數(shù)列通項(xiàng)公式的求法13種和求和的7種方法

②已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。3、形如解法：這種類型一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令，與已知遞推式比較，解出,從而轉(zhuǎn)化為是公比為的等比數(shù)列。例11:設(shè)數(shù)列：，求.解：令化簡得：所以解得，所以又因?yàn)?，所以?shù)列是以5為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列。從而可得4、形如解法：這種類型一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令，與已知遞推式比較，解出,z.從而轉(zhuǎn)化為是公比為的等比數(shù)列。例12:設(shè)數(shù)列：，求.八：不動(dòng)點(diǎn)法，形如解法：如果數(shù)列滿足下列條件：已知的值且對(duì)于，都有（其中p、q、r、h均為常數(shù)，且），那么，可作特征方程,當(dāng)特征方程有且僅有一根時(shí),則是等差數(shù)列;當(dāng)特征方程有兩個(gè)相異的根、時(shí)，則是等比數(shù)列。例8已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：令，得，則是函數(shù)的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。因?yàn)?。所以?shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，故，則。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是先求出函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，即方程的兩個(gè)根，進(jìn)而可推出，從而可知數(shù)列為等比數(shù)列，再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。例9已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：令，得，則是函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)。因?yàn)?，所以。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是通過將的換元為，使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化形式，從而可知數(shù)列為等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。例15：已知數(shù)列滿足性質(zhì)：對(duì)于且求的通項(xiàng)公式.九：換元法：類比函數(shù)的值域的求法有三角代換和代數(shù)代換兩種，目的是代換后出現(xiàn)的整體數(shù)列具有規(guī)律性。例16已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：令，則故，代入得即因?yàn)椋蕜t，即，可化為，所以是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，因此，則，即，得。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是通過將的換元為，使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化形式，從而可知數(shù)列為等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。例18.已知數(shù)列滿足，，求。解析：設(shè)，∵，∴，，…，總之，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，就是將已知數(shù)列轉(zhuǎn)化成等差（或等比）數(shù)列，從而利用等差（或等比）數(shù)列的通項(xiàng)公式求其通項(xiàng)。十、雙數(shù)列解法：根據(jù)所給兩個(gè)數(shù)列遞推公式的關(guān)系，靈活采用累加、累乘、化歸等方法求解。例19.已知數(shù)列中，；數(shù)列中，。當(dāng)時(shí)，,，求,.解：因所以即…………（1）又因?yàn)樗浴?即………（2）由（1）、（2）得：，十一、周期型解法：由遞推式計(jì)算出前幾項(xiàng)，尋找周期。例20：若數(shù)列滿足，若，則的值為___________。變式:（2005，湖南,文，5）已知數(shù)列滿足，則= （） A．0 B． C． D．十二、分解因式法當(dāng)數(shù)列的關(guān)系式較復(fù)雜，可考慮分解因式和約分化為較簡形式，再用其它方法求得an.例21.已知數(shù)列滿足（n∈），且有條件≥2）.解：由得：對(duì)n∈，再由待定系數(shù)法得：∴十三、循環(huán)法數(shù)列有形如的關(guān)系，如果復(fù)合數(shù)列構(gòu)不成等差、等比數(shù)列，有時(shí)可考慮構(gòu)成循環(huán)關(guān)系而求出例22.．在數(shù)列中，解：由條件即即每間隔6項(xiàng)循環(huán)一次.1998=6×333，∴類型5遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）。解(特征根法)：對(duì)于由遞推公式，給出的數(shù)列，方程，叫做數(shù)列的特征方程。若是特征方程的兩個(gè)根，當(dāng)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）；當(dāng)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）。例6:數(shù)列：，,求解（特征根法）：的特征方程是：。,。又由，于是故練習(xí):已知數(shù)列中，,,，求。。變式:（2006，福建,文,22）已知數(shù)列滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（I）解：數(shù)學(xué)歸納法例6已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由及，得由此可猜測，往下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論。（1）當(dāng)時(shí)，，所以等式成立。（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，由此可知，當(dāng)時(shí)等式也成立。根據(jù)（1），（2）可知，等式對(duì)任何都成立。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是通過首項(xiàng)和遞推關(guān)系式先求出數(shù)列的前n項(xiàng)，進(jìn)而猜出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。課后習(xí)題：1．?dāng)?shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是（）A、B、C、D、2．已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為,則它的公差為（）A、2B、3C、D、3．在等比數(shù)列中,則（）A、B、C、D、4．若等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則5．已知數(shù)列通項(xiàng)公式，則該數(shù)列的最小的一個(gè)數(shù)是6．在數(shù)列{an}中，且，則數(shù)列的前99項(xiàng)和等于．7．已知是等差數(shù)列，其中，公差。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列從哪一項(xiàng)開始小于0？（3）求數(shù)列前項(xiàng)和的最大值，并求出對(duì)應(yīng)的值．8．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，（1）求、、的值；（2）求通項(xiàng)公式。9．等差數(shù)列中，前三項(xiàng)分別為，前項(xiàng)和為，且。（1）、求和的值；（2）、求=;數(shù)列求和的基本方法和技巧一、總論：數(shù)列求和7種方法：利用等差、等比數(shù)列求和公式錯(cuò)位相減法求和反序相加法求和分組相加法求和裂項(xiàng)消去法求和分段求和法（合并法求和）利用數(shù)列通項(xiàng)法求和二、等差數(shù)列求和的方法是逆序相加法，等比數(shù)列的求和方法是錯(cuò)位相減法，三、逆序相加法、錯(cuò)位相減法是數(shù)列求和的二個(gè)基本方法。數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).在高考和各種數(shù)學(xué)競賽中都占有重要的地位.數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要一定的技巧.下面，就幾個(gè)歷屆高考數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)競賽試題來談?wù)剶?shù)列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法.等差數(shù)列求和公式：2、等比數(shù)列求和公式：4、6常用結(jié)論：1+2+3+……+n=；[例1]已知，求的前n項(xiàng)和.解：由由等比數(shù)列求和公式得（利用常用公式）＝＝＝1－[例2]設(shè)Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.解：由等差數(shù)列求和公式得，（利用常用公式）∴＝＝＝∴當(dāng)，即n＝8時(shí)，二、錯(cuò)位相減法求和這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和，其中{an}、{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.[例3]求和：………①解：由題可知，{}的通項(xiàng)是等差數(shù)列{2n－1}的通項(xiàng)與等比數(shù)列{}的通項(xiàng)之積設(shè)……….②（設(shè)制錯(cuò)位）①－②得（錯(cuò)位相減）再利用等比數(shù)列的求和公式得：∴[例4]求數(shù)列前n項(xiàng)的和.解：由題可知，{}的通項(xiàng)是等差數(shù)列{2n}的通項(xiàng)與等比數(shù)列{}的通項(xiàng)之積設(shè)…………………①………………②（設(shè)制錯(cuò)位）①－②得（錯(cuò)位相減）∴例：試化簡下列和式：解：①若x=1，則Sn=1+2+3+…+n=x≠1,則兩式相減得：+…+∴三、反序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè).例：求等差數(shù)列前n項(xiàng)的和①把項(xiàng)的次序反過來，則：②①+②得：[例5]求證：證明：設(shè)…………..①把①式右邊倒轉(zhuǎn)過來得（反序）又由可得…………..……..②①+②得（反序相加）∴[例6]求的值解：設(shè)………….①將①式右邊反序得…………..②（反序）又因?yàn)棰?②得（反序相加）＝89∴S＝44.5題1已知函數(shù)（1）證明：；（2）求的值.解：（1）先利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)對(duì)函數(shù)化簡，后證明左邊=右邊（2）利用第（1）小題已經(jīng)證明的結(jié)論可知，兩式相加得：所以.練習(xí)、求值：四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.[例7]求數(shù)列的前n項(xiàng)和：，…解：設(shè)將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得（分組）當(dāng)a＝1時(shí)，＝（分組求和）當(dāng)時(shí)，＝[例8]求數(shù)列{n(n+1)(2n+1)}的前n項(xiàng)和.解：設(shè)∴＝將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得Sn＝（分組）＝＝（分組求和）＝例：求數(shù)列1，，，……，+……+的和.解：∵∴五、裂項(xiàng)法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的.通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如：（1）（2）（3）（4）（5）(6)（7）（8）[例9]求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解：設(shè)（裂項(xiàng)）則（裂項(xiàng)求和）＝＝[例10]在數(shù)列{an}中，，又，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和.解：∵∴（裂項(xiàng)）∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和（裂項(xiàng)求和）＝＝[例11]求證：解：設(shè)∵（裂項(xiàng)）∴（裂項(xiàng)求和）＝＝＝＝∴原等式成立答案：例：{an}為首項(xiàng)為a1,公差為d的等差數(shù)列，求解：∵∴六、分段求和法（合并法求和）針對(duì)一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時(shí)，可將這些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求Sn.[例12]求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.解：設(shè)Sn＝cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°∵（找特殊性質(zhì)項(xiàng)）∴Sn＝（cos1°+cos179°）+（cos2°+cos178°）+（cos3°+cos177°）+···+（cos89°+cos91°）+cos90°（合并求和）＝0[例13]數(shù)列{an}：，求S2002.解：設(shè)S2002＝由可得……∵（找特殊性質(zhì)項(xiàng)）∴S2002＝（合并求和）＝＝＝＝5[例14]在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若的值.解：設(shè)由等比數(shù)列的性質(zhì)（找特殊性質(zhì)項(xiàng)）和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得（合并求和）＝＝＝10例：已知等比數(shù)列{}中，=64，q=，設(shè)=log2，求數(shù)列{||}的前n項(xiàng)和.解：==∴=log2=（1）當(dāng)≤7時(shí)，≥0此時(shí)，=－+（2）當(dāng)＞7時(shí)，<0此時(shí)，=－+42（≥8）－+（≤7）∴=－+42（≥8）七、利用數(shù)列的通項(xiàng)求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征，然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭示的規(guī)律來求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是一個(gè)重要的方法.[例15]求之和.解：由于（找通項(xiàng)及特征）∴＝（分組求和）＝＝＝[例16]已知數(shù)列{an}：的值.解：∵（找通項(xiàng)及特征）＝（設(shè)制分組）＝（裂項(xiàng)）∴（分組、裂項(xiàng)求和）＝