河北省保定市2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

保定市2021~2022學(xué)年度上學(xué)期高一期末調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷滿分150分，時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)徐黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并收回．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.命題：“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根據(jù)含有一個(gè)量詞的命題的否定形式，全稱命題的否定是特稱命題，可得答案.【詳解】命題：“，”是全稱命題，它的否定是特稱命題：，，故選：C2.已知集合，，全集，則（）A. B. C. D.I【答案】B【解析】【分析】根據(jù)并集、補(bǔ)集的概念，計(jì)算即可得答案.【詳解】由題意得，所以．故選：B3.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用角度弧度互化即得.【詳解】．故選：C.4已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式，可得，計(jì)算化簡(jiǎn)，即可得答案.【詳解】由，得，所以．故選：B5.若函數(shù)為上的奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)定義域中能取到零時(shí)，有，可求得答案.【詳解】函數(shù)為上的奇函數(shù),故，得，當(dāng)時(shí)，滿足，即此時(shí)為奇函數(shù)，故，故選：A6.函數(shù)的最小值為（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)可得，分析即可得答案.【詳解】由題意得，當(dāng)時(shí)，的最小值為.故選：D7.已知，，且滿足，則的最小值為（）A.2 B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意得，根據(jù)基本不等式“1”的代換，計(jì)算即可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，時(shí)取等號(hào)．所以的最小值為.故選：C8.已知函數(shù)是上的增函數(shù)（其中且），則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)的性質(zhì)判斷的初步取值范圍，再由整體的單調(diào)性建立不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求解不等式，從求得的取值范圍.【詳解】由題意必有，可得，且，整理為．令由換底公式有，由函數(shù)為增函數(shù)，可得函數(shù)為增函數(shù)，注意到，所以由，得，即，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．故選:D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知，則（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】A選項(xiàng)可以舉出反例，BCD可以利用不等式的基本性質(zhì)推導(dǎo)出.【詳解】，，滿足條件，故A錯(cuò)誤；，故B正確；由得，故C正確；由有，故D正確．故選：BCD10.下列說(shuō)法正確的是（）A.的值與的值相等B.的值比的值大C.的值為正數(shù)D.關(guān)于x的不等式的解集為【答案】ABC【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式可判斷A，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷B，利用三角函數(shù)的符號(hào)可判斷C，利用余弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，由可知選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，由及正弦函數(shù)的單調(diào)性可知B選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)C，由，，，可知C選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)D，由余弦函數(shù)的圖象及，可知關(guān)于x的不等式的解集為，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：ABC.11.已知為銳角，角的終邊上有一點(diǎn)，x軸的正半軸和以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的單位圓的交點(diǎn)為N，則（）A.若，則B.劣弧的長(zhǎng)度為C.劣弧所對(duì)的扇形的面積為是D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)整理，可判斷A的正誤；根據(jù)弧長(zhǎng)公式，可判斷B的正誤；根據(jù)扇形面積公式，可判斷C的正誤，根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系，可判斷D的正誤，即可得答案.【詳解】A：，故，故A正確；B：劣弧長(zhǎng)度為，故B正確；C：只有當(dāng)時(shí)，扇形的面積為，故C不正確；D：，∵為銳角，故．故D正確.故選：ABD12.若，，則（）A.函數(shù)為奇函數(shù)B.當(dāng)，時(shí)，C.當(dāng)，時(shí)，D.函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A，根據(jù)與的關(guān)系判斷函數(shù)的奇偶性，即可判斷，對(duì)于BC，利用作差法即可判斷；對(duì)于D，根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理，結(jié)合兩函數(shù)的圖像即可判斷.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)?，由，所以函?shù)為奇函數(shù)，可知A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由，有，可知B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，由，有，可知C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，令，由，，，由上可知函數(shù)至少有兩個(gè)零點(diǎn)，由雙鉤函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)在上遞減，在上遞增，且，作出函數(shù)和的圖象，根據(jù)函數(shù)和的圖象可知，函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】利用整體代入法求得定義域.【詳解】令，，可得，，故函數(shù)的定義域?yàn)椋蚀鸢笧椋?4.已知，則______．【答案】##【解析】【分析】結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得所求表達(dá)式的值.【詳解】，．故答案為：15.已知，，，則，，的大小關(guān)系是______．（用“”連接）【答案】【解析】【分析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的知識(shí)確定正確答案.【詳解】，，所以．故答案為：16.已知函數(shù)若關(guān)于x的方程有4個(gè)解，分別為，，，，其中，則______，的取值范圍是______．【答案】①.1②.【解析】【分析】作出圖象，將方程有4個(gè)解，轉(zhuǎn)化為圖象與圖象有4個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得的、的范圍與關(guān)系，結(jié)合圖象，可得m的范圍，綜合分析，即可得答案.【詳解】作出圖象，由方程有4個(gè)解，可得圖象與圖象有4個(gè)交點(diǎn)，且，如圖所示：由圖象可知：且因?yàn)?，所以，由，可得，因?yàn)?，所以所以，整理得；?dāng)時(shí)，令，可得，由韋達(dá)定理可得所以，因?yàn)榍?，所以或，則或，所以故答案為：1，．【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是將函數(shù)求解問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為圖象與圖象求交點(diǎn)問(wèn)題，再結(jié)合二次函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解即可，考查數(shù)形結(jié)合，分析理解，計(jì)算化簡(jiǎn)的能力，屬中檔題.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟．17.計(jì)算下列各式的值：（1），其中m，n均為正數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)；（2），其中且．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算可得；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)、換底公式及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算可得；【小問(wèn)1詳解】解：．【小問(wèn)2詳解】解：．18.已知．（1）若，求的值；（2）若，且，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系，平方化簡(jiǎn)可得，計(jì)算即可得答案.（2）由題意得，可得或，根據(jù)的范圍，可求得的值，代入即可得答案.【小問(wèn)1詳解】由，可得所以，即，所以【小問(wèn)2詳解】由，可得，解得或，而，所以，解得，所以．19.已知函數(shù)的最小正周期為，其中．（1）求的值；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（3）求函數(shù)在區(qū)間上的值域．【答案】（1）（2）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為（3）【解析】【分析】（1）利用求得.（2）根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，求得在區(qū)間上的單調(diào)區(qū)間.（3）根據(jù)三角函數(shù)值域的求法，求得在區(qū)間上的值域.【小問(wèn)1詳解】由函數(shù)的最小正周期為，，所以，可得，【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，當(dāng)，有，，當(dāng)，可得，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為．【小問(wèn)3詳解】當(dāng)，有，，可得，有，故函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋?0.已知是冪函數(shù)，是指數(shù)函數(shù)，且滿足，．（1）求函數(shù)，的解析式；（2）若，，請(qǐng)判斷“是的什么條件？（“充分不必要條件”或“必要不充分條件”或“充要條件”或“既不充分也不必要條件”）．【答案】（1），（2）“”是“”的必要不充分條件【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求得.（2）通過(guò)求函數(shù)的值域求得，由此確定充分、必要條件.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，，則則，代入，∴，.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，，當(dāng)時(shí)，，有，得，又由，有，得，故，當(dāng)時(shí)，，有，得，又由，有，，解得，故，由，故“”是“”的必要不充分條件．21.如圖，欲在山林一側(cè)建矩形苗圃，苗圃左側(cè)為林地，三面通道各寬，苗圃與通道之間由柵欄隔開(kāi)．（1）若苗圃面積，求柵欄總長(zhǎng)的最小值；（2）若苗圃帶通道占地總面積為，求苗圃面積的最大值．【答案】（1）200米（2）4608平方米【解析】【分析】(1)設(shè)苗圃的兩邊長(zhǎng)分別為a，b，依題意列出已知和所求，由基本不等式直接可得；(2)根據(jù)題意列出已知，利用基本不等式將條件化為不等式，然后解不等式可得.【小問(wèn)1詳解】設(shè)苗圃的兩邊長(zhǎng)分別為a，b（如圖），則，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“=”，故柵欄總長(zhǎng)的最小值為200米．【小問(wèn)2詳解】，而，故，令，則，因式分解為，解得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，故苗圃面積的最大值為4608平方米．22.已知函數(shù)是偶函數(shù)．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)的最小值為，求實(shí)數(shù)的值；（3）當(dāng)為何值時(shí)，討論關(guān)于的方程的根的個(gè)數(shù)．【答案】（1）（2）（3）當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)根；當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有根；當(dāng)或或時(shí)，方程有兩個(gè)根；當(dāng)時(shí)，方程有三個(gè)根；當(dāng)時(shí)，方程有四個(gè)根．【解析】【分析】（1）利用偶函數(shù)滿足，求出的值；（2）對(duì)函數(shù)變形后利用二次函數(shù)的最值求的值；（3）定義法得到的單調(diào)性，方程通過(guò)換元后得到的根的情況，通過(guò)分類討論最終求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由題意得：，即，所以，其中，∴，解得：【小問(wèn)2詳解】，∴，故函數(shù)的最小值為，令，故的最小值為，等價(jià)于，解得：或，無(wú)解綜上：．【小問(wèn)3詳解】由，令，，有．由，有，，可得，可知函數(shù)為增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，由函數(shù)為偶函數(shù)，可知函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，令，有，方程（記為方程①）可化為，整理為：（記為方程②），，當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)方程②無(wú)解，可得方程①無(wú)解；當(dāng)時(shí)，時(shí)，方程②的解為，可得方程①僅有一個(gè)解為；時(shí)，方程②的解為，可得方程①有兩個(gè)解；當(dāng)時(shí)，可得或，1°當(dāng)方程②有零根