函數(shù)奇偶性與單調(diào)性

一、基礎(chǔ)知識圖表單調(diào)性定義判定方法應(yīng)用定義法復(fù)合函數(shù)法圖象法奇偶性定義判定方法應(yīng)用定義法變通法圖象法圖象性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性第一頁，共19頁。第一頁，共19頁。二、函數(shù)的單調(diào)性1、如果對于屬于定義域D內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1，x2，當(dāng)x1＜x2，都有f(x1)＜f(x2)，那么就說f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù).2、如果對于屬于定義域D內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1，x2，當(dāng)x1＜x2時，都有f(x1)＞f(x2)，那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).3、如果函數(shù)f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說f(x)在這一區(qū)間具有單調(diào)性，這一區(qū)間叫做f(x)的單調(diào)區(qū)間.函數(shù)圖像能直觀地顯示函數(shù)的單調(diào)性.在單調(diào)區(qū)間上的增函數(shù)，它的圖像是沿x軸正方向逐漸上升的；在單調(diào)區(qū)間上的減函數(shù)，它的圖像是沿x軸正方向逐漸下降的.第二頁，共19頁。第二頁，共19頁。單調(diào)性性質(zhì)規(guī)律:若函數(shù)f(x)，g(x)在給定的區(qū)間上具有單調(diào)性，利用增(減)函數(shù)的定義容易證得，在這個區(qū)間上：(1)函數(shù)f(x)與f(x)+C(C為常數(shù))具有相同的單調(diào)性.(2)C＞0時，函數(shù)f(x)與C·f(x)具有相同的單調(diào)性；C＜0時，函數(shù)f(x)與C·f(x)具有相反的單調(diào)性.(3)若f(x)≠0，則函數(shù)f(x)與-f(x)具有相反的單調(diào)性.(4)若函數(shù)f(x)，g(x)都是增(減)函數(shù)，則f(x)+g(x)仍是增(減)函數(shù).(5)若f(x)＞0，g(x)＞0，且f(x)與g(x)都是增(減)函數(shù)，則f(x)·g(x)也是增(減)函數(shù)；若f(x)＜0，g(x)＜0，且f(x)與g(x)都是增(減)函數(shù)，則f(x)·g(x)是減(增)函數(shù).第三頁，共19頁。第三頁，共19頁。復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：已知函數(shù)y=f(u)和u=g(x)，u=g(x)在區(qū)間（a，b）上具有單調(diào)性，當(dāng)x∈（a，b）時u∈（m，n）且y=f(u)在（m，n）上也具有單調(diào)性，則復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]在區(qū)間（a，b）上具有單調(diào)性，規(guī)律如下：y=f(u)增↑減↓u=g(x)增↑

減↓增↑減↓y=f[g(x)]增↑減↓減↓增↑對于復(fù)合函數(shù)f[g(x)]：“同號得增，異號得減”第四頁，共19頁。第四頁，共19頁。三、函數(shù)的奇偶性1、如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(-x)=-f(x)，

那么f(x)叫做奇函數(shù).如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(-x)＝f(x)，

那么f(x)叫做偶函數(shù).

2、奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱；偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱.第五頁，共19頁。第五頁，共19頁。例1

、試討論y=x-在區(qū)間(0,+∞)上的單調(diào)性,并證明評析：函數(shù)單調(diào)性是對某個區(qū)間而言的，對于單獨一個點沒有增減變化，所以對于區(qū)間端點只要函數(shù)有意義，都可以帶上.第六頁，共19頁。第六頁，共19頁。拓展：已知函數(shù)f(x)＝x2+2(a-1)x+2在區(qū)間(-∞，4］上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.評析

這是涉及逆向思維的問題，即已知函數(shù)的單調(diào)性，求字母參數(shù)范圍，要注意利用數(shù)形結(jié)合.解：f(x)＝x2+2(a-1)x+2＝［x+(a-1)］２-(a-1)2+2，此二次函數(shù)的對稱軸是x＝1-a.因為在區(qū)間(-∞，1-a］上f(x)是單調(diào)遞減的，若使f(x)在(-∞，4］上單調(diào)遞減，對稱軸x＝1-a必須在x=4的右側(cè)或與其重合，即1-a≥4，a≤-3.分析

要充分運用函數(shù)的單調(diào)性是以對稱軸為界線這一特征.第七頁，共19頁。第七頁，共19頁。練習(xí)

1、函數(shù)f(x)在（0，+∞）上是減函數(shù)求f(a2-a+1)與f()的大小關(guān)系例2：函數(shù)f(x)是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，滿足：f(xy)=f(x)+f(y)，f(8)=3，解不等式f(x)+f(x-2)≥3[4，+∞）注：利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式時，必須考慮條件和定義域f(a2-a+1)≤f()2、函數(shù)f(x)＝4x2－mx＋5在區(qū)間[－2，+∞)上是增函數(shù)，求f(1)的取值范圍。3、設(shè)f(x)是定義域為[-1，1]上的增函數(shù)，解不等式f(x-1)<f(x2-1).f(1)≥25（1，]第八頁，共19頁。第八頁，共19頁。注：1、復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的單調(diào)區(qū)間必須是其定義域的子集2、對于復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的單調(diào)性是由函數(shù)y=f(u)及u=g(x)的單調(diào)性確定的且規(guī)律是“同增，異減”第九頁，共19頁。第九頁，共19頁。例3:已知函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，g(x)在[a,b]上是減函數(shù)，求證：f[g(x)]在[a,b]上是減函數(shù).設(shè)x1,x2∈[a,b],且x1<x2，∵g(x)在[a,b]上單調(diào)遞減，∴g(x1)>g(x2),又f(x)在R上遞增，而g(x1)∈R，g(x2)∈R，∴f[g(x1)]>f[g(x2)],

∴f[g(x)]在[a,b]上是減函數(shù).證明：第十頁，共19頁。第十頁，共19頁。求函數(shù)y=18+2(2-x2)-(2-x2)2的單調(diào)區(qū)間例6：例5：求函數(shù)y=f(x)在R上是減函數(shù)，求y=f（|1-x|）的單調(diào)遞增區(qū)間。單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，1]單增區(qū)間是（-∞，-1]，[0，1）單減區(qū)間是（-1，0），[1，+∞）例4：求函數(shù)y=的單調(diào)區(qū)間單減區(qū)間是（-∞，-]，單增區(qū)間是[2，+∞）第十一頁，共19頁。第十一頁，共19頁。三、函數(shù)的奇偶性1、如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(-x)＝-f(x)，那么f(x)叫做奇函數(shù).如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(-x)＝f(x)，那么f(x)叫做偶函數(shù).2、奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱；偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱.如例1中的函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，故其為偶函數(shù)。另一方面，由定義f(-x)＝-（-x）2+2｜-x｜+3=-x2+2｜x｜+3=f(x)，故其為偶函數(shù)。3、函數(shù)按是否具有奇偶性可分為四類：奇函數(shù)，偶函數(shù)，既奇且偶函數(shù)(既是奇函數(shù)又是偶函數(shù))，非奇非偶函數(shù)(既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)第十二頁，共19頁。第十二頁，共19頁。例7、判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)＝(2)f(x)＝(3)f(x)=(x-1).(4)f(x)=注意：由于函數(shù)解析式中的絕對值使得所給函數(shù)不像具有奇偶性，若不作深入思考，便會作出其非奇非偶的判斷.但隱含條件(定義域)被揭示之后，函數(shù)的奇偶性就非常明顯了.這樣看來，解題中先確定函數(shù)的定義域不僅可以避免錯誤，而且有時還可以避開討論，簡化解題過程.評析

用定義判斷函數(shù)的奇偶性的步驟與方法如下：(1)求函數(shù)的定義域，并考查定義域是否關(guān)于原點對稱.(2)計算f(-x)，并與f(x)比較，判斷f(-x)＝f(x)或f(-x)＝-f(x)之一是否成立.f(-x)與-f(x)的關(guān)系并不明確時，可考查其等價形式f(-x)±f(x)＝0或是否成立，從而判斷函數(shù)的奇偶性.第十三頁，共19頁。第十三頁，共19頁。例9：已知函數(shù)（1）判斷它的奇偶性。（2）求證它是單調(diào)遞增函數(shù)。分析：根據(jù)定義討論(或證明)函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟是：(1)設(shè)x1、x2是給定區(qū)間內(nèi)任意兩個值，且x1＜x2；(2)作差f(x1)-f(x2)，并將此差式變形；(3)判斷f(x1)-f(x2)的正負(fù)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性.例10：已知f(x)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)=x2-2x,求f(x)的解析式。第十四頁，共19頁。第十四頁，共19頁?？偨Y(jié)：奇函數(shù)和偶函數(shù)還具有以下性質(zhì)：(1)兩個奇函數(shù)的和(差)仍是奇函數(shù)，兩個偶函數(shù)的和(差)仍是偶函數(shù).(2)奇偶性相同的兩個函數(shù)的積(商、分母不為零)為偶函數(shù)，奇偶性相反的兩個函數(shù)的積(商、分母不為零)為奇函數(shù).(3)奇函數(shù)在其定義域的對稱區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在其定義域的對稱區(qū)間上單調(diào)性相反。即奇函數(shù)在(a,b)上的單調(diào)性與在(-b,-a)上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在(a,b)與(-b,-a)的單調(diào)性相反.(4)定義域關(guān)于原點對稱的函數(shù)f(x)可以表示成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和，即f(x)＝。(5)若f(x)是(-a,a)(a＞0)上的奇函數(shù)，則f(0)＝0。第十五頁，共19頁。第十五頁，共19頁。課堂總結(jié)：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)，本節(jié)內(nèi)容在高考中年年必考，主要考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的判定，單調(diào)區(qū)間的求法，以及單調(diào)性與奇偶性的綜合題.關(guān)鍵是在理解的基礎(chǔ)上，要記準(zhǔn)、記熟函數(shù)單調(diào)性和奇偶性有關(guān)概念和判定方法并能在解題中靈活的加以運用.千萬不要忘記解題時首先要考查定義域.本節(jié)課涉及的重要數(shù)學(xué)思想方法有：分類討論思想、數(shù)形結(jié)構(gòu)思想、轉(zhuǎn)化思想等。第十六頁，共19頁。第十六頁，共19頁。1．已知定義域為R的函數(shù)f(x)在區(qū)間（-∞，5）上單調(diào)遞減，對任意的實數(shù)t，都有f(t+5)=f(5-t)那么下列式子成立的是()A．f(-1)＜f(9)＜f(13)B．f(13)＜f(9)＜F(-1)C．f(9)＜f(-1)＜f(13)D．f(13)＜f(-1)＜f(9)2．函數(shù)y＝x2＋2(a－1)x＋2在(－∞，4]上是減函數(shù)，求a的取值范圍。3、若函數(shù)y=(1-2m)x+b在R上是減函數(shù)，求m的取值范圍。練習(xí)：第十七頁，