高中數(shù)學(xué)文化講座數(shù)學(xué)社團(tuán)課程第三講-中國(guó)古代數(shù)學(xué)課件

陶淵明詩(shī)句泛覽周王傳，留觀山海經(jīng)。俯仰終宇宙，不樂(lè)復(fù)何如。王國(guó)維讀書(shū)三境界“昨夜西風(fēng)凋碧樹(shù)。獨(dú)上高樓，望盡天涯路”（原文選自晏殊的《蝶戀花》），此乃第一境也?！耙聨u寬終不悔，為伊消得人憔悴”（原文選自柳永的《蝶戀花》）

，此乃第二境也?！氨娎飳にО俣龋嚾换厥?，那人卻在燈火闌珊處”(原文選自辛棄疾的《青玉案元夕》），此乃第三境也。第三講中國(guó)古代數(shù)學(xué)中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的形成與興盛：公元前1世紀(jì)至公元14世紀(jì)。分成三個(gè)階段：兩漢時(shí)期；魏晉南北朝時(shí)期；宋元時(shí)期。主要數(shù)學(xué)典籍：《周髀算經(jīng)》與《九章算術(shù)》等古代數(shù)學(xué)家：劉徽、祖沖之等第三講中國(guó)古代數(shù)學(xué)1、中算發(fā)展的第一次高峰：數(shù)學(xué)體系的形成1983－1984年間考古學(xué)家在湖北江陵張家山出土的一批西漢初年（即呂后至文帝初年，約為公元前170年前后）的竹簡(jiǎn)，共千余支。經(jīng)初步整理，其中有歷譜、日書(shū)等多種古代珍貴的文獻(xiàn)，還有一部數(shù)學(xué)著作，據(jù)寫(xiě)在一支竹簡(jiǎn)背面的字跡辨認(rèn)，這部竹簡(jiǎn)算書(shū)的書(shū)名叫《算數(shù)書(shū)》，它是中國(guó)現(xiàn)存最早的數(shù)學(xué)專(zhuān)著。

秦始皇陵兵馬俑（中國(guó),1983）秦漢時(shí)期形成中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)體系中國(guó)現(xiàn)存最早的數(shù)學(xué)書(shū)《算數(shù)書(shū)》(西漢,約公元前170年,1983-1984年間湖北江陵張家山出土)《算數(shù)書(shū)》《算數(shù)書(shū)》研究得知，這“本”竹簡(jiǎn)《算數(shù)書(shū)》和《九章算術(shù)》（公元1世紀(jì)）有許多相同之處，體例也是“問(wèn)題集”形式，大多數(shù)題都由問(wèn)、答、術(shù)三部分組成，而且有些概念、術(shù)語(yǔ)也與《九章算術(shù)》的一樣。《周髀bì算經(jīng)》

（髀：量日影的標(biāo)桿）是我國(guó)最早的天文著作，系統(tǒng)地記載了周秦以來(lái)適應(yīng)天文需要而逐步積累的科技成果。該書(shū)的主要內(nèi)容是周代傳下來(lái)的有關(guān)測(cè)天量地的理論和方法。《周髀算經(jīng)》也是中國(guó)最古的算書(shū)，成書(shū)確切年代沒(méi)有定論，一般認(rèn)為在公元前2、3世紀(jì)。李約瑟認(rèn)為：“最妥善的辦法是把《周髀算經(jīng)》看作具有周代的骨架加上漢代的皮肉?！?/p>

《周髀算經(jīng)》

勾股定理的普遍形式

《周髀算經(jīng)》《周髀算經(jīng)》(西漢,約公元前100年)

陳子測(cè)日法

求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開(kāi)方除之，得邪至日。相似形方法《周髀算經(jīng)》中的勾股定理周公問(wèn)商高關(guān)于計(jì)算的問(wèn)題，商高答曰：“數(shù)之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以為勾廣三，股修四，徑隅五。”

榮方與陳子的一段對(duì)話中，則包含了勾股定理的一般形式。陳子曰：“若求邪至日者，以日下為勾，日高為股。勾、股各自乘，并而開(kāi)方除之，得邪至日，…”

《周髀算經(jīng)》中的勾股定理《周髀算經(jīng)》還記載了商高的用矩之法：“平矩以正繩，偃矩以望高，覆矩以測(cè)深，臥矩以知遠(yuǎn)，環(huán)矩以為圓，合矩以為方?！?/p>

九章算術(shù)

《九章算術(shù)》成書(shū)于公元前后，是我國(guó)最重要、影響最深遠(yuǎn)的一本數(shù)學(xué)著作。它不是出自一個(gè)人之手，是經(jīng)過(guò)歷代多人修訂、增補(bǔ)而成，其中的數(shù)學(xué)內(nèi)容，有些也可以追溯到周代。中國(guó)儒家的重要經(jīng)典著作《周禮》記載西周貴族子弟必學(xué)的六門(mén)課程“六藝”（禮、樂(lè)、射、御、書(shū)、數(shù)）中有一門(mén)是“九數(shù)”?！毒耪滤阈g(shù)》是由“九數(shù)”發(fā)展而來(lái)。在秦焚書(shū)（公元前213年）之前，至少已有原始的本子?！毒耪滤阈g(shù)》

(東漢,公元100年)《九章算術(shù)》后世不少人，如劉徽、祖沖之、李淳風(fēng)等人均對(duì)《九章算術(shù)》作過(guò)注。特別是劉徽的注，加進(jìn)了不少自己的精辟見(jiàn)解，闡述了重要的數(shù)學(xué)理論。《九章算術(shù)注》是《九章算術(shù)》得以流芳百世的重要補(bǔ)充和媒介。

九章算術(shù)

對(duì)《九章算術(shù)》的評(píng)價(jià)日本數(shù)學(xué)家小蒼金之助把《九章算術(shù)》說(shuō)成是中國(guó)的《幾何原本》。吳文俊教授也認(rèn)為，《九章算術(shù)》和劉徽的《九章算術(shù)注》，在數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史中具有崇高的地位，足可與希臘的《幾何原本》東西輝映，各具特色。1968年德國(guó)沃格爾（Vogel）把《九章算術(shù)》譯成德文出版時(shí)加的評(píng)論認(rèn)為：“在古代算術(shù)中，包含如此豐富的246個(gè)算題，現(xiàn)存的埃及和巴比倫算題與之相比，真望塵莫及。以希臘而論，所保存的古算題為我們所熟知者，也屬于希臘化時(shí)代?！?/p>

方田《九章算術(shù)》《九章算術(shù)》

粟米

衰分

少?gòu)V

商功

均輸

盈不足

方程

勾股世界數(shù)學(xué)古典名著

以籌算為基礎(chǔ)的中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系正式形成

第一章“方田”講述有關(guān)平面圖形（土地田畝）面積的計(jì)算方法，包括分?jǐn)?shù)算法，38個(gè)問(wèn)題。如：

[一]今有田廣十五步，從十六步，問(wèn)為田幾何？答曰：一畝。

[二]又有田廣十二步，從十四步，問(wèn)為田幾何？答曰：一百六十八步。

方田術(shù)曰：廣從步數(shù)相乘得積步，以畝法二百四十步除之，即畝數(shù)，百畝為一傾。

九章算術(shù)

九章算術(shù)

[五]今有十八分之十二，問(wèn)約之得幾何？答曰：三分之二。

[六]又有九十一分之四十九，問(wèn)約之得幾何？答曰：十三分之七。約分術(shù)曰：可半者半之，不可半者，副置分母子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之。

九章算術(shù)

第二章“粟米”講述有關(guān)糧食交換中的比例問(wèn)題。書(shū)中的“今有術(shù)”給出比例式中已知三數(shù)求第四數(shù)的方法，歐洲遲至15世紀(jì)才出現(xiàn)。第三章“衰分”講述配分比例和等差、等比等問(wèn)題。

第四章“少?gòu)V”講述由田畝面積求邊長(zhǎng)，由球體積求經(jīng)長(zhǎng)的算法，這是世界上最早的多位數(shù)開(kāi)平方、開(kāi)立方法則的記載。

九章算術(shù)之開(kāi)方術(shù)今有積五萬(wàn)五千二百二十五步，問(wèn)為方幾何？答曰：二百三十五步。開(kāi)方術(shù)曰：置積為實(shí)，借一算步之，超一等。議所得，以一乘所借一算為法，而以除，除已，倍法為定法。其復(fù)除，折法而下。復(fù)置借算步之如初，以復(fù)議一乘之。所得副之，以加定法，以除，以所得副從定法。復(fù)除折下如前。

九章算術(shù)

第五章“商功”講述各種土木工程中的體積計(jì)算。我國(guó)自遠(yuǎn)古以來(lái)，對(duì)筑城、挖溝、修渠等土建工程積累了豐富的經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)造了許多有關(guān)土方體積計(jì)算和估算的方法，本章即為經(jīng)驗(yàn)和方法的理論總結(jié)，諸如長(zhǎng)方體、臺(tái)體、圓柱體、錐體等體積的計(jì)算公式都與現(xiàn)在一致，只是圓周率取3，誤差較大。九章算術(shù)

第六章“均輸”講述納稅和運(yùn)輸方面的計(jì)算問(wèn)題，實(shí)際上是比較復(fù)雜的比例計(jì)算問(wèn)題。第七章“盈不足”講述算術(shù)中盈虧問(wèn)題的解法。盈不足術(shù)實(shí)際上是一種線性插值法。該方法通過(guò)絲綢之路傳入阿拉伯國(guó)家，受到特別重視，被稱(chēng)為“契丹算法”。后來(lái)傳入歐洲，13世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的《算經(jīng)》一書(shū)中專(zhuān)門(mén)有一章講“契丹算法”。

九章算術(shù)第八章“方程”講述線性方程組的解法，還論及正負(fù)數(shù)概念及運(yùn)算方法。中算的方程，本意是指多元一次方程組（線性方程組）。劉徽在《九章算術(shù)注》中指出：“程，課程也。群物總雜，各列有數(shù)，總言其實(shí)。令每行為率，二物者再程，三物者三程，皆如物數(shù)程之，并列為行，故謂之方程?！?/p>

方程術(shù)例題今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實(shí)三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實(shí)二十六斗；問(wèn)上、中、下禾實(shí)一秉各幾何？正負(fù)術(shù)李文林指出：“對(duì)負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)是人類(lèi)數(shù)系擴(kuò)充的重大步驟。如果說(shuō)古希臘無(wú)理量是演繹思維的發(fā)現(xiàn)，那么中算負(fù)數(shù)則是算法思維的產(chǎn)物。中算家們心安理得地接受并使用了這一概念，并沒(méi)有引起震撼和迷惑。”

國(guó)外首先承認(rèn)負(fù)數(shù)的是7世紀(jì)印度數(shù)學(xué)家婆羅門(mén)及多，歐洲16世紀(jì)時(shí)韋達(dá)等數(shù)學(xué)家的著作還回避使用負(fù)數(shù)。

勾股術(shù)第九章“勾股”在《周髀算經(jīng)》中勾股定理的基礎(chǔ)上，形成了應(yīng)用問(wèn)題的“勾股術(shù)”，從此它成了中算中重要的傳統(tǒng)內(nèi)容之一。

今有池方一丈，葭jiā生其中央，出水一尺。引葭赴岸，適與岸齊，問(wèn)水深、葭長(zhǎng)各幾何？答曰：水深一丈二尺；葭長(zhǎng)一丈三尺。

術(shù)曰：半池方自乘，以出水一尺自乘，減之。余，倍出水除之，即得水深。加出水?dāng)?shù)，得葭長(zhǎng)。

劉徽和祖沖之父子2、中算發(fā)展的第二時(shí)期：數(shù)學(xué)穩(wěn)步發(fā)展從公元220年?yáng)|漢分裂，到公元581年隋朝建立，史稱(chēng)魏晉南北朝。這是中國(guó)歷史上的動(dòng)蕩時(shí)期，也是思想相對(duì)活躍的時(shí)期。在長(zhǎng)期獨(dú)尊儒學(xué)之后，學(xué)術(shù)界思辨之風(fēng)再起，在數(shù)學(xué)上也興起了論證的趨勢(shì)。許多研究以注釋《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》的形式出現(xiàn)，實(shí)質(zhì)是尋求這兩部著作中一些重要結(jié)論的數(shù)學(xué)證明。這是中國(guó)數(shù)學(xué)史上一個(gè)獨(dú)特而豐產(chǎn)的時(shí)期，是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)穩(wěn)步發(fā)展的時(shí)期。三國(guó)演義(中國(guó)，1998）魏晉南北朝時(shí)期中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)穩(wěn)步發(fā)展劉徽的數(shù)學(xué)成就

劉徽的《九章算術(shù)注》包含了他本人的許多創(chuàng)造，其中最突出的成就是“割圓術(shù)”和求積理論。若設(shè)圓面積為，內(nèi)接正n邊形邊長(zhǎng)為，面積為則OABCD《九章算術(shù)注》公元263年撰《九章算術(shù)注》

闡述了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的理論體系與數(shù)學(xué)原理中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最具代表性的人物

劉徽(魏晉,公元3世紀(jì))（中國(guó)，2002）劉徽的割圓術(shù)公元263年撰《九章算術(shù)注》。割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”計(jì)算圓內(nèi)接正3072邊形求出圓周率為3927/1250即3.1416徽率157/50即3.14

《九章算術(shù)注》劉徽的割圓術(shù)

《九章算術(shù)注》割圓術(shù)(24邊形)《九章算術(shù)注》割圓術(shù)(6邊形)割圓術(shù)(48邊形)割圓術(shù)(96邊形)劉徽對(duì)π的估算值（密克羅尼西亞，1999）

《九章算術(shù)注》圓周率劉徽用“割圓術(shù)”從圓內(nèi)接正六邊形出發(fā)，算到圓內(nèi)接正192=6×25邊形，得到“徽率”3.14。

推測(cè)祖沖之可能也是沿用了“割圓術(shù)”，計(jì)算到圓內(nèi)接正24576=6×212邊形，即可得祖沖之的結(jié)果。祖沖之(南朝宋、齊,429-500年)劉徽的求積理論劉徽的面積、體積理論建立在一條簡(jiǎn)單而又基本的原理之上，這就是“出入相補(bǔ)原理”。劉徽用這條原理成功地證明了《九章算術(shù)》中的許多面積公式。劉徽在推證《九章算術(shù)》中的一些體積公式時(shí)，靈活地使用了兩種無(wú)限小方法：極限方法與不可分量方法。比如，“陽(yáng)馬”體積公式便是用極限方法推導(dǎo)出來(lái)的，而球體積公式的推導(dǎo)則使用了不可分量方法。

為計(jì)算球體積，劉徽提出“牟合方蓋”。祖沖之劉徽的數(shù)學(xué)思想和方法，到南北朝時(shí)期被祖沖之推進(jìn)和發(fā)展。祖沖之（429－500年），范陽(yáng)遒縣（今河北淶源）人，活躍于南朝的宋、齊兩代，曾做過(guò)一些小官，但他卻成為歷代為數(shù)很少能名列正史的數(shù)學(xué)家之一。祖沖之：“遲疾之率，非出神怪，有形可檢，有數(shù)可推。”祖沖之(429-500年)（中國(guó)，1955）

圓周率計(jì)算

球體體積公式《綴術(shù)》《綴術(shù)》祖沖之祖沖之的著作《綴術(shù)》，取得了圓周率的計(jì)算和球體體積的推導(dǎo)兩大數(shù)學(xué)成就。祖沖之關(guān)于圓周率的貢獻(xiàn)記載在《隋書(shū)》（唐，魏征主編）的《律歷志》中：“古之九數(shù)，圓周率三，圓徑率一，其術(shù)疏舛。自劉歆、張衡、劉徽、王蕃、皮延宗之徒，各設(shè)新率，未臻折衷。祖沖之算出圓周率在3.1415926與3.1415927之間，并以355/113（=3.1415929…）為密率，22/7（=3.1428…）為約率?！毒Y術(shù)》《綴術(shù)》的另一貢獻(xiàn)是祖氏原理：冪勢(shì)既同則積不容異，在西方文獻(xiàn)中稱(chēng)為卡瓦列里原理，或不可分量原理，因?yàn)?635年意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里（1598－1647年）獨(dú)立提出，對(duì)微積分的建立有重要影響。在數(shù)學(xué)成就方面，整個(gè)唐代卻沒(méi)有產(chǎn)生出能夠與其前的魏晉南北朝和其后的宋元時(shí)期相媲美的數(shù)學(xué)大家，主要的數(shù)學(xué)成就在于建立中國(guó)數(shù)學(xué)教育制度。為了教學(xué)需要唐初由李淳風(fēng)等人注釋并校訂了《算經(jīng)十書(shū)》（約656年）。算經(jīng)十書(shū)

出于官方數(shù)學(xué)教育的需要，唐高宗親自下令對(duì)以前的數(shù)學(xué)著作進(jìn)行整理。公元656年由李淳風(fēng)負(fù)責(zé)編定了算經(jīng)十書(shū)：《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《孫子算經(jīng)》、《五曹算經(jīng)》、《張邱建算經(jīng)》、《夏侯陽(yáng)算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》、《海島算經(jīng)》、《五經(jīng)算術(shù)》和《綴術(shù)》，后因《綴術(shù)》失傳，而以《數(shù)術(shù)記遺》替代。

《算經(jīng)十書(shū)》

公元656《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《夏候陽(yáng)算經(jīng)》、《張邱建算經(jīng)》、《綴術(shù)》、《五曹算經(jīng)》、《五經(jīng)算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》《算經(jīng)十書(shū)》漢唐千余年間中國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展的水平孫子算經(jīng)

[雞兔同籠]今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。問(wèn)雉、兔各幾何？答曰：雉二十三，兔一十二。術(shù)曰：上置頭，下置足，半其足，以頭除足，以足除頭，即得。

[物不知數(shù)]今有物，不知其數(shù)。三三數(shù)之，剩二；五五數(shù)之剩三；七七數(shù)之，剩二。問(wèn)物幾何？答曰：二十三。

孫子歌

明代數(shù)學(xué)家程大位的《算法統(tǒng)宗》中所載的“孫子歌”以詩(shī)歌形式介紹了物不知數(shù)問(wèn)題的解法：“三人同行七十稀，五樹(shù)梅花廿一枝，七子團(tuán)圓整半月，除百零五便得知?！?/p>

這一問(wèn)題的解法后經(jīng)秦九韶推廣到一般情形，被稱(chēng)為“孫子定理”，又稱(chēng)為“中國(guó)剩余定理”。

宋元數(shù)學(xué)中國(guó)古典數(shù)學(xué)

的全盛時(shí)期3、中數(shù)發(fā)展的第三階段：宋元數(shù)學(xué)宋元時(shí)期（960-1368）的杰出數(shù)學(xué)家秦九韶、楊輝、李冶、朱世杰被稱(chēng)為“宋元四大家”。

宋元時(shí)期的數(shù)學(xué)代表著作有《數(shù)書(shū)九章》（秦九韶）、《詳解九章算法》（楊輝）、《益古演段》（李冶）和《四元玉鑒》（朱世杰）等

宋元數(shù)學(xué)社會(huì)背景：公元960年，北宋王朝的建立結(jié)束了五代十國(guó)（907－960年）割據(jù)的局面。北宋的農(nóng)業(yè)、手工業(yè)、商業(yè)空前繁榮，科學(xué)技術(shù)突飛猛進(jìn)，火藥、指南針、印刷術(shù)三大發(fā)明就是在這種經(jīng)濟(jì)高漲的情況下得到了廣泛應(yīng)用。雕版印書(shū)的發(fā)達(dá)，特別是北宋中期，在宋仁宗慶歷年間（約1041—1048年），畢升活字印刷術(shù)的發(fā)明，完成了印刷史上一項(xiàng)重大的革命。畢升發(fā)明活字印刷術(shù)

(約1041—1048年)

促進(jìn)了數(shù)學(xué)著作的保存與流傳

社會(huì)背景印刷術(shù)印刷術(shù)給數(shù)學(xué)著作的保存與流傳帶來(lái)了福音。事實(shí)上，整個(gè)宋元時(shí)期（960—1368年），重新統(tǒng)一了的中國(guó)封建社會(huì)發(fā)生了一系列有利于數(shù)學(xué)發(fā)展的變化，以籌算為主要內(nèi)容的中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)達(dá)到了鼎盛時(shí)期。中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)以宋元數(shù)學(xué)為最高境界。這一時(shí)期涌現(xiàn)許多杰出的數(shù)學(xué)家和先進(jìn)的數(shù)學(xué)計(jì)算技術(shù)，其印刷出版、記載著中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最高成就的宋元算書(shū)，是世界文化的重要遺產(chǎn)。算法豐富。賈憲：《黃帝九章算術(shù)細(xì)草》(1050)

增乘開(kāi)方法

賈憲三角

開(kāi)方作法本源圖

帕斯卡《論算術(shù)三角形，以及另外一些類(lèi)似的小問(wèn)題》(1654)帕斯卡(法,1623-1662年)

古法七乘方圖算術(shù)三角形(利比里亞，（1999)

帕斯卡(法,1623－1662)

(法國(guó),1962)賈憲三角賈憲三角賈憲（約公元11世紀(jì)）是北宋人，在朝中任左班殿值，約1050年完成一部叫《黃帝九章算術(shù)細(xì)草》的著作，原書(shū)丟失，但其主要內(nèi)容被楊輝的《詳解九章算法》摘錄，因能傳世。賈憲發(fā)明了“增乘開(kāi)方法”，是中算史上第一個(gè)完整、可推廣到任意次方的開(kāi)方程序，一種非常有效和高度機(jī)械化的算法。賈憲三角在此基礎(chǔ)上，賈憲創(chuàng)造了“開(kāi)方作法本源圖”（即“古法七乘方圖”或賈憲三角），西方人叫“帕斯卡三角”或“算術(shù)三角形”，因?yàn)榉▏?guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡（1623－1662年）于1654年發(fā)表論文《論算術(shù)三角形，以及另外一些類(lèi)似的小問(wèn)題》。

隙積術(shù)沈括（1030－1094年），北宋錢(qián)塘（今浙江杭州）人，北宋著名的科學(xué)家，1080年任延州（今陜西延安市）知州，因1082年的“永樂(lè)城（今寧夏銀川附近）之戰(zhàn)”敗于西夏（1032－1227年）而結(jié)束政治生涯，經(jīng)過(guò)6年的軟禁之苦后，開(kāi)始賦閑幽居生活。隙積術(shù)沈括(北宋,1030-1094年)《夢(mèng)溪筆談》(1093)

李約瑟：中國(guó)科學(xué)史的里程碑

會(huì)圓術(shù)隙積術(shù)

隙積術(shù)沈括沈括一生論著極多，其中以《夢(mèng)溪筆談》（1093年）影響最大，內(nèi)容包括數(shù)學(xué)、天文、歷法、地理、物理、化學(xué)等領(lǐng)域，被英國(guó)著名科學(xué)史家李約瑟譽(yù)為“中國(guó)科學(xué)史的里程碑”。他對(duì)數(shù)學(xué)的主要成就有兩項(xiàng)，會(huì)圓術(shù)（解決由弦求孤的問(wèn)題）和隙積術(shù)（開(kāi)創(chuàng)研究高階等差級(jí)數(shù)之先河）。天元術(shù)李冶（金、元，1192－1279年），金代真定欒城（今河北欒城）人，出生的時(shí)候，金朝（1115－1234年）正由盛而衰，曾任鈞州（今河南禹縣）知事，1232年鈞州被蒙古軍所破，遂隱居于封龍山治學(xué)，潛心學(xué)問(wèn)。1248年撰成代數(shù)名著《測(cè)圓海鏡》，該書(shū)是首部系統(tǒng)論述“天元術(shù)”（一元高次方程）的著作。天元術(shù)李冶(金、元,1192-1279年)

天元術(shù)

（一元高次方程）

列方程法

“立天元一為某某”天元術(shù)《測(cè)圓海鏡》(1248)“設(shè)x為某某”

李冶的天元術(shù)

天元術(shù)天元術(shù)“天元術(shù)”與現(xiàn)代代數(shù)中的列方程法相類(lèi)似，稱(chēng)未知數(shù)為天元，“立天元一為某某”，相當(dāng)于“設(shè)x為某某”，可以說(shuō)是符號(hào)代數(shù)的嘗試，在數(shù)學(xué)史上具有里程碑意義。劉徽注釋《九章算術(shù)》“正負(fù)術(shù)”中云：“正算赤，負(fù)算黑”，李冶感到用筆記錄時(shí)換色的不便，便在《測(cè)圓海鏡》中用斜畫(huà)一杠表示負(fù)數(shù)。李冶的天元術(shù)列方程：x^3+336x^2+4184x+2488320=0。大衍術(shù)秦九韶（約1202－1261年），南宋普州安岳（今四川安岳）人，曾任和州（今安徽和縣）守，1244年，因母喪離任，回湖州（今浙江吳興）守孝三年。此間，秦九韶專(zhuān)心致志于研究數(shù)學(xué)，于1247年完成數(shù)學(xué)名著《數(shù)書(shū)九章》，內(nèi)容分為九類(lèi)：大衍類(lèi)、天時(shí)類(lèi)、田域類(lèi)、測(cè)望類(lèi)、賦役類(lèi)、錢(qián)谷類(lèi)、營(yíng)建類(lèi)、軍旅類(lèi)、市易類(lèi)，其中有兩項(xiàng)貢獻(xiàn)使得宋代算書(shū)在中世紀(jì)世界數(shù)學(xué)史上占有突出的地位。大衍總數(shù)術(shù)

問(wèn)題：求滿足

的最小自然數(shù)N?！粼O(shè)，求乘率使

則總數(shù)中國(guó)剩余定理秦九韶的算法非常嚴(yán)密，但他并沒(méi)有對(duì)這一算法給出證明。到18、19世紀(jì)歐拉（1743）和高斯（1801）分別對(duì)一次同余式組進(jìn)行了詳細(xì)研究，重新獨(dú)立地獲得了與秦九韶“大衍術(shù)”相同的定理，并對(duì)模數(shù)兩兩互素的情形給出了嚴(yán)格證明。高斯的成果是最完整的，他還解決了模不是兩兩互素時(shí)的情形。1876年德國(guó)人馬蒂生首先指出秦九韶的算法與高斯的算法是一致的，因此關(guān)于這一算法被稱(chēng)作“中國(guó)剩余定理”。

大衍術(shù)秦九韶(南宋,約1202-1261年)

大衍類(lèi)大衍術(shù)《數(shù)書(shū)九章》(1247)

天時(shí)類(lèi)

田域類(lèi)

測(cè)望類(lèi)

賦役類(lèi)

錢(qián)谷類(lèi)

營(yíng)建類(lèi)

軍旅類(lèi)

市易類(lèi)

垛積術(shù)楊輝（公元13世紀(jì)），南宋錢(qián)塘（今浙江杭州）人，曾做過(guò)地方官，足跡遍及錢(qián)塘、臺(tái)州、蘇州等地，是東南一帶有名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家。楊輝的主要數(shù)學(xué)著作之一《詳解九章算法》（1261年）是為了普及《九章算術(shù)》中的數(shù)學(xué)知識(shí)而作，它從《九章算術(shù)》的246道題中選擇了80道有代表性的題目，進(jìn)行詳解，其中主要的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)是“垛積術(shù)”。垛積術(shù)楊輝(南宋,公元13世紀(jì))《詳解九章算法》(1261)

垛積術(shù)垛積術(shù)

楊輝三角垛積術(shù)垛積術(shù)是在沈括“隙積術(shù)”的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，由多面體體積公式導(dǎo)出相應(yīng)的垛積術(shù)公式。另一貢獻(xiàn)是所謂的“楊輝三角”，其實(shí)是記載了賈憲的工作。四元術(shù)朱世杰（約1260－1320年），寓居燕山（今北京附近），當(dāng)時(shí)的北方，正處于天元術(shù)逐漸發(fā)展成為二元術(shù)、三元術(shù)的重要時(shí)期，朱世杰在經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期游學(xué)、講學(xué)之后，終于在1299年和1303年在揚(yáng)州刊刻了他的兩部代表作《算學(xué)啟蒙》和《四元玉鑒》。四元術(shù)中國(guó)數(shù)學(xué)自晚唐以來(lái)不斷發(fā)展的簡(jiǎn)化籌算的趨勢(shì)有了進(jìn)一步的加強(qiáng)，日用數(shù)學(xué)和商用數(shù)學(xué)更加普及，南宋時(shí)期楊輝可以作為這一傾向的代表，而朱世杰則是這一傾向的繼承。《算學(xué)啟蒙》是一部通俗數(shù)學(xué)名著