20202021學(xué)年廣東汕頭高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題解析x

2020-2021學(xué)年廣東省汕頭市高二(下)期末數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題(共8小題，每題5分，共40分).1.設(shè)全集U=R,集合A={x|0<xW2},B=(x|x<l},則集合加(AUB)=(A.(-8,2]B.(—8,1]C.(2,+8)D.[2,+8)TOC\o"1-5"\h\z2.設(shè)復(fù)數(shù)z=-2i(i為虛數(shù)單位)，則z|=( )21),keR,則k=221),keR,則k=2是項(xiàng)與￡平行的()B.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件\o"CurrentDocument"2 23.已知平面向量項(xiàng)=(k,2),E=(1,A.充分不必要條件C.充要條件C. D.2. 已知等差數(shù)列｛a」的前n項(xiàng)和為S”，(xln的展開式中含丈〃的項(xiàng)的系數(shù)恰為則a7=( )XA.-96 B.96 C.-80 D.80.己知三棱錐P-ABC中，PA=4,AB=AC=2據(jù)，BC=6,PAJ_面ABC,則此三棱錐的外接球的體積為( )A.256K A.256K B.256兀3"aaI6.定義2X2矩陣i=aia4-a^,若f(x)=兀聽七423LJA.圖象關(guān)于(、?，0)中心對(duì)稱C.- D.32兀3cosx-sinxV3，則f(x)( )cos(一人~+2x)cosx+sinxINB.圖象關(guān)于直線XB.圖象關(guān)于直線X=對(duì)稱TTC.在區(qū)間［4,。］上的最大值為亞C.在區(qū)間［4,。］上的最大值為亞6 2D.周期為兀的奇函數(shù)在曲線y=lnx上，貝U|AB1的最小值為(A*1c.V2點(diǎn)A在直線y=x上，點(diǎn)B)D.8.已知數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和Sn=(2n+l)n,b8.已知數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和Sn=(2n+l)n,bn=."一則+b?a???*4blb2b2b3b2020b20212021202220202021201920202021二、多項(xiàng)選擇題：本題共4二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.5G技術(shù)的運(yùn)營不僅提高了網(wǎng)絡(luò)傳輸速度，更拓寬了網(wǎng)絡(luò)資源的服務(wù)范圍.目前，我國加速了5G技術(shù)的融合與創(chuàng)新，前景美好！某手機(jī)商城統(tǒng)計(jì)了5個(gè)月的5G手機(jī)銷量，如表所示：月份2020年6月2020年7月2020年8月2020年9月2020年10月月份編號(hào)X12345銷量y(部)5295a185227若y與x線性相關(guān)，由上表數(shù)據(jù)求得線性回歸方程為廣44國。，則下列說法正確的是()a=1525G手機(jī)的銷量逐月增加，平均每個(gè)月增加約30臺(tái)y與x正相關(guān)D.預(yù)計(jì)12月份該手機(jī)商城的5G手機(jī)銷量約為318部2 2設(shè)F”F,分別是雙曲線C：-2——=1的左、右焦點(diǎn)，且F,FJ=8,則下列結(jié)論正確的是s+ts-t()s=8Fi到漸近線的距離隨著t的增大而增大t的取值范圍是(-32,32)D.當(dāng)t=4時(shí)，C的實(shí)軸長是虛軸長的方倍在棱長為1的正方體ABCD-ABCD中,M是線段A?上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是( )A.四面體BACM的體積恒為定值B.直線D0與平面ADE所成角正弦值的最大值為當(dāng)C.異面直線BM與AC所成角的范圍是［0,壬］D.當(dāng)4A,M=A1C,時(shí)，平面BDM截該正方體所得的截面圖形為等腰梯形在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它可應(yīng)用到有限維空間，并構(gòu)成一般不動(dòng)點(diǎn)定理的基石.布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲?布勞威爾(L.E.J.Brouwer),簡單的講就是對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)f(x)，存在一個(gè)點(diǎn)x0,使得f(x。)=x0,那么我們稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，下列為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)的是( )f(x)=2'-xf(x)=x2-2x+n

C.f(x)2x2-1,xVlC.f(x)2x2-1,xVl|2~x|,x〉lD.f(x)三、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分.已知0<a< ,cos(a+--)=—,貝!|sina= .2 6 5 已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F,直線1過F與C交于A、B兩點(diǎn)，若|AF|=|BF|,則y軸被以線段AB為直徑的圓截得的弦長為15.六個(gè)同學(xué)重新隨機(jī)調(diào)換座位，則恰有兩人坐在自己原來的位置上的概率x2-2x—T-，x《04.兀xsin~i，x>0[2x-l+2-x+l 9.已知函數(shù)f(x)=<四、解答題：本大題共，則函數(shù)f(x)的最大值是6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟..在Z\ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,設(shè)AABC的面積為S,已知.任選一個(gè)條件①3(c2+a2)=3b2+16S；②4c-5a=-5bcosC,補(bǔ)充在上面橫線處，然后解答補(bǔ)充完整的題目.(1)求sinB的值；(2)若S=42,a=10,求b的值..已知等差數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足ai+a=20,S=40.35(1)求｛aj的通項(xiàng)公式；(2)記b?=|a?-2|,求｛b」的前n項(xiàng)和Tn..如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，ZPAB=90°,PB=PD,PA=AB,E為線段PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上的動(dòng)點(diǎn).求證：AE_L平面PBC；(2)是否存在點(diǎn)F,使平面AEF與平面PCD所成的銳二面角為30°?若存在，試確定點(diǎn)F的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.F端午假期即將到來，某超市舉辦“高考高粽”有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，凡持高考準(zhǔn)考證考生及家長在端午節(jié)期間消費(fèi)每超過600元(含600元)，均可抽獎(jiǎng)一次，抽獎(jiǎng)箱里有10個(gè)形狀、大小完全相同的小球(其中紅球有3個(gè)，黑球有7個(gè))，抽獎(jiǎng)方案設(shè)置兩種，顧客自行選擇其中的一種方案.方案一：從抽獎(jiǎng)箱中，一次性摸出3個(gè)球，其中獎(jiǎng)規(guī)則為：若摸到3個(gè)紅球，享受免單優(yōu)惠；若摸出2個(gè)紅球則打6折，若摸出1個(gè)紅球，則打7折；若沒摸出紅球，則不打折.方案二：從抽獎(jiǎng)箱中，有放回每次摸取1球，連摸3次，每摸到1次紅球，立減200元.若小清、小北均分別消費(fèi)了600元，且均選擇抽獎(jiǎng)方案一，試求他們至多一人享受免單優(yōu)惠的概率；若小杰消費(fèi)恰好滿1000元，試比較說明小杰選擇哪一種抽獎(jiǎng)方案更合算？.已知橢圓C： (a>b>0)的離心率為寸3,焦距為a'b， 2(1)求橢圓C的方程；(2)過點(diǎn)D(0,3)作直線1與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)N滿足菰=菰+反(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，求四邊形0ANB面積的最大值..已知函數(shù)f(x)=lnx-x,g(x)=玄擋■.x(1)證明：對(duì)任意的Xi,xj(0,+8)，都有|f(xi)|>g(x2)；(2)設(shè)m>n>0,比較f(nO&~(f(n)切)與由的大小，并說明理由.m-n m+n參考答案一、單項(xiàng)選擇題(共8小題，每題5分，共40分)..設(shè)全集1)=&集合A={x[0<xW2},B={x|x<l},則集合￡(AUB)=( )(- (-8,2]B.(-8,1] C.(2,+8) D.[2,+8)思路：求出A與B的并集，找出并集的補(bǔ)集即可.解：VA=(0,2],B=(-8,1),.,.AUB=(-8,2],全集為U=R,.?.[u(AUB)=(2,+8).故選：C.TOC\o"1-5"\h\z.設(shè)復(fù)數(shù)z=」--2i(i為虛數(shù)單位)，則|z|=( )1-1A.- B.匝 C. D.2\o"CurrentDocument"2 2 2思路：根據(jù)已知條件，運(yùn)用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡Z,再求出Z的模.解：.??復(fù) 2卞?2】=(舟(++5-1界=丁-21=萬成】，數(shù) 思路：由向量平行條件得到k=2,即可判斷.解：由項(xiàng)與故選:C.故選:C.3.已知平面向量項(xiàng)=(k,2),E=(1,A. 充分不必要條件C. 充要條件1)，keR,貝jk=2是a與b平行的( )B.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件￡平行得kx1-2X1=0,.'.k=2,所以k=2是項(xiàng)與￡平行的充要條件.故選:C.4.-96964.-9696前卜項(xiàng)和為S?,（x虺）a的展恰為S,,則a7=（X-80 D.807已知等差數(shù)列{a"}力開式中含x"的項(xiàng)的系數(shù)思路：利用二項(xiàng)式定理求出展開式的通項(xiàng)公式，得到再利用a7=S7-S6求出解：因?yàn)?x：/的展開式的通項(xiàng)公式為1\+1=*(-4)「/2「，所以當(dāng)r=2時(shí)，含的項(xiàng)的系數(shù)恰為C16=8n(n-1),又等差數(shù)列｛缶｝的前n項(xiàng)和為S,,,(x=)n的展開式中含礦〃的項(xiàng)的系數(shù)恰為S,X所以Sn=cgl6=8n(n-1),a?=S?-$$=96-故選：B.5.已知三棱錐P-ABC中，PA=4,AB=AC=2桐，BC=6,PA上面ABC,則此三棱錐的外接球的體積為( )A.256K B.256n C. D.32n3 3思路：由題意畫出圖形，求解三角形可得底面外接圓的半徑，再由勾股定理求出三棱錐外接球的半徑，代入球的體積公式得答案.解：如圖，在底面ZkABC中，?.?AB=AC=2去，BC=6,2』嗤吧，2X2"3X2V3則sinZBAC=Jl-cos?/BAC="]6.?.AABC的外接圓半徑為r節(jié)x7T-VPA土面ABC, 三棱錐外接球的半徑R滿足：史:/+(號(hào))2=(2火)2+22=16,得R=4^、、三棱維P-ABC外接球的體積;兀R3姿羿故選：A.故選：A.而]而],則f(x)(cosx+sinx)=0,知f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(一,0)成中12cosx-sinxa1 =310,4-9-29-3,若f(x)=兀6.定義2X2矩陣 cos(人-+2x)_a3A.圖象關(guān)于(一，0)中心對(duì)稱JTB.圖象關(guān)于直線x=號(hào)對(duì)稱C.在區(qū)間[-JL,0]上的最大值為匝6 2D.周期為Ji的奇函數(shù)思路：根據(jù)矩陣的運(yùn)算法則、二倍角公式和輔助角公式，可得f(x)=2sin(2x+A)＞再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐一判斷選項(xiàng)，即可.TT解：f(x)=(cosx-sinx)(cosx+sinx)V3cos(2x-A-)=cos2x-sin2x+\/3sin2x=V3sin2x+cos2x71、=2sin(2x+~A-),TOC\o"1-5"\h\z對(duì)于選項(xiàng)A,由f(一)=2sin(2X(—)+12 12 6心對(duì)稱，即選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B,f(一)=2sin(2X—+一)=-1,并不是f(x)的最大值或最小值，即選項(xiàng)2 26B錯(cuò)誤；TT tttttt tt 11對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)xE[一,0]時(shí)，2x+二一E[一, ],/.sin(2x+ )E[-言， ],l6 6 6 6 6 22…?f(x)e[-1,1],其最大值為1,即選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D,最小正周期為兀，但是非奇非偶函數(shù)，即選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：A.7. [ 1 點(diǎn)A在直線y=x上，點(diǎn)B在曲線y=lnx上，貝Ij|AB|的最小值為( )A.亨 B.1 C.人2 D.2思路：設(shè)平行于直線y=x的直線y=x+b與曲線y=lnx相切，則兩平行線間的距離即為IAB|的最小值,由導(dǎo)數(shù)和切線的關(guān)系由距離公式可得.解：設(shè)平行于直線y=x的直線y=x+b與曲線y=lnx相切，則兩平行線間的距離即為|AB|的最小值.設(shè)直線y=x+b與曲線y=lnx的切點(diǎn)為(m,Inm),則由切點(diǎn)還在直線y=x+b上可得lnni=in+b,由切線斜率等于切點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值可得1=1,m聯(lián)立解得m=l,b=-1,l-l-olV2由平行線間的距離公式可得|AB1的最小值為，v=Vl2+(-l)22故選:A.8.已知數(shù)列｛a“｝的前n項(xiàng)和S“=(2n+l)n,bn=&n,則卜［*4 blb2b2b3 b2020b2021D.——202112021 n202(D.——20211b2020b2021思路：由S?-Sn-!先求得a"，再求得4,最后用裂項(xiàng)法求得，b.2b2b3B：S?=(2n+l)必當(dāng)nN2時(shí)，8A=[2(n?b2020b2021所以an=Sn-Sn-i=4n-1,:.bn=n,UJ111111?—,>..?'*blb2b2b3b2020b20211223 20202021_111」 1L-d1 20201223 20202021 20212021故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.5G技術(shù)的運(yùn)營不僅提高了網(wǎng)絡(luò)傳輸速度，更拓寬了網(wǎng)絡(luò)資源的服務(wù)范圍.目前，我國加速了5G技術(shù)的融合與創(chuàng)新，前景美好！某手機(jī)商城統(tǒng)計(jì)了5個(gè)月的5G手機(jī)銷量，如表所示：月份2020年6月2020年7月2020年8月2020年9月2020年10月月份編號(hào)X12345銷量y(部)5295a185227若y與x線性相關(guān)，由上表數(shù)據(jù)求得線性回歸方程為廣44而。，則下列說法正確的是()a=1525G手機(jī)的銷量逐月增加，平均每個(gè)月增加約30臺(tái)y與x正相關(guān)D.預(yù)計(jì)12月份該手機(jī)商城的5G手機(jī)銷量約為318部思路：由已知求得x，代入線性回歸方程可得V， 由平均數(shù)公式列式求得a值判斷A;由線性回歸系數(shù)判斷B與C;把x=7代入線性回歸方程求得y值判斷D.__ _1解：由表中數(shù)據(jù)可知x$（1+2+3+4+5）=3又..?回歸方程為y=44x+10'把康=3代入回歸方程，解得T”1.?.y—(52+95+a+185+227)=142,5解得a=151，故A錯(cuò)誤；由線性回歸方程知5G手機(jī)的銷量逐月增加，平均每個(gè)月增加約44臺(tái)左右，故B錯(cuò)誤;V44>0,Ay與x正相關(guān)，故C正確;將x=7代入回歸方程得片18,故D正確-故選：CD.2 2設(shè)F”F,分別是雙曲線C：旦一=1的左、右焦點(diǎn)，且F,FJ=8,則下列結(jié)論正確的是s+ts~t（）s=8Fi到漸近線的距離隨著t的增大而增大t的取值范圍是（-32,32）D.當(dāng)t=4時(shí)，C的實(shí)軸長是虛軸長的J號(hào)倍思路：對(duì)于人：由（？=s+t+s-t=16,解得s,即可判斷A是否正確；對(duì)于B：由于R到漸近線的距離等于虛半軸長為后即可判斷B是否正確;對(duì)于C：由A得s=8,進(jìn)而可得t的取值范圍是（-8,8）,即可判斷C是否正確；對(duì)于D：當(dāng)t=4時(shí)，計(jì)算出C的實(shí)軸長，虛軸長，即可判斷D是否正確.解：因?yàn)閏?=s+t+s-t=2s=16,所以s=8,故A正確；因?yàn)镽到漸近線的距離等于虛半軸長為后其在te（-8,8）上單遞減，故B錯(cuò)誤;因?yàn)殡p曲線焦點(diǎn)在x軸上，且s=8,得t的取值范國是（-8,8），故C錯(cuò)誤；當(dāng)t=4時(shí)，C的實(shí)軸長為還，虛軸長4,C的實(shí)軸長是虛軸長的必倍，故D正確.故選:AD.在棱長為1的正方體ABCD-ABCD中，M是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（A.四面體B.ACM的體積恒為定值B.直線D0與平面ADE所成角正弦值的最大值為當(dāng)C.異面直線BM與AC所成角的范圍是［0,壬］D.當(dāng)4AM=AC時(shí)，平面BDM截該正方體所得的截面圖形為等腰梯形思路：由題意利用查正方體的性質(zhì)，直線和平面的位置關(guān)系，空間角、空間距離的定義，逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論.解：如圖：根據(jù)正方體的特征可得AC//AC,所以AC//平面ABC所以線段AC上的點(diǎn)到平面ABE的距離相等，因?yàn)槿切蜛BE的面積為定值，M是線段AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以，M到平面ABE的距離為定值，而4ABE的面積為定值，故四面體0ACM的體積為定值，故A正確.如圖：設(shè)直線DW與平面ADC所成的角為a,M到平面ADiC的距離為d,貝ljsina=-=—5-,UIM因?yàn)锳C//AC,所以AC〃平面ADC,所以M到平面AD,C的距離與A,到平面AD,C的距離相等，連接AE,由V三棱椎三棱椎c-AAQi,可得又膈⑶顯*姬X桓Xsin60。與SS|D驀X1X1號(hào)所以d"易知當(dāng)M為AC的中點(diǎn)時(shí)，DN最小,為辛，此時(shí)sina取得最大值，為匝，故B正確.設(shè)異面直線BM與AC所成的角為0,，當(dāng)M與Ai或G重合時(shí)，0取得最小值，為60°,當(dāng)M為AC的中點(diǎn)時(shí)，9取得最大值，為90°，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng)，過點(diǎn)M作EF//BD,分別交AD,AB于點(diǎn)E,F,連接DE,BF,則四邊形DEFB為等腰梯形，故D正確.故選：ABD.在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它可應(yīng)用到有限維空間，并構(gòu)成一般不動(dòng)點(diǎn)定理的基石.布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲?布勞威爾(L.E.J.Brouwer),簡單的講就是對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)f(x)，存在一個(gè)點(diǎn)x”使得f(Xo)=x0，那么我們稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，下列為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)的是( )f(x)=2X-xf(x)=x2-2x+nc.f(x)=(2x2-1,X〈1|2-XI,X>1D.f(x)= x2思路：根據(jù)所給定義，至一定性判斷即可，A：x=1滿足條件，故A正確；B：方程無解，故B錯(cuò)誤；C：x—一或x=l滿足條件，故C正確；D：x二士豆上滿足條

件，故D正確.2 3解：根據(jù)定義可知：若f(X)有不動(dòng)點(diǎn)，則f(x)=x有解.A.令2、-x=x,所以2、=2x,易知x=l是方程的一個(gè)解，故f(x)是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)；B.令X2-2x+Ji=x,所以X2-3x+n=0,方程的△=9-4兀V0,故方程無解，所以f(x)不是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)；C.當(dāng)xWl時(shí)，令2x2-l=x,所以x=*■或x=l，所以f(x)是"不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù);D.令§W=x，所以x=±翌尹，所以f(X)是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù).故選:ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.—10一13.已知0<a(刀-,cos(2+刀~)，則—10一2 6 5思路：由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sin(a+二)的值,再根據(jù)sina=sin[(a+二)6 6TT-;],利用兩角和的正弦公式計(jì)算求得結(jié)果.6QTTTTATTTT解：0Va?<,cos2「/(a兀、+——)6丸1,5(a+ )是銳角，sin(a+6兀、兀,工兀、.兀4V331——)65..?sina”310'故答案為：=sinL(M^.10a+) 6-J6=sin(a+)cos---cos(6 6a+)sm=6—?—?—6 52 5214. 已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F,直線1過F與C交于A、B兩點(diǎn)，若|AF|=1BF1,則y軸被以線段AB為直徑的圓截得的弦長為思路：根據(jù)題意可得丁x軸，AB為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為F(1,0),半徑為r=2,弦長為2人2?t2=2a/§，即可得出答案?解：由于|AF|=|BF|,所以dx軸，所以圓心坐標(biāo)為F(1,0),半徑為r=2,弦長為222-12：=2a/3，故答案為：2姻.15.六個(gè)同學(xué)重新隨機(jī)調(diào)換座位，則恰有兩人坐在自己原來的位置上的概率為思路：根據(jù)題意，可分2步分析恰有兩人坐在自己原來的位置上的基本事件個(gè)數(shù)：第一步先從6個(gè)人里選2人，其位置不變，有Cf=15種選法；第二步是對(duì)于剩余的四人，因?yàn)槊總€(gè)人都不能

站在原來的位置上，因此第一個(gè)人有三種站法，被站了自己位置的那個(gè)人只能站在另外三個(gè)位置中的一個(gè)，選定后此時(shí)剩下兩人只有一種站法，因此四個(gè)人調(diào)換有3X3=9種調(diào)換方法，從而可確定不同的調(diào)換方法有15X9=135種.最后根據(jù)基本事件總數(shù)為A?=720即可求出所求概率.解：根據(jù)題意，分2步分析：①先從6個(gè)人里選2人，其位置不變，有C*15種選法；②對(duì)于剩余的四人，因?yàn)槊總€(gè)人都不能站在原來的位置上，因此第一個(gè)人有三種站法，被站了自己位置的那個(gè)人只能站在另外三個(gè)位置中的一個(gè)，選定后此時(shí)剩下兩人只有一種站法,因此四個(gè)人調(diào)換有3X3=9種調(diào)換方法，故不同的調(diào)換方法有15X9=135種.而基本事件總數(shù)為A?=720，所以所求概率為與故答案為：16

'216.故答案為：16

'216.已知函數(shù)f(x)=< -只Xsin-z-.,2x-i+2-x+i/入，則函數(shù)f(X)的最大值是￡.一2一,x>0思路：分別求出xWO和x>0時(shí)函數(shù)的最大值，再對(duì)兩個(gè)最大值加以比較即可得到解答.解：當(dāng)xWO時(shí)，f(x)Vj；兀X當(dāng)x>0時(shí)，/\-51112fx~2x-l2-x+l令/3=212_*+1=2*-「4r>2”當(dāng)且僅當(dāng)2x-i=-4t,即x=l時(shí)取等號(hào)，1 2”1 2x1即當(dāng)X=1時(shí)，fl(X)min=2,令f2(x)=sirrA-xE[-1,1],又因?yàn)閒?(x)=f2(l)=sin-人-=LJ JIUOA J /...函數(shù)f(x)的最大值是故答案為：*四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在AABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,設(shè)AABC的面積為$,已知.任選一個(gè)條件①3(c?+a2)=3b2+16S；②4c-5a=-5bcosC,補(bǔ)充在上面橫線處，然后解答補(bǔ)充完整的題目.⑴求sinB的值；(2)若S=42,a=10,求b的值.思路：若選擇條件①：(1)利用余弦定理，三角形的面積公式，化簡已知等式可得3cosB=4sinB,進(jìn)而根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解sinB的值；(2)由(1)及三角形的面積公式可求c的值，進(jìn)而可求b的值.若選擇條件②：(1)由正弦定理，兩角和的正弦公式化簡己知等式可求cosB的值，進(jìn)而根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinB的值；(2)由(1)利用三角形的面積公式可求c的值，進(jìn)而根據(jù)余弦定理即可求解b的值.解：若選擇條件①：(1)因?yàn)?(c2+a2)=3b2+16S,所以3(a2+c2-b2)=16X-yacsinB>2工2_,2整理得：8acsinB=33+cj-b?),即4sinB=3? 2ac整理可得3cosB=4sinB,又sinB>0,所以cosB>0,所以tanB所以tanBsinB阜cosB4Q故sinB=—.5Q(2)由(1)知sinB=—，又S=42,a=10,51 1 Q貝Us節(jié)acsinB二令X10cXf=42，解得c=14,Z Z 5將S=42,a=10,c=14,代入3(c2+a2)=3b2+16S中，得3X(142+102)=3b2+16X42,解得b=6廠.若選擇條件②：因?yàn)?bcosC+4c=5a,由正弦定理得，5sinBcosC+4sinC=5sinA,即5sinBcosC+4sinC=5sin(B+C),即sinC(4-5cosB)=0,4.在AABC中，sinCP,所以CQsB二：，5故sinB=71-COs2Bg-D由(1)知sinB=￡，受S=42,a=10,51 1 Q貝JS=acsinB=vx10cXT-=42解得c=14,Z N 5?由余弦定理得2accosB=a2+c2-b2,可得2X10X14x4=1Q2+14"-b5所以b=6V2-18.已知等差數(shù)列｛&｝的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足ai+a3=20,S5=40.⑴求｛&｝的通項(xiàng)公式；(2)記b?=|a?-2|,求(b?｝的前n項(xiàng)和T?.思路：(1)直接利用等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用和數(shù)列的求和公式求出首項(xiàng)和公差，進(jìn)一步求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)利用分裂討論的應(yīng)用求出數(shù)列的和.解：(1)設(shè)等差數(shù)列｛缶｝的公差為d,則ai+&3=2ai+2d=20,5X4S5=5a]+_d=5a〔+10d=40，解得：ai=12,d=-2.故an=ai+(n-1)d=14-2n,(nEN*).(2)bn=|an-2|=|12-2n|當(dāng)nW6,n￡N*時(shí)b"=12-2n,b)=10,Tn=bn=22；2nn=_n2+]ln'O+On_1O 9當(dāng)n>6時(shí)，b?=2n-12,T?=10+8+6+4+2+0+b7+b8+-+br,=30+八號(hào)二-(m6)=n-lln+60,,n￡N.f-n'+lln,n《6廣*所以二=|o,n￡N.n2-lln+60,n>619.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，ZPAB=90°,PB=PD,PA=AB,E為線段PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上的動(dòng)點(diǎn).⑴求證：AE_L平面PBC；(2)是否存在點(diǎn)F,使平面AEF與平面PCD所成的銳二面角為30°?若存在，試確定點(diǎn)F的位置;若不存在，請(qǐng)說明理由./思路：(1)只需證明AE_LBC,AEXPB,即可證明AE_L平面PBC,(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,利用空間向量求解，解：(1)VAPAD"APAB(SSS),/.ZPAD=ZPAB=90°,APA±AB,PH±AD,又VABnAD=A,PA_L平面ABCD,BC平面ABCD,/.PAXBC,LABCD為正方形，Z.ABXBC,又PACIAB=A,PA,AB平面PAB,/.BC土平面PAB,.LAE平面PAB/.AEXBC,VPA=AB,E為線段PB的中點(diǎn)，.-.AEXPB,又PBCIBC=B,PB,BC平面PBC,/.AEl平面PBC,(2)存在定點(diǎn)F,使平面AEF與平面PCD所成的銳二面角為30°以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,不妨設(shè)正方形ABCD的邊長為2,則A(0,0,0),C(0,2,2),D(0,0,2),P(2,0,0),E(1,1,0),AE=(1,1,0),PC=(-2,2,2),PD=(-2,0,2).設(shè)F(0,2,A)(0；￡X<2),則AF=(O,2,人)，設(shè)平向AEF的一個(gè)法向量為n=（xi,ypn'AF=2y,+Xz<=0則1，n-AE=X[+y[=0令z,=2,tl|=(人，-入，2),設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為111=(x2,yZ2)(-2X2+2y,+2z2=0一2X2+2z=0令x=1,貝I]m=(1,0,1,),?..平面AEF與平面PCD所成的銳二面角為30°,Icos30°l=r」j+院 二尊,解得X=1,ImInIVW2人2+4匕?-?當(dāng)點(diǎn)F為BC中點(diǎn)時(shí)，平面AEF與平面PCD所成的銳二面角為3020.端午假期即將到來，某超市舉辦“高考高粽”有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，凡持高考準(zhǔn)考證考生及家長在端午節(jié)期間消費(fèi)每超過600元（含600元），均可抽獎(jiǎng)一次，抽獎(jiǎng)箱里有10個(gè)形狀、大小完全相同的小球（其中紅球有3個(gè)，黑球有7個(gè)），抽獎(jiǎng)方案設(shè)置兩種，顧客自行選擇其中的一種方案.方案一：從抽獎(jiǎng)箱中，一次性摸出3個(gè)球，其中獎(jiǎng)規(guī)則為：若摸到3個(gè)紅球，享受免單優(yōu)惠；若摸出2個(gè)紅球則打6折，若摸出1個(gè)紅球，則打7折；若沒摸出紅球，則不打折.方案二：從抽獎(jiǎng)箱中，有放回每次摸取1球，連摸3次，每摸到1次紅球，立減200元.若小清、小北均分別消費(fèi)了600元，且均選擇抽獎(jiǎng)方案一，試求他們至多一人享受免單優(yōu)惠的概率；若小杰消費(fèi)恰好滿1000元，試比較說明小杰選擇哪一種抽獎(jiǎng)方案更合算？思路：（1）在方案一種，先求出一個(gè)免單的概率，再求出兩人同時(shí)免單的概率，求出該事件的對(duì)立事件，即可求解.（2）若小杰選擇方案一，設(shè)付款金額為X元，則可能的取值為0、600、700、1000，求出X的期望，方案二摸到紅球的個(gè)數(shù)服從二項(xiàng)分布，求出Y的數(shù)學(xué)期望，結(jié)合期望的線性公式，即可得E(Z)的值，通過比較兩個(gè)方案的期望，即可求解.解：(1)方案一若享受到免單優(yōu)惠，則需摸出三個(gè)紅球，Uq1設(shè)顧客享受到免單優(yōu)惠為事件A,則p(A)=」=茶，「J12U>10TOC\o"1-5"\h\z小清、小北二人至多一人享受到免單的概率為P=1-P(A)P(A)=1-T7TXX-= -1440014400(2)若小杰選擇方案一，設(shè)付款金額為X元，則可能的取值為0、600、700,1000,故X的分布列為:X06007001000P1204。214024TOC\o"1-5"\h\z1 7 91 7 1 一??-E(X)=0X-人-+600X-7T-+700X人+1000X (元)，120 40 40 24 6若小杰選擇方案二，設(shè)摸到紅球的個(gè)數(shù)為Y,付款金額為Z,則Z=1000-200Y,由已知可得Yf(3,希)，故E(Y)=3X希葦，.IE(Z)=E(1000-200Y)=1000-200E(Y)=820(元)，VE(X)<E(Z),小杰選擇第一種抽獎(jiǎng)方案更合算.21. 已知橢圓C： (a>b>0)的離心率為寸3,焦距為2出.a'U 2(1)求橢圓C的方程；(2)過點(diǎn)D(0,3)作直線1與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)N滿足菰=31+瓦(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，求四邊形0ANB面積的最大值.思路：(1)由橢圓的焦距為2店，離心率為季，列方程組，解得a,b,c,即可得出答案.(2)由ON=OA+OB,得四邊形0ANB為平行四邊形，A(X1,y>),B(x2,y；),分兩種情況：當(dāng)直線1的斜率不存在時(shí)，當(dāng)直線1的斜率存在時(shí)，寫出直線1的方程，聯(lián)立橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得x,+x2.x,x2,由弦長公式可得1AB1,點(diǎn)0到直線1的距離d,再計(jì)算四邊形OANB面積的最大值.解：(1)I?橢圓的焦距為2c=2歸則c=日，..?離心率為四，2(2)2其，.一./=4.

12 2 2___i? b_=a-__c_=1,2c橢圓C的方程為于+y2=l.(2),?,QN=OA+OB>四邊形OANB為平行四邊形，當(dāng)直線1的斜率不存在時(shí)，顯然不符合題意，當(dāng)直線1的斜率存在時(shí)，設(shè)直線1的方程為y=kx+3,直線1與橢圓于A(xi,yi),B3,y2)兩點(diǎn)，，y=kx+3由lV+y==>1(l+4k2)x2+24kx+32=0>由小二(24k)2-128(l+4k2)>0=>k2>2,TOC\o