MC1?平面DD1C1C，而平面AA1B1B∥平面DD1C1C，故MC1∥平面AA1B1B。故選B.2．（2016·全國(guó)卷Ⅱ)α，β是兩個(gè)平面，m，n是兩條直線(xiàn)，有下列四個(gè)命題：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β;②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n;③如果α∥β，m?α，那么m∥β;④如果m∥n，α∥β,那么m與α所成的角和n與β所成的角相等．其中正確的命題有________．（填寫(xiě)所有正確命題的編號(hào))答案②③④解析對(duì)于①，由m⊥n，m⊥α可得n∥α或n在α內(nèi),當(dāng)n∥β時(shí)，α與β可能相交，也可能平行,故①錯(cuò)誤；對(duì)于②,過(guò)直線(xiàn)n作平面與平面α交于直線(xiàn)c,由n∥α可知n∥c,∵m⊥α，∴m⊥c，∴m⊥n，故②正確；對(duì)于③，由兩個(gè)平面平行的性質(zhì)可知正確；對(duì)于④,由線(xiàn)面所成角的定義和等角定理可知其正確，故正確的有②③④.3．（2017·河北唐山統(tǒng)考)在三棱錐P－ABC中，PB＝6，AC＝3，G為△PAC的重心，過(guò)點(diǎn)G作三棱錐的一個(gè)截面，使截面平行于PB和AC，則截面的周長(zhǎng)為_(kāi)_______．答案8解析過(guò)點(diǎn)G作EF∥AC，分別交PA，PC于點(diǎn)E,F，過(guò)E，F(xiàn)分別作EN∥PB,FM∥PB，分別交AB，BC于點(diǎn)N,M，連接MN，則四邊形EFMN是平行四邊形(面EFMN為所求截面）,且EF＝MN＝eq\f（2，3）AC＝2，F(xiàn)M＝EN＝eq\f（1,3)PB＝2，所以截面的周長(zhǎng)為2×4＝8。4．(2018·石家莊質(zhì)檢）如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為梯形,AD∥BC，CD⊥BC，AD＝2,AB＝BC＝3，PA＝4，M為AD的中點(diǎn),N為PC上一點(diǎn)，且PC＝3PN。(1)求證：MN∥平面PAB;（2)求點(diǎn)M到平面PAN的距離．解（1)證明:在平面PBC內(nèi)作NH∥BC交PB于點(diǎn)H，連接AH，在△PBC中，NH∥BC，且NH＝eq\f（1，3）BC＝1，AM＝eq\f（1，2）AD＝1。又AD∥BC，∴NH∥AM且NH＝AM，∴四邊形AMNH為平行四邊形，∴MN∥AH，又AH?平面PAB,MN?平面PAB，∴MN∥平面PAB.（2）連接AC，MC，PM，平面PAN即為平面PAC，設(shè)點(diǎn)M到平面PAC的距離為h。由題意可得CD＝2eq\r(2)，AC＝2eq\r（3)，∴S△PAC＝eq\f(1，2）PA·AC＝4eq\r（3)，S△AMC＝eq\f（1,2）AM·CD＝eq\r（2），由VM－PAC＝VP－AMC，得eq\f（1,3）S△PAC·h＝eq\f（1，3）S△AMC·PA,即4eq\r（3)h＝eq\r（2）×4，∴h＝eq\f(\r（6)，3），∴點(diǎn)M到平面PAN的距離為eq\f(\r（6)，3）。［重點(diǎn)保分兩級(jí)優(yōu)選練］A級(jí)一、選擇題1．(2017·南開(kāi)模擬)下列命題正確的是（)A．若兩條直線(xiàn)和同一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線(xiàn)平行B．若一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行C．若一條直線(xiàn)平行于兩個(gè)相交平面，則這條直線(xiàn)與這兩個(gè)平面的交線(xiàn)平行D．若兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行答案C解析若兩條直線(xiàn)和同一平面所成角相等，這兩條直線(xiàn)可能平行，也可能為異面直線(xiàn)，也可能相交，所以A錯(cuò)誤；一個(gè)平面內(nèi)不共線(xiàn)且在另一個(gè)平面同側(cè)的三點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等,則這兩個(gè)平面平行,故B錯(cuò)誤；若兩個(gè)平面垂直同一個(gè)平面，兩平面可以平行，也可以相交，故D錯(cuò)誤；故選C。2．下列命題中,錯(cuò)誤的是()A．三角形的兩條邊平行于一個(gè)平面,則第三邊也平行于這個(gè)平面B．平面α∥平面β，a?α，過(guò)β內(nèi)的一點(diǎn)B有唯一的一條直線(xiàn)b，使b∥aC．α∥β，γ∥δ，α，β,γ，δ的交線(xiàn)為a，b，c，d,則a∥b∥c∥dD．一條直線(xiàn)與兩個(gè)平面成等角是這兩個(gè)平面平行的充要條件答案D解析D錯(cuò)誤,當(dāng)兩平面平行時(shí)，則該直線(xiàn)與兩個(gè)平面成等角；反之，如果一條直線(xiàn)與兩個(gè)平面成等角,這兩個(gè)平面可能是相交平面,如圖,α⊥β,直線(xiàn)AB與α，β都成45°角，但α∩β＝l.故選D.3．(2017·福建聯(lián)考）設(shè)l，m,n表示不同的直線(xiàn),α,β，γ表示不同的平面，給出下列四個(gè)命題：①若m∥l，且m⊥α，則l⊥α;②若m⊥l,m⊥α,則l∥α;③若α∩β＝l,β∩γ＝m，γ∩α＝n，則l∥m∥n；④若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，且n∥β,則l∥m。其中正確命題的個(gè)數(shù)是（)A．1 B．2C．3 D．4答案B解析對(duì)①，兩條平行線(xiàn)中有一條與一平面垂直,則另一條也與這個(gè)平面垂直,故①正確；對(duì)②,直線(xiàn)l可能在平面α內(nèi)，故②錯(cuò)誤；對(duì)③,三條交線(xiàn)除了平行，還可能相交于同一點(diǎn)，故③錯(cuò)誤；對(duì)④，結(jié)合線(xiàn)面平行的判定定理和性質(zhì)定理可判斷其正確．綜上①④正確．故選B。4．(2017·昆明七校模擬）一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖及該正方體直觀圖的示意圖如圖所示，在正方體中，設(shè)BC的中點(diǎn)為M,GH的中點(diǎn)為N，則MN與平面BDH的關(guān)系是（)A．MN∩平面BDH＝M B．MN?平面BDHC．MN∥平面BDH D．MN⊥平面BDH答案C解析連接BD，設(shè)O為BD的中點(diǎn)，連接OM，OH,AC,BH,MN,如圖所示．∵M(jìn)，N分別是BC，GH的中點(diǎn)，∴OM∥CD,且OM＝eq\f（1,2）CD，NH∥CD,且NH＝eq\f(1,2)CD，∴OM∥NH，OM＝NH，則四邊形MNHO是平行四邊形，∴MN∥OH,又MN?平面BDH，OH?平面BDH，∴MN∥平面BDH.故選C.5．如圖所示，P是三角形ABC所在平面外一點(diǎn)，平面α∥平面ABC,α分別交線(xiàn)段PA，PB，PC于A′，B′，C′,若PA′∶AA′＝2∶3，則△A′B′C′與△ABC面積的比為（)A．2∶5B．3∶8C．4∶9D．4∶25答案D解析∵平面α∥平面ABC，平面PAB∩α＝A′B′，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴A′B′∥AB.又∵PA′∶AA′＝2∶3，∴A′B′∶AB＝PA′∶PA＝2∶5。同理B′C′∶BC＝A′C′∶AC＝2∶5?！唷鰽′B′C′與△ABC相似，∴S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25.故選D。6．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為a，M，N分別為A1B和AC上的點(diǎn)，若A1M＝AN＝eq\f(2a,3)，則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是（)A．相交 B．平行C．垂直 D．不能確定答案B解析連接CD1,在CD1上取點(diǎn)P，使D1P＝eq\f(2a,3)，∴MP∥BC,PN∥AD1?！郙P∥平面BB1C1C,PN∥平面AA1D1D.∴平面MNP∥平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C.故選B。7．（2018·宜昌一模)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，過(guò)MN作一平面交底面三角形ABC的邊BC，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，則(）A．MF∥NEB．四邊形MNEF為梯形C．四邊形MNEF為平行四邊形D．A1B1∥NE答案B解析在平行四邊形AA1B1B中，AM＝2MA1,BN＝2NB1.所以AM綊BN，所以MN綊AB，又MN?平面ABC，AB?平面ABC，所以MN∥平面ABC。又MN?平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC＝EF,所以MN∥EF，所以EF∥AB，顯然在△ABC中，EF∥MN，EF≠M(fèi)N，所以四邊形MNEF為梯形．故選B。8．（2017·安徽阜陽(yáng)一中模擬)過(guò)平行六面體ABCD－A1B1C1D1任意兩條棱的中點(diǎn)作直線(xiàn)，其中與平面DBB1D1平行的直線(xiàn)共有（)A．4條 B．6條C．8條 D．12條答案D解析如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，E,F,G,H，M,N，P，Q分別為相應(yīng)棱的中點(diǎn)，容易證明平面EFGH，平面MNPQ均與平面BDD1B1平行，平面EFGH和平面MNPQ中分別有6條直線(xiàn)（相應(yīng)四邊形的四條邊和兩條對(duì)角線(xiàn))滿(mǎn)足要求，故共有12條直線(xiàn)符合要求．故選D.9．(2018·河南三市聯(lián)考)如圖所示，側(cè)棱與底面垂直，且底面為正方形的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，M，N分別在AD1，BC上移動(dòng),始終保持MN∥平面DCC1D1,設(shè)BN＝x，MN＝y(tǒng),則函數(shù)y＝f（x）的圖象大致是（)答案C解析過(guò)M作MQ∥DD1,交AD于Q，連接QN?！進(jìn)N∥平面DCC1D1，MQ∥平面DCC1D1，MN∩MQ＝M，∴平面MNQ∥平面DCC1D1，又平面ABCD與平面MNQ和DCC1D1分別交于QN和DC，∴NQ∥DC，可得QN＝CD＝AB＝1，AQ＝BN＝x.∵eq\f（MQ,AQ）＝eq\f（DD1,AD)＝2，∴MQ＝2x。在Rt△MQN中，MN2＝MQ2＋QN2,即y2＝4x2＋1，∴y2－4x2＝1（x≥0，y≥1）,∴函數(shù)y＝f（x)的圖象為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線(xiàn)上支的一部分．故選C.10．（2018·昆明模擬)在三棱錐S－ABC中，△ABC是邊長(zhǎng)為6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分別與AB，BC,SC，SA交于D，E，F(xiàn),H.D,E分別是AB,BC的中點(diǎn)，如果直線(xiàn)SB∥平面DEFH,那么四邊形DEFH的面積為()A.eq\f(45，2） B。eq\f(45\r(3）,2）C．45 D．45eq\r（3）答案A解析取AC的中點(diǎn)G,連接SG，BG.易知SG⊥AC,BG⊥AC，故AC⊥平面SGB，所以AC⊥SB。因?yàn)镾B∥平面DEFH，SB?平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD,則SB∥HD。同理SB∥FE.又D，E分別為AB,BC的中點(diǎn)，則H，F(xiàn)也為AS，SC的中點(diǎn),從而得HF綊eq\f（1,2)AC綊DE，所以四邊形DEFH為平行四邊形．又AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，所以DE⊥HD,所以四邊形DEFH為矩形，其面積S＝HF·HD＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,2)AC))·eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,2）SB）)＝eq\f(45，2）。故選A.二、填空題11．如圖，四邊形ABDC是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α,M是AC的中點(diǎn)，BD與平面α交于點(diǎn)N,AB＝4，CD＝6，則MN＝________.答案5解析∵AB∥平面α,AB?平面ABDC,平面ABDC∩平面α＝MN,∴AB∥MN。又M是AC的中點(diǎn)，∴MN是梯形ABDC的中位線(xiàn)，故MN＝eq\f（1,2)(AB＋CD）＝5.12．如圖所示，在四面體ABCD中,M,N分別是△ACD，△BCD的重心,則四面體的四個(gè)面中與MN平行的是________．答案平面ABC、平面ABD解析連接AM并延長(zhǎng),交CD于E，連接BN，并延長(zhǎng)交CD于F，由重心性質(zhì)可知，E，F(xiàn)重合為一點(diǎn)，且該點(diǎn)為CD的中點(diǎn)E，連接MN，由eq\f(EM，MA）＝eq\f（EN，NB）＝eq\f(1,2），得MN∥AB,因此，MN∥平面ABC且MN∥平面ABD。13．正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1cm，過(guò)AC作平行于對(duì)角線(xiàn)BD1的截面，則截面面積為_(kāi)_______cm2.答案eq\f(\r（6），4)解析如圖所示，截面ACE∥BD1，平面BDD1∩平面ACE＝EF，其中F為AC與BD的交點(diǎn)，∴E為DD1的中點(diǎn)，∴S△ACE＝eq\f(1,2)×eq\r（2)×eq\f(\r(3），2）＝eq\f(\r(6），4)(cm2)．14．如圖，在正四棱柱A1C中,E,F,G，H分別是棱CC1，C1D1,D1D，DC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則M只需滿(mǎn)足條件________時(shí)，就有MN∥平面B1BDD1。（注：請(qǐng)?zhí)钌夏阏J(rèn)為正確的一個(gè)條件即可,不必考慮全部可能情況）答案M位于線(xiàn)段FH上(答案不唯一）解析連接HN，F(xiàn)H，F(xiàn)N，則FH∥DD1,HN∥BD，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只要M∈FH，則MN?平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.B級(jí)三、解答題15．（2018·石家莊質(zhì)檢二）如圖，在三棱柱ABC－DEF中,側(cè)面ABED是邊長(zhǎng)為2的菱形，且∠ABE＝eq\f（π，3），BC＝eq\f（\r(21)，2）.點(diǎn)F在平面ABED內(nèi)的正投影為G,且點(diǎn)G在AE上，F(xiàn)G＝eq\r(3)，點(diǎn)M在線(xiàn)段CF上，且CM＝eq\f（1，4)CF。(1）證明：直線(xiàn)GM∥平面DEF；（2）求三棱錐M－DEF的體積．解(1)證明：∵點(diǎn)F在平面ABED內(nèi)的正投影為G，∴FG⊥平面ABED，∴FG⊥GE.又BC＝eq\f(\r(21），2)＝EF,FG＝eq\r(3)，∴GE＝eq\f(3，2）?！咚倪呅蜛BED是邊長(zhǎng)為2的菱形,且∠ABE＝eq\f(π,3），∴AE＝2，∴AG＝eq\f（1，2).如圖，過(guò)點(diǎn)G作GH∥AD交DE于點(diǎn)H,連接FH.則eq\f(GH,AD）＝eq\f(GE,AE)，∴GH＝eq\f(3,2)，由CM＝eq\f(1，4）CF得MF＝eq\f（3,2)＝GH.易證GH∥AD∥MF，∴四邊形GHFM為平行四邊形，∴MG∥FH。又GM?平面DEF，∴GM∥平面DEF.(2）由（1)知GM∥平面DEF,連接GD,則有VM－DEF＝VG－DEF。又VG－DEF＝VF－DEG＝eq\f(1，3）FG·S△DEG＝eq\f(1，3)FG·eq\f（3，4)S△DAE＝eq\f（3,4），∴VM－DEF＝eq\f(3，4）。16．(2018·鄭州質(zhì)檢二)如圖，高為1的等腰梯形ABCD中，AM＝CD＝eq\f（1,3)AB＝1，M為AB的三等分點(diǎn)，現(xiàn)將△AMD沿MD折起，使平面AMD⊥平面MBCD,連接AB，AC.（1）在AB邊上是否存在點(diǎn)P,使AD∥平面MPC？(2）當(dāng)點(diǎn)P為AB邊的中點(diǎn)時(shí),求點(diǎn)B到平面MPC的距離．解(1）當(dāng)AP＝eq\f(1,3）AB時(shí)，有AD∥平面MPC.理由如下:連接BD交MC于點(diǎn)N，連接NP。在梯形MBCD中,DC∥MB，eq\f(DN,NB）＝eq\f（DC,MB)＝eq\f(1，2）,∵△ADB中，eq\f(AP,PB)＝eq\f（1,2），∴AD∥PN.∵AD?平面MPC，PN?平面MPC，∴AD∥平面MPC。（2）∵平面AMD⊥