第6章定積分的應(yīng)用3物理應(yīng)用

第6章定積分的應(yīng)用3物理應(yīng)用第一頁(yè)，共14頁(yè)。第三節(jié)一、變力沿直線所作的功二、液體的側(cè)壓力三、引力問題定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用第二頁(yè)，共14頁(yè)。一、變力沿直線所作的功設(shè)物體力的方向求力所做的功.的功元素為因此所作的功為的作用下從

a在力F1.力F是常數(shù)，則常力所做的功2.力F(x)是變量，移動(dòng)到與運(yùn)動(dòng)方向平行,沿

x

軸從

a移動(dòng)到變力F(x)從移動(dòng)到第三頁(yè)，共14頁(yè)。例1.一個(gè)單求電場(chǎng)力所作的功.解:當(dāng)單位正電荷由庫(kù)侖定律電場(chǎng)力為則功的元素為所求功為說(shuō)明:位正電荷沿直線在一個(gè)帶+q

電荷所產(chǎn)生的電場(chǎng)作用下,從距離點(diǎn)電荷a

處

b處(a<b),移動(dòng)到距離原點(diǎn)

r

時(shí),第四頁(yè)，共14頁(yè)。例2.求移動(dòng)過程中解:由于氣體的膨脹,移動(dòng)到所作的功.建立坐標(biāo)系如圖.由波義耳壓強(qiáng)p功元素為故作用在活塞上的壓力為所求功為在底面積為S盛有一定量的氣體,把容器中點(diǎn)b

處(如圖),即從點(diǎn)a

處的圓柱形容器中面積為S的活塞氣體壓力與體積

V

成反比,—馬略特定律知第五頁(yè)，共14頁(yè)。例3.試問要把桶中的水解:在任一小區(qū)間上的一薄層水的重力為這薄層水吸出桶外故所求功為(KJ

)設(shè)水的密度為(KN)一蓄滿水的圓柱形水桶高為5m,底圓半徑為3m,全部吸出需作多少功?所作的功為建立坐標(biāo)系如圖.第六頁(yè)，共14頁(yè)。練習(xí)解:作

x軸如圖.為清除井底污泥,提出井口,纜繩每米重50N,在提升過程中污泥以20N/s的速度現(xiàn)將抓起污泥的抓斗抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度為3m/s,問克服重力需作多少功?已知井深30m,抓斗自重400N,將抓起污泥抓起污泥后x

提升dx用纜繩從抓斗縫隙中漏掉,提升到井口,提升抓斗中的污泥克服纜繩重抓斗升至x

處所需時(shí)間:克服抓斗自重

的抓斗由的功元素

的功元素

的功元素

將抓斗放入井底,第七頁(yè)，共14頁(yè)。面積為A的平板二、液體側(cè)壓力設(shè)液體密度為深為

h

處的壓強(qiáng):當(dāng)平板當(dāng)平板平板一側(cè)??與水面平行時(shí),所受的壓力與水面不平行時(shí),平板一側(cè)所受的壓力就需用積分解決.第八頁(yè)，共14頁(yè)。小條上各點(diǎn)的壓強(qiáng)例4.的液體,

解:半圓的小條的面積端面所受側(cè)壓力方程為一水平橫放內(nèi)有半桶密度為求桶的一個(gè)端面?zhèn)葔毫υ氐陌霃綖镽的圓桶,所受的側(cè)壓力.建立坐標(biāo)系如圖.第九頁(yè)，共14頁(yè)。銳角練習(xí)題斜邊為定長(zhǎng)解:設(shè)斜邊長(zhǎng)為l,并使一直角邊則問斜邊與水面交成的垂直放置于水中,的直角三角形薄板,薄板所受取多大時(shí),故得唯一駐點(diǎn)故此唯一駐點(diǎn)即為所求.由實(shí)際意義可知最大值存在,即與水面相齊,選取坐標(biāo)系如圖.的壓力P最大.壓力元素壓力第十頁(yè)，共14頁(yè)。三、引力問題質(zhì)量分別為的質(zhì)點(diǎn),兩質(zhì)點(diǎn)間的引力:大小:方向:沿兩質(zhì)點(diǎn)的連線若考慮物體則需用積分解決.對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力,相距

r

,第十一頁(yè)，共14頁(yè)。例5.設(shè)有一長(zhǎng)度為

l,其中垂線上該棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力.解:建立坐標(biāo)系.細(xì)棒上小段對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力大小為故垂直分力元素為在計(jì)算線密度為的均勻細(xì)直棒,距

a

單位處有一質(zhì)量為m棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力的垂直分力為棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)引力的水平分力故棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力大小為的質(zhì)點(diǎn)M,第十二頁(yè)，共14頁(yè)。練習(xí)設(shè)星形線上每一點(diǎn)處線密度的大小解: