2023年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)試題（全國通用）專題11極坐標與參數(shù)方程Word版含解析

專題11極坐標與參數(shù)方程一、一、核心先導(dǎo)二、考點再現(xiàn)二、考點再現(xiàn)【考點1】極坐標方程的概念(1)、極坐標系如圖所示,在平面內(nèi)取一個定點,叫做極點,自極點引一條射線,叫做極軸;再選定一個長度單位,一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向),這樣就建立了一個極坐標系.注:極坐標系以角這一平面圖形為幾何背景,而平面直角坐標系以互相垂直的兩條數(shù)軸為幾何背景;平面直角坐標系內(nèi)的點與坐標能建立一一對應(yīng)的關(guān)系,而極坐標系則不可.但極坐標系和平面直角坐標系都是平面坐標系.(2)、極坐標設(shè)M是平面內(nèi)一點,極點與點M的距離|OM|叫做點M的極徑,記為;以極軸為始邊,射線為終邊的角叫做點M的極角,記為.有序數(shù)對叫做點M的極坐標,記作.一般地,不作特殊說明時,我們認為可取任意實數(shù).特別地,當點在極點時,它的極坐標為(0,)(∈R).和直角坐標不同,平面內(nèi)一個點的極坐標有無數(shù)種表示.如果規(guī)定,那么除極點外,平面內(nèi)的點可用唯一的極坐標表示;同時,極坐標表示的點也是唯一確定的.常見圓與直線的極坐標方程曲線圖形極坐標方程圓心在極點,半徑為的圓圓心為,半徑為的圓圓心為,半徑為的圓過極點,傾斜角為的直線(1)(2)過點,與極軸垂直的直線過點,與極軸平行的直線【考點2】極坐標與直角坐標的互化(1)、互化背景:把直角坐標系的原點作為極點,x軸的正半軸作為極軸,并在兩種坐標系中取相同的長度單位,如圖所示:(2)、互化公式:設(shè)是坐標平面內(nèi)任意一點,它的直角坐標是,極坐標是(),于是極坐標與直角坐標的互化公式如表:點直角坐標極坐標互化公式在一般情況下,由確定角時,可根據(jù)點所在的象限最小正角.【考點3】直角的參數(shù)方程直線參數(shù)方程中的幾何意義的應(yīng)用：表示直線上任意一點到定點的距離.直線參數(shù)方程（為參數(shù)），橢圓方程，相交于兩點，直線上定點將直線的參數(shù)方程帶入橢圓方程，得到關(guān)于的一元二次方程，則：若為的中點，則【考點4】曲線的參數(shù)方程1．圓的參數(shù)方程如圖所示，設(shè)圓的半徑為，點從初始位置出發(fā)，按逆時針方向在圓上作勻速圓周運動，設(shè)，則。這就是圓心在原點，半徑為的圓的參數(shù)方程，其中的幾何意義是轉(zhuǎn)過的角度。圓心為，半徑為的圓的普通方程是，它的參數(shù)方程為：。2．橢圓的參數(shù)方程以坐標原點為中心，焦點在軸上的橢圓的標準方程為其參數(shù)方程為，其中參數(shù)稱為離心角；焦點在軸上的橢圓的標準方程是其參數(shù)方程為其中參數(shù)仍為離心角，通常規(guī)定參數(shù)的范圍為∈[0，2）?！久麕熖嵝选浚簷E圓的參數(shù)方程中，參數(shù)的幾何意義為橢圓上任一點的離心角，要把它和這一點的旋轉(zhuǎn)角區(qū)分開來，除了在四個頂點處，離心角和旋轉(zhuǎn)角數(shù)值可相等外（即在到的范圍內(nèi)），在其他任何一點，兩個角的數(shù)值都不相等。但當時，相應(yīng)地也有，在其他象限內(nèi)類似。3．雙曲線的參數(shù)方程（了解）以坐標原點為中心，焦點在軸上的雙曲線的標準議程為其參數(shù)方程為，其中焦點在軸上的雙曲線的標準方程是其參數(shù)方程為以上參數(shù)都是雙曲線上任意一點的離心角。4．拋物線的參數(shù)方程以坐標原點為頂點，開口向右的拋物線的參數(shù)方程為三、考點解密三、考點解密題型一:函數(shù)平移問題與極坐標、參數(shù)方程與直角坐標方程的互化例1．（江西省2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期11月階段聯(lián)考檢測數(shù)學(xué)試題（理））在直角坐標系中，曲線經(jīng)過伸縮變換后得到曲線，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為：.(1)寫出曲線的參數(shù)方程和直線l的直角坐標方程；(2)已知點P為曲線上一動點，求點P到直線l距離的最小值，并求出取最小值時點P的直角坐標.【答案】(1)（為參數(shù)），(2)最小值，此時點P的坐標為【分析】（1）根據(jù)伸縮變換的公式，結(jié)合兩角和的正弦公式、直角坐標方程與極坐標方程互化公式進行求解，（2）根據(jù)參數(shù)方程，利用點到直線距離公式，結(jié)合輔助角公式進行求解【詳解】（1）由題意，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），經(jīng)過伸縮變換，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），由得：，化為直角坐標方程為（2）設(shè)，點P到直線l的距離為，當時，即，得時，點P到直線l的距離d取到最小值，此時，點P的坐標為.【變式訓(xùn)練1-1】、（2023·全國·高三專題練習(xí)）在直角坐標系中，曲線：經(jīng)過伸縮變換后得到曲線，以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為：．(1)寫出曲線的參數(shù)方程和直線的直角坐標方程；(2)在曲線上求一點，使點到直線的距離最小并求出最小值．【答案】(1)（為參數(shù)）；；(2)最小值，．【分析】（1）根據(jù)伸縮變換的公式，結(jié)合兩角和的正弦公式、直角坐標方程與極坐標方程互化公式進行求解，（2）根據(jù)參數(shù)方程，利用點到直線距離公式，結(jié)合輔助角公式進行求解（1）由題意，曲線的參數(shù)方程為，經(jīng)過伸縮變換后，曲線的參數(shù)方程為，由得：，化為直角坐標方程為，所以，曲線的參數(shù)方程為，直線的直角坐標方程為．（2）設(shè)，點到直線的距離為，（其中，，），當時，即，時，點到直線的距離取到最小值，此時，，，，，所以，點的坐標為．題型二:直線的參數(shù)方程的應(yīng)用例2．（2022·四川·宜賓市敘州區(qū)第二中學(xué)校模擬預(yù)測（理））在平面直角坐標中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系．(1)求曲線的普通方程和極坐標方程；(2)在平面直角坐標中，若過點且傾斜角為的直線與曲線交于兩點，求證：成等差數(shù)列．【答案】(1)，(2)證明見解析【分析】（1）利用消參法求曲線的普通方程，并注意y的取值范圍，再利用求曲線的極坐標方程；（2）先求直線l的參數(shù)方程，根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義運算求解.【詳解】（1）由得，代入整理得，即，∵，則，，故曲線的普通方程為，又∵，則，整理得曲線的極坐標方程為（2）由題意可得：直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），代入，整理得，∴，，則，即，∴成等差數(shù)列【變式訓(xùn)練2-1】、（2022·河南·一模（理））在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．(1)求直線與曲線的普通方程，并說明是什么曲線？(2)設(shè)M，N是直線與曲線的公共點，點的坐標為，求的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）消去參數(shù)即可得到直線與曲線的普通方程即可說明曲線.（2）將直線參數(shù)方程代入圓的普通方程即可得到與，根據(jù)參數(shù)的幾何意義討論求得的值.【詳解】（1）由題意可得：直線l的參數(shù)方程為消去參數(shù)得：.曲線的參數(shù)方程為.消去參數(shù)得：曲線表示以原點為圓心，以為半徑的圓.（2）由（1）知：將直線的參數(shù)方程代入得：可知，，故與異號.不妨設(shè),易知，故==同理，易知，故==綜上：題型三:圓或橢圓的參數(shù)方程的應(yīng)用例3．（2022·青?！つM預(yù)測（理））在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程是.(1)求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標方程；(2)若P是曲線C上的動點，求點P到直線l距離的最大值，并求此時點P的坐標.【答案】(1)，(2)，【分析】（1）結(jié)合消元即可得出曲線C的普通方程；由即可得出直線l的直角坐標方程；（2）設(shè)點，結(jié)合點線距離公式，討論最大值即可【詳解】（1）由（為參數(shù)），得，故曲線C的普通方程為.由，得，故直線l的直角坐標方程為.（2）設(shè)點，則點P到直線l的距離.故當時，點P到直線l的距離取得最大值.此時，點P的坐標為.【變式訓(xùn)練3-1】、（2022·四川·模擬預(yù)測（理））在直角坐標系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸的非負半箱為極軸建立極坐標系，點M的極坐標為，直線l的極坐標方程為．(1)求點M的直角坐標和直線l的直角坐標方程；(2)若N為曲線C上的動點，求的中點P到直線l的距離的最小值及此時點P的極坐標．【答案】(1)點M的直角坐標為，直線l的直角坐標方程為；(2)的中點P到直線l的距離的最小值為，此時點P的極坐標為.【分析】（1）利用極坐標與直角坐標互化公式進行求解；（2）先設(shè)，進而表達出的中點P的坐標，用點到直線距離和三角函數(shù)的有界性求出最小值及點P的極坐標.（1）由，所以點M的直角坐標為，化簡得：，即，（2）設(shè)，則，所以的中點P到直線l的距離，當，即，時，，此時，所以，由，，可知P點的極坐標為所以的中點P到直線l的距離的最小值為，此時點P極坐標為.題型四:極坐標方程的應(yīng)用例4．（2022·全國·安陽市第二中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為．(1)求直線l的極坐標方程以及曲線C的參數(shù)方程；(2)若直線l與曲線C交于M，N兩點，求的值．【答案】(1)（），（為參數(shù)）(2)【分析】（1）以直角坐標方程為橋梁分別求得極坐標方程和參數(shù)方程.（2）將極坐標方程聯(lián)立即可得到與可得.【詳解】（1）由已知消去參數(shù)得，，將，，代入上式化簡整理得：故直線l的極坐標方程為（）由得：所以，故曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）（2）將直線l的極坐標方程代入曲線C的極坐標方程得：解得：，不妨設(shè)，所以【變式訓(xùn)練4-1】、（2022·四川資陽·一模（理））下圖所示形如花瓣的曲線稱為四葉玫瑰線，并在極坐標系中，其極坐標方程為．(1)若射線：與相交于異于極點的點，與極軸的交點為，求；(2)若，為上的兩點，且，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知得到、兩點的極坐標，代入距離公式即可；（2）設(shè)，，根據(jù)極坐標方程求出、，將三角形面積表示為的三角函數(shù)，根據(jù)三角恒等變換求三角函數(shù)的最大值.【詳解】（1）將代入方程，得，，則的極坐標為.又與極軸的交點為的極坐標為.則.（2）不妨設(shè)，，則，所以，的面積所以，當，即時，.所以，面積最大值為.四、四、分層訓(xùn)練A組基礎(chǔ)鞏固1．（2007·全國·高考真題（理））設(shè)曲線C的方程是，將C沿x軸、y軸正向分別平行移動t、s單位長度后得曲線．(1)寫出曲線的方程；(2)證明：曲線C與關(guān)于點對稱；(3)如果曲線C與有且僅有一個公共點，證明：且．【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)圖象平移有變?yōu)?，變?yōu)榇肭€C即得的方程；（2）在曲線上任取，應(yīng)用中點公式求對稱點之間橫縱坐標的數(shù)量關(guān)系，代入曲線即可判斷對稱性，同理證上點的對稱點在上.（3）將問題化為有且僅有一個根，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可證結(jié)論.【詳解】（1）由題設(shè)，將C沿x軸、y軸正向分別平行移動t、s單位長度，所以變?yōu)?，變?yōu)?，代入得：，所?（2）在曲線上任取，若是關(guān)于的對稱點，所以，，可得，，代入曲線得：，整理得：，故在上，同理，可證上任意一點關(guān)于的對稱點在曲線上，所以曲線C與關(guān)于點對稱.（3）由曲線C與有且僅有一個公共點，所以有且僅有一組解，消去，整理得：有且僅有一個根，若，則，兩圖象重合，不合題意；所以，可得，故且.2．（2022·四川·閬中中學(xué)高三階段練習(xí)（文））在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），是上的動點，點滿足點的軌跡為曲線.(1)求的參數(shù)方程；(2)在以為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線與的異于極點的交點為，與的異于極點的交點為，求.【答案】(1)(為參數(shù)).(2)【分析】（1）設(shè)，可知，代入的參數(shù)方程即可求得的參數(shù)方程；（2）先求出和的極坐標方程，再根據(jù)極徑的幾何含義即可求得.（1）設(shè)，由可知，有，即.故的參數(shù)方程為(為參數(shù)).（2）曲線的普通方程為：，由極坐標與直角坐標的互化公式得曲線的極坐標方程為：，同理，曲線的極坐標方程為：，射線與的交點的極徑為，射線與的交點的極徑為，所以.3．（2021·陜西漢中·高二期末（理））在平面直角坐標系xOy中，曲線的方程為，點P為曲線上任意一點，記線段OP的中點Q的軌跡為曲線，以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系.(1)求曲線的極坐標方程；(2)若點M，N分別是曲線和上的點，且，證明：為定值.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）首先得到曲線的極坐標方程，然后根據(jù)的位置關(guān)系可得答案；（2）設(shè)，然后可得，，，即可得答案.(1)曲線的方程為，根據(jù)可得曲線的極坐標方程為，設(shè)，則，所以曲線的極坐標方程為；(2)設(shè)，則，，因為，所以，所以.4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系（取相同的單位長度），曲線的極坐標方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線，相交于、兩點，曲線經(jīng)過伸縮變換后得到曲線.(1)求曲線的普通方程和線段的長度；(2)設(shè)點是曲線上的一個動點，求的面積的最小值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用極坐標與直角坐標的互化公式可求出的普通方程，求出的普通方程，然后求出圓心到直線的距離，再由圓心距，弦和半徑的關(guān)系可求出的長度，（2）由伸縮變換可求出曲線的方程為，設(shè)點，求出點到直線的距離，化簡后利用三角函數(shù)的性質(zhì)可求出其最小值，從而可求出的面積的最小值(1)由，得，又，，所以．由（為參數(shù)），消去參數(shù)得，的圓心為，半徑為2，則圓心到直線的距離為，所以.(2)曲線經(jīng)過伸縮變換后得到曲線，則，即曲線的方程為，設(shè)點，則點到直線的距離為（其中，），故當時，取得最小值，且，因此，當點到直線的距離最小時，的面積也最小，所以的面積的最小值為．5．（2022·貴州貴陽·模擬預(yù)測（理））在直角坐標系中，曲線C的參數(shù)方程為（，t為參數(shù)）．以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為．(1)求C和l的直角坐標方程；(2)已知直線l與x軸的交點為F，且曲線C與直線l交于A，B兩點，求的值．【答案】(1)，．(2)8【分析】（1）根據(jù)完全平方公式以及基本不等式，結(jié)合整體換元，利用極坐標等量公式，可得答案；（2）利用直線的直角坐標系方程，求得點的坐標，根據(jù)直線參數(shù)方程代入拋物線方程，利用韋達定理，可得答案.【詳解】（1）由曲線C的參數(shù)方程為，則，，當且僅當，即時，等號成立，故曲線的直角坐標方程：，由，且直線l的極坐標方程為，則曲線的直角坐標方程：.（2）由直線方程為，則，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入曲線：，可得，所以，由直線參數(shù)方程的意義可知，所以．6．（2022·四川·鹽亭中學(xué)模擬預(yù)測（文））在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.(1)求曲線的直角坐標方程；(2)設(shè)直線與曲線相交于，兩點，若，求的值．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)極坐標和直角坐標之間的轉(zhuǎn)化即可求解，（2）根據(jù)直線的參數(shù)方程以及參數(shù)的幾何意義即可求解弦長.（1）由?，得?，?，即?（2）的焦點為，直線經(jīng)過焦點，將直線?的參數(shù)方程代入曲線?的方程得?，設(shè)?，?是方程的根，則?，?，又?，?，?，又?，?，?或?7．（2022·四川·鹽亭中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線經(jīng)過定點，傾斜角為.(1)寫出直線的參數(shù)方程和曲線的標準方程；(2)設(shè)直線與曲線相交于,兩點，求的值.【答案】(1)（為參數(shù)），；(2).【分析】(1)由直線的參數(shù)方程的標準形式和同角的平方關(guān)系，即可得到所求方程；(2)將直線的參數(shù)方程代入橢圓的標準方程，可得關(guān)于的一元二次方程，由韋達定理及參數(shù)的幾何意義，即可得到的值.（1）解：因為直線經(jīng)過定點，傾斜角為，所以直線的參數(shù)方（為參數(shù)），即（為參數(shù)）；因為曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），所以，又因為，所以曲線的標準方程為；（2）解：把直線的參數(shù)方程代入，可得：，又，所以方程有兩個不同的實根，設(shè)，是方程的兩個實根，則，所以.8．（2022·四川省巴中中學(xué)模擬預(yù)測（文））在直角坐標系中，直線經(jīng)過點，傾斜角為．以坐標原點為極點，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標系．曲線的極坐標方程為．(1)求直線的參數(shù)方程和曲線的直角坐標方程；(2)設(shè)直線與曲線相交于A，兩點，求的值．【答案】(1)，（t為參數(shù)）；(2)【分析】（1）由直線經(jīng)過點，傾斜角為，可直接寫出其參數(shù)方程；利用極坐標與直角坐標的轉(zhuǎn)化公式可得曲線的直角坐標方程；（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標方程中,利用參數(shù)的幾何意義可求得的值.【詳解】（1）因為直線經(jīng)過點，傾斜角為，故直線的參數(shù)方程為,（t為參數(shù)），即，（t為參數(shù)）；由可得，即，將代入，可得曲線的直角坐標方程為；（2）設(shè)A,B兩點對應(yīng)的參數(shù)為，將直線l的參數(shù)方程代入，即中，得：，整理得，此時，故.9．（2022·廣西桂林·模擬預(yù)測（文））在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ2+2ρcosθ+4ρsinθ+4=0．(1)求l的普通方程和C的參數(shù)方程；(2)已知點M是曲線C上任一點，求點M到直線l距離的最大值，并求出此時點M的坐標．【答案】(1)；(α為參數(shù))．(2)點M到直線l距離的最大值為+1，此時點M的坐標為．【分析】（1）利用消元法求出l的普通方程；先求出C的普通方程，再化為參數(shù)方程；（2）利用參數(shù)方程求出點M到直線l距離的最大值，進而得到點M的坐標.(1)因為直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，兩式相加消去t可得：；因為，所以ρ2+2ρcosθ+4ρsinθ+4=0可化為：，化為參數(shù)方程為：(α為參數(shù)).(2)可設(shè)，則點M到直線l的距離為：所以，當且僅當，即時取得，此時，所以.所以點M到直線l距離的最大值為+1，此時點M的坐標為．10．（2022·江西萍鄉(xiāng)·三模（文））在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；(2)若點為曲線上任意一點，求點到直線距離的最小值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）消去參數(shù)t得直線普通方程，將代入曲線可得直角坐標方程；（2）設(shè)點，利用點到直線距離公式求解可得.(1)將代入，消去t得直線的普通方程為；由得，，將代入可得，即曲線的直角坐標方程為；(2)設(shè)點，則點到直線的距離，當，即時，，所以點到直線的距離最小值為.B組能力提升11．（2022·內(nèi)蒙古·滿洲里市教育研修中心三模（文））在直角坐標系中，圓C的方程為：，如圖，為圓上任意一點.(1)以直線的傾斜角為參數(shù)，寫出圓C的參數(shù)方程；(2)設(shè)點的坐標為，求的最大值.【答案】(1)，其中為參數(shù)，(2)+1【分析】（1）根據(jù)點P（x，y），可寫成極坐標，然后代入圓的方程，即可得到，進而可解.（2）根據(jù)圓的參數(shù)方程，x+y=，根據(jù)三角函數(shù)即可求出最大值(1)P為圓C上任意一點，假設(shè)P（x，y），OP長度為，則由題可得，P還在圓上，則，有；則，即，其中為參數(shù)，(2)x+y=+1當時，即時，x+y取到最大值+112．（2022·寧夏·石嘴山市第一中學(xué)三模（理））如圖，某“京劇臉譜”的輪廓曲線由曲線和圍成．在平面直角坐標系中，的參數(shù)方程為(為參數(shù)，且)，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，的極坐標方程為．(1)求的普通方程和的直角坐標方程；(2)已知曲線與軸、軸的正半軸分別交于A、B兩點，求曲線上任意一點到直線的距離的最大值．【答案】(1)；；(2)．【分析】(1)消去參數(shù)t即可的普通方程；將代入極坐標方程，即可求出其直角坐標方程；(2)利用橢圓的參數(shù)方程設(shè)上任意一點的坐標，利用點到直線的距離公式和三角函數(shù)最值即可求解．（1）的參數(shù)方程為為參數(shù)，且，轉(zhuǎn)換為普通方程為；曲線的極坐標方程為，根據(jù)，轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為；（2）根據(jù)題意得A(3，0)，B(0，3)，則直線AB的方程為，即x+y-3=0，設(shè)上任意一點為D(3cosθ，4sinθ)()，則D到直線AB的距離d=，其中tanφ=(0<φ<)，∵，故當時，d有最大值，即曲線上任意一點到直線的距離的最大值．13．（2022·河南商丘·三模（理））在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；(2)若直線與軸、軸的交點分別為，兩點，為曲線上的任意一點，求的面積的最小值．【答案】(1)直線的普通方程；曲線的直角坐標方程為．(2).【分析】（1）直接消去參數(shù)得普通方程，利用互化公式得到曲線的直角坐標方程；（2）由題可設(shè)，利用點到直線的距離公式求解可得.(1)由直線的參數(shù)方程為消去參數(shù)，得直線的普通方程；由得，則，所以曲線的直角坐標方程為．(2)由（1）可知，，設(shè)，則點到直線的距離為，其中，當時，，又，所以的面積的最小值為．14．（2022·全國·模擬預(yù)測（文））在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為.(1)求C和l的直角坐標方程；(2)若點M，N分別為曲線C和直線l上的動點，求的最小值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用消去參數(shù)，可得曲線C的普通方程，利用極坐標與直角坐標的互化公式可求出直線l的直角坐標方程，（2）設(shè)曲線C上任意一點到直線l的距離為d，然后利用點到直線的距離公式表示出，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可求出其最小值(1)由曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）可知，故曲線C的直角坐標方程為.由直線l的極坐標方程為，結(jié)合，可知l的直角坐標方程為.(2)的最小值即為曲線C上任意一點到直線l距離的最小值.設(shè)曲線C上任意一點到直線l的距離為d，則，故的最小值為.15．（2022·四川雅安·模擬預(yù)測（理））數(shù)學(xué)中有許多美麗的曲線，如在平面直角坐標系xOy中，曲線的形狀如心形（如圖），稱這類曲線為心形曲線．以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．當時，(1)求E的極坐標方程；(2)已知P，Q為曲線E上異于O的兩點，且，求的面積的最大值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）將，代入曲線E，化簡可得答案；（2）不妨設(shè)，，，，則的面積，令，可得，再利用配方計算可得答案.【詳解】（1）將，代入曲線E，得，即，所以，E的極坐標方程為；（2）不妨設(shè)，，即，，則的面積，由于，令，則，，則，故當時，，即的面積的最大值為．16．（2022·廣西·模擬預(yù)測（文））在平面直角坐標系中，已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標原點為極點軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的參數(shù)為（為參數(shù)）．(1)求曲線和直線的直角坐標方程；(2)過原點引一條射線分別交曲線和直線于、兩點，求的最大值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）在曲線和直線的參數(shù)方程中，消去參數(shù)，可得出曲線和直線的直角坐標方程；（2）設(shè)點、，求出直線與曲線的極坐標方程，可得出、的表達式，再利用三角恒等變換結(jié)合三角函數(shù)的有界性可求得的最大值.【詳解】（1）解：在曲線的參數(shù)中，，所以，曲線的直角坐標方程為，在直線的參數(shù)方程中，消去參數(shù)可得，即.（2）解：曲線的極坐標方程為，即，直線的極坐標方程為，設(shè)點、，則，，由可得，所以，，不妨取，所以，，為銳角，且，因為，則，故當時，取最大值.17．（2022·陜西·西鄉(xiāng)縣教學(xué)研究室一模（文））已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為.(1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程；(2)若點，直線l交曲線C于P，Q兩點，求的值.【答案】(1)，；(2).【分析】（1）消參可得直線的普通方程，利用極坐標與直角坐標的轉(zhuǎn)化公式可求圓的直角坐標方程；（2）直線參數(shù)方程代入圓的方程可得關(guān)于t的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系及幾何意義求解.（1）由直線l的參數(shù)方程（t為參數(shù)），消去參數(shù)可得：即直線l的普通方程為，由可得，即，所以圓C的直角坐標方程：.（2）將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程得：，即，設(shè)P?Q關(guān)于的參數(shù)分別是，，故與異號，.18．（2022·河南安陽·模擬預(yù)測（理））在直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為．(1)寫出C的普通方程和一個參數(shù)方程；(2)若直線和分別與C交于與O不重合的點A，B，求．【答案】(1)普通方程為，參數(shù)方程為（為參數(shù)）；(2)【分析】（1）先由公式求出C的普通方程，再寫出參數(shù)方程即可；（2）先聯(lián)立極坐標方程求得，再結(jié)合，由勾股定理求即可.(1)由可得，化為普通方程為，即；參數(shù)方程為（為參數(shù)）；(2)將和分別代入，得，解得；，解得；則，又，則，則.19．（2022·四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測（文））平面直角坐標系中，曲線C的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，射線l的極坐標方程為，將射線l繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到射線，若射線l，分別與曲線C相交于點A，點B．(1)求曲線C的極坐標方程；(2)求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)參數(shù)方程和普通方程的互化,以及直角坐標方程與極坐標方程的互化即可求解.（2）根據(jù)極坐標極角和極徑的含義,即可表達出,然后根據(jù)二倍角公式即可求解最小值.(1)曲線C的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），則曲線C的直角坐標方程為：．所以曲線C的極坐標方程為，即(2)）設(shè)A、B兩點極坐標方程分別為，，，當，即或時，取最小值．20．（2022·安徽·合肥市第八中學(xué)模擬預(yù)測（文））如圖，在直角坐標系中，以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系.圖中的心型曲線的極坐標方程為，M為曲線上一動點，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，）(1)若與交于A，O，B三點，求的值；(2)射線OM逆時針旋轉(zhuǎn)后與交于點N，求取最大值時點M的極坐標.【答案】(1)2(2)【分析】(1)寫出的極坐標方程，聯(lián)立求出的極坐標即可證明；(2)設(shè)出的極坐標，利用極徑的幾何意義表示，再利用輔助角公式化簡即可確定取最大值時的位置.(1)由可得所以曲線的極坐標方程為和設(shè)，(2)設(shè)，則當，即等號成立，此時，則.21．（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（理））在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)且），曲線與x軸，y軸分別交于A，B兩點，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．(1)求A，B兩點的直角坐標及曲線的直角坐標方程；(2)設(shè)直線與曲線：交于P，Q兩點，求的值．【答案】(1)，，曲線的直角坐標方程為；(2)的值為5.【分析】(1)由參數(shù)方程取可求點的直角坐標，取可求點的直角坐標，根據(jù)極坐標與直角坐標的互化公式可由曲線的極坐標方程求其直角坐標方程；(2)利用直線參數(shù)方程的參數(shù)的幾何意義可求的值．(1)由取可得，又，所以，，故點的直角坐標為，由取可得，又，所以，，故點的直角坐標為，由可得，所以，又，所以，(2)由(1)，，設(shè)則直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，聯(lián)立直線的參數(shù)方程與曲線的直角坐標方程可得，所以，所以，設(shè)P，Q兩點對應(yīng)的參數(shù)為，則且，所以，所以的值為5.22．（2022·吉林市教育學(xué)院模擬預(yù)測（理））以等邊三角形的每個頂點為圓心，以其邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形被稱為勒洛三角形，如圖，在極坐標系中，曲邊三角形為勒洛三角形，且，，以極點O為直角坐標原點，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標系，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．(1)求的極坐標方程和所在圓的直角坐標方程；(2)已知點M的直角坐標為，曲線和圓相交于A，B兩點，求．【答案】(1)；(2)3【分析】（1）由已知，可根據(jù)題意直接寫出的極坐標方程，并標注范圍，然后求解出點P的直角坐標，寫出所在圓的直角坐標方程即可；（2）由已知，設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為，將曲線的參數(shù)方程帶入圓，并根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系，求解即可.【詳解】（1）因為，，所以的極坐標方程：，因為點P的直角坐標是，所以所在圓的直角坐標方程為．（注：的極坐標方程不標明的取值范圍或?qū)戝e扣1分）（2）設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為，將代入得：所以因為，由t的幾何意義得：C組真題實戰(zhàn)練23．（2019·全國·高考真題（文））在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為．（1）求C和l的直角坐標方程；（2）求C上的點到l距離的最小值．【答案】（1）；；（2）【分析】（1）利用代入消元法，可求得的直角坐標方程；根據(jù)極坐標與直角坐標互化原則可得的直角坐標方程；（2）利用參數(shù)方程表示出上點的坐標，根據(jù)點到直線距離公式可將所求距離表示為三角函數(shù)的形式，從而根據(jù)三角函數(shù)的范圍可求得最值.【詳解】（1）由得：，又整理可得的直角坐標方程為：又，的直角坐標方程為：（2）設(shè)上點的坐標為：則上的點到直線的距離當時，取最小值則【點睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標方程與直角坐標方程的互化、求解橢圓上的點到直線距離的最值問題.求解本題中的最值問題通常采用參數(shù)方程來表示橢圓上的點，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值求解問題.24．（2020·全國·高考真題（理））已知曲線C1，C2的參數(shù)方程分別為C1：（θ為參數(shù)），C2：（t為參數(shù)）.（1）將C1，C2的參數(shù)方程化為普通方程；（2）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系.設(shè)C1，C2的交點為P，求圓心在極軸上，且經(jīng)過極點和P的圓的極坐標方程.【答案】（1）；；（2）.【分析】（1）分別消去參數(shù)和即可得到所求普通方程；（2）兩方程聯(lián)立求得點，求得所求圓的直角坐標方程后，根據(jù)直角坐標與極坐標的互化即可得到所求極坐標方程.【詳解】(1)[方法一]：消元法由得的普通方程為．由參數(shù)方程可得，兩式相乘得普通方程為．[方法二]【最優(yōu)解】：代入消元法由得的普通方程為，由參數(shù)方程可得，代入中并化簡得普通方程為．(2)[方法一]：幾何意義+極坐標將代入中解得，故P點的直角坐標為．設(shè)P點的極坐標為，由得，，．故所求圓的直徑為，所求圓的極坐標方程為，即．[方法二]：由得所以P點的直角坐標為．因為．設(shè)圓C的極坐標方程為，所以，從而，解得．故所求圓的極坐標方程為．[方法三]：利用幾何意義由得所以P點的直角坐標為，化為極坐標為，其中．如圖，設(shè)所求圓與極軸交于E點，則，所以，所以所求圓的極坐標方程為．[方法四]【最優(yōu)解】：由題意設(shè)所求圓的圓心直角坐標為，則圓的極坐標方程為．聯(lián)立得解得．設(shè)Q為圓與x軸的交點，其直角坐標為，O為坐標原點．又因為點都在所求圓上且為圓的直徑，所以，解得．所以所求圓的極坐標方程為．[方法五]利用幾何意義求圓心由題意設(shè)所求圓的圓心直角坐標為，則圓的極坐標方程為．聯(lián)立得，即P點的直角坐標為．所以弦的中垂線所在的直線方程為，將圓心坐標代入得，解得．所以所求圓的極坐標方程為．【整體點評】(1)[方法一]利用乘積消元充分利用了所給式子的特征，體現(xiàn)了解題的靈活性，并不是所有的問題都可以這樣解決；[方法二]代入消元是最常規(guī)的消元方法之一，消元的過程充分體現(xiàn)了參數(shù)方程與普通方程之間的聯(lián)系.(2)[方法一]利用幾何意義加極坐標求解極坐標方程是充分利用幾何思想的提現(xiàn)，能提現(xiàn)思維的；[方法二]首先確定交點坐標，然后抓住問題的本質(zhì)，求得的值即可確定極坐標方程；[方法三]首先求得交點坐標，然后充分利用幾何性質(zhì)求得圓的直徑即可確定極坐標方程；[方法四]直徑所對的圓周角為是圓最重要的性質(zhì)之一，將其與平面向量垂直的充分必要條件想聯(lián)系進行解題時一種常見的方法；[方法五]圓心和半徑是刻畫圓的最根本數(shù)據(jù)，利用幾何性質(zhì)求得圓心的坐標即可確定圓的方程.25．（2019·全國·高考真題（理））如圖，在極坐標系中，，，，，弧，，所在圓的圓心分別是，，，曲線是弧，曲線是弧，曲線是弧.（1）分別寫出，，的極坐標方程；（2）曲線由，，構(gòu)成，若點在上，且，求的極坐標.【答案】(1),,,(2),,,.【分析】(1)將三個過原點的圓方程列出，注意題中要求的是弧，所以要注意的方程中的取值范圍.(2)根據(jù)條件逐個方程代入求解，最后解出點的極坐標.【詳解】(1)由題意得，這三個圓的直徑都是2，并且都過原點.，,.(2)解方程得，此時P的極坐標為解方程得或，此時P的極坐標為或解方程得，此時P的極坐標為故P的極坐標為,,,.【點睛】此題考查了極坐標中過極點的圓的方程，思考量不高，運算量不大，屬于中檔題.26．（2020·全國·高考真題（文））在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)且t≠1)，C與坐標軸交于A，B兩點.（1）求||：（2）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求直線AB的極坐標方程.【答案】（1）（2）【分析】（1）由參數(shù)方程得出的坐標，最后由兩點間距離公式，即可得出的值；（2）由的坐標得出直線的直