2020版物理新增分大一輪人教通用版講義：第九章 磁場 第2講

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第2講磁場對運(yùn)動(dòng)電荷的作用一、洛倫茲力的大小和方向1．定義：磁場對運(yùn)動(dòng)電荷的作用力．2．大小(1）v∥B時(shí)，F(xiàn)＝0；(2）v⊥B時(shí)，F(xiàn)＝qvB；（3）v與B的夾角為θ時(shí)，F(xiàn)＝qvBsinθ。3．方向（1）判定方法:應(yīng)用左手定則，注意四指應(yīng)指向正電荷運(yùn)動(dòng)方向或負(fù)電荷運(yùn)動(dòng)的反方向；（2）方向特點(diǎn)：F⊥B,F⊥v.即F垂直于B、v決定的平面．(注意B和v可以有任意夾角)4．做功：洛倫茲力不做功．自測1帶電荷量為＋q的不同粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動(dòng)，下列說法中正確的是()A．只要速度大小相同，所受洛倫茲力就相同B．如果把＋q改為－q,且速度反向、大小不變，則其所受洛倫茲力的大小、方向均不變C．洛倫茲力方向一定與電荷速度方向垂直，磁場方向一定與電荷運(yùn)動(dòng)方向垂直D．粒子在只受洛倫茲力作用下運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能、速度均不變答案B二、帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動(dòng)1．若v∥B,帶電粒子以入射速度v做勻速直線運(yùn)動(dòng)．2．若v⊥B時(shí)，帶電粒子在垂直于磁感線的平面內(nèi)，以入射速度v做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．3．基本公式（1)向心力公式:qvB＝meq\f（v2，r)；（2）軌道半徑公式：r＝eq\f(mv,Bq)；(3）周期公式：T＝eq\f（2πm,qB).注意：帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動(dòng)的周期與速率無關(guān)．自測2（2018·廣東省潮州市下學(xué)期綜合測試)在探究射線性質(zhì)的過程中，讓質(zhì)量為m1、帶電荷量為2e的α粒子和質(zhì)量為m2、帶電荷量為e的β粒子，分別垂直于磁場方向射入同一勻強(qiáng)磁場中，發(fā)現(xiàn)兩種粒子沿半徑相同的圓軌道運(yùn)動(dòng)．則α粒子與β粒子的動(dòng)能之比是()A。eq\f（m1,m2）B。eq\f(m2,m1）C.eq\f（m1,4m2）D.eq\f(4m2,m1）答案D解析粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律，有：qvB＝meq\f(v2,r），動(dòng)能為：Ek＝eq\f(1,2）mv2，聯(lián)立可得：Ek＝eq\f（q2r2B2,2m)，由題意知α粒子和β粒子所帶電荷量之比為2∶1,故α粒子和β粒子的動(dòng)能之比為：eq\f(Ekα，Ekβ)＝eq\f(\f(q\o\al（12，)，m1）,\f(q\o\al(,22），m2)）＝eq\f（4m2,m1)，故D正確．命題點(diǎn)一對洛倫茲力的理解和應(yīng)用1．洛倫茲力的特點(diǎn)(1)利用左手定則判斷洛倫茲力的方向，注意區(qū)分正、負(fù)電荷．（2）運(yùn)動(dòng)電荷在磁場中不一定受洛倫茲力作用．（3)洛倫茲力一定不做功．2．洛倫茲力與安培力的聯(lián)系及區(qū)別(1)安培力是洛倫茲力的宏觀表現(xiàn),二者是相同性質(zhì)的力,都是磁場力．(2）安培力可以做功，而洛倫茲力對運(yùn)動(dòng)電荷不做功．3．洛倫茲力與電場力的比較洛倫茲力電場力產(chǎn)生條件v≠0且v不與B平行電荷處在電場中大小F＝qvB(v⊥B）F＝qE力方向與場方向的關(guān)系F⊥B，F(xiàn)⊥vF∥E做功情況任何情況下都不做功可能做功，也可能不做功例1(多選)(2018·福建省三明市上學(xué)期期末）如圖1所示為一個(gè)質(zhì)量為m、帶電荷量為＋q的圓環(huán)，可在水平放置的足夠長的粗糙細(xì)桿上滑動(dòng)，細(xì)桿處于磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場中．現(xiàn)給圓環(huán)向右初速度v0，在以后的運(yùn)動(dòng)過程中，圓環(huán)運(yùn)動(dòng)的v－t圖象可能是下圖中的(）圖1答案BC解析當(dāng)qvB＝mg時(shí)，圓環(huán)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，此時(shí)圖象為B，故B正確；當(dāng)qvB＞mg時(shí)，F(xiàn)N＝qvB－mg,此時(shí):μFN＝ma，所以圓環(huán)做加速度逐漸減小的減速運(yùn)動(dòng)，直到qvB＝mg時(shí)，圓環(huán)開始做勻速運(yùn)動(dòng),故C正確；當(dāng)qvB＜mg時(shí)，F(xiàn)N＝mg－qvB,此時(shí)：μFN＝ma，所以圓環(huán)做加速度逐漸增大的減速運(yùn)動(dòng)，直至停止，所以其v－t圖象的斜率應(yīng)該逐漸增大，故A、D錯(cuò)誤．變式1（多選)（2018·湖北省黃岡中學(xué)模擬）如圖2所示，下端封閉、上端開口、高h(yuǎn)＝5m、內(nèi)壁光滑的細(xì)玻璃管豎直放置，管底有質(zhì)量m＝10g、電荷量的絕對值|q|＝0。2C的小球，整個(gè)裝置以v＝5m/s的速度沿垂直于磁場方向進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B＝0.2T、方向垂直紙面向內(nèi)的勻強(qiáng)磁場,由于外力的作用，玻璃管在磁場中的速度保持不變,最終小球從上端管口飛出．g取10m/s2.下列說法中正確的是()圖2A．小球帶負(fù)電B．小球在豎直方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)C．小球在玻璃管中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間小于1sD．小球機(jī)械能的增加量為1J答案BD解析由左手定則可知，小球帶正電，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；玻璃管和小球在水平方向做勻速運(yùn)動(dòng),則小球在豎直方向所受的洛倫茲力恒定,豎直方向加速度不變，即小球在豎直方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，選項(xiàng)B正確；小球在豎直方向的加速度a＝eq\f（Bqv－mg,m)＝eq\f(0。2×0。2×5－0。01×10，0.01）m/s2＝10m/s2,在管中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝eq\r(\f(2h，a）)＝eq\r（\f(2×5，10）)s＝1s，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；小球到管口時(shí)的速度v＝at＝10m/s,機(jī)械能的增加量:ΔE＝mgh＋eq\f（1,2)mv2＝0.01×10×5J＋eq\f(1,2）×0.01×102J＝1J,選項(xiàng)D正確.命題點(diǎn)二帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場中的圓周運(yùn)動(dòng)基本思路圖例說明圓心的確定①與速度方向垂直的直線過圓心②弦的垂直平分線過圓心③軌跡圓弧與邊界切點(diǎn)的法線過圓心P、M點(diǎn)速度垂線交點(diǎn)P點(diǎn)速度垂線與弦的垂直平分線交點(diǎn)某點(diǎn)的速度垂線與切點(diǎn)法線的交點(diǎn)半徑的確定利用平面幾何知識求半徑常用解三角形法:例：(左圖）R＝eq\f(L,sinθ）或由R2＝L2＋(R－d）2求得R＝eq\f（L2＋d2，2d）運(yùn)動(dòng)時(shí)間的確定利用軌跡對應(yīng)圓心角θ或軌跡長度L求時(shí)間①t＝eq\f(θ,2π)T②t＝eq\f(L，v)（1)速度的偏轉(zhuǎn)角φ等于所對的圓心角θ(2）偏轉(zhuǎn)角φ與弦切角α的關(guān)系：φ<180°時(shí)，φ＝2α；φ>180°時(shí)，φ＝360°－2α模型1直線邊界磁場直線邊界，粒子進(jìn)出磁場具有對稱性（如圖3所示）圖3圖a中粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝eq\f(T，2）＝eq\f（πm，Bq）圖b中粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝(1－eq\f(θ，π)）T＝(1－eq\f（θ，π）)eq\f（2πm，Bq)＝eq\f(2mπ－θ，Bq）圖c中粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝eq\f(θ，π）T＝eq\f(2θm，Bq)例2如圖4，直線OP上方分布著垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，從粒子源O在紙面內(nèi)沿不同的方向先后發(fā)射速率均為v的質(zhì)子1和2,兩個(gè)質(zhì)子都過P點(diǎn)．已知OP＝a，質(zhì)子1沿與OP成30°角的方向發(fā)射，不計(jì)質(zhì)子的重力和質(zhì)子間的相互作用力，則()圖4A．質(zhì)子1在磁場中運(yùn)動(dòng)的半徑為eq\f（1，2)aB．質(zhì)子2在磁場中的運(yùn)動(dòng)周期為eq\f(2πa，v）C．質(zhì)子1在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為eq\f(2πa，3v）D．質(zhì)子2在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為eq\f（5πa，6v）答案B解析根據(jù)題意作出質(zhì)子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示:由幾何知識可知，質(zhì)子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑：r＝a，故A錯(cuò)誤；質(zhì)子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T＝eq\f(2πr，v)＝eq\f(2πa,v）,故B正確；由幾何知識可知,質(zhì)子1在磁場中轉(zhuǎn)過的圓心角：θ1＝60°，質(zhì)子1在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間:t1＝eq\f(θ1,360°)T＝eq\f(1,6）T＝eq\f(πa，3v），故C錯(cuò)誤；由幾何知識可知，質(zhì)子2在磁場中轉(zhuǎn)過的圓心角：θ2＝300°,質(zhì)子2在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t2＝eq\f(θ2,360°）T＝eq\f（5πa，3v)，故D錯(cuò)誤．變式2（2018·廣東省深圳市第一次調(diào)研)如圖5所示,直線MN左下側(cè)空間存在范圍足夠大、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,在磁場中P點(diǎn)有一個(gè)粒子源，可在紙面內(nèi)向各個(gè)方向射出質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子(重力不計(jì)），已知∠POM＝60°，PO間距為L，粒子速率均為v＝eq\f(\r(3）qBL,2m)，則粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間為()圖5A。eq\f（πm，2qB） B.eq\f（πm,3qB)C。eq\f（πm,4qB) D.eq\f(πm，6qB）答案B解析粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力,則有：Bvq＝eq\f（mv2，R)，解得：R＝eq\f(mv,Bq)＝eq\f（m,Bq)·eq\f（\r（3)BqL,2m)＝eq\f(\r(3），2)L；粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為:T＝eq\f（2πR,v)＝eq\f(\r(3）πL,\f（\r(3）BqL，2m）)＝eq\f（2πm，Bq)；因?yàn)榱Ｗ幼鰣A周運(yùn)動(dòng)的半徑、周期都不變，那么，粒子轉(zhuǎn)過的圓心角越小，則其弦長越小,運(yùn)動(dòng)時(shí)間越短；所以，過P點(diǎn)作MN的垂線，可知，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的弦長最小為:Lsin60°＝eq\f(\r(3),2)L＝R，故最短弦長對應(yīng)的圓心角為60°，所以，粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間為：tmin＝eq\f(1，6）T＝eq\f(πm,3Bq)，故A、C、D錯(cuò)誤，B正確．模型2平行邊界磁場平行邊界存在臨界條件(如圖6所示)圖6圖a中粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t1＝eq\f（θm，Bq），t2＝eq\f(T,2）＝eq\f（πm，Bq）圖b中粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝eq\f(θm，Bq)圖c中粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝（1－eq\f(θ，π))T＝（1－eq\f(θ，π））eq\f（2πm,Bq）＝eq\f(2mπ－θ,Bq）圖d中粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝eq\f（θ，π)T＝eq\f（2θm,Bq)例3(2018·重慶市上學(xué)期期末抽測）如圖7所示，在0≤x≤3a的區(qū)域內(nèi)存在與xOy平面垂直的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B.在t＝0時(shí)刻,從原點(diǎn)O發(fā)射一束等速率的相同的帶電粒子，速度方向與y軸正方向的夾角分布在0°～90°范圍內(nèi)．其中，沿y軸正方向發(fā)射的粒子在t＝t0時(shí)刻剛好從磁場右邊界上P（3a,eq\r（3）a）點(diǎn)離開磁場，不計(jì)粒子重力，下列說法正確的是()圖7A．粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為3aB．粒子的發(fā)射速度大小為eq\f（4πa,t0）C．帶電粒子的比荷為eq\f（4π,3Bt0）D．帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間為2t0答案D解析根據(jù)題意作出沿y軸正方向發(fā)射的帶電粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示,圓心為O′，根據(jù)幾何關(guān)系，可知粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r＝2a,故A錯(cuò)誤；沿y軸正方向發(fā)射的粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的圓心角為eq\f（2π,3)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t0＝eq\f（\f(2π,3）×2a,v0),解得：v0＝eq\f（4πa,3t0）,選項(xiàng)B錯(cuò)誤；沿y軸正方向發(fā)射的粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的圓心角為eq\f（2π，3)，對應(yīng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t0，所以粒子運(yùn)動(dòng)的周期為T＝3t0，由Bqv0＝meq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(2π,T)））2r,則eq\f（q，m)＝eq\f（2π,3Bt0），故C錯(cuò)誤；在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長的粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，由幾何知識得該粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心角為eq\f(4π，3),在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2t0，故D正確．變式3(2018·河南省中原名校第四次模擬）如圖8所示，平行邊界MN、PQ間有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，兩邊界間距為d，MN上有一粒子源A，可在紙面內(nèi)沿各個(gè)方向向磁場中射入質(zhì)量均為m、電荷量均為q的帶正電的粒子,粒子射入磁場的速度v＝eq\f（2qBd,3m），不計(jì)粒子的重力,則粒子能從PQ邊界射出的區(qū)域長度為（)圖8A．dB.eq\f(2,3)dC。eq\f（2\r（3）,3）dD.eq\f（\r(3)，2）d答案C解析粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的半徑R＝eq\f(mv,qB)＝eq\f（2,3）d，粒子從PQ邊射出的兩個(gè)邊界粒子的軌跡如圖所示：由幾何關(guān)系可知,從PQ邊射出粒子的區(qū)域長度為s＝2eq\r（\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(2，3）d))2－\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1，3)d）)2)＝eq\f（2\r(3),3)d，C項(xiàng)正確．模型3圓形邊界磁場沿徑向射入圓形磁場的粒子必沿徑向射出，運(yùn)動(dòng)具有對稱性(如圖9所示)圖9粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r＝eq\f(R,tanθ)粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝eq\f(θ,π)T＝eq\f（2θm，Bq）θ＋α＝90°例42017·全國卷Ⅱ·18)如圖10，虛線所示的圓形區(qū)域內(nèi)存在一垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場，P為磁場邊界上的一點(diǎn)，大量相同的帶電粒子以相同的速率經(jīng)過P點(diǎn)，在紙面內(nèi)沿不同的方向射入磁場，若粒子射入速率為v1，這些粒子在磁場邊界的出射點(diǎn)分布在六分之一圓周上；若粒子射入速率為v2,相應(yīng)的出射點(diǎn)分布在三分之一圓周上，不計(jì)重力及帶電粒子之間的相互作用，則v2∶v1為（)圖10A.eq\r（3)∶2 B.eq\r(2）∶1C。eq\r(3）∶1 D．3∶eq\r(2)答案C解析設(shè)圓形磁場半徑為R，若粒子射入的速率為v1,軌跡如圖甲所示，由幾何知識可知，粒子運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r1＝Rcos60°＝eq\f(1，2)R；若粒子射入的速率為v2，軌跡如圖乙所示,由幾何知識可知,粒子運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r2＝Rcos30°＝eq\f（\r(3),2)R；根據(jù)軌道半徑公式r＝eq\f(mv,qB)可知,v2∶v1＝r2∶r1＝eq\r（3）∶1，故選項(xiàng)C正確．甲乙變式4(多選）(2019·廣東省惠州市模擬）如圖11所示,在半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，MN是一豎直放置的感光板．從圓形磁場最高點(diǎn)P以速度v垂直磁場正對著圓心O射入帶正電的粒子，且粒子所帶電荷量為q、質(zhì)量為m,不考慮粒子重力，關(guān)于粒子的運(yùn)動(dòng)，以下說法正確的是（)圖11A．粒子在磁場中通過的弧長越長，運(yùn)動(dòng)時(shí)間也越長B．射出磁場的粒子其出射方向的反向延長線也一定過圓心OC．射出磁場的粒子一定能垂直打在MN上D．只要速度滿足v＝eq\f（qBR,m)，入射的粒子出射后一定垂直打在MN上答案BD解析速度不同的同種帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期相等,對著圓心入射的粒子，速度越大在磁場中軌道半徑越大，弧長越長，軌跡對應(yīng)的圓心角θ越小，由t＝eq\f（θ，2π)T知，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t越小，故A錯(cuò)誤;帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧，根據(jù)幾何知識可知，對著圓心入射的粒子，其出射方向的反向延長線一定過圓心,故B正確；速度不同，半徑不同,軌跡對應(yīng)的圓心角不同，對著圓心入射的粒子,出射后不一定垂直打在MN上，與粒子的速度有關(guān)，故C錯(cuò)誤；速度滿足v＝eq\f（qBR,m）時(shí)，粒子的軌跡半徑為r＝eq\f(mv，qB)＝R，入射點(diǎn)、出射點(diǎn)、O點(diǎn)與軌跡的圓心構(gòu)成菱形，射出磁場時(shí)的軌跡半徑與最高點(diǎn)的磁場半徑垂直，粒子一定垂直打在MN板上，故D正確．模型4三角形邊界磁場例5(多選）(2018·湖北省十堰市調(diào)研）如圖12所示，有一垂直于紙面向外的有界勻強(qiáng)磁場，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，其邊界為一邊長為L的正三角形（邊界上有磁場），A、B、C為三角形的三個(gè)頂點(diǎn)．今有一質(zhì)量為m、電荷量為＋q的粒子(不計(jì)重力)，以速度v＝eq\f（\r（3）qBL，4m）從AB邊上的某點(diǎn)P既垂直于AB邊又垂直于磁場的方向射入磁場，然后從BC邊上某點(diǎn)Q射出．若從P點(diǎn)射入的該粒子能從Q點(diǎn)射出,則()圖12A．PB〈eq\f(1＋\r(3)，4)L B．PB<eq\f(2＋\r（3),4)LC．QB≤eq\f(\r(3）,4）L D．QB≤eq\f（1，2)L答案BD解析粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示：粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)軌跡半徑為r＝eq\f（mv,Bq），因此可得r＝eq\f（\r（3)，4）L，當(dāng)入射點(diǎn)為P1，圓心為O1,且此刻軌跡正好與BC相切時(shí)，PB取得最大值，若粒子從BC邊射出，根據(jù)幾何關(guān)系有PB<P1B＝eq\f(2＋\r（3)，4)L，A錯(cuò)誤，B正確；當(dāng)運(yùn)動(dòng)軌跡為弧P2Q時(shí)，即O2Q與AB垂直時(shí)，此刻QB取得最大值，根據(jù)幾何關(guān)系有QB＝eq\f(r,sin60°）＝eq\f（1，2）L，所以有QB≤eq\f(1,2）L，C錯(cuò)誤,D正確．命題點(diǎn)三帶電粒子在磁場運(yùn)動(dòng)的多解問題類型分析圖例帶電粒子電性不確定受洛倫茲力作用的帶電粒子，可能帶正電荷,也可能帶負(fù)電荷，在相同的初速度下，正、負(fù)粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)軌跡不同，形成多解如圖，帶電粒子以速度v垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場，如帶正電，其軌跡為a；如帶負(fù)電，其軌跡為b磁場方向不確定在只知道磁感應(yīng)強(qiáng)度大小，而未具體指出磁感應(yīng)強(qiáng)度方向，此時(shí)必須要考慮磁感應(yīng)強(qiáng)度方向不確定而形成多解如圖,帶正電粒子以速度v垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場，若B垂直紙面向里，其軌跡為a，若B垂直紙面向外，其軌跡為b臨界狀態(tài)不唯一帶電粒子在洛倫茲力作用下飛越有界磁場時(shí)，由于粒子運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧狀，因此，它可能穿過磁場飛出，也可能轉(zhuǎn)過180°從入射界面這邊反向飛出，于是形成多解運(yùn)動(dòng)具有周期性帶電粒子在部分是電場、部分是磁場空間運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)往往具有周期性，因而形成多解例6(2018·湖北省華中師大一附中模擬)如圖13甲所示,M、N為豎直放置彼此平行的兩塊平板，板間距離為d，兩板中央各有一個(gè)小孔O、O′正對,在兩板間有垂直于紙面方向的磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間的變化如圖乙所示．有一群正離子在t＝0時(shí)垂直于M板從小孔O射入磁場．已知正離子質(zhì)量為m、帶電荷量為q,正離子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期與磁感應(yīng)強(qiáng)度變化的周期都為T0，不考慮由于磁場變化而產(chǎn)生的電場的影響，不計(jì)離子所受重力．求：圖13(1）磁感應(yīng)強(qiáng)度B0的大?。?2)要使正離子從O′垂直于N板射出磁場，正離子射入磁場時(shí)的速度v0的可能值．答案（1）eq\f（2πm，qT0)(2）eq\f（πd,2nT0）（n＝1,2，3，…)解析設(shè)垂直于紙面向里的磁場方向?yàn)檎较颍?)正離子射入磁場,洛倫茲力提供向心力B0qv0＝eq\f（mv\o\al（02,),R)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T0＝eq\f(2πR,v0)由以上兩式得磁感應(yīng)強(qiáng)度B0＝eq\f(2πm，qT0）（2）要使正離子從O′孔垂直于N板射出磁場,v0的方向應(yīng)如圖所示,兩板之間正離子只運(yùn)動(dòng)一個(gè)周期即T0時(shí)，有R＝eq\f(d，4)；當(dāng)兩板之間正離子運(yùn)動(dòng)n個(gè)周期即nT0時(shí),有R＝eq\f（d，4n)（n＝1，2，3，…)．聯(lián)立求解，得正離子的速度的可能值為v0＝eq\f（B0qR，m)＝eq\f(πd,2nT0）（n＝1，2，3,…）變式5（多選）（2018·河南省六市下學(xué)期第二次聯(lián)考）如圖14所示，直線MN與水平方向成θ＝30°角,MN的右上方區(qū)域存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向水平向外的勻強(qiáng)磁場，MN的左下方區(qū)域存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為2B、方向水平向里的勻強(qiáng)磁場，MN與兩磁場均垂直．一粒子源位于MN上的a點(diǎn)，能水平向右發(fā)射不同速率、質(zhì)量為m、電荷量為q(q〉0）的同種粒子（粒子重力不計(jì))，所有粒子均能通過MN上的b點(diǎn)．已知ab＝L,MN兩側(cè)磁場區(qū)域均足夠大，則粒子的速率可能是（)圖14A.eq\f(qBL，8m)B。eq\f(qBL，6m)C.eq\f（qBL，2m）D.eq\f（qBL，m）答案BD解析粒子運(yùn)動(dòng)過程只受洛倫茲力作用，故在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則在右上方磁場時(shí)有Bvq＝eq\f(mv2,R），則粒子在右上方磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑R＝eq\f(mv,Bq)；同理，在左下方磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R′＝eq\f(mv,2Bq）＝eq\f（R,2）,作出運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖所示由幾何關(guān)系可知,所有圓心角均為60°,則圖中所有三角形都為等邊三角形，若粒子偏轉(zhuǎn)偶數(shù)次到達(dá)b點(diǎn)，則有：L＝neq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(R＋\f(R，2)））＝n·eq\f(3R，2)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(n＝2，4,6…）），解得:R＝eq\f（2L，3n）eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（n＝2,4，6…）），故速度為v＝eq\f(BqR，m）＝eq\f(2BqL，3nm)eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(n＝2，4，6…）)，當(dāng)n＝4時(shí)，v＝eq\f(2BqL，3×4m）＝eq\f(BqL,6m)，故B正確；若粒子偏轉(zhuǎn)奇數(shù)次到達(dá)b點(diǎn),則有:L＝nR＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（n－1))eq\f(R,2）＝eq\f（R,2)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(3n－1)）eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（n＝1,3,5…))，解得：R＝eq\f（2L,3n－1）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＝1，3,5…）），故速度為v＝eq\f（BqR,m)＝eq\f（2BqL，\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（3n－1））m）eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(n＝1,3，5…）)，當(dāng)n＝1時(shí)，v＝eq\f(2BqL,\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（3×1－1）)m）＝eq\f（BqL,m),故D正確．1．下列說法正確的是（）A．運(yùn)動(dòng)電荷在磁感應(yīng)強(qiáng)度不為0的地方，一定受到洛倫茲力的作用B．運(yùn)動(dòng)電荷在某處不受洛倫茲力的作用，則該處的磁感應(yīng)強(qiáng)度一定為0C．洛倫茲力既不能改變帶電粒子的動(dòng)能，也不能改變帶電粒子的速度D．洛倫茲力對帶電粒子總不做功答案D2.如圖1為云室中某粒子穿過鉛板P前后的軌跡．云室中勻強(qiáng)磁場的方向與軌跡所在平面垂直．由此可知粒子（)圖1A．一定帶正電B．一定帶負(fù)電C．不帶電D．可能帶正電,也可能帶負(fù)電答案A3。如圖2所示，長直導(dǎo)線ab附近有一帶正電荷的小球用絕緣絲線懸掛在M點(diǎn)．當(dāng)ab中通以由b→a的恒定電流時(shí),下列說法正確的是(）圖2A．小球受磁場力作用，方向與導(dǎo)線垂直且垂直紙面向里B．小球受磁場力作用,方向與導(dǎo)線垂直且垂直紙面向外C．小球受磁場力作用，方向與導(dǎo)線垂直并指向左方D．小球不受磁場力作用答案D4.如圖3所示，一正電荷水平向右射入蹄形磁鐵的兩磁極間．此時(shí)，該電荷所受洛倫茲力的方向是(）圖3A．向左 B．向右C．垂直紙面向里 D．垂直紙面向外答案D5．(多選）(2019·安徽省蕪湖市調(diào)研）如圖4所示，虛線上方存在勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B；一群電子以不同速率v從邊界上的P點(diǎn)以相同的方向射入磁場．其中某一速率為v0的電子從Q點(diǎn)射出．已知電子入射方向與邊界夾角為θ,則由以上條件可判斷()圖4A．該勻強(qiáng)磁場的方向垂直紙面向里B．所有電子在磁場中的軌跡相同C．速率大于v0的電子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間長D．所有電子的速度方向都改變了2θ答案AD解析由左手定則可知，該勻強(qiáng)磁場的方向垂直紙面向里，A選項(xiàng)正確；由qvB＝eq\f（mv2,R)得電子運(yùn)動(dòng)半徑R＝eq\f(mv，qB），可知所有電子在磁場中的軌跡不相同,B選項(xiàng)錯(cuò)誤；所有電子偏轉(zhuǎn)角度相同，所有電子的速度方向都改變了2θ，D選項(xiàng)正確；由T＝eq\f(2πR,v)得電子運(yùn)動(dòng)周期T＝eq\f（2πm，qB）,又t＝eq\f（2θ,2π)T＝eq\f(θ，π)T，所以所有電子在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間都相同，C選項(xiàng)錯(cuò)誤．6．如圖5所示,在邊長為2a的正三角形區(qū)域內(nèi)存在方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為－q（q〉0）的帶電粒子(重力不計(jì)）從AB邊的中心O以速度v進(jìn)入磁場，粒子進(jìn)入磁場時(shí)的速度方向垂直于磁場且與AB邊的夾角為60°，若要使粒子能從AC邊穿出磁場,則勻強(qiáng)磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B需滿足（）圖5A．B〉eq\f（\r(3)mv，3aq） B．B<eq\f(\r（3)mv,3aq）C．B>eq\f（\r（3)mv，aq) D．B<eq\f（\r（3）mv,aq）答案B解析若粒子剛好達(dá)到C點(diǎn)時(shí)，其運(yùn)動(dòng)軌跡與AC相切，如圖所示，則粒子運(yùn)動(dòng)的半徑為r0＝eq\f(a,tan30°)＝eq\r(3)a.由qvB＝eq\f（mv2，r)得r＝eq\f(mv，qB）,粒子要能從AC邊射出,粒子運(yùn)動(dòng)的半徑應(yīng)滿足r>r0，解得B〈eq\f(\r(3)mv,3aq）,選項(xiàng)B正確．7．（2016·全國卷Ⅱ·18)一圓筒處于磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場中,磁場方向與筒的軸平行，筒的橫截面如圖6所示．圖中直徑MN的兩端分別開有小孔，筒繞其中心軸以角速度ω順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)．在該截面內(nèi)，一帶電粒子從小孔M射入筒內(nèi),射入時(shí)的運(yùn)動(dòng)方向與MN成30°角．當(dāng)筒轉(zhuǎn)過90°時(shí)，該粒子恰好從小孔N飛出圓筒．不計(jì)重力．若粒子在筒內(nèi)未與筒壁發(fā)生碰撞，則帶電粒子的比荷為()圖6A.eq\f（ω,3B)B.eq\f(ω，2B）C.eq\f(ω，B)D.eq\f（2ω,B)答案A解析畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，由洛倫茲力提供向心力得，qvB＝meq\f(v2，r），又T＝eq\f(2πr，v），聯(lián)立得T＝eq\f（2πm，qB）由幾何知識可得，軌跡的圓心角為θ＝eq\f(π,6),粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＝eq\f（θ,2π）T，粒子運(yùn)動(dòng)和圓筒運(yùn)動(dòng)具有等時(shí)性，則eq\f(θ，2π）T＝eq\f(\f（π,2），ω),解得eq\f（q，m)＝eq\f(ω，3B），故選項(xiàng)A正確．8．（2018·河北省承德市聯(lián)校期末）如圖7所示,OM的左側(cè)存在范圍足夠大、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場,磁場方向垂直紙面向外，OM左側(cè)到OM距離為L的P處有一個(gè)粒子源,可沿紙面向各個(gè)方向射出質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子（重力不計(jì))，速率均為v＝eq\f（qBL,m），則粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間為(）圖7A.eq\f(πm，2qB)B.eq\f(πm,3qB)C。eq\f（πm,4qB）D。eq\f(πm,6qB）答案B解析粒子進(jìn)入磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力,則有：qvB＝meq\f（v2,r），將題設(shè)的v值代入得：r＝L，粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短，則粒子運(yùn)動(dòng)軌跡對應(yīng)的弦最短,最短弦為L，等于圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，根據(jù)幾何關(guān)系，粒子轉(zhuǎn)過的圓心角為60°,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為eq\f(T,6）,故tmin＝eq\f(T，6)＝eq\f（1,6)×eq\f（2πm，qB)＝eq\f（πm,3qB)，故B正確，A、C、D錯(cuò)誤．9．(多選)如圖8所示為一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為＋q的圓環(huán)，可在水平放置的粗糙細(xì)桿上自由滑動(dòng)，細(xì)桿處在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場中，圓環(huán)以初速度v0向右運(yùn)動(dòng)直至處于平衡狀態(tài)，則圓環(huán)克服摩擦力做的功可能為(）圖8A．0 B.eq\f(1,2)mveq\o\al（02，)C.eq\f（m3g2，2q2B2) D.eq\f(1,2)m（veq\o\al(02,）－eq\f（m2g2,q2B2））答案ABD解析若圓環(huán)所受洛倫茲力等于重力,圓環(huán)對粗糙細(xì)桿壓力為零，摩擦力為零，圓環(huán)克服摩擦力做的功為零，選項(xiàng)A正確；若圓環(huán)所受洛倫茲力不等于重力,圓環(huán)對粗糙細(xì)桿壓力不為零，摩擦力不為零，若開始圓環(huán)所受洛倫茲力小于重力，則圓環(huán)一直減速到速度為零，由動(dòng)能定理可得圓環(huán)克服摩擦力做的功為eq\f(1,2）mveq\o\al(02,）,選項(xiàng)B正確；若開始圓環(huán)所受洛倫茲力大于重力,則減速到洛倫茲力等于重力時(shí)圓環(huán)達(dá)到穩(wěn)定，穩(wěn)定速度v＝eq\f（mg,qB)，由動(dòng)能定理可得圓環(huán)克服摩擦力做的功為W＝eq\f(1，2）mveq\o\al(，02）－eq\f（1,2）mv2＝eq\f（1，2）m(veq\o\al（02,)－eq\f（m2g2,q2B2）），選項(xiàng)C錯(cuò)誤,D正確．10。如圖9所示，在屏蔽裝置底部中心位置O點(diǎn)放一醫(yī)用放射源，可通過細(xì)縫沿扇形區(qū)域向外輻射速率為v＝3.2×106m/s的α粒子．已知屏蔽裝置寬AB＝9cm,縫長AD＝18cm，α粒子的質(zhì)量m＝6。64×10－27kg，電荷量q＝3.2×10－19C．若在屏蔽裝置右側(cè)條形區(qū)域內(nèi)加一勻強(qiáng)磁場來隔離輻射，磁感應(yīng)強(qiáng)度B＝0。332T，方向垂直于紙面向里,整個(gè)裝置放于真空環(huán)境中．（結(jié)果可帶根號）圖9（1)若所有的α粒子均不能從條形磁場隔離區(qū)的右側(cè)穿出，則磁場的寬度d至少是多少？（2)若條形磁場的寬度d＝20cm，則射出屏蔽裝置的α粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間和最短時(shí)間各是多少？答案(1)(20＋10eq\r(2))×10－2m（2）eq\f(π，16)×10－6seq\f(π，48)×10－6s解析(1)由題意：AB＝9cm，AD＝18cm，可得∠BAO＝∠ODC＝45°所有α粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相同,設(shè)為R，根據(jù)洛倫茲力提供向心力有Bqv＝eq\f(mv2，R）解得R＝0。2m。設(shè)此時(shí)磁場寬度d＝d0，由幾何關(guān)系得d0＝R＋Rcos45°＝（0。2＋eq\f(\r（2），10）)m＝(20＋10eq\r(2))×10－2m，則磁場的寬度至少為(20＋10eq\r（2))×10－2m。(2)設(shè)α粒子在磁場內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，則T＝eq\f(2πm,Bq)＝eq\