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②已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。3、形如解法:這種類型一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列,即令,與已知遞推式比較,解出,從而轉(zhuǎn)化為是公比為的等比數(shù)列。例11:設(shè)數(shù)列:,求.解:令化簡得:所以解得,所以又因?yàn)?,所以?shù)列是以5為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列。從而可得4、形如解法:這種類型一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列,即令,與已知遞推式比較,解出,z.從而轉(zhuǎn)化為是公比為的等比數(shù)列。例12:設(shè)數(shù)列:,求.八:不動(dòng)點(diǎn)法,形如解法:如果數(shù)列滿足下列條件:已知的值且對(duì)于,都有(其中p、q、r、h均為常數(shù),且),那么,可作特征方程,當(dāng)特征方程有且僅有一根時(shí),則是等差數(shù)列;當(dāng)特征方程有兩個(gè)相異的根、時(shí),則是等比數(shù)列。例8已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解:令,得,則是函數(shù)的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。因?yàn)?。所以?shù)列是以為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列,故,則。評(píng)注:本題解題的關(guān)鍵是先求出函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn),即方程的兩個(gè)根,進(jìn)而可推出,從而可知數(shù)列為等比數(shù)列,再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,最后求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。例9已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解:令,得,則是函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)。因?yàn)?,所以。評(píng)注:本題解題的關(guān)鍵是通過將的換元為,使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化形式,從而可知數(shù)列為等比數(shù)列,進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。例15:已知數(shù)列滿足性質(zhì):對(duì)于且求的通項(xiàng)公式.九:換元法:類比函數(shù)的值域的求法有三角代換和代數(shù)代換兩種,目的是代換后出現(xiàn)的整體數(shù)列具有規(guī)律性。例16已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解:令,則故,代入得即因?yàn)椋蕜t,即,可化為,所以是以為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列,因此,則,即,得。評(píng)注:本題解題的關(guān)鍵是通過將的換元為,使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化形式,從而可知數(shù)列為等比數(shù)列,進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。例18.已知數(shù)列滿足,,求。解析:設(shè),∵,∴,,…,總之,求數(shù)列的通項(xiàng)公式,就是將已知數(shù)列轉(zhuǎn)化成等差(或等比)數(shù)列,從而利用等差(或等比)數(shù)列的通項(xiàng)公式求其通項(xiàng)。十、雙數(shù)列解法:根據(jù)所給兩個(gè)數(shù)列遞推公式的關(guān)系,靈活采用累加、累乘、化歸等方法求解。例19.已知數(shù)列中,;數(shù)列中,。當(dāng)時(shí),,,求,.解:因所以即…………(1)又因?yàn)樗浴?即………(2)由(1)、(2)得:,十一、周期型解法:由遞推式計(jì)算出前幾項(xiàng),尋找周期。例20:若數(shù)列滿足,若,則的值為___________。變式:(2005,湖南,文,5)已知數(shù)列滿足,則= () A.0 B. C. D.十二、分解因式法當(dāng)數(shù)列的關(guān)系式較復(fù)雜,可考慮分解因式和約分化為較簡形式,再用其它方法求得an.例21.已知數(shù)列滿足(n∈),且有條件≥2).解:由得:對(duì)n∈,再由待定系數(shù)法得:∴十三、循環(huán)法數(shù)列有形如的關(guān)系,如果復(fù)合數(shù)列構(gòu)不成等差、等比數(shù)列,有時(shí)可考慮構(gòu)成循環(huán)關(guān)系而求出例22..在數(shù)列中,解:由條件即即每間隔6項(xiàng)循環(huán)一次.1998=6×333,∴類型5遞推公式為(其中p,q均為常數(shù))。解(特征根法):對(duì)于由遞推公式,給出的數(shù)列,方程,叫做數(shù)列的特征方程。若是特征方程的兩個(gè)根,當(dāng)時(shí),數(shù)列的通項(xiàng)為,其中A,B由決定(即把和,代入,得到關(guān)于A、B的方程組);當(dāng)時(shí),數(shù)列的通項(xiàng)為,其中A,B由決定(即把和,代入,得到關(guān)于A、B的方程組)。例6:數(shù)列:,,求解(特征根法):的特征方程是:。,。又由,于是故練習(xí):已知數(shù)列中,,,,求。。變式:(2006,福建,文,22)已知數(shù)列滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(I)解:數(shù)學(xué)歸納法例6已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解:由及,得由此可猜測,往下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論。(1)當(dāng)時(shí),,所以等式成立。(2)假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立,即,則當(dāng)時(shí),由此可知,當(dāng)時(shí)等式也成立。根據(jù)(1),(2)可知,等式對(duì)任何都成立。評(píng)注:本題解題的關(guān)鍵是通過首項(xiàng)和遞推關(guān)系式先求出數(shù)列的前n項(xiàng),進(jìn)而猜出數(shù)列的通項(xiàng)公式,最后再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。課后習(xí)題:1.?dāng)?shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是()A、B、C、D、2.已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為,則它的公差為()A、2B、3C、D、3.在等比數(shù)列中,則()A、B、C、D、4.若等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,,則5.已知數(shù)列通項(xiàng)公式,則該數(shù)列的最小的一個(gè)數(shù)是6.在數(shù)列{an}中,且,則數(shù)列的前99項(xiàng)和等于.7.已知是等差數(shù)列,其中,公差。(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)數(shù)列從哪一項(xiàng)開始小于0?(3)求數(shù)列前項(xiàng)和的最大值,并求出對(duì)應(yīng)的值.8.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,(1)求、、的值;(2)求通項(xiàng)公式。9.等差數(shù)列中,前三項(xiàng)分別為,前項(xiàng)和為,且。(1)、求和的值;(2)、求=;數(shù)列求和的基本方法和技巧一、總論:數(shù)列求和7種方法:利用等差、等比數(shù)列求和公式錯(cuò)位相減法求和反序相加法求和分組相加法求和裂項(xiàng)消去法求和分段求和法(合并法求和)利用數(shù)列通項(xiàng)法求和二、等差數(shù)列求和的方法是逆序相加法,等比數(shù)列的求和方法是錯(cuò)位相減法,三、逆序相加法、錯(cuò)位相減法是數(shù)列求和的二個(gè)基本方法。數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容,又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).在高考和各種數(shù)學(xué)競賽中都占有重要的地位.數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一,除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外,大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要一定的技巧.下面,就幾個(gè)歷屆高考數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)競賽試題來談?wù)剶?shù)列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法.等差數(shù)列求和公式:2、等比數(shù)列求和公式:4、6常用結(jié)論:1+2+3+……+n=;[例1]已知,求的前n項(xiàng)和.解:由由等比數(shù)列求和公式得(利用常用公式)===1-[例2]設(shè)Sn=1+2+3+…+n,n∈N*,求的最大值.解:由等差數(shù)列求和公式得,(利用常用公式)∴===∴當(dāng),即n=8時(shí),二、錯(cuò)位相減法求和這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法,這種方法主要用于求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和,其中{an}、{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.[例3]求和:………①解:由題可知,{}的通項(xiàng)是等差數(shù)列{2n-1}的通項(xiàng)與等比數(shù)列{}的通項(xiàng)之積設(shè)……….②(設(shè)制錯(cuò)位)①-②得(錯(cuò)位相減)再利用等比數(shù)列的求和公式得:∴[例4]求數(shù)列前n項(xiàng)的和.解:由題可知,{}的通項(xiàng)是等差數(shù)列{2n}的通項(xiàng)與等比數(shù)列{}的通項(xiàng)之積設(shè)…………………①………………②(設(shè)制錯(cuò)位)①-②得(錯(cuò)位相減)∴例:試化簡下列和式:解:①若x=1,則Sn=1+2+3+…+n=x≠1,則兩式相減得:+…+∴三、反序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法,就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列(反序),再把它與原數(shù)列相加,就可以得到n個(gè).例:求等差數(shù)列前n項(xiàng)的和①把項(xiàng)的次序反過來,則:②①+②得:[例5]求證:證明:設(shè)…………..①把①式右邊倒轉(zhuǎn)過來得(反序)又由可得…………..……..②①+②得(反序相加)∴[例6]求的值解:設(shè)………….①將①式右邊反序得…………..②(反序)又因?yàn)棰?②得(反序相加)=89∴S=44.5題1已知函數(shù)(1)證明:;(2)求的值.解:(1)先利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)對(duì)函數(shù)化簡,后證明左邊=右邊(2)利用第(1)小題已經(jīng)證明的結(jié)論可知,兩式相加得:所以.練習(xí)、求值:四、分組法求和有一類數(shù)列,既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列,若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開,可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列,然后分別求和,再將其合并即可.[例7]求數(shù)列的前n項(xiàng)和:,…解:設(shè)將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得(分組)當(dāng)a=1時(shí),=(分組求和)當(dāng)時(shí),=[例8]求數(shù)列{n(n+1)(2n+1)}的前n項(xiàng)和.解:設(shè)∴=將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得Sn=(分組)==(分組求和)=例:求數(shù)列1,,,……,+……+的和.解:∵∴五、裂項(xiàng)法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)(通項(xiàng))分解,然后重新組合,使之能消去一些項(xiàng),最終達(dá)到求和的目的.通項(xiàng)分解(裂項(xiàng))如:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)[例9]求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解:設(shè)(裂項(xiàng))則(裂項(xiàng)求和)==[例10]在數(shù)列{an}中,,又,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和.解:∵∴(裂項(xiàng))∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和(裂項(xiàng)求和)==[例11]求證:解:設(shè)∵(裂項(xiàng))∴(裂項(xiàng)求和)====∴原等式成立答案:例:{an}為首項(xiàng)為a1,公差為d的等差數(shù)列,求解:∵∴六、分段求和法(合并法求和)針對(duì)一些特殊的數(shù)列,將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì),因此,在求數(shù)列的和時(shí),可將這些項(xiàng)放在一起先求和,然后再求Sn.[例12]求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.解:設(shè)Sn=cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°∵(找特殊性質(zhì)項(xiàng))∴Sn=(cos1°+cos179°)+(cos2°+cos178°)+(cos3°+cos177°)+···+(cos89°+cos91°)+cos90°(合并求和)=0[例13]數(shù)列{an}:,求S2002.解:設(shè)S2002=由可得……∵(找特殊性質(zhì)項(xiàng))∴S2002=(合并求和)====5[例14]在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中,若的值.解:設(shè)由等比數(shù)列的性質(zhì)(找特殊性質(zhì)項(xiàng))和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得(合并求和)===10例:已知等比數(shù)列{}中,=64,q=,設(shè)=log2,求數(shù)列{||}的前n項(xiàng)和.解:==∴=log2=(1)當(dāng)≤7時(shí),≥0此時(shí),=-+(2)當(dāng)>7時(shí),<0此時(shí),=-+42(≥8)-+(≤7)∴=-+42(≥8)七、利用數(shù)列的通項(xiàng)求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析,找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征,然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭示的規(guī)律來求數(shù)列的前n項(xiàng)和,是一個(gè)重要的方法.[例15]求之和.解:由于(找通項(xiàng)及特征)∴=(分組求和)===[例16]已知數(shù)列{an}:的值.解:∵(找通項(xiàng)及特征)=(設(shè)制分組)=(裂項(xiàng))∴(分組、裂項(xiàng)求和)=
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