光的色散與群速度

關(guān)于光的色散與群速度第一頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日隨著測(cè)定光速方法的改進(jìn)，問(wèn)題又復(fù)雜化了，1885年邁克耳遜以較高的精度重復(fù)了傅科實(shí)驗(yàn)的同時(shí)，還測(cè)定了空氣和CS2光速之比為1.758，但是用折射法測(cè)定的CS2折射率為1.64，兩數(shù)相差甚大，這絕非實(shí)驗(yàn)誤差所致。瑞利對(duì)光速的概念進(jìn)行了深入詳盡的研究，提出“群速”的概念之后才解決這個(gè)矛盾。迄今為止，對(duì)于各向同性介質(zhì)在提到波速時(shí)，都指的是波面（等位相面）傳播的速度，即相速度p，在惠更斯原理中如此，在波函數(shù)的表達(dá)式中也如此。一.相速度2第二頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日理想的單色平面波的波動(dòng)方程可表示為：因此，相位不變的條件為：兩邊微分得：即上式＝2，k＝2/都是不隨t和r改變的量?？梢?jiàn)，相速度是嚴(yán)格單色光所特有的一種速度。嚴(yán)格的單色光在空間延續(xù)和時(shí)間延續(xù)都是無(wú)窮無(wú)盡的余弦或正弦波。但這種波是理想的極限情況。3第三頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日在真空中所有波長(zhǎng)的電磁以同一相速c傳播，復(fù)色光可視為若干單色波列的疊加，所以復(fù)色光在真空中傳播的相速度就等于單色光在真空中傳播的相速度。在色散介質(zhì)中，各單色光以不同的相速度傳播，因而，復(fù)色光在色散介質(zhì)中的傳播問(wèn)題也隨之復(fù)雜化。二.群速度為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，假設(shè)復(fù)色光由兩列單色光波組成，其振幅均為a，頻率分別為：4第四頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日波數(shù)分別為：則這兩列單色光波可分別表示為：可以推得其合成波為：其中即合成波的振幅A0不是常數(shù)，而是隨r和t緩慢變化的余弦函數(shù)。如圖5第五頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日合成波和波包合成波的速度，即波包上任一點(diǎn)的前移速度，也就是波包上等振幅面向前推進(jìn)的速度。它代表著波包具有的能量傳播速度。6第六頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日定義：復(fù)色光在色散介質(zhì)中，整個(gè)波包傳播的速度，稱(chēng)為群速度。振幅不變的條件為：因d，dk都是不隨t和r改變的量，微分上式得：因此，群速度可表示為：7第七頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日8第八頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日三.群速與相速的關(guān)系因所以9第九頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日代入（1）式可得：——稱(chēng)為瑞利公式因?yàn)樗詴?shū)12頁(yè)10第十頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日討論：（1）當(dāng)時(shí)，則正常色散（2）當(dāng)時(shí)，則反常色散（3）當(dāng)時(shí)，則無(wú)色散折射定律也是相速之比指相速11第十一頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日通過(guò)測(cè)量光在不同介質(zhì)中的速度之比來(lái)確定折射率，不論哪種測(cè)量方法，測(cè)得的光在介質(zhì)中的速度實(shí)際上是群速而不是相速。因?yàn)镃S2為正常色散，g<p，因而所得折射率n＝1.758大于用折射法測(cè)得的結(jié)果n=1.64。12第十二頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日§1-5波包和群速度色散一、頻率相近的兩個(gè)單色平面波組成的波包及其群速度該等幅平面波的傳播速度：此即兩個(gè)波合成后所得波包的前進(jìn)速度——群速度第十三頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日二、一維波群一維（沿z方向傳播）波群——單色平面波的迭加，即：假設(shè)振幅A(ω)只在以平均頻率為中心的很窄的頻率范圍Δω內(nèi)顯著不為0，即：則有：其中：為變幅平面波。第十四頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日第十五頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日取展開(kāi)式的前兩項(xiàng)，得：Ae

是一維波群的包絡(luò)線(xiàn)函數(shù)第十六頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日在

面上

Ae是一個(gè)常量，此面的傳播速度代表能量傳播的速度，即群速度：群速度與相速度的關(guān)系：由

得：

正常色散：群速度小于相速度反常色散：群速度大于相速度，超過(guò)光速？反常色散區(qū)必定存在強(qiáng)烈的吸收，當(dāng)組成波群的大部分傅里葉分量的頻率落在這一區(qū)域時(shí)不可能傳很遠(yuǎn)。群速度計(jì)算的結(jié)果超過(guò)光速不再具有物理上的意義。第十七頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日三、群速度色散和脈沖展寬效應(yīng)

研究高斯型分布的窄帶脈沖在介質(zhì)中傳播時(shí)包絡(luò)形狀的變化=

光脈沖強(qiáng)度的寬度:第十八頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日取k(ω)的泰勒展開(kāi)式的前三項(xiàng)，得：包絡(luò)線(xiàn)的函數(shù)為：其中：第十九頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于