高中數(shù)學(xué)圓方程典型例題全

種類七：圓中的最值問題例18：圓

x2

y2

4x

4y

10

0上的點到直線

x

y14

0的最大距離與最小距離的差是例19(1)已知圓(3)2(y4)21，P(x,y)為圓O上的動點，求dx2y2的最大、最O1：x小值．(2)已知圓O2：(x2)2y21，P(x,y)為圓上任一點．求y2的最大、最小值，求x2y的x1最大、最小值．剖析：(1)、(2)兩小題都波及到圓上點的坐標(biāo)，可考慮用圓的參數(shù)方程或數(shù)形聯(lián)合解決．解：(1)(法1)由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x3)2(y4)21．可設(shè)圓的參數(shù)方程為x3cos,y4sin（是參數(shù)）．,則dx2y296coscos2168sinsin2266cos8sin2610cos()（此中tan4）．3所以dmax261036，dmin261016．(法2)圓上點到原點距離的最大值d1等于圓心到原點的距離'1，圓上點到原點距離d1加上半徑的最小值d2等于圓心到原點的距離'd1減去半徑1．所以d1324216．d2324214．所以dmax36．dmin16．(2)(法1)由(x2)2y2x2cos,1得圓的參數(shù)方程：sin,是參數(shù)．y則y2sin2．令sin2t，x1cos3cos3得sintcos23t，1t2sin()23t23tsin()133331t2t．4433，tmin33所以tmax44．即y2的最大值為33，最小值為33．x144此時x2y2cos2sin25cos()．所以x2y的最大值為25，最小值為25．y2，則kxyk20．因為P(x,y)是圓上點，當(dāng)直線與圓有交點時，如(法2)設(shè)kx1圖所示，兩條切線的斜率分別是最大、最小值．由d2kk21，得k331k24．所以y2的最大值為33，最小值為33．x144令x2yt，同理兩條切線在x軸上的截距分別是最大、最小值．由d2m1，得m25．5所以x2y的最大值為25，最小值為25．例20：已知A(2,0)，B(2,0)，點P在圓(x3)2(y4)24上運動，則22PAPB的最小值是.解：設(shè)P(x,y)，則PA2PB2(x2)2y2(x2)2y22(x2y2)82OP2.設(shè)圓心8為C(3,4)，則OPminOCr523，∴PA2PB2的最小值為232826.練習(xí)：1：已知點P(x,y)在圓x2(y1)21上運動.（1）求y1的最大值與最小值；（2）求2xy的最大值與最小值.x2解：（1）設(shè)y1k，則k表示點P(x,y)與點（2，1）連線的斜率.當(dāng)該直線與圓相切時，k獲得x2最大值與最小值.由2k1，解得k3y1的最大值為33k2，∴，最小值為.13x233（2）設(shè)2xym，則m表示直線2xym在y軸上的截距.當(dāng)該直線與圓相切時，m獲得最1m1，解得m15，∴2xy的最大值為15，最小值為15.大值與最小值.由52設(shè)點P(x,y)是圓x2y21是任一點，求uy2的取值范圍．x1剖析一：利用圓上任一點的參數(shù)坐標(biāo)取代x、y，轉(zhuǎn)變?yōu)槿菃栴}來解決．解法一：設(shè)圓x2y21上任一點P(cos,sin)則有xcos，ysin[0,2)sin2，∴ucosusin2∴ucos1∴ucossin(u2)．即u21sin()u2（tanu）∴sin()(u2)．u21又∵sin()1u21∴u21解之得：u3．4剖析二：uy2的幾何意義是過圓x2y21上一動點和定點(1,2)的連線的斜率，利用x1此直線與圓x2y21有公共點，可確立出u的取值范圍．解法二：由uy2得：y2u(x1)，此直線與圓x2y21有公共點，故點(0,0)到直線的距離d1．x1u21∴u21解得：u3．4此外，直線y2u(x1)與圓x2y21的公共點還能夠這樣來辦理：y2u(x1)21)2(224)(243)0，由消去y后得：(uxxux2y21uuu此方程有實根，故(2u24)24(u21)(u24u3)0，u解之得：u3．4u的范圍問題轉(zhuǎn)變成三角函數(shù)的說明：這里將圓上的點用它的參數(shù)式表示出來，進(jìn)而將求變量有關(guān)知識來求解．或許是利用其幾何意義轉(zhuǎn)變成斜率來求解，使問題變得簡捷方便．3、已知點A(2,2),B(2,6),C(4,2)，點P在圓x2y24上運動，求PA2PB2PC2的最大值和最小值.種類八：軌跡問題例21、基礎(chǔ)訓(xùn)練：已知點M與兩個定點O(0,0)，A(3,0)的距離的比為1，求點M的軌跡方程.2例22、已知線段AB的端點B的坐標(biāo)是（4，3），端點A在圓(x1)2y24上運動，求線段AB的中點M的軌跡方程.例23如下圖，已知圓O：x2y24與y軸的正方向交于A點，點B在直線y2上運動，過B做圓O的切線，切點為C，求ABC垂心H的軌跡．剖析：按慣例求軌跡的方法，設(shè)

H(x,y)

，找

x,y的關(guān)系特別難．因為

H

點隨

B，C點運動而運動，可考慮

H，B，C三點坐標(biāo)之間的關(guān)系．解：設(shè)H(x,y)，

C(x'

,y'

)，連接

AH

，CH

，則AH

BC，CH

AB，BC

是切線

OC

BC

，所以O(shè)C//AH，CH//OA，OAOC，所以四邊形AOCH是菱形．所以CHOA2，得y'y2,x'x.又C(x',y')知足x'2y'24，所以x2(y2)24(x0)即是所求軌跡方程．說明：題目奇妙運用了三角形垂心的性質(zhì)及菱形的有關(guān)知識．采納代入法求軌跡方程．做題時應(yīng)注意剖析圖形的幾何性質(zhì)，求軌跡時應(yīng)注意剖析與動點有關(guān)系的點，如有關(guān)系點軌跡方程已知，可考慮代入法．例24已知圓的方程為x2y2r2，圓內(nèi)有定點P(a,b)，圓周上有兩個動點A、B，使PAPB，求矩形APBQ的極點Q的軌跡方程．剖析：利用幾何法求解，或利用轉(zhuǎn)移法求解，或利用參數(shù)法求解．解法一：如圖，在矩形APBQ中，連接AB，PQ交于M，明顯OMAB，ABPQ，在直角三角形AOM中，若設(shè)Q(x,y)，則M(xa,yb)．22222由OMAMOA，即(xa)2(yb)21[(xa)2(yb)2]r2，224也即x2y22r2(a2b2)，這即是Q的軌跡方程．解法二：設(shè)Q(x,y)、A(x1,y1)、B(x2,y2)，則x12y12r2，x22y22r2．22又PQAB，即(xa)2(yb)2(x1x2)2(y1y2)22r22(x1x2y1y2)．①又AB與PQ的中點重合，故xax1x2，yby1y2，即(xa)2(yb)22r22(x1x2y1y2)②①＋②，有x2y22r2(a2b2)．這就是所求的軌跡方程．解法三：設(shè)A(rcos,rsin)、B(rcos,rsin)、Q(x,y)，因為APBQ為矩形，故AB與PQ的中點重合，即有xarcosrcos，①ybrsinrsin，②又由PAPB有rsinbrsinb1③rcosarcosa聯(lián)立①、②、③消去、，即可得Q點的軌跡方程為x2y22r2(a2b2)．說明：此題的條件許多且較隱含，解題時，思路應(yīng)清楚，且應(yīng)充分利用圖形的幾何性質(zhì)，不然，將使解題墮入窘境之中．此題給出三種解法．此中的解法一是幾何方法，它充分利用了圖形中隱含的數(shù)目關(guān)系．而解法二與解法三，從實質(zhì)上是同樣的，都能夠稱為參數(shù)方法．解法二波及到了x1、x2、y1、y2四個參數(shù)，故需列出五個方程；而解法三中，因為借助了圓x2y2r2的參數(shù)方程，只波及到兩個參數(shù)、，故只需列出三個方程即可．上述三種解法的共同之處是，利用了圖形的幾何特點，借助數(shù)形聯(lián)合的思想方法求解．練習(xí)：1、由動點P向圓x2y21引兩條切線PA、PB，切點分別為A、B，APB=600，則動點P的軌跡方程是.解：設(shè)P(x,y).∵APB=600，∴0AP，∴OP2OA2，∴x2y22，OPA=30.∵OA化簡得x2y24，∴動點P的軌跡方程是x2y24.練習(xí)穩(wěn)固：設(shè)A(c,0),B(c,0)(c0)為兩定點，動點P到A點的距離與到B點的距離的比為定值a(a0)，求P點的軌跡.解：設(shè)動點P的坐標(biāo)為P(x,y).由PA0)，得(xc)2y2a(ac)2a，PB(xy2化簡得(1a2)x2(1a2)y22c(1a2)xc2(1a2)0.當(dāng)a1時，化簡得x2y22c(1a2)xc20，整理得(x12a2c)2y2(2ac2)2；1a2a1a1當(dāng)a1時，化簡得x0.所以當(dāng)a1時，P點的軌跡是以(1a2c,0)為圓心，2ac為半徑的圓；a21a21當(dāng)a1時，P點的軌跡是y軸.2、已知兩定點

A(2,0)，B(1,0)，假如動點

P

知足

PA

2PB

，則點

P的軌跡所包圍的面積等于解：設(shè)點

P

的坐標(biāo)是

(x,y)

.由

PA

2PB

，得

(x

2)2

y2

2(x

1)2

y2

，化簡得(x

2)2

y2

4

，∴點

P的軌跡是以（

2，0）為圓心，

2為半徑的圓，∴所求面積為

4

.4、已知定點B(3,0)，點A在圓x2y21上運動，M是線段AB上的一點，且AM1MB，3問點M的軌跡是什么？(,),(,).∵1，∴(xx,yy)1解：設(shè)(3x,y)，MxyAx1y1AMMB1133xx11(3x)x14x1∴31，∴3.∵點A在圓x2y21上運動，∴x12y121，∴yy1y14yy33(4x1)2(4y)21，即(x3)2y29，∴點M的軌跡方程是(x3)2y29.33416416例5、已知定點B(3,0)，點A在圓x2y21上運動，AOB的均分線交AB于點M，則點M的軌跡方程是.解：設(shè)M(,),(,y1).∵OM是的均分線，∴AMOA1，∴1.由變式AMMBxy1AOBMBOB331可得點M的軌跡方程是(x3)2y29.416練習(xí)穩(wěn)固：已知直線ykx1與圓x2y24訂交于A、B兩點，以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OAPB，求點P的軌跡方程.解：設(shè)P(x,y)，AB的中點為M.∵OAPB是平行四邊形，∴M是OP的中點，∴點M的坐標(biāo)為xyOMAB.∵直線ykx1經(jīng)過定點C(0,1)，∴OMCM，∴(,)，且22OMCM(x,y)(x,y1)(x)2y(y1)0，化簡得x2(y1)21.∴點P的軌跡方程是2222222x2(y1)21.種類九：圓的綜合應(yīng)用例25、已知圓x2y2x6ym0與直線x2y30訂交于P、Q兩點，O為原點，且OPOQ，務(wù)實數(shù)m的值．剖析：設(shè)P、Q兩點的坐標(biāo)為(x1,y1)、(x2,y2)，則由kOPkOQ1，可得x1x2y1y20，再利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解．或因為經(jīng)過原點的直線的斜率為y，由直線l與圓的方程結(jié)構(gòu)以y為未知數(shù)的一元二次方程，由根與系數(shù)關(guān)系得出xkOPkOQ的值，進(jìn)而使問題得以解決．x解法一：設(shè)點P、Q的坐標(biāo)為(x1,y1)、(x2,y2)．一方面，由OPOQ，得kOPkOQ1，即y1y21，也即：xx2yy20．①x1x211另一方面，(x1,y1)、(x2,y2)是方程組x2y30的實數(shù)解，即x1、x2是方x2y2x6ym0程5x210x4m270②的兩個根．∴x1x22，x1x24m27．③5又P、Q在直線x2y30上，∴y1y21(3x1)1(3x2)1[93(x1x2)x1x2]．224將③代入，得y1y2m12．④5將③、④代入①，解得m3，代入方程②，查驗0成立，m3．解法二：由直線方程可得3x2y，代入圓的方程x2y2x6ym0，有x2y21(x2y)(x6y)m(x2y)20，39整理，得(12m)x24(m3)xy(4m27)y20．因為x0，故可得(4m27)(y)24(m3)y12m0．xx∴kOP，kOQ是上述方程兩根．故kOPkOQ1．得12m3．4m1，解得m27經(jīng)查驗可知m3為所求．說明：求解此題時，應(yīng)防止去求P、Q兩點的坐標(biāo)的詳細(xì)數(shù)值．除此以外，還應(yīng)付求出的m值進(jìn)行必需的查驗，這是因為在求解過程中并無保證有交點P、Q存在．解法一顯示了一種解這種題的通法，解法二的重點在于依照直線方程結(jié)構(gòu)出一個對于y的二次x齊次方程，雖有規(guī)律可循，但需必定的變形技巧，同時也可看出，這種方法給人以一種淋漓暢快，一呵而就之感．例26、已知對于圓x2(y1)21上任一點P(x,y)，不等式xym0恒成立，務(wù)實數(shù)m的取值范圍．剖析一：為了使不等式xym0恒成立，即便xym恒成立，只須使(xy)minm就行了．所以只需求出xy的最小值，m的范圍即可求得．解法一：令uxy，由xyux2(y1)21得：2y22(u1)yu20∵0且4(u1)28u2，∴4(u22u1)0．即u221)0，∴12u12，u∴umin12，即(xy)min12又xym0恒成立刻xym恒成立．∴(xy)min12m成立，m21．剖析二：設(shè)圓上一點P(cos,1sin)[因為這時P點坐標(biāo)知足方程x2(y1)21]問題轉(zhuǎn)變?yōu)槔萌鈫栴}來解．解法二：設(shè)圓x2(y1)21上任一點P(cos,1sin)[0,2)∴xcos，y1sin∵xym0恒成立∴cos1sinm0即m(1cossin)恒成立．∴只須m不小于(1cossin)的最大值．設(shè)u(sincos)12sin()14∴umax21即m21．說明：在這種解法中，運用了圓上的點的參數(shù)想法．一般地，把圓(xa)2(yb)2r2上的點設(shè)為(arcos,brsin)([0,2))．采納這種想法一方面可減少參數(shù)的個數(shù)，另一方面能夠靈巧地運用三角公式．從代數(shù)看法來看，這種做法的實質(zhì)就是三角代換．例27