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微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題解答第三章§3.1微分中值定理1.填空題(1)函數(shù)在上使拉格朗日中值定理結(jié)論成立的ξ是.(2)設(shè),則有3個(gè)實(shí)根,分別位于區(qū)間中.2.選擇題(1)羅爾定理中的三個(gè)條件:在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且,是在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使成立的(B).A.必要條件B.充分條件C.充要條件D.既非充分也非必要條件(2)下列函數(shù)在上滿足羅爾定理?xiàng)l件的是(C).A.B.C.D.(3)若在內(nèi)可導(dǎo),且是內(nèi)任意兩點(diǎn),則至少存在一點(diǎn),使下式成立(B).A.B.在之間C.D.3.證明恒等式:.證明:令,則,所以為一常數(shù).設(shè),又因?yàn)椤9剩?.若函數(shù)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù),且,其中,證明:在內(nèi)至少有一點(diǎn),使得.證明:由于在上連續(xù),在可導(dǎo),且,根據(jù)羅爾定理知,存在,使.同理存在,使.又在上符合羅爾定理的條件,故有,使得.5.證明方程有且僅有一個(gè)實(shí)根.證明:設(shè),則,根據(jù)零點(diǎn)存在定理至少存在一個(gè),使得.另一方面,假設(shè)有,且,使,根據(jù)羅爾定理,存在使,即,這與矛盾.故方程只有一個(gè)實(shí)根.6.設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在上連續(xù),且,其中是介于之間的一個(gè)實(shí)數(shù).證明:存在,使成立.證明:由于在內(nèi)可導(dǎo),從而在閉區(qū)間內(nèi)連續(xù),在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo).又因?yàn)?,根?jù)零點(diǎn)存在定理,必存在點(diǎn),使得.同理,存在點(diǎn),使得.因此在上滿足羅爾定理的條件,故存在,使成立.7.設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo).試證:至少存在一點(diǎn),使證明:只需令
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