旋轉(zhuǎn)變換 巧用旋轉(zhuǎn)變換

本文格式為Word版，下載可任意編輯——旋轉(zhuǎn)變換巧用旋轉(zhuǎn)變換圖形旋轉(zhuǎn)變換是新課標(biāo)增加的學(xué)習(xí)內(nèi)容。一方面在近年中考中備受青睞，另一方面更為探究繁雜的幾何問題供給了便當(dāng)。舉例說明如下：1求角的大小

例：如圖1，已知，P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，圖1PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB的大小。

分析：解決這個問題關(guān)鍵在于利用旋轉(zhuǎn)變換將線段PA，PB，PC轉(zhuǎn)化為三角形的邊。

解：將ΔABP繞B點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90°得ΔCBP′，連結(jié)PP′，那么ΔCBP′≌ΔABP

∴PB′=PB=2，P′C=PA=1

∠BP′C=∠APB

∵∠PBP∠=90°（旋轉(zhuǎn)角）PB′=PB=2

∴∠BP′P=45°

∴PP′=PB′2+PB2=22+22=22

在ΔPP′C中，P′C2+PP′2=12+（22）2=9

PC2=32=9

∴P′C2+PP′2=PC2

∴∠PP′C=90°

∴∠BP′C=∠BP′P+∠PP′C=45°+90°=135°

即：∠APB=135°

圖2對應(yīng)練習(xí)：如圖2，已知P是等邊ΔABC內(nèi)一點(diǎn)，PA=6，PB=8，PC=10，求∠APB的大小。

圖32證明線段不等關(guān)系

例：如圖3，已知ΔABC中，AB=AC，在ΔABC內(nèi)有一點(diǎn)P使∠APB>∠APC，求證：PC>PB

分析：如圖3利用旋轉(zhuǎn)變換將ΔABP旋轉(zhuǎn)至ΔAP′C的位置，即可解決

解：將ΔAPB繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)∠BAC至ΔAP′C，連結(jié)PP′

那么AP′=AP∠APB=∠AP′C

∵∠APB>∠APC

∴∠AP′C>APC

∵∠APP′=∠AP′P

∴∠PP′C>∠P′PC

∴PC>P′C而PB=P′C

∴PC>PB

圖4對應(yīng)練習(xí)：如圖4，等邊ΔABC內(nèi)有一點(diǎn)O，說OA+OB>OC。

3求作三角形

例：已知點(diǎn)P到正ΔABC三個頂點(diǎn)的距離分別為4，5，6，求作正ΔABC

分析：此題要從ΔABC的邊長。假設(shè)正ΔABC已作出，如圖5，將ΔAPC繞A點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)60°到ΔAP′B處，圖5連結(jié)P′P，即可得ΔAP′P為正三角形，而P′B=6，P′P=4，于是得到作法。

作法：作以4、5、6為邊的ΔBP′P（P′B=6，P′P=4，PB=5）在形外作正ΔAP′P，連接AB，那么AB為正三角形的邊長，再以AB為邊作出正ΔABC（使點(diǎn)P在ΔABC內(nèi)部）

對應(yīng)練習(xí)，如圖6，已知∠MON內(nèi)有一點(diǎn)P，試在OM、ON上分別找一點(diǎn)A和B，使ΔAPB為等腰直角三角形。

圖64證明其他問題

例：已知P為正ΔABC內(nèi)一點(diǎn)，∠APB=113°，∠APC=123°，求證，以AP、BP、CP為圖7邊可以構(gòu)成一個三角形，并確定構(gòu)成三角形各內(nèi)角的度數(shù)。

分析：如圖7，假設(shè)以點(diǎn)C為中心，將ΔAPC逆時針旋轉(zhuǎn)60°，點(diǎn)A變到點(diǎn)B，線段CA變到CB，點(diǎn)P變到點(diǎn)P1，問題就迎刃而解。

證明：將ΔAPC繞C點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)60°至ΔC1PB連結(jié)PP1。

∵∠ACP=∠BCP1=60°-∠PCB

CP=CP1AC=BC∠PCP1=60°

∴ΔAPC≌ΔBP1C

∴AP=BP1∠BP1C=∠APC=128°

∵CP=CP1∠PCP1=60°

∴ΔPCP1為等邊三角形

∴PP1=CP1∠CPP1=∠CP1P=60°

∴ΔBPP1就是以BP，AP（=BP1）CP（=PP1）為三邊構(gòu)成的三角形

∴∠BP1P=∠BP1C-∠CP1P=∠APC-60°=63°

∴∠BPC=360°-113°-128°=124°

∴∠BPP1=∠BPC-∠CPP1=124°-60°=64°

∴∠PBP1=180°-63°-64=58°

圖8對應(yīng)練習(xí)：如圖8，在四邊形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=D