數(shù)列通項公式的求法13種和求和的7種方法

②已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。3、形如解法：這種類型一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令，與已知遞推式比較，解出,從而轉(zhuǎn)化為是公比為的等比數(shù)列。例11:設數(shù)列：，求.解：令化簡得：所以解得，所以又因為，所以數(shù)列是以5為首項，3為公比的等比數(shù)列。從而可得4、形如解法：這種類型一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令，與已知遞推式比較，解出,z.從而轉(zhuǎn)化為是公比為的等比數(shù)列。例12:設數(shù)列：，求.八：不動點法，形如解法：如果數(shù)列滿足下列條件：已知的值且對于，都有（其中p、q、r、h均為常數(shù)，且），那么，可作特征方程,當特征方程有且僅有一根時,則是等差數(shù)列;當特征方程有兩個相異的根、時，則是等比數(shù)列。例8已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：令，得，則是函數(shù)的兩個不動點。因為。所以數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，故，則。評注：本題解題的關鍵是先求出函數(shù)的不動點，即方程的兩個根，進而可推出，從而可知數(shù)列為等比數(shù)列，再求出數(shù)列的通項公式，最后求出數(shù)列的通項公式。例9已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：令，得，則是函數(shù)的不動點。因為，所以。評注：本題解題的關鍵是通過將的換元為，使得所給遞推關系式轉(zhuǎn)化形式，從而可知數(shù)列為等比數(shù)列，進而求出數(shù)列的通項公式，最后再求出數(shù)列的通項公式。例15：已知數(shù)列滿足性質(zhì)：對于且求的通項公式.九：換元法：類比函數(shù)的值域的求法有三角代換和代數(shù)代換兩種，目的是代換后出現(xiàn)的整體數(shù)列具有規(guī)律性。例16已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：令，則故，代入得即因為，故則，即，可化為，所以是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，因此，則，即，得。評注：本題解題的關鍵是通過將的換元為，使得所給遞推關系式轉(zhuǎn)化形式，從而可知數(shù)列為等比數(shù)列，進而求出數(shù)列的通項公式，最后再求出數(shù)列的通項公式。例18.已知數(shù)列滿足，，求。解析：設，∵，∴，，…，總之，求數(shù)列的通項公式，就是將已知數(shù)列轉(zhuǎn)化成等差（或等比）數(shù)列，從而利用等差（或等比）數(shù)列的通項公式求其通項。十、雙數(shù)列解法：根據(jù)所給兩個數(shù)列遞推公式的關系，靈活采用累加、累乘、化歸等方法求解。例19.已知數(shù)列中，；數(shù)列中，。當時，,，求,.解：因所以即…………（1）又因為所以…….即………（2）由（1）、（2）得：，十一、周期型解法：由遞推式計算出前幾項，尋找周期。例20：若數(shù)列滿足，若，則的值為___________。變式:（2005，湖南,文，5）已知數(shù)列滿足，則= （） A．0 B． C． D．十二、分解因式法當數(shù)列的關系式較復雜，可考慮分解因式和約分化為較簡形式，再用其它方法求得an.例21.已知數(shù)列滿足（n∈），且有條件≥2）.解：由得：對n∈，再由待定系數(shù)法得：∴十三、循環(huán)法數(shù)列有形如的關系，如果復合數(shù)列構(gòu)不成等差、等比數(shù)列，有時可考慮構(gòu)成循環(huán)關系而求出例22.．在數(shù)列中，解：由條件即即每間隔6項循環(huán)一次.1998=6×333，∴類型5遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）。解(特征根法)：對于由遞推公式，給出的數(shù)列，方程，叫做數(shù)列的特征方程。若是特征方程的兩個根，當時，數(shù)列的通項為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關于A、B的方程組）；當時，數(shù)列的通項為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關于A、B的方程組）。例6:數(shù)列：，,求解（特征根法）：的特征方程是：。,。又由，于是故練習:已知數(shù)列中，,,，求。。變式:（2006，福建,文,22）已知數(shù)列滿足求數(shù)列的通項公式；（I）解：數(shù)學歸納法例6已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：由及，得由此可猜測，往下用數(shù)學歸納法證明這個結(jié)論。（1）當時，，所以等式成立。（2）假設當時等式成立，即，則當時，由此可知，當時等式也成立。根據(jù)（1），（2）可知，等式對任何都成立。評注：本題解題的關鍵是通過首項和遞推關系式先求出數(shù)列的前n項，進而猜出數(shù)列的通項公式，最后再用數(shù)學歸納法加以證明。課后習題：1．數(shù)列的一個通項公式是（）A、B、C、D、2．已知等差數(shù)列的通項公式為,則它的公差為（）A、2B、3C、D、3．在等比數(shù)列中,則（）A、B、C、D、4．若等比數(shù)列的前項和為，且，，則5．已知數(shù)列通項公式，則該數(shù)列的最小的一個數(shù)是6．在數(shù)列{an}中，且，則數(shù)列的前99項和等于．7．已知是等差數(shù)列，其中，公差。（1）求數(shù)列的通項公式；（2）數(shù)列從哪一項開始小于0？（3）求數(shù)列前項和的最大值，并求出對應的值．8．已知數(shù)列的前項和為，（1）求、、的值；（2）求通項公式。9．等差數(shù)列中，前三項分別為，前項和為，且。（1）、求和的值；（2）、求=;數(shù)列求和的基本方法和技巧一、總論：數(shù)列求和7種方法：利用等差、等比數(shù)列求和公式錯位相減法求和反序相加法求和分組相加法求和裂項消去法求和分段求和法（合并法求和）利用數(shù)列通項法求和二、等差數(shù)列求和的方法是逆序相加法，等比數(shù)列的求和方法是錯位相減法，三、逆序相加法、錯位相減法是數(shù)列求和的二個基本方法。數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學習高等數(shù)學的基礎.在高考和各種數(shù)學競賽中都占有重要的地位.數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大部分數(shù)列的求和都需要一定的技巧.下面，就幾個歷屆高考數(shù)學和數(shù)學競賽試題來談談數(shù)列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法.等差數(shù)列求和公式：2、等比數(shù)列求和公式：4、6常用結(jié)論：1+2+3+……+n=；[例1]已知，求的前n項和.解：由由等比數(shù)列求和公式得（利用常用公式）＝＝＝1－[例2]設Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.解：由等差數(shù)列求和公式得，（利用常用公式）∴＝＝＝∴當，即n＝8時，二、錯位相減法求和這種方法是在推導等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列{an·bn}的前n項和，其中{an}、{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.[例3]求和：………①解：由題可知，{}的通項是等差數(shù)列{2n－1}的通項與等比數(shù)列{}的通項之積設……….②（設制錯位）①－②得（錯位相減）再利用等比數(shù)列的求和公式得：∴[例4]求數(shù)列前n項的和.解：由題可知，{}的通項是等差數(shù)列{2n}的通項與等比數(shù)列{}的通項之積設…………………①………………②（設制錯位）①－②得（錯位相減）∴例：試化簡下列和式：解：①若x=1，則Sn=1+2+3+…+n=x≠1,則兩式相減得：+…+∴三、反序相加法求和這是推導等差數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個.例：求等差數(shù)列前n項的和①把項的次序反過來，則：②①+②得：[例5]求證：證明：設…………..①把①式右邊倒轉(zhuǎn)過來得（反序）又由可得…………..……..②①+②得（反序相加）∴[例6]求的值解：設………….①將①式右邊反序得…………..②（反序）又因為①+②得（反序相加）＝89∴S＝44.5題1已知函數(shù)（1）證明：；（2）求的值.解：（1）先利用指數(shù)的相關性質(zhì)對函數(shù)化簡，后證明左邊=右邊（2）利用第（1）小題已經(jīng)證明的結(jié)論可知，兩式相加得：所以.練習、求值：四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.[例7]求數(shù)列的前n項和：，…解：設將其每一項拆開再重新組合得（分組）當a＝1時，＝（分組求和）當時，＝[例8]求數(shù)列{n(n+1)(2n+1)}的前n項和.解：設∴＝將其每一項拆開再重新組合得Sn＝（分組）＝＝（分組求和）＝例：求數(shù)列1，，，……，+……+的和.解：∵∴五、裂項法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應用.裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的.通項分解（裂項）如：（1）（2）（3）（4）（5）(6)（7）（8）[例9]求數(shù)列的前n項和.解：設（裂項）則（裂項求和）＝＝[例10]在數(shù)列{an}中，，又，求數(shù)列{bn}的前n項的和.解：∵∴（裂項）∴數(shù)列{bn}的前n項和（裂項求和）＝＝[例11]求證：解：設∵（裂項）∴（裂項求和）＝＝＝＝∴原等式成立答案：例：{an}為首項為a1,公差為d的等差數(shù)列，求解：∵∴六、分段求和法（合并法求和）針對一些特殊的數(shù)列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時，可將這些項放在一起先求和，然后再求Sn.[例12]求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.解：設Sn＝cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°∵（找特殊性質(zhì)項）∴Sn＝（cos1°+cos179°）+（cos2°+cos178°）+（cos3°+cos177°）+···+（cos89°+cos91°）+cos90°（合并求和）＝0[例13]數(shù)列{an}：，求S2002.解：設S2002＝由可得……∵（找特殊性質(zhì)項）∴S2002＝（合并求和）＝＝＝＝5[例14]在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若的值.解：設由等比數(shù)列的性質(zhì)（找特殊性質(zhì)項）和對數(shù)的運算性質(zhì)得（合并求和）＝＝＝10例：已知等比數(shù)列{}中，=64，q=，設=log2，求數(shù)列{||}的前n項和.解：==∴=log2=（1）當≤7時，≥0此時，=－+（2）當＞7時，<0此時，=－+42（≥8）－+（≤7）∴=－+42（≥8）七、利用數(shù)列的通項求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進行分析，找出數(shù)列的通項及其特征，然后再利用數(shù)列的通項揭示的規(guī)律來求數(shù)列的前n項和，是一個重要的方法.[例15]求之和.解：由于（找通項及特征）∴＝（分組求和）＝＝＝[例16]已知數(shù)列{an}：的值.解：∵（找通項及特征）＝（設制分組）＝（裂項）∴（分組、裂項求和）＝