微分中值定理及其應用

微分中值定理及其應用微分中值定理及其應用二、內(nèi)容與要求理解并會用羅爾定理、拉格朗日中值定理，知道泰勒定理，了解并會用柯西中值定理.2.掌握用洛必達法則求未定式極限的方法.理解函數(shù)的極值概念，掌握用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其簡單應用.會用導數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會求函數(shù)圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數(shù)的圖形.重點羅爾定理、拉格朗日中值定理、用洛必達法則求未定式極限.難點羅爾定理、拉格朗日中值定理、泰勒定理三、概念、定理的理解與典型錯誤分析定義3.1若存在x0的某鄰域，使得對一切則稱為極大值（極小值），稱x0為極大（小）值點。極大值、極小值統(tǒng)稱為極值，極，都有大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點。定理3.1（費馬（Femat）定理）（取到極值的必要條件）設f（x）在點x0處取到極值，且反之不真，例如存在，則但f（0）不是極值。證明F（x）在某點x0費馬定理常用于證明f（x）=0有一個根，找一個F（x），使處取到極值且存在，由費馬定理知即定理3.2（羅爾（Rolle）定理）設f（x）在閉區(qū)間［a,b］上滿足下列三個條件：（1）f（x）在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)；（2）f（x）在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可導；（3）至少存在一點使，使即方程f（x）=0則推論在羅爾定理中，若f（a）=f（b）=0，則在（a,b）內(nèi)必有一點的兩個不同實根之間，必存在方程f'（x）=0的一個根。羅爾定理的應用：1證明f（x）=0有一個根，找到一個F（x）使在某閉區(qū)間［a,b］上滿足羅爾定理條件，則至少存在一點證含有的等式，通過分析轉化為，驗證F（x）。2證明適合某種條件的存在性：把待形式，對F（x）應用羅爾定理即可。定理3.3（拉格朗日（Lanrange）定理）若f（x）在閉區(qū)間［a,b］上滿足下列二個條件：（1）f（x）在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)；（2）f（x）在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可導，則至少存在一點拉格朗日定理的結論常寫成下列形式：上式中當ab時公式仍然成立，即不論a,b之間關系如何，總介于a,b之間，由所以拉格朗日定理是連結函數(shù)值與導函數(shù)值之間的一座橋梁，特別適合給出導數(shù)條件，要證明函數(shù)值關系的有關結論，就需要用到拉格朗日定理，拉格朗日定理主要應用是證明不等式.定理3.4（單調(diào)性定理）設f（x）在區(qū)間X（X可以是開區(qū)間，可以是閉區(qū)間，也可以是半閉半開區(qū)間，也可以無窮區(qū)間)上連續(xù)，在X內(nèi)部可導(不需要在端點可導)，若內(nèi)部，貝ljf(x)在區(qū)間X上遞增。若(3)若若(1)中若(2)中內(nèi)部，內(nèi)部，貝ljf(x)在區(qū)間X上遞減。則f(x)在區(qū)間X上是常值函數(shù)。，則f(x)在區(qū)間X上嚴格遞增，，則f(x)在區(qū)間X上嚴格遞減。內(nèi)部，且f(x)推論若f(x)在區(qū)間X上連續(xù)，在區(qū)間X內(nèi)部可導，當在X的任何于區(qū)間上，證由貝f(x)在區(qū)間X上嚴格遞增(減)。，知f(x)在區(qū)間X上遞增，假設f(x)在X上不是嚴格遞增，即存在上遞增，所以任給所以，有從而與條件矛盾，故f(x)在區(qū)間X上嚴格遞增，對于，同理可證f(x)在X上嚴格遞減。單調(diào)性定理及推論是證明函數(shù)在某區(qū)間上(嚴格)單調(diào)或是常值函數(shù)和求函數(shù)(嚴格)單調(diào)區(qū)間的重要方法。定理3.5(柯西(Cauchy)定理)設f(x),g(x)在閉區(qū)間［a,b］上滿足下列條件：(1)f(x),g(x)在［a,b］上連續(xù)(2)f(x),g(x)在(a,b)內(nèi)可導，則至少存在一點使證明與拉格朗日證明類似，只要把拉格朗日定理證明過程中b換成g(b)，a換成g(a)，x換成g(x)即可，讀者可自證。典型錯誤：對f(x),g(x)在［a,b］上分別應用拉格朗日定理有實際上分子、分母中的兩個是不一樣。O柯西定理也可以用來證明不等式及適合某種條件的存在性，但沒有拉格朗日定理和羅爾定理用得多。定理3.6(泰勒(Taylor)定理)設f(x)在區(qū)間X上存在n+1階導數(shù)，對每一個給任，有其中是介于x0及x之間稱為拉格朗日余項，當x0=0時，稱為麥克勞林公式，即稱為麥克勞林余項。定理3.7(佩亞諾(Peano)定理)若f(x)在點x0處存在n階導數(shù)，則稱為泰勒公式的佩亞諾余項.相應的麥克勞林公式為讀者要記住5個常用函數(shù)的帶有佩亞諾余項的麥克勞林公式帶有拉格朗日余項的泰勒公式可用以證明方程根的存在性、適合某種條件的存在性及各種不等式。帶有佩亞諾余項的泰勒公式僅適用于求函數(shù)極限。定理3.8(洛必達法則I)設(1)(2)存在的某鄰域;，當時，都存在，且(3)定理3.9(洛必達(1)(2)存在的某鄰域，則法則II)，設;，當時，.都存在且；(3)上述兩個法則中的，則改成.時，條件(2)只須作相應的修改，結論依然成立。在用洛必達法則求極限之前，應盡可能把函數(shù)化簡，或把較復雜的因式用簡單等價的因式來替換，以達到簡化，再利用洛必達法則。利用洛必達法則求極限時，可在計算的過程中論證是否滿足洛必達法則的條件，若滿足洛必達法則的條件，結果即可求出；若不滿足，說明不能使用洛必達法則，則需用其它求極限的方法。此外，可重復使用洛必達法則，但只能用有限次。例1若答否.在點可導，則是否在的某鄰域內(nèi)可導或連續(xù)或極限存在.例由，知在處可導.當更不可導.故時，在處可導，但在但，知在處極限不存在，從而也不連續(xù)，的任何鄰域里除外均不可導，不連續(xù)，極限也不存在，因此，我們在解題時，不能根據(jù)自己的感覺來得到結論，一定要根據(jù)定理、推論、性質、公式來得到所需的結果.在點可導，則在的某鄰域內(nèi)有界嗎？點可導，則在處必連續(xù)，利用連續(xù)的局部有界性知，存在，使內(nèi)有界.例3若答否.在區(qū)間I上是單調(diào)函數(shù)且可導，那么在區(qū)間I上是單調(diào)函數(shù)嗎？例如：，由，知在（）上嚴格遞增，但函數(shù).在上小于0，在（）上大于0，故在（）不是單調(diào)例4如果可導數(shù)這種說法正確嗎？答不正確.雖然函數(shù)比在與當時，有，那么當時，必有，的增長率比函數(shù)在同一點處的增長率大，但如果，都有.在處的初始值處的初始值小，就不能保證對任意的例如函數(shù)當當時，時，有.但是當;當，我們有時，有時，才有，（圖8-1）。因此，利用導數(shù)的大小比較兩個函數(shù)值的大小時，必須考慮起點處的兩個函數(shù)值的大小.上述問題如果加上初始相等：例5設函數(shù)某鄰域內(nèi)單調(diào)增嗎？答不可以.在包含點這一條件，那么結論一定正確，請讀者自證.的開區(qū)間內(nèi)可導，如果，由此可以斷定在點的例如函數(shù)根據(jù)導數(shù)的定義，有而當時，有.在處，有但在任何鄰域內(nèi)，從而在處，卻有的取值有正有負，當時，，因此在點的的任何鄰域內(nèi)都不是單調(diào)的，如果不然，不妨假定，使仍屬于該鄰域，在點的一鄰域內(nèi)單調(diào)增，那么對充分小的則有這與例6如果函數(shù)，于是相矛盾.在處有極大值，能否肯定存在點.的鄰域，使在左鄰域內(nèi)單調(diào)增加，而在右鄰域內(nèi)單調(diào)減少？答不能肯定.我們知道，如果函數(shù)右鄰域單調(diào)減少，則在在的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且在的左鄰域單調(diào)增加，而在的處一定有極大值，但是，這個結論反過來是不一定成立的.例如，函數(shù)顯然，是極大值，是極大值點.容易算出取都可進入的充分小鄰域內(nèi)，為自然數(shù)），當充分大量，與而由此可見，在點與.因而函數(shù)的右鄰域內(nèi)，無論多么小，總有這樣的點與，使不是單調(diào)的.同樣，在點的左鄰域內(nèi)也是如此，其理由參閱問題例5最后一段.例7最大（?。┲狄欢ㄊ菢O大（小）值嗎？反之極大（?。┲狄欢ㄊ亲畲螅ㄐ。┲祮?？答不一定是.極大（?。┲档亩x是存在的必要條件是在的兩側要有定義為最小值，為最大值，，當時，都有，極值例如圖8-2所示但不是極小值，因為在的左側沒定義，也不是極大值，同樣是因為在的右側沒定義.從圖中還可以看出，為極大值但不是最大值，為極小值但不是最小值，因此，一般情形下，最大（?。┲蹬c極大（?。┲禌]有關系，但若最大（小）值在區(qū)間內(nèi)部取到，則一定為極大（?。┲担蕝^(qū)間內(nèi)部的極值點是最大（?。┲档膽涯c.例8.求.典型錯誤點評已不是“”型，此時不能用洛必達法則。解原式例9.求典型錯誤點評分子、分母都是的數(shù)列，關于不連續(xù)，更不可