名師教案 高中數(shù)學(xué)人教B版 必修 第二冊 古典概型

5.3.3古典概型（1）《古典概型》是高中數(shù)學(xué)人教B版第五章概率部分5.3.3節(jié)的內(nèi)容，教學(xué)安排是2課時，本課時是第一課時，是在事件之間的關(guān)系與運算的學(xué)習(xí)之后，尚未學(xué)習(xí)排列組合的情況下教學(xué)的。古典概型是一種特殊的數(shù)學(xué)模型，也是一種最基本的概率模型，它的引入避免了大量的重復(fù)試驗，而且得到了概率的精確值，同時古典概型也是后面學(xué)習(xí)條件概率的基礎(chǔ)，它有利于理解概率的概念，有利于計算一些事件的概率，有利于解釋生活中的一些問題，起到承前啟后的作用，所以在概率論中占有重要的地位.考點教學(xué)目標(biāo)核心素養(yǎng)古典概型的定義結(jié)合具體實例，理解古典概型的意義數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模古典概型的計算公式掌握古典概型的概率公式，并會求事件的概率數(shù)學(xué)抽象，數(shù)學(xué)建模，數(shù)學(xué)運算【教學(xué)重點】理解古典概型的概念，利用古典概型求解隨機(jī)事件的概率【教學(xué)難點】如何判定一個試驗是否為古典概型，弄清在一個古典概型中樣本點的總數(shù)和某隨機(jī)事件包含的樣本點的個數(shù)解答：（1）拋硬幣試驗中，因為樣本空間包含2各樣本點，而且因為硬幣是均勻的，所以可以認(rèn)為每個樣本帶你出現(xiàn)的可能性相等，又因為事件A包含1個樣本點，因此：；（2）擲骰子試驗中，因為樣本空間共有6個樣本點，而且因為骰子是均勻的，所以可以認(rèn)為每個樣本點出現(xiàn)的可能性相等，又因為事件B包含6個樣本點，因此.知識點1：（1）一般地，如果隨機(jī)試驗的樣本空間所包含的樣本點的個數(shù)是有限的（簡稱有限性），而且可以認(rèn)為每個只包含一個樣本點的事件（基本事件）發(fā)生的可能性大小都相等（簡稱等可能性），則稱這樣的隨機(jī)試驗為古典概率模型，簡稱為古典概型.（2）古典概型中，事件發(fā)生的概率可以通過下述方式得到：假設(shè)樣本空間包含n個樣本點，由古典概型的定義可知，每個基本事件發(fā)生的可能性大小都相等，又因為必然事件發(fā)生的概率為，因此互斥事件的概率加法公式可知每個基本世家按發(fā)生的概率為，此時，如果事件C包含m個樣本點，則再又互斥事件的概率加法公式可知：.【概念辨析】1.下列試驗是古典概型的是（）A．種下一粒大豆觀察它是否發(fā)芽B．從規(guī)格直徑為（2500.6）mm的一批產(chǎn)品中任意抽一根，測量其直徑C．拋一枚硬幣，觀察其正面或反面出現(xiàn)的情況D．某人射擊中靶或不中靶【答案】C2.下列有關(guān)古典概型的四種說法：①試驗中所有可能出現(xiàn)的樣本點只有有限個；②每個事件出現(xiàn)的可能性相等；③每個樣本點出現(xiàn)的可能性相等；④已知樣本點總數(shù)為，若隨機(jī)事件包含個樣本點，則事件發(fā)生的概率.其中所正確說法的序號是（）A．①②④ B．①③ C．③④ D．①③④【答案】D例1.某中學(xué)矩形高一廣播體操比賽，共10個隊參賽，為了確定出場順序，學(xué)校制作了10個出場序號簽供大家抽簽，高一（1）班先抽，求他們抽到的出場序號小于4的概率.解：考慮高一（1）班從10個出場序號簽中抽一個簽的試驗，其樣本空間可記為：共包含10個樣本點.記A：抽到的出場序號小于4，則不難看出：A包含的樣本點個數(shù)為3，則例2.按先后順序拋兩枚均勻的硬幣，觀察正反面出現(xiàn)的情況，求至少出現(xiàn)一個正面的概率.解：這個試驗的樣本空間可記為：共包含4個樣本點.記A：至少出現(xiàn)一個正面，則A包含3個樣本點，所以注：在確定是古典概型問題后，求其概率只需套用公式P(A)＝eq\f(m,n)計算即可，其中關(guān)鍵是求出n和m的值，即樣本點總數(shù)和事件A所包含的樣本點個數(shù)，簡單的古典概型問題直接用列舉法列出基本事件即可.知識點2：古典概型中的概率也具有前面我們所說的概率的性質(zhì)，假設(shè)古典概型對應(yīng)的樣本空間含n個樣本點，事件A包含m個樣本點，則：（1）由與可知；（2）因為中包含的樣本點個數(shù)為,所以即.（3）若事件B包含有k個樣本點，而且A與B互斥，則容易知道A+B包含m+k個樣本點，從而：例2也可用如下方法求解：因為，所以，從而例3.從含有兩件正品和一件次品的3件產(chǎn)品中，按先后順序任意取出兩件產(chǎn)品，每次取出后不放回，求取出的兩件產(chǎn)品恰有一件次品的概率.解：按題意，取產(chǎn)品的過程可以用如圖樹形圖直觀表示：因此樣本空間可記為：共包含6個樣本點.用A表示“取出的兩件中，恰好有一件次品”，則A包含的樣本點個數(shù)為4，所以【變式】如果把例3中的條件改為：“每次取出后不放回“換成”每次取出后放回”，其余不變，則所求事件發(fā)生的概率將有所變化.解：樣本空間應(yīng)記為：共包含9個樣本點，而事件：A包含的樣本點個數(shù)為4，所以注：當(dāng)列舉基本事件涉及到分步或者需要考慮兩個要素是，可以采用樹形圖直觀表示例4.甲、乙兩人玩錘子、剪刀、布的猜拳游戲，假設(shè)兩人都隨機(jī)出拳，求：（1）平局的概率；（2）甲贏得概率；（3）甲不輸?shù)酶怕?解：因為甲有3種不同得出拳方法，乙同樣也有3種不同得出拳方法，因此一次出拳共有種不同的可能.因為都是隨機(jī)出拳，所以可以看出古典概型，而且樣本空間種共包含9個樣本點，樣本空間可以用下圖直觀表示：因為錘子贏剪刀，剪刀贏布，布贏錘子，因此若記事件A為“平局“，B為”甲贏“，則：（1）事件A包含3個樣本點（圖中的Δ），因此；（2）事件B包含3個樣本點（圖中的※），因此；（3）因為A+B表示“甲不輸”，且A，B互斥，因此所求概率為：例5.先后擲兩個均勻的骰子，觀察朝上的面的點數(shù)，記事件A：點數(shù)之和為7，B：至少出現(xiàn)一個點3，求.解：用數(shù)對來表示拋擲的結(jié)果，則樣本空間可記為：而且樣本空間可用下圖直觀表示：樣本空間中，包含36個樣本點不難看出，A包含6個樣本點（圖中橙色框中的點），因此.由對立事件概率之間的關(guān)系可知： 類似的，可以看出，圖中綠色框中的點可以代表事件B，因此B包含11個樣本點，從而.不難知道，，因此.注：當(dāng)列舉基本事件涉及到分步或者需要考慮兩個要素是，可以采用表格直觀表示，并可以靈活使用概率的性質(zhì).例6.人的眼皮有單眼皮與雙眼皮之分，這是由對應(yīng)的基因決定的.生物學(xué)上已經(jīng)證明：決定眼皮單雙基因有兩種，一種是顯性基因（記為B），另一種是隱性基因（記為b）；基因總是成對出現(xiàn)（如BB，bB，Bb，bb），而成對的基因中，只要出現(xiàn)了顯性基因，那么這個人就一定是雙眼皮（也就是說，“單眼皮”的充要條件是“成對的基因是bb”）；如果不發(fā)生基因突變的話，成對的基因中，一個來自父親，另一個來自母親，但父母親提供基因時都是隨機(jī)的.有一對夫妻，兩人成對的基因都是Bb，不考慮基因突變，求他們的孩子是單眼皮的概率.解：我們用連著寫的兩個字母表示孩子的成對的基因，其中第一個字母表示父親提供的基因，第二個字母表示母親提供的基因.由下圖的樹形圖可知，樣本空間中共4個樣本點，即：孩子要是單眼皮，成對的基因只能是bb,因此所求的概率為.注：例6中，若我們考慮的樣本空間為，那么事件“他們的孩子是單眼皮“只包含一個樣本點bb,但由此并不能得出該事件發(fā)生的概率為因為樣本空間中各個基本事件不具有等可能性。因此，用古典概型求概率時，要選擇合適的方式表示樣本點和樣本空間，以使得基本事件具有等可能性，并且使所考察的事件能表示為樣本空間的子集.小結(jié)：1.古典概型是一種最基本的概型，也是學(xué)習(xí)其他概型的基礎(chǔ)，這也是我們在學(xué)習(xí)、生活中經(jīng)常遇到的題型.解題時要緊緊抓住古典概型的兩個基本特征，即有限性和等可能性.在用古典概型求概率時，要選擇合適的方