考研數(shù)學(xué)戰(zhàn)地黃花講座

“木桶原理”已經(jīng)廣為人所知曉。但真要在做件事時找到自身的短處，下意識地有針對性地采取措施，以求得滿意的結(jié)果。實在是一件不容易的事。

非數(shù)學(xué)專業(yè)的本科學(xué)生與數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生的最基本差別，在于概念意識。

數(shù)學(xué)科學(xué)從最嚴密的定義出發(fā)，在準確的概念與嚴密的邏輯基礎(chǔ)上層層疊疊，不斷在深度與廣度上發(fā)展。形成一棵參天大樹。

在《高等數(shù)學(xué)》中，出發(fā)點處就有函數(shù)，極限，連續(xù)，可導(dǎo)，可微等重要概念。

在《線性代數(shù)》的第一知識板塊中，最核心的概念是矩陣的秩。而第二知識板塊中，則是矩陣的特征值與特征向量。

在《概率統(tǒng)計》中，第一重要的概念是分布函數(shù)。不過，《概率》不是第一層次基礎(chǔ)課程。學(xué)習(xí)《概率》需要學(xué)生有較好的《高等數(shù)學(xué)》基礎(chǔ)。

非數(shù)學(xué)專業(yè)的本科學(xué)生大多沒有概念意識，記不住概念。更不會從概念出發(fā)分析解決問題?；A(chǔ)層次的概念不熟，下一層次就云里霧里了。這是感到數(shù)學(xué)難學(xué)的關(guān)鍵。

大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)目的，通常只是為了滿足相關(guān)本科專業(yè)的需要。教師們在授課時往往不會太重視，而且也沒時間來進行概念訓(xùn)練。

考研數(shù)學(xué)目的在于選拔，考題中基本概念與基本方法并重。這正好擊中考生的軟肋。在考研指導(dǎo)課上，往往會有學(xué)生莫名驚詫，“大一那會兒學(xué)的不一樣。”原因就在于學(xué)過的概念早忘完了。

做考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)，首先要在基本概念與基本運算上下足功夫。

按考試時間與分值來匹配，一個4分的選擇題平均只有5分鐘時間。而這些選擇題卻分別來自三門數(shù)學(xué)課程，每個題又至少有兩個概念。你可以由此體驗選拔考試要求你對概念的熟悉程度。

從牛頓在碩士生二年級的第一篇論文算起，微積分有近四百年歷史。文獻浩如煙海，知識千錘百煉。非數(shù)學(xué)專業(yè)的本科生們所接觸的，只是初等微積分的一少部分。方法十分經(jīng)典，概念非常重要。學(xué)生們要做的是接受，理解，記憶，學(xué)會簡單推理。當(dāng)你面對一個題目時，你的自然反應(yīng)是，“這個題目涉及的概念是---”，而非“在哪兒做過這道題”，才能算是有點入門了。

你要考得滿意嗎？基點不在于你看了多少難題，關(guān)鍵在于你是否對基本概念與基本運算非常熟悉。

陽春三月風(fēng)光好，抓好基礎(chǔ)正當(dāng)時?？佳袛?shù)學(xué)講座（2）筆下生花花自紅考研數(shù)學(xué)講座（2）筆下生花花自紅在愛搞運動的那些年代里，數(shù)學(xué)工作者們經(jīng)常受到這樣的指責(zé)，“一支筆，一張紙，一杯茶，鬼畫桃符，脫離實際。”發(fā)難者不懂基礎(chǔ)研究的特點，不懂得考慮數(shù)學(xué)問題時“寫”與“思”同步的重要性。也許是計算機廣泛應(yīng)用的影響，今天的學(xué)生們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時，也不太懂得“寫”的重要性?？佳械膶W(xué)生們，往往拿著一本厚厚的考研數(shù)學(xué)指導(dǎo)資料，看題看解看答案或看題想解翻答案。動筆的時間很少。數(shù)學(xué)書不比小說。看數(shù)學(xué)書和照鏡子差不多，鏡子一拿走，印象就模糊。科學(xué)的思維是分層次的思維。求解一個數(shù)學(xué)問題時，你不能企圖一眼看清全路程。你只能踏踏實實地考慮如何邁出第一步?；颉耙罁?jù)已知條件，我首先能得到什么？”（分析法）；或“要證明這個結(jié)論，就是要證明什么？”（綜合法）。在很多情形下，寫出第一步與不寫的感覺是完全不同的。下面是一個簡單的例。“連續(xù)函數(shù)與不連續(xù)函數(shù)的和會怎樣？”寫成“連續(xù)A+不連續(xù)B=？”后就可能想到，只有兩個答案，分別填出來再說。（窮盡法）。如果，“連續(xù)A+不連續(xù)B=連續(xù)C”移項，則“連續(xù)C－連續(xù)A=不連續(xù)B”這與定理矛盾。所以有結(jié)論：連續(xù)函數(shù)與不連續(xù)函數(shù)的和一定不連續(xù)。有相當(dāng)一些數(shù)學(xué)定義，比如“函數(shù)在一點可導(dǎo)”，其中包含有計算式。能否掌握并運用這些定義，關(guān)鍵就在于是否把定義算式寫得滾瓜爛熟。比如，題面上有已知條件f′(1)＞0，概念深，寫得熟的人立刻就會先寫出h趨于0時，lim(f(1+h)－f(1）)/h＞0然后由此自然會聯(lián)想到，下一步該運用極限的性質(zhì)來推理。而寫不出的人就抓瞎了。又比如《線性代數(shù)》中特征值與特征向量有定義式Aα=λα，α≠0，要是移項寫成（A－λE）α=0，α≠0，這就表示α是齊次線性方程組（A－λE）X=0的非零解，進而由理論得到算法。數(shù)學(xué)思維的特點之一是“發(fā)散性”。一個數(shù)學(xué)表達式可能有幾個轉(zhuǎn)換方式，也許從其中一個方式會得到一個新的解釋，這個解釋將導(dǎo)引我們邁出下一步。車到山前自有路，你得把車先推到山前啊。望山跑死馬。思考一步寫一步，觀測分析邁下步。路只能一步步走。陳景潤那篇名揚世界的“1+2”論文中有28個“引理”對于很多考生來說，不熟悉基本計算是他們思考問題的又一大障礙?！陡叩葦?shù)學(xué)》感覺不好的考生，第一原因多半是不會或不熟悉求導(dǎo)運算。求導(dǎo)運算差，討論函數(shù)的圖形特征，積分，解微分方程等，反應(yīng)必然都慢。《線性代數(shù)》中矩陣的乘法與矩陣乘積的多種分塊表達形式，那是學(xué)好線性代數(shù)的訣竅。好些看似很難的問題，選擇一個分塊變形就明白了?！陡怕式y(tǒng)計》中，要熟練地運用二重積分來計算二維連續(xù)型隨機變量的各類問題。對于考數(shù)學(xué)三的同學(xué)來說，二重積分又是《高等數(shù)學(xué)》部分年年必考的內(nèi)容。掌握了二重積分，就能在兩類大題上得分。要考研嗎，要去聽指導(dǎo)課嗎，一定要自己先動筆，盡可能地把基本計算練一練。我一直向考生建議，臨近考試的一段時間里，不仿多自我模擬考試。在限定的考試時間內(nèi)作某年研考的全巻。中途不翻書，不查閱，憑已有能力做到底?？纯闯煽兌嗌佟２灰詾槟阋呀?jīng)看過這些試卷了。就算你知道題該怎么做，你一寫出來也可能會面目全非。多動筆啊，“寫”“思”同步步履輕，筆下生花花自紅?？佳袛?shù)學(xué)講座（3）極限概念要體驗極限概念是微積分的起點。說起極限概念的歷史，學(xué)數(shù)學(xué)的都多少頗為傷感。很久很久以前，西出陽關(guān)無蹤影的老子就體驗到，“一尺之竿，日取其半，萬世不竭。”近兩千年前，祖氏父子分別用園的內(nèi)接正6n邊形周長替帶園周長以計算園周率；用分割曲邊梯形為n個窄曲邊梯形，進而把窄曲邊梯形看成矩形來計算其面積。他們都體驗到，“割而又割，即將n取得越來越大，就能得到越來越精確的園周率值或面積?！眹藰銓嵉捏w驗延續(xù)了一千多年，最終沒有思維升華得到極限概念。而牛頓就在這一點上率先突破。極限概念起自于對“過程”的觀察。極限概念顯示著過程中兩個變量發(fā)展趨勢的關(guān)聯(lián)。自變量的變化趨勢分為兩類，一類是x→x0；一類是x→∞，“當(dāng)自變量有一個特定的發(fā)展趨勢時，相應(yīng)的函數(shù)值是否無限接近于一個確定的數(shù)a？”如果是，則稱數(shù)a為函數(shù)的極限?！盁o限接近”還不是嚴密的數(shù)學(xué)語言。但這是理解極限定義的第一步，最直觀的一步。學(xué)習(xí)極限概念，首先要學(xué)會觀察，了解過程中的變量有無一定的發(fā)展趨勢。學(xué)習(xí)體驗相應(yīng)的發(fā)展趨勢。其次才是計算或討論極限值。自然數(shù)列有無限增大的變化趨勢。按照游戲規(guī)則，我們還是說自然數(shù)列沒有極限。自然數(shù)n趨于無窮時，數(shù)列1/n的極限是0；x趨于無窮時，函數(shù)1/x的極限是0；回顧我們最熟悉的基本初等函數(shù)，最直觀的體驗判斷是，x趨于正無窮時，正指數(shù)的冪函數(shù)都與自然數(shù)列一樣，無限增大，沒有極限。x趨于正無窮時，底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù)都無限增大，沒有極限。x→0+時，對數(shù)函數(shù)lnx趨于－∞；x趨于正無窮時，lnx無限增大，沒有極限。x→∞時，正弦sinx與余弦conx都周而復(fù)始，沒有極限。在物理學(xué)中，正弦y=sinx的圖形是典型的波動。我國《高等數(shù)學(xué)》教科書上普遍都選用了“震蕩因子”sin（1/x）。當(dāng)x趨于0時它沒有極限的原因是震蕩。具體想來，當(dāng)x由0.01變?yōu)?.001時，只向中心點x=0靠近了一點點，而正弦sinu卻完成了140多個周期。函數(shù)的圖形在+1與－1之間上下波動140多次。在x=0的鄰近，函數(shù)各周期的圖形緊緊地“擠”在一起，就好象是“電子云”。當(dāng)年我研究美國各大學(xué)的《高等數(shù)學(xué)》教材時，曾看到有的教材竟然把函數(shù)y=sin（1/x）的值整整印了一大頁，他們就是要讓學(xué)生更具體地體驗它的數(shù)值變化。x趨于0時（1/x）sin（1/x）不是無窮大，直觀地說就是函數(shù)值震蕩而沒有確定的發(fā)展趨勢。1/x為虎作倀，讓震蕩要多瘋狂有多瘋狂。更深入一步，你就得體驗，在同一個過程中，如果有多個變量趨于0，（或無限增大。）就可能有的函數(shù)趨于0時（或無限增大時）“跑得更快”。這就是高階，低階概念。考研數(shù)學(xué)還要要求學(xué)生對極限有更深刻的體驗。多少代人的千錘百煉，給微積分鑄就了自己的倚天劍。這就是一套精密的極限語言，（即ε–δ語言）。沒有這套語言，我們沒有辦法給出極限定義，也無法嚴密證明任何一個極限問題。但是，這套語言是高等微積分的內(nèi)容，非數(shù)學(xué)專業(yè)的本科學(xué)生很難搞懂。數(shù)十年來，考研試卷上都沒有出現(xiàn)過要運用ε–δ語言的題目。研究生入學(xué)考題中，考試中心往往用更深刻的體驗來考查極限概念。這就是“若x趨于∞時，相應(yīng)函數(shù)值f（x）有正的極限，則當(dāng)∣x∣充分大時，(你不仿設(shè)定一點x0，當(dāng)∣x∣＞x0時，)總有f（x）＞0”*“若x趨于x0時，相應(yīng)函數(shù)值f（x）有正的極限，則在x0的一個適當(dāng)小的去心鄰域內(nèi)，f（x）恒正”這是已知函數(shù)的極限而回頭觀察。逆向思維總是更加困難。不過，這不正和“近朱者赤，近墨者黑”一個道理嗎。除了上述苻號體驗外，能掌握下邊簡單的數(shù)值體驗則更好。若x趨于無窮時，函數(shù)的極限為0，則x的絕對值充分大時，(你不仿設(shè)定一點x0，當(dāng)∣x∣＞x0時，)函數(shù)的絕對值恒小于1若x趨于無窮時，函數(shù)為無窮大，則x的絕對值充分大時，(你不仿設(shè)定一點x0，當(dāng)∣x∣＞x0時，)函數(shù)的絕對值全大于1*若x趨于0時，函數(shù)的極限為0，則在0點的某個適當(dāng)小的去心鄰域內(nèi)，或x的絕對值充分小時，函數(shù)的絕對值全小于1（你不仿設(shè)定有充分小的數(shù)δ＞0，當(dāng)0＜∣x∣＜δ時，函數(shù)的絕對值全小于1）沒有什么好解釋的了，你得反復(fù)領(lǐng)會極限概念中“無限接近”的意義。你可以試著理解那些客觀存在，可以自由設(shè)定的點x0，或充分小的數(shù)δ＞0，并利用它們?？佳袛?shù)學(xué)講座（37）欲說《線代》先方程大自然中最簡單的圖形是直線。社會生活中最簡單的關(guān)系是“成比例”。據(jù)說當(dāng)年“工x隊”進駐清華。有一位隊員對“井崗山”群眾講話。開場白說，我們工人階級大老粗，不象你們知識分子彎彎多。我們是“一根腸子通屁眼——直來直去”。一句話讓滿場紅28團的鋼桿粉絲們笑得捧腹彎腰，花枝亂顫?！爸薄贝砗唵?，早已融進人們的思維。初等數(shù)學(xué)以引入負數(shù)為起點，以方程為其重心之一。最簡單的方程是一元一次方程。最基本的概念是方程的“根”或“解”。什么東東叫方程（組）的根(解)——把東東代入這個方程（組），方程（組）化為恒等式。這個概念是學(xué)習(xí)《線性代數(shù)》的基本需要。不少人讀到“齊次線性方程組有限個解的線性組合，仍然是該方程組的解”感覺茫然沒反應(yīng)，一是忘了概念，二是不動筆。應(yīng)對這些貌似理論的語句，其實方法很簡單。是不是“解”，代入方程（組）算一算。由一元一次方程出發(fā)，關(guān)于方程的研究向兩個方向發(fā)展：（1）一元n次方程（2）n元一次方程組（線性方程組）大學(xué)數(shù)學(xué)《線性代數(shù)》教材有兩大板塊。第一板塊解線性方程組?；竟ぞ呤蔷仃?，核心概念是矩陣的秩，理論重心是“齊次線性方程組解集的構(gòu)造”。第二板塊是矩陣特征理論基礎(chǔ)知識。n階方陣A的特征方程是個一元n次方程。一元n次方程的討論點為：求根公式，根的個數(shù)，根與系數(shù)的關(guān)系。一元二次方程有求根公式，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有兩個根。（二重根算兩個根。）有韋達定理顯示根與系數(shù)的關(guān)系。人們努力探索了大半個世紀，也沒能找到一元五次方程的求根公式?；仡^又花了幾十年，證明了所期盼的求根公式不存在。同時也證明了一元n次方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有n個根。（k重根算k個根。）還同樣找到了高次方程的“韋達定理”。對線性方程組的討論則衍生出若干基本理論?？梢院戏Q為線性理論。依靠著完美透徹的線性理論，所有的線性問題（線性方程組，線性微分方程組，---）都得到了園滿解決。在研究非線性問題時，人們找到了“有限元”，“邊界元”等線性化計算方法。但是一個非線性問題用線性化計算方法產(chǎn)生的齊次線性方程組可能有成千上萬個方程。這樣一來，方程組的表達方式自然就上升為首要問題。描述一個齊次線性方程a1x1+a2x2+---+anxn=0，實際上只需按順序?qū)懗鏊南禂?shù)組就行了。這就產(chǎn)生了形式上的n維向量（a1，a2，---，an）。方程組的兩種同解變換，即方程兩端同乘以一個數(shù)與兩個方程相加（減），正好是數(shù)乘向量與向量加法。如果是有m個方程的齊次線性方程組，則m個系數(shù)行就排成一個m×n階矩陣。如果把n個未知量也按順序排成一個向量，每個方程的左端“a1x1+a2x2+---+anxn”，正好是，系數(shù)向量與未知量向量的“對應(yīng)分量兩兩相乘，加在一起”。數(shù)學(xué)家們把這個計算方式規(guī)定為“向量的內(nèi)積”。進而規(guī)定出“矩陣的乘法”。運用有限元方法轉(zhuǎn)換模型時，要多方交互使用每個節(jié)點處的數(shù)據(jù)。這就不可避免地會產(chǎn)生一個負面效應(yīng)。即所得齊次線性方程組中可能有相當(dāng)數(shù)量“多余的”方程。（如果用幾個方程的左端作線性組合，可以得到組內(nèi)別的某個方程，那個方程就會在同解變換中化為恒等式。所以是“多余的”方程。）這就產(chǎn)生了第二個問題：“一個齊次線性方程組中，究竟有多少個方程是相互獨立的？”由此有相應(yīng)概念——矩陣的秩，n維向量組的秩。解決一個復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，往往需要發(fā)展一門甚至多門基礎(chǔ)理論。人類的最終收獲，常常是遠遠超越問題本身。歐洲歷史上有很多理髮師與鐘表匠熱衷于數(shù)學(xué)研究。中國民間也有大量的數(shù)學(xué)愛好者。中國數(shù)學(xué)協(xié)會常常收到很多諸如“證明哥德巴赫猜想”之類的民間論文，無人敢于拜讀只能束之高閣。作者們責(zé)難專家們?yōu)槭裁床荒軒蛶屠习傩铡；卮鹪?，解決這樣巨難的數(shù)學(xué)問題，必然需要新的基礎(chǔ)理論。沒有這個前提，你的證明自然是錯的。實際問題的需要促成了線性理論百花競艷。柯召先生的開山之作就是一部《矩陣論》。我在本科時是柯先生的鋼桿粉絲，企圖課余時間讀完這套專著。結(jié)果讀不到一半，但已收獲不淺?？佳心悄辏行以赮M石油局圖書館書庫中得到了張遠達先生的《線性代數(shù)》。張先生主要以行列式為工具。常常在證明一個定理時，出人意料地給出一個輔助行列式，通過計算解決問題。直令我佩服得五體投地。又讀了謝邦杰先生的《線性代數(shù)》，謝先生創(chuàng)新的“高矩陣”方法，讓我耳目一新。還讀了李爾重等老師合寫的《線性代數(shù)》，這部教材著重照應(yīng)《線性代數(shù)》方法在計算機上實現(xiàn)，讓我對高斯消元，矩陣分解等內(nèi)容有了更深的理解。（題外話：最終在考研考場上。我花了不到30分鐘，拿到了《線性代數(shù)》的100分。那真是讀書改變命運啊。）知道一點實際背景，會感到一切都自然而然。因為需要而創(chuàng)生新的描述方式；因為需要而定義新的概念；因為需要而“規(guī)定”集合中的運算；---。愿這能有助于你減少一點抽象感?？佳袛?shù)學(xué)講座（38）提升觀念學(xué)集合《線性代數(shù)》的“地基”是，行列式基礎(chǔ)知識，向量基礎(chǔ)知識，矩陣基礎(chǔ)知識。全都需要用“集合”語言來描述。數(shù)學(xué)所說的集合，隱含集合中的“元素”有一定的共性特征。n維向量集合由全體n元有序數(shù)組（a1，a2，---，an）組成；m×n階矩陣是mn個元所排成的矩形陣列。這兩個集合上都定義了“數(shù)乘”與“加法”運算。對于n階行列式，它也有兩條性質(zhì)相應(yīng)于“數(shù)乘”與“加法”。集合上的運算在觀念上要比四則運算高一個層次。集合上的“運算”本質(zhì)上是人為規(guī)定的特殊運算或特殊對應(yīng)規(guī)律?！皵?shù)乘”與“加法”合稱為線性運算。由于有負數(shù)，因而“加法”實際上包含了通常的減法。數(shù)學(xué)工作者在討論一般集合時，往往都希望能在集合中定義線性運算。集合中的若干個元素既作數(shù)乘又作加法，稱為這些元素作“線性組合”。學(xué)到這個地步，要學(xué)會體驗數(shù)學(xué)式的雙重含義。一個線性組合式，它既表示相應(yīng)的運算過程，又代表整個運算的結(jié)果。說“向量的線性組合”，有時就指的是運算結(jié)果所得到的向量。還比如：有限個無窮小量的線性組合是無窮小量。（“線性組合”表示運算結(jié)果）有限個連續(xù)函數(shù)的線性組合連續(xù)。有限個可導(dǎo)函數(shù)的線性組合可導(dǎo)。------------------（畫外音：不要隨口說啊。無窮大的線性組合不一定是無窮大?！啊蓿蕖笔俏炊ㄊ?。）如果兩個變量成正比例，我們就說這兩個變量有線性關(guān)系。在《解析幾何》中，我們研究只有方向與模長的“自由向量”。三維（真實）空間里，兩個向量α，β或者平行，對應(yīng)分量成比例，α=λβ，即兩個向量有線性關(guān)系?；蛘弑舜瞬黄叫械厝欢计叫杏谕黄矫?。這時，我們說兩個向量沒有線性關(guān)系。同樣地，討論一組兩個或多個n維向量，我們自然要先考慮它們之間是否存在某種線性關(guān)系。即“是否有一個向量可以表示為組內(nèi)其它向量的線性組合?！被颉笆欠裼幸粋€向量可以被組內(nèi)其它向量線性表示?！比绻牵头Q這組向量線性相關(guān)。否則，稱向量組線性無關(guān)。作為數(shù)學(xué)定義，數(shù)學(xué)家們總希望其內(nèi)含更豐富，不愿意突出某一個向量。于是有：若有一組不全為零的數(shù)c1，c2，---，ck，使得c1a1+c2a2+---+ckak=0，就稱向量組a1，a2，---，ak線性相關(guān)。否則，稱向量組線性無關(guān)。（潛臺詞：誰的系數(shù)不為零，誰就可以被組內(nèi)其它向量線性表示。）這個定義的內(nèi)含實在是豐富多彩。理解（1）含“零向量”的向量組一定線性相關(guān)?！傲阆蛄俊钡南禂?shù)取1，其它向量的系數(shù)取0，就滿足定義。（構(gòu)造法?。├斫猓?）“部分相關(guān)，全組相關(guān)。”。比如組內(nèi)有兩個向量平行，不仿設(shè)a1=ca2，即a1－ca2=0，其它向量的系數(shù)取0，就滿足定義。（構(gòu)造法！）這個結(jié)論有個伴生結(jié)論：“全組無關(guān)，部分無關(guān)?！崩斫猓?）在一個向量組內(nèi)，向量之間可能存在很多個線性關(guān)系。要判斷其線性相關(guān)性，只需要找到一個線性關(guān)系。理解（4）系數(shù)為零的向量，實際上并沒有參與該線性關(guān)系。例1如果向量β可以由向量組a1，a2，---，ak線性表示，則（A）存在一組不全為零的數(shù)c1，c2，---，ck，使得β=c1a1+c2a2+---+ckak（B）對β的線性表示式一定不唯一。（C）向量組β，a1，a2，---，ak線性相關(guān)。（D）組內(nèi)任意一個向量，一定也可以由β及組內(nèi)其它向量線性表示。分析已知β與向量組a1，---，ak間存在線性關(guān)系，故（C）對。如果β是零向量，而a1，---，ak線性無關(guān)，則（A）不成立。如果a1，---，ak線性無關(guān)，則對β的線性表示唯一。（B）錯。誰的系數(shù)不為零，誰才可以被β及組內(nèi)其它向量線性表示。故（D）錯。理解（5）如何用定義來具體描述及證明向量組線性無關(guān)呢？“不存在一組不全為零的數(shù)c1，c2，---，ck，使得c1a1+c2a2+---+ckak=0“對任何一組不全為零的數(shù)c1，c2，---，ck，總有c1a1+c2a2+---+ckak≠0這兩種否定性描述都對。但是不好用。我們選擇：“設(shè)有數(shù)組c1，c2，---，ck，使得c1a1+c2a2+---+ckak=0，則只有c1=c2=---=ck=0，就表明向量組線性無關(guān)”這樣一來，“證明向量組線性無關(guān)”就程序化了。遇上證明線性無關(guān)的題，你先寫“設(shè)有一組數(shù)---，使得---，”再具體證明“只有---”。例2若向量組α1,α2線性無關(guān)，而α1,α2,β線性相關(guān)，α1,α2,γ線性無關(guān)，則向量組α1,α2,β+γ線性無關(guān)。證明已知α1,α2,β線性相關(guān)，即有不全為零的數(shù)組使k1α1+k2α2+k3β=0，又已知α1,α2線性無關(guān)，必有k3≠0，向量β可以由α1,α2線性表示。否則，系數(shù)全都為0，矛盾。設(shè)有數(shù)組c1，c2，c3，使得c1α1+c2α2+c3（β+γ）=0（潛臺詞：要證向量組線性無關(guān)，請證明三系數(shù)皆為0）如果c3=0，同理，只有c1=c2=0，結(jié)論得證。如果c3≠0，則向量β+γ可以被α1,α2線性表示。已證明β可以由α1,α2線性表示，從而γ也可以被α1,α2線性表示。這與已知矛盾。只有c3=0例3已知向量α1≠0，向量組a1，a2，---，ak中的每一個向量，都不能由排在它前面的那些向量線性表示。試證此向量組線性無關(guān)。證明設(shè)有一組數(shù)c1，c2，---，ck，使得c1a1+c2a2+---+ckak=0如果有某個系數(shù)非零，（反證法），我們可以從右向左看。設(shè)第一個不為0的系數(shù)是cr，則向量ar就能由排在它前面的那些向量線性表示。矛盾。只有c1=c2=---=ck=0，向量組線性無關(guān)。有一個重要的定理可以和線性相關(guān)的定義放在一起學(xué)習(xí)。定理已知一個n維向量組線性無關(guān)，如果在相同的位置給組內(nèi)每個向量都增加一個分量，則所得的n+1維向量組也線性無關(guān)。為了好記，我把這個結(jié)論稱為“線性無關(guān)，延長無關(guān)?！北热纾S向量組（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）顯然線性無關(guān)。依據(jù)本定理，四維向量組（1，0，0，a），（0，1，0，b），（0，0，1，c）一定線性無關(guān)。在實際工作中，要分析某個目標變量與我們認定的若干個因素變量之間的關(guān)系，以便對目標變量實施預(yù)測。通常也首先猜想那是一個“多元線性模型”，然后依據(jù)歷史記錄的各變量數(shù)據(jù)，用最小二乘法回歸出各個系數(shù)，再用概率方法作顯著性分析?？佳袛?shù)學(xué)講座（4）“存在”與否全面看定義，是數(shù)學(xué)的基本游戲規(guī)則。所有的定義條件都是充分必要條件。即便有了定義，為了方便起見，數(shù)學(xué)工作者們通常會不遺余力地去尋覓既與定義等價，又更好運用的描述方式。討論極限的存在性，就有如下三個常用的等價條件。1．海涅定理觀察x趨于x0的過程時，我們并不追溯x從哪里出發(fā)；也沒有考慮它究竟以怎樣的方式無限靠近x.0；我們總是向未來，看發(fā)展。因而最直觀的等價條件就是海涅定理：定理（1）極限存在的充分必要條件是，無論x以何種方式趨于x0，相應(yīng)的函數(shù)值總有相同的極限A存在。這個定理條件的“充分性”沒有實用價值。事實上我們不可能窮盡x逼近x0的所有方式。很多教科書都沒有點出這一定理，只是把它的“必要性”獨立成為極限的一條重要性質(zhì)。即唯一性定理：“如果函數(shù)（在某一過程中）有極限存在，則極限唯一?！蔽ㄒ恍远ɡ淼幕緫?yīng)用之一，是證明某個極限不存在。2．用左右極限來描述的等價條件用ε–δ語言可以證得一個最好用也最常用的等價條件：定理（2）極限存在的充分必要條件為左、右極限存在且相等。這是在三類考研試題中出現(xiàn)概率都為1的考點。考研數(shù)學(xué)年年考連續(xù)定義，導(dǎo)數(shù)定義。本質(zhì)上就是考查極限存在性。這是因為函數(shù)在一點連續(xù)，等價于函數(shù)在此點左連續(xù)，右連續(xù)。函數(shù)在一點可導(dǎo)，等價于函數(shù)在此點的左、右導(dǎo)數(shù)存在且相等。由于初等函數(shù)有較好的分析性質(zhì)?？碱}往往會落實到分段函數(shù)的定義分界點或特殊定義點上?？忌欢ㄒ獙Ψ侄魏瘮?shù)敏感，一定要學(xué)會在特殊點的兩側(cè)分別考察函數(shù)的左右極限。（3）突出極限值的等價條件考數(shù)學(xué)一，二的考生，還要知道另一個等價條件：定理（3）函數(shù)f（x）在某一過程中有極限A存在的充分必要條件是，f（x）－A為無窮小。從“距離”的角度來理解，在某一過程中函數(shù)f（x）與數(shù)A無限接近，自然等價于：函數(shù)值f（x）與數(shù)A的距離∣f（x）－A∣無限接近于0如果記α=f（x）－A，在定理條件下得到一個很有用的描述形式轉(zhuǎn)換：f（x）=A+α（無窮小）考研題目經(jīng)常以下面三個特殊的“不存在”為素材?！按嬖凇迸c否全面看。有利于我們理解前述等價條件。我用exp（）表示以e為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)，（）內(nèi)填指數(shù)。例1x趨于0時，函數(shù)exp（1/x）不存在極限。分析在原點x=0的左側(cè)，x恒負，在原點右側(cè)，x恒正。所以x從左側(cè)趨于0時，指數(shù)1/x始終是負數(shù)，故左極限f（0－0）=0，x從右側(cè)趨于0時，函數(shù)趨向+∞，由定理（2），函數(shù)不存在極限。也不能說，x趨于0時，exp（1/x）是無窮大。但是，在這種情形下，函數(shù)圖形在點x=0有豎直漸近線x=0例2x趨于0時，“震蕩因子”sin（1/x）不存在極限。俗稱震蕩不存在。分析用海涅定理證明其等價問題，“x趨于+∞時，sinx不存在極限。”分別取x=nπ及x=2nπ兩個數(shù)列，n趨于+∞時，它們都趨于+∞，相應(yīng)的兩列正弦函數(shù)值卻分別有極限0與1，不滿足唯一性定理（定理（1））。故sinx不存在極限。（構(gòu)造法?。├?x趨于∞時，函數(shù)y=arctgx不存在極限。分析把∞視為一個虛擬點，用定理（2）。由三角函數(shù)知識得，x趨于+∞時，函數(shù)極限為π/2，x趨于－∞時，函數(shù)極限為－π/2，故，函數(shù)y=arctgx不存在極限。請注意，證明過程表明，函數(shù)y=arctgx的圖形有兩條水平漸近線。即－∞方向有水平漸近線y=－π/2；+∞方向則有有y=π/2例4當(dāng)x→1時，函數(shù)f(x)=(exp(1/(x－1)))(x平方－1)∕(x－1)的極限（A）等于2（B）等于0（C）為∞（D）不存在但不為∞b]分析考查x→1時函數(shù)的極限，通常認為x不取1；而x≠1時，可以約去分母（x－1)，讓函數(shù)的表達式化為f(x)=(x+1)exp(1/(x－1))左極限f（1－0）=0，x從右側(cè)趨于1時，函數(shù)趨向+∞，（選（D））（畫外音：多爽啊。這不過是“典型不存在1”例5f（x）=（2+exp（1/x））∕（1+exp（4/x））+sinx∕∣x∣,求x趨于0時函數(shù)的極限。分析絕對值函數(shù)y=|x|是典型的分段函數(shù)。x=0是其定義分界點。一看就知道必須分左右計算。如果很熟悉“典型不存在1”x→0-時，limf（x）=（2+0）/（1+0）－1=1x→0+時，exp（1/x）→+∞，前項的分子分母同除以exp（4/x）再取極限limf（x）=（0+0）/（0+1）+1=1由定理（2）得x→0時，limf（x）=1例6曲線y=exp(1/x平方)arctg（（x平方+x+1）∕(x－1)(x+2））的漸近線共有（A）1條．（B）2條。（C）3條。（D）4條。選（B）分析先觀察x趨于∞時函數(shù)的狀態(tài)，考查曲線有無水平漸近線；再注意函數(shù)結(jié)構(gòu)中，各個因式的分母共有三個零點。即0，1和－2；對于每個零點x0，直線x=x0都可能是曲線的豎直漸近線，要逐個取極限來判斷。實際上有x→∞時，limy=π/4，曲線有水平漸近線y=π/4其中，x→∞時，limexp(1/x平方)=1；im（（x平方+x+1）∕(x－1)(x+2））=1（分子分母同除以“x平方”）考查“嫌疑點”1和－2時，注意運用“典型不存在3”f（1－0）=－eπ/2；f（1+0）=eπ/2，x=1不是曲線的豎直漸近線。類似可以算得x=－2不是曲線的豎直漸近線。x→0時，前因式趨向+∞；后因式有極限arctg（－1/2），x=0是曲線的豎直漸近線。啊，要想判斷準而快，熟記“三個不存在”?？戳松厦鎺桌?，你有體會嗎？*還有兩個判斷極限存在性的定理（兩個充分條件）：定理（4）夾逼定理——若在點x0鄰近（或|x|充分大時）恒有g(shù)(x)≤f(x)≤h(x)，且x→x0(或x→∞)時limg(x)=limh(x)=A則必有l(wèi)imf(x)=A定理（5）單調(diào)有界的序列有極限。（或單增有上界有極限，或單減有下界有極限。）加上講座（3）中的““近朱者赤，近墨者黑”定理”。共計六個，可以說是微分學(xué)第一組基本定理。考研數(shù)學(xué)講座（5）無窮小與無窮大微積分還有一個名稱，叫“無窮小分析”。1.概念在某一過程中，函數(shù)f（x）的極限為0，就稱f（x）（這一過程中）為無窮小。為了回避ε–δ語言，一般都粗糙地說，無窮小的倒數(shù)為無窮大。無窮小是個變量，不是0；y=0視為“常函數(shù)”，在任何一個過程中都是無窮小。不過這沒啥意義。依據(jù)極限定義，無窮大不存在極限。但是在變化過程中變量有絕對值無限增大的趨勢。為了記述這個特點，歷史上約定，“非法地”使用等號來表示無窮大。（潛臺詞：并不表示極限存在。）比如x從右側(cè)趨于0時，limlnx=－∞；x從左側(cè)趨于π/2時，limtgx=+∞無窮大與無界變量是兩個概念。無窮大的觀察背景是過程，無界變量的判斷前提是區(qū)間。無窮小和無窮大量的名稱中隱含著它們（在特定過程中）的發(fā)展趨勢。在適當(dāng)選定的區(qū)間內(nèi)，無窮大量的絕對值沒有上界。y=tgx（在x→π/2左側(cè)時）是無窮大。在（0，π/2）內(nèi)y=tgx是無界變量x趨于0時，函數(shù)y=（1/x）sin（1/x）不是無窮大，但它在區(qū)間（0，1）內(nèi)無界。不仿用高級語言來作個對比。任意給定一個正數(shù)E，不管它有多大，當(dāng)過程發(fā)展到一定階段以后，無窮大量的絕對值能全都大于E；而無界變量只能保證在相應(yīng)的區(qū)間內(nèi)至少能找到一點，此點處的函數(shù)絕對值大于E。2.運算與比較有限個無窮小量的線性組合是無窮??；“∞－∞”則結(jié)果不確定。乘積的極限有三類可以確定：有界變量?無窮小=無窮小無窮小?無窮小=（高階）無窮小無窮大?無窮大=（高階）無窮大其它情形都沒有必然的結(jié)果，通通稱為“未定式”。例10作數(shù)列x=1，0，2，0，3，0，---，0，n，0，---y=0，1，0，2，0，3，0，---，0，n，0，---兩個數(shù)列顯然都無界，但乘積xy是零數(shù)列。這表示可能會有無界?無界=有界兩個無窮小的商求極限，既是典型的未定式計算，又有深刻的理論意義。即“無窮小的比較”。如果極限為1，分子分母為等價無窮?。粯O限為0，分子是較分母高階的無窮小；極限為其它實數(shù)，分子分母為同階無窮小。無窮大有類似的比較。無窮?。o窮大）的比較是每年必考的點。x趨于0時，α=xsin（1/x）和β=x都是無窮小，且顯然有∣α∣≤∣β∣；但它們的商是震蕩因子sin（1/x），沒有極限。兩個無窮小不能比較。這既說明了存在性的重要，又顯示了震蕩因子sin（1/x）的用途。能夠翻閱《分析中的反例》的同學(xué)可以在其目錄頁中看到，很多反例都用到了震蕩因子?；氐交境醯群瘮?shù)，我們看到x趨于+∞時，y=x的μ次方，指數(shù)μ＞0的冪函數(shù)都是無窮大。且習(xí)慣地稱為μ階無窮大。（潛臺詞：這多象汽車的1檔，2檔，---，啊。）x趨于+∞時，底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù)都是無窮大；底數(shù)小于1的都是無窮小。x趨于+∞或x趨于0+時，對數(shù)函數(shù)是無窮大。x趨于∞時，sinx及cosx都沒有極限。正弦，余弦，反三角函數(shù)（在任何區(qū)間上）都是有界變量。請體驗一個很重要也很有趣的事實。（1）x→+∞時，lim（x的n次方）∕exp（x）=0，這表明：“x趨于+∞時，指數(shù)函數(shù)exp（x）是比任意高次方的冪函數(shù)都還要高階的無窮大?！被蛘哒f，“x趨于+∞時，函數(shù)exp（－x）是任意高階的無窮小?！保?）x→+∞時，limlnx∕（x的δ次方）=0；δ是任意取定的一個很小的正數(shù)。這表明：“x趨于+∞時，對數(shù)函數(shù)lnx是比x的δ次方都還要低階的無窮大?！痹跀?shù)學(xué)專業(yè)方向，通常稱冪函數(shù)（x的n次方）為“緩增函數(shù)”；稱exp（－x）為“速降函數(shù)”。只需簡單地連續(xù)使用洛必達法則就能求出上述兩個極限。它讓我們更深刻地理解了基本初等函數(shù)。如果只知道極限值而不去體驗，那收獲真是很小很小。例11函數(shù)f(x)=xsinx（A）當(dāng)x→∞時為無窮大。（B）在（－∞，+∞）內(nèi)有界。（C）在（－∞，+∞）內(nèi)無界。（D）在時有有限極限。分析這和y=（1/x）sin（1/x）在x趨于0時的狀態(tài)一樣。（選（C））例12設(shè)有數(shù)列Xn，具體取值為若n為奇數(shù)，Xn=（n平方+√n）∕n；若n為偶數(shù)，Xn=1∕n則當(dāng)n→∞時，Xn是（A）無窮大量（B）無窮小量（C）有界變量（D）無界變量分析一個子列（奇下標）為無窮大，一個子列是無窮小。用唯一性定理。選（D））請與“典型不存在1”例13已知數(shù)列Xn和Yn滿足n→∞時，limXnYn=0，則（A）若數(shù)列Xn發(fā)散，數(shù)列Yn必定也發(fā)散。（B）若數(shù)列Xn無界，數(shù)列Yn必定也無界。（C）若數(shù)列Xn有界，數(shù)列Yn必定也有界。（D）若變量1∕Xn為無窮小量，則變量Yn必定也是無窮小量。分析盡管兩個變量的積為無窮小，我們卻無法得到其中任何一個變量的信息。例10給了我們一個很好的反例。對本題的（A）（B）（C）來說，只要Yn是適當(dāng)高階的無窮小，就可以保證limXnYn=0無窮小的倒數(shù)為無窮大。故（D）中條件表明Xn為無窮大。要保證limXnYn=0，Yn必須為無窮小量。應(yīng)選答案（D）?？佳袛?shù)學(xué)講座（6）微觀分析始連續(xù)微分學(xué)研究函數(shù)。函數(shù)是描述過程的最簡單的數(shù)學(xué)模型。由六類基本初等函數(shù)通過有限次四則運算或有限次復(fù)合所生成的，且由一個數(shù)學(xué)式子所表示的函數(shù)，統(tǒng)稱為初等函數(shù)。大學(xué)數(shù)學(xué)還讓學(xué)生學(xué)習(xí)兩類“分段函數(shù)”?；蚴窃诓煌亩x區(qū)間內(nèi)，分別由不同的初等函數(shù)來表示的函數(shù)；或者是有孤立的特別定義點的函數(shù)。微分學(xué)研究函數(shù)的特點，是先做微觀分析。即討論函數(shù)的連續(xù)性，可導(dǎo)性，可微性。再通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來宏觀地研究函數(shù)的圖形特征。即單調(diào)性，有界性，奇偶性，周期性等。1．函數(shù)的連續(xù)性定義——設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的鄰近有定義。當(dāng)x趨于x0時，如果函數(shù)有極限.且極限值等于函數(shù)值f(x0)，就稱函數(shù)f在點x0連續(xù)。否則，稱函數(shù)f在點x0間斷。x0是它的間斷點。“函數(shù)f在點x0的鄰近有定義”意味著，如果函數(shù)在點x0沒有定義，那x0只是函數(shù)的一個孤立的無定義點。也就是函數(shù)的一個天然的間斷點。函數(shù)y=1/x在原點就是這樣的?！坝袠O限”意味著存在。在分段函數(shù)情形，要立即轉(zhuǎn)換成“左右極限存在且相等。”函數(shù)在一點連續(xù)的定義等式，“左極限=右極限=中心點函數(shù)值”，最多可以得出兩個方程。如果在這里出題：“用連續(xù)定義求參數(shù)值。”則函數(shù)可以含一個或兩個參數(shù)。如果函數(shù)在區(qū)間上每一點連續(xù)，就稱函數(shù)在此區(qū)間上連續(xù)。最值定理——在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大，最小值?！坝小?，意味著至少有兩點，相應(yīng)的函數(shù)值分別為函數(shù)值域中的最大，最小數(shù)。介值定理——如果數(shù)c能被夾在連續(xù)函數(shù)的兩個值之間，則c一定屬于此函數(shù)的值域。請體會我的描述方式，這比教科書上寫的更簡明。介值定理的一個特殊推論是，連續(xù)函數(shù)取正取負必取零。從理論上講，求方程F(x)=0的根，可以轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)F的零點。例16試證明，如果函數(shù)f在閉區(qū)間上連續(xù)，則它的值域也是一個閉區(qū)間。分析函數(shù)f在閉區(qū)間上連續(xù)，f必有最大值M=f（x1），最小值m=f（x2），閉區(qū)間[m，M]內(nèi)的任一數(shù)c，自然就夾在f的兩個最值之間，因而屬于f的值域。即f的值域就是這個閉區(qū)間。例17試證明連續(xù)函數(shù)在相鄰的兩個零點間不變號。（潛臺詞：沒有零點的連續(xù)函數(shù)定號。）分析如果此連續(xù)函數(shù)在相鄰的兩個零點間變號。則它取正取負必取零。與已知矛盾。（潛臺詞：函數(shù)究竟恒正還是恒負，選個特殊點算算。）例18函數(shù)f在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，其值域恰好也是[a，b]，試證方程f(x)=x在區(qū)間[a，b]上有解。分析作F=f(x)－x，它顯然在已知閉區(qū)間上連續(xù)。且有F(a)≥0而F(b)≤0如果有一等號成立，則結(jié)論得證。否則，用介值定理。（潛臺詞：要尋找反號的兩個函數(shù)值，當(dāng)然該先把已知點拿去試試。）2．間斷點分類連續(xù)的對立面是間斷。人們把函數(shù)的間斷點分為兩類。若函數(shù)在某點間斷，但函數(shù)在這點的左右極限都存在。就稱此點為第一類間斷點。若函數(shù)在某點間斷，且至少有一個單側(cè)極限不存在，就稱此點為第二類間斷點。第一類間斷又分為兩種。左右極限不相等，跳躍間斷；左右極限相等，可去間斷。若考題要求你去掉某個可去間斷點時，你就規(guī)定極限值等于此點的函數(shù)值，讓其連續(xù)。對于第二類間斷，我們只學(xué)了兩個特例。即x=0是震蕩因子y=sin（1/x)的震蕩間斷點。（畫外音：請聯(lián)想“典型不存在（2）”）x=0是函數(shù)y=exp(1/x)的無窮間斷點。（畫外音：請聯(lián)想“典型不存在（1）”）只要函數(shù)在x0的一個單側(cè)為無窮大，x0就是函數(shù)的無窮間斷點。x=x0是圖形的豎直漸近線?？碱}中經(jīng)常把問題平移到別的點去討論。例19確定y=exp(1/x)arctg（（x+1）/（x－1））的間斷點，并說明其類型。分析函數(shù)的解析表達式中，分母有零點0，1（潛臺詞：兩個嫌疑犯啊。）在點0，前因子的右極限為正無窮，后因子連續(xù)非零，故0點是無窮間斷點.在點1，前因子連續(xù)非零，后因子的左極限是－π/2，右極限為π/2，第一類間斷。三個特殊的“不存在”記得越熟，計算左右極限就越快。要有一個基本材料庫，典型的知識首先在基本材料范圍內(nèi)滾瓜爛熟，你就會走得踏實走得遠。例20設(shè)函數(shù)f(x)=x∕(a+exp(bx))在(－∞,+∞)內(nèi)連續(xù)，且x→－∞時，極限limf(x)=0；則常數(shù)a，b滿足（A）a<0，b<0（B）a>0，b>0（C）a≤0，b>0（D）a≥0，b<0分析初等函數(shù)的表達式中若有分母，則分母的零點是其天然沒有定義的點，也就是函數(shù)的一個天然間斷點。已知函數(shù)連續(xù)，則其分母不能為0，而指數(shù)函數(shù)exp(bx)的值域為(0,+∞)，故a≥0又，x→－∞時，極限limf(x)=0表明，f(x)分母是較分子x高階的無窮大，即要指數(shù)函數(shù)exp(bx)為無窮大，只有b<0，應(yīng)選（D）。（畫外音：一個4分題，多少概念與基礎(chǔ)知識綜合！典型的考研題！漂亮的考研題！）*例21已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上處處有定義，且單調(diào)。若f(x)有間斷點，則只能是第一類間斷點。分析（構(gòu)造法）不仿設(shè)f(x)在區(qū)間[a，b]上單增，但是有間斷點x0；我們得證明f在點x0的左右極限都存在。已設(shè)f在區(qū)間單增，余下的問題是尋找其上界或下界。事實上有x→x0－時，f單增，顯然f(b)是它的一個上界。故左極限存在。x→x0+時，自變量從右向左變化，相應(yīng)的f值單減。顯然f(a)是其一個下界。右極限也存在。構(gòu)造法是微積分自己的方法。它的要點是，實實在在地梳理函數(shù)的構(gòu)造及其變化，由此推理獲得所要結(jié)果。考研數(shù)學(xué)講座（39）“秩”的概念先向量矩陣的“秩”是《線性代數(shù)》第一模塊(線性方程組)的核心概念。矩陣“秩”的定義是用行列式來描述的。但是要從理論上深入討論矩陣的“秩”，用向量工具更為方便。所以先要學(xué)習(xí)向量組的的秩。1．向量組的最大無關(guān)組與秩討論向量組的線性相關(guān)性，其應(yīng)用背景是，“一個齊次線性方程組中，究竟有多少個方程是相互獨立的？”因而我們相應(yīng)最關(guān)心的是，“一個向量組中，最多有幾個向量能線性無關(guān)，即相互獨立。”定義如果一個向量組的子組線性無關(guān)。且若把組內(nèi)別的任何一個向量添加進去，得到的新子組都一定線性相關(guān)。則稱此線性無關(guān)的子組是向量組的一個最大無關(guān)組。一個向量組可能有好些個最大無關(guān)組。但是，最大無關(guān)組中含有的向量個數(shù)必定相同。（由后述“基本定哩”保證。）稱為向量組的“秩”。對向量組而言，最大無關(guān)組是個客觀存在。你需要用它的時候，你就把它設(shè)出來。例7向量組增加一個（或一些）向量而秩不變，則新增的那個（些）向量可以被原組向量線性表示。分析實際上因為新組包含舊組，且，新組的秩=舊組的秩，故舊組的最大無關(guān)組也是新組的最大無關(guān)組。新增的向量可以被舊組的最大無關(guān)組線性表示。其它向量都給以零系數(shù)加上去，則新增的向量被原組向量線性表示。最大無關(guān)組的基本作用是，它可以將組內(nèi)每一個向量唯一地線性表示。*如果給它一個排立順序，就能使組內(nèi)的向量與“有序（系）數(shù)組”成一一對應(yīng)，這就自然生成了集合內(nèi)的“坐標”。有趣的是，最大無關(guān)組如何唯一地線性表示自身內(nèi)部的任一向量呢？當(dāng)然只能是自己的系數(shù)取1，其它的系數(shù)為0；因為它們之間不存在任何線性關(guān)系。（*潛臺詞：任何一個最大無關(guān)組，作為“坐標基“，它自身的“坐標”總是“單位向量組”