精選數(shù)值分析試卷10計(jì)科專升本(B)卷-參考答案

精選數(shù)值分析試卷10計(jì)科專升本(B)卷-參考答案試卷第6頁共6頁試卷第1頁共6頁數(shù)值分析2023－2023第1學(xué)期10計(jì)算專升期末試卷B參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一、判斷題〔每題2分，共20分〕1、T 2、F 3、T 4、T 5、T 6、T 7、T 8、T 9、T 10、T二、計(jì)算題〔每題8分，共40分〕設(shè)有微分方程。

設(shè)步長為0.1，用Euler方法，計(jì)算的近似值：

解：記步長為。Euler方法是以為起點(diǎn)，以為切線，構(gòu)造直線，并以所構(gòu)造直線在點(diǎn)處的值作為的近似，寫成表達(dá)式有

〔4分〕

依次計(jì)算的結(jié)果

〔8分〕設(shè)，

試用線性插值及二次插值計(jì)算的近似值，并估計(jì)誤差。

解：〔1〕因?yàn)?.54介于0.5與0.6之間，為了進(jìn)行內(nèi)插值，所以選取為插值節(jié)點(diǎn)，構(gòu)造插值基函數(shù)：

插值函數(shù)為：

并有余項(xiàng)：

所以

〔4分〕

〔2〕選取節(jié)點(diǎn)，構(gòu)造二次插值基函數(shù)

有插值函數(shù)：

有余項(xiàng)：

所以

〔8分〕設(shè)有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

試求與的函數(shù)關(guān)系。

解：由圖上可以看出與大致呈線性關(guān)系。設(shè)

記，現(xiàn)在的目標(biāo)是確定使到達(dá)最小。為此，令

寫成矩陣的形式有

〔5分〕

解之，得，即與的函數(shù)關(guān)系大致為

〔8分〕用Newton迭代法求方程在上的一個(gè)根，并用做４次迭代計(jì)算。

解：對求導(dǎo)，有，構(gòu)造Newton迭代格式

〔4分〕

作4次迭代的結(jié)果為

〔8分〕用LU分解的方法求以下兩個(gè)方程組的解

與

解：記，那么原方程組可表示為

對作分解有

〔4分〕

記，解得，求解，得。

記，解得，求解，解得?！?分〕

三、綜合計(jì)算題〔每題16分，共16分〕設(shè)有線性方程組

試求

〔1〕給出解線性方程組的Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代矩陣

〔2〕判斷解線性方程組的Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代的收斂性；

〔3〕選取收斂速度較快的一種迭代方法，取進(jìn)行四次迭代計(jì)算

解：〔1〕分別記Jacobi迭代與Gauss-Seidel迭代矩陣為，那么

〔6分〕

〔2〕系數(shù)矩陣是嚴(yán)格對角占優(yōu)的，所以Jacobi迭代、G-S迭代都是收斂的?！?0分〕

〔3〕的三個(gè)特征值為：

所以的譜半徑為

的三個(gè)特征值為

所以的譜半徑為

由于所以Gauss-Seidel迭代收斂速度快于Jacob迭代的收斂速度，取Gauss-Seidel迭代，以為初始向量，計(jì)算四次的結(jié)果為

〔16分〕四、應(yīng)用題〔每題12分，共24分〕嘗試只用加、減、乘、除四種運(yùn)算，計(jì)算的近似值，并以實(shí)例說明。

解：〔1〕因?yàn)槭欠匠痰母?，所以可以用求根的方法求的近似值，記，那么，?gòu)造迭代格式

這個(gè)算法中只含有乘法、除法與加法運(yùn)算。另外，由此構(gòu)造的序列，滿足

其中，顯然當(dāng)時(shí)，總有，所以〔8分〕

〔2〕取，用上述迭代法，計(jì)算5次的結(jié)果為

〔12分〕試用數(shù)值積分的方法計(jì)算的近似值。

解：〔1〕因?yàn)?，于是可以利用?shù)值積分算法計(jì)算的近似值。如果用龍貝格算法，其算法過程為：將區(qū)間分為等分，計(jì)算：

計(jì)算

并以作為的近似值?！?分〕

〔2〕以為例，采用復(fù)化梯型求積公