二次函數(shù)的應(yīng)用--最大面積問題教學(xué)設(shè)計(jì)

PAGEPAGE3《二次函數(shù)的應(yīng)用——面積最大問題》教學(xué)設(shè)計(jì)二次函數(shù)的應(yīng)用——面積最大問題。所用教材是山東教育出版社材九年級(jí)上冊(cè)第三章第六節(jié)二次函數(shù)的應(yīng)用，本節(jié)共需四課時(shí)，面積最大是第一節(jié)。下面我將從教材內(nèi)容的分析、教學(xué)目標(biāo)、重點(diǎn)、難點(diǎn)的確定、教學(xué)方法的選擇、教學(xué)過程的設(shè)計(jì)和教學(xué)效果預(yù)測(cè)幾方面對(duì)本節(jié)課進(jìn)行說明。一、教學(xué)內(nèi)容的分析1、地位與作用：二次函數(shù)的應(yīng)用本身是學(xué)習(xí)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)后，檢驗(yàn)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題能力的一個(gè)綜合考查。新課標(biāo)中要求學(xué)生能通過對(duì)實(shí)際問題的情境的分析確定二次函數(shù)的表達(dá)式，體會(huì)其意義，能根據(jù)圖象的性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，而最值問題又是生活中利用二次函數(shù)知識(shí)解決最常見、最有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值的問題之一，它生活背景豐富，學(xué)生比較感興趣，對(duì)于面積問題學(xué)生易于理解和接受，故而在這兒作專題講座，為求解最大利潤(rùn)等問題奠定基礎(chǔ)。目的在于讓學(xué)生通過掌握求面積最大這一類題，學(xué)會(huì)用建模的思想去解決其它和函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用問題。此部分內(nèi)容是學(xué)習(xí)一次函數(shù)及其應(yīng)用后的鞏固與延伸，又為高中乃至以后學(xué)習(xí)更多函數(shù)打下堅(jiān)實(shí)的理論和思想方法基礎(chǔ)。2、課時(shí)安排教材中二次函數(shù)的應(yīng)用只設(shè)計(jì)了3個(gè)例題和一部分習(xí)題，無論是例題還是習(xí)題都沒有歸類，不利于學(xué)生系統(tǒng)地掌握解決問題的方法，我設(shè)計(jì)時(shí)把它分為面積最大、利潤(rùn)最大、運(yùn)動(dòng)中的二次函數(shù)、綜合應(yīng)用四課時(shí)，本節(jié)是第一課時(shí)。 3.學(xué)情及學(xué)法分析學(xué)生由簡(jiǎn)單的二次函數(shù)y＝x2學(xué)習(xí)開始，然后是y＝ax2，y＝ax2+c，最后是y=a(x-h)2，y＝a(x-h)2+k，y＝ax2+bx+c，學(xué)生已經(jīng)掌握了二次函數(shù)的三種表示方式和圖像的性質(zhì)。

對(duì)函數(shù)的思想已有初步認(rèn)識(shí)，對(duì)分析問題的方法已會(huì)初步模仿，能識(shí)別圖象的增減性和最值，但在變量超過兩個(gè)的實(shí)際問題中，還不能熟練地應(yīng)用知識(shí)解決問題，本節(jié)課正是為了彌補(bǔ)這一不足而設(shè)計(jì)的，目的是進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)際問題的能力，這也符合新課標(biāo)中知識(shí)與技能呈螺旋式上升的規(guī)律。教學(xué)目標(biāo)、重點(diǎn)、難點(diǎn)的確定教學(xué)目標(biāo)：1、知識(shí)與技能：通過本節(jié)學(xué)習(xí)，鞏固二次函數(shù)y=（a≠0）的圖象與性質(zhì)，理解頂點(diǎn)與最值的關(guān)系，會(huì)求解最值問題。2．過程與方法：經(jīng)歷“實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題——利用二次函數(shù)知識(shí)解決問題——利用求解的結(jié)果解釋問題”的過程體會(huì)數(shù)學(xué)建模的思想，體會(huì)到數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活。3.情感態(tài)度、價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立思考的能力和合作學(xué)習(xí)的精神，在動(dòng)手、交流過程中培養(yǎng)學(xué)生的交際能力和語言表達(dá)能力，促進(jìn)學(xué)生綜合素質(zhì)的養(yǎng)成。教學(xué)重點(diǎn)：利用二次函數(shù)y=（a≠0）的圖象與性質(zhì)，求面積最值問題教學(xué)難點(diǎn)：1、正確構(gòu)建數(shù)學(xué)模型2、對(duì)函數(shù)圖象頂點(diǎn)、端點(diǎn)與最值關(guān)系的理解與應(yīng)用三、教學(xué)方法與手段的選擇由于本節(jié)課是應(yīng)用問題，重在通過學(xué)習(xí)總結(jié)解決問題的方法，故而本節(jié)課以“啟發(fā)探究式”為主線開展教學(xué)活動(dòng)，解決問題以學(xué)生動(dòng)手動(dòng)腦探究為主，必要時(shí)加以小組合作討論，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性，突出學(xué)生的主體地位，達(dá)到“不但使學(xué)生學(xué)會(huì)，而且使學(xué)生會(huì)學(xué)”的目的。為了提高課堂效率，展示學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，適當(dāng)?shù)剌o以電腦多媒體技術(shù)。四、教學(xué)流程（一）請(qǐng)同學(xué)獨(dú)立完成下面3個(gè)問題：環(huán)節(jié)一：復(fù)習(xí)引入階段我設(shè)計(jì)了三個(gè)問題：1．函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)中，若a>0，則當(dāng)x=-時(shí)，y()=；若a<0，則當(dāng)x=時(shí)，y()=。2.（1）求函數(shù)y＝2x2+2x－3的最值。（2）求函數(shù)y＝x2+2x－3的最值。（0≤x≤3）3。如圖，在邊BC長(zhǎng)為20cm，高AM為16cm的△ABC內(nèi)接矩形EFGH，并且它的一邊FG在△ABC的邊BC上，E、F分別在AB、AC上，若設(shè)EF為xcm，請(qǐng)用x的代數(shù)式表示EH。解：∵矩形EFGH，∴EH∥BC∴△AEH∽___________。又∵BC上的高AM交EH于T。∴=_______，即=________。∴EH=。[設(shè)計(jì)思路]通過復(fù)習(xí)題1讓學(xué)生回憶二次函數(shù)的圖象和頂點(diǎn)坐標(biāo)與最值，通過做練習(xí)2復(fù)習(xí)求二次函數(shù)的最值方法公式法、配方法、圖象法，練習(xí)2（1）的設(shè)計(jì)中，學(xué)生求最值容易想到頂點(diǎn)，無論是配方、還是利用公式都能解決；（2）中給了0≤x≤3,學(xué)生求最值時(shí)可能還會(huì)利用頂點(diǎn)公式求,忽略了0≤x≤3,的限制，設(shè)計(jì)此題就是為了提醒學(xué)生注意求解函數(shù)問題不能離開定義域這個(gè)條件才有意義，因?yàn)槿魏螌?shí)際問題的定義域都受現(xiàn)實(shí)條件的制約，做完練習(xí)后及時(shí)讓學(xué)生總結(jié)出了取最值的點(diǎn)的位置往往在頂點(diǎn)和兩個(gè)端點(diǎn)之間選擇，練習(xí)3復(fù)習(xí)相似三角形，把一條線段用X表示，為學(xué)習(xí)新課做好知識(shí)鋪墊。（二）探究新知：新課分為在創(chuàng)設(shè)情境中發(fā)現(xiàn)問題、在解決問題中找出方法、在鞏固與應(yīng)用中提高技能幾個(gè)環(huán)節(jié)1、在創(chuàng)設(shè)情境中發(fā)現(xiàn)問題提問學(xué)生上面練習(xí)中第三題矩形EFGH的最大面積是多少？學(xué)生在操作中發(fā)現(xiàn)矩形長(zhǎng)、寬、面積不確定，從而回想起常量與變量的概念，最值又與二次函數(shù)有關(guān)，進(jìn)而自己聯(lián)想到用二次函數(shù)知識(shí)去解決，而不是老師告訴他用函數(shù)。求一個(gè)面積最大的矩形，這個(gè)問題本身對(duì)學(xué)生來說具有很大的趣味性和挑戰(zhàn)性，學(xué)生既感到好奇，又樂于探究它的結(jié)論，從而很自然地從復(fù)習(xí)舊知識(shí)過渡到新知識(shí)的學(xué)習(xí)。2、在解決問題中找出方法這一環(huán)節(jié)我設(shè)計(jì)了探究活動(dòng)一：在上面練習(xí)題3中，若要使矩形EFGH獲得最大面積，那么它的長(zhǎng)和寬各是多少？最大面積是多少？把矩形變成一個(gè)實(shí)際問題，目的在于讓學(xué)生體會(huì)其應(yīng)用價(jià)值——我們要學(xué)有用的數(shù)學(xué)知識(shí)。學(xué)生在前面探究問題時(shí)，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了面積不唯一，并急于找出最大的，而且要有理論依據(jù)，這樣首先要建立函數(shù)模型，在選取變量時(shí)學(xué)生可能會(huì)有困難，這時(shí)教師要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注哪兩個(gè)變量，就把其中的一個(gè)主要變量設(shè)為x，把另一個(gè)設(shè)為y，其它變量用含x的代數(shù)式表示，找出等量關(guān)系，建立函數(shù)模型，實(shí)際問題還要考慮自變量的取值范圍，畫高學(xué)生獨(dú)立思考并解決問題的能力。

分析：要求面積需求AB的邊長(zhǎng)，而AB=CD，所以需要求DC的長(zhǎng)度，而DC是△MDC中的一邊，所以可以利用三角形相似來求,也可以借助三角函數(shù)值相等求出。一生板演。提出問題：矩形面積的最大值有何變化？讓學(xué)生感知：同一實(shí)際問題中的最大值問題與所設(shè)的自變量無關(guān)，它是固定不變的的。

設(shè)計(jì)說明：

課堂上要求學(xué)生獨(dú)立完成這個(gè)問題的完整解答，請(qǐng)一、兩名學(xué)生板演，再由其他學(xué)生進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，找出完美的解答過程。體現(xiàn)學(xué)生的自主探索、合作交流的意識(shí)與能力，也充分體現(xiàn)了生生評(píng)價(jià)的激勵(lì)作用。3．問題三：對(duì)問題一再變式

問題三的設(shè)計(jì)目的：

問題二的解答會(huì)使一部分學(xué)生完全按照問題一的格式套下來，此時(shí)他們還會(huì)有點(diǎn)不熟練，但問題三則從另一個(gè)角度重新詮釋了面積最大的問題。即讓學(xué)生對(duì)這個(gè)問題重新進(jìn)行審視又讓學(xué)生徹底弄清這類問題的思考方式。讓學(xué)生在課堂上看到了活生生的數(shù)學(xué)問題，感受到數(shù)學(xué)與生活有著密切的聯(lián)系，使學(xué)生真正領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的價(jià)值。

在Rt△0MN的內(nèi)部作內(nèi)接矩形ABCD，點(diǎn)A和D分別在兩直角邊上，BC在斜邊MN上。①設(shè)矩形的邊BC=xm，則AB邊的長(zhǎng)度如何表示？②設(shè)矩形的面積為ym2，當(dāng)x取何值時(shí)，y的最大值是多少?提出問題：,在一個(gè)直角三角形的內(nèi)部能找到兩者的關(guān)系，所以該題要添加輔助線——斜邊上的高，轉(zhuǎn)化為探究活動(dòng)一的問題。

活動(dòng)目的：

有了前面兩題作基礎(chǔ)，這個(gè)問題教師可以帶領(lǐng)學(xué)生先行分析后留給學(xué)生自己解決，作為練習(xí)。課件展示規(guī)范的解題步驟。為了培養(yǎng)優(yōu)生，張揚(yáng)學(xué)生的個(gè)性發(fā)展，設(shè)計(jì)了一個(gè)提高題：如圖,已知△ABC是一等腰三角形鐵板余料,其AB=AC=20cm,BC=24cm.若在△ABC上截出一矩形零件DEFG,使EF在BC上,點(diǎn)D、G分別在邊AB、AC上.問矩形DEFG的最大面積是多少?xxxxy問題四的設(shè)計(jì)目的：

有關(guān)面積最大問題的基礎(chǔ)訓(xùn)練前面已經(jīng)涉及，這里設(shè)計(jì)了提高題來提升學(xué)生解決問題的能力。某建筑物的窗戶如圖所示,它的上半部是半圓,下半部是矩形,制造窗框的材料總長(zhǎng)(圖中所有的黑線的長(zhǎng)度和)為15m.當(dāng)x等于多少時(shí),窗戶通過的光線最多?此時(shí),窗戶的面積是多少?教學(xué)預(yù)設(shè)：引導(dǎo)學(xué)生分析得出x為半圓的半徑，2x是矩形的較長(zhǎng)邊，因此x與半圓面積和矩形面積都有關(guān)系，要求透過窗戶的光線最多，也就是求矩形和半圓的面積之和最大，即2xy＋x2最大，而由于4y＋4x＋3x＋πx＝7x＋4y＋πx＝15，所以y＝。面積S＝πx2＋2xy＝πx2＋2x·＝πx2＋＝－3.5x2＋7.5x，這時(shí)已經(jīng)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題即二次函數(shù)了，只要化為頂點(diǎn)式或代入頂點(diǎn)坐標(biāo)公式中即可．

實(shí)際教學(xué)效果：?jiǎn)栴}四中的數(shù)量關(guān)系，較前面3個(gè)問題，該題處理起來比較繁瑣，教師要給予學(xué)生及時(shí)的指導(dǎo)和幫助。此處設(shè)計(jì)了微視頻，通過微視頻讓學(xué)生明確解題方法。第二環(huán)節(jié)歸納升華

活動(dòng)內(nèi)容：同學(xué)們能否根據(jù)前面的例子作一下總結(jié)，解決此類問題的基本思路是什么呢？與同伴進(jìn)行交流．

活動(dòng)目的：

通過前面例題的學(xué)習(xí)和感受，學(xué)生討論交流，在教師的幫助下歸納出：基本流程為：理解題目分析已知量與未知量轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．解決此類問題的基本思路是：

(1)理解問題；

(2)分析問題中的變量和常量以及它們之間的關(guān)系；

(3)用二次函數(shù)表示出變量間的關(guān)系；

(4)確定最大值或最小值；

(5)檢驗(yàn)結(jié)果的合理性并進(jìn)行應(yīng)用拓展。

第三環(huán)節(jié)課堂檢測(cè)

設(shè)計(jì)說明：

通過一節(jié)課的的研究，讓學(xué)生進(jìn)一步感受二次函數(shù)解決面積最大的思路，為了讓更多的學(xué)生體驗(yàn)到成功，利用兩個(gè)比較簡(jiǎn)單的問題及時(shí)鞏固，并有利于學(xué)生樹立信心。

第四環(huán)節(jié)回顧反思

本節(jié)課我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)了用二次函數(shù)知識(shí)解決最大面積的問題，增強(qiáng)了應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的意識(shí)，獲得了利用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的經(jīng)驗(yàn)，并進(jìn)一步感受了數(shù)學(xué)建模思想和數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值．

設(shè)計(jì)說明：旨在培養(yǎng)學(xué)生的建模思想和合作交流的意識(shí)。課堂中應(yīng)請(qǐng)學(xué)生自主總結(jié)本節(jié)課的內(nèi)容。教師予以鼓勵(lì)、表?yè)P(yáng)和肯定即可。通過微視頻提升學(xué)生興趣。

第五環(huán)節(jié)布置作業(yè)1.預(yù)習(xí)下一節(jié)最大利潤(rùn)應(yīng)用問題2.課本P78問題解決1、3ABABCD(1)求S與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍；(2)當(dāng)x取何值時(shí)所圍成的花圃面積最大，最大值是多少？ (3)若墻的最大可用長(zhǎng)度為8米，則求圍成花圃的最大面積。設(shè)計(jì)目的：提醒學(xué)生自變量的取值范圍，尋求最值不一定在頂點(diǎn)處。

三、評(píng)價(jià)與反思

本節(jié)課的目的主要使學(xué)生經(jīng)歷矩形和窗戶最大透光問題的過程，進(jìn)一步獲得利用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)模型