復(fù)變函數(shù)第十二講

§第十二講《§２留數(shù)》§２留數(shù)留數(shù)的定義及留數(shù)定理如果函數(shù)在的某個(gè)鄰域內(nèi)解析，則根據(jù)柯西—古薩定理知：其中為在的這個(gè)鄰域內(nèi)的任意一條閉曲線。如果是的孤立奇點(diǎn)，那末，在的某個(gè)去心鄰域內(nèi)包含在內(nèi)的任意一條正向簡(jiǎn)單閉曲線的積分一般不為零。因此，將函數(shù)在內(nèi)展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù)對(duì)上式兩端沿曲線積分，右端各項(xiàng)的積分除留下的一項(xiàng)等于外，其余各項(xiàng)的積分全為零，所以定義稱為函數(shù)在處的留數(shù)。記為，即從而有也就是說(shuō)在處的留數(shù)就是在以為中心的環(huán)形域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)中負(fù)冪項(xiàng)的系數(shù)。定理（留數(shù)定理）設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外，處處解析。是內(nèi)包含諸奇點(diǎn)的一條正向簡(jiǎn)單閉曲線，那末證明（略）留數(shù)定理將函數(shù)沿閉路的積分轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)在中的各孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)。如何求函數(shù)在各孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)？一般說(shuō)來(lái)，只須求出函數(shù)在以孤立奇點(diǎn)為中心的環(huán)形域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)中的系數(shù)就可以了。但如果知道孤立奇點(diǎn)的類(lèi)型，求其留數(shù)更為方便。二、留數(shù)的求法１．可去奇點(diǎn)、本性奇點(diǎn)處留數(shù)的求法如果是的可去奇點(diǎn)，則。因?yàn)樵谔幍穆謇收归_(kāi)式中，。如果是的本性奇點(diǎn)，則只能用將在處展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)的辦法求了。例1是函數(shù)的可去奇點(diǎn)，所以。而是函數(shù)的本性奇點(diǎn)，其洛朗展開(kāi)式為所以。2.極點(diǎn)處留數(shù)的計(jì)算規(guī)則規(guī)則I如果是的一級(jí)極點(diǎn)，那末例2計(jì)算解因?yàn)?，所以是函?shù)的一級(jí)極點(diǎn)。根據(jù)規(guī)則I，有規(guī)則如果是的級(jí)極點(diǎn)，那末證明因?yàn)槭堑募?jí)極點(diǎn)，所以所以對(duì)上式兩邊求階導(dǎo)數(shù)，得令，兩邊求極限，得所以從而即規(guī)則成立。當(dāng)時(shí)，即為規(guī)則I.例3計(jì)算解顯然的二級(jí)極點(diǎn)。根據(jù)規(guī)則，得規(guī)則設(shè)函數(shù)在都解析。如果且，那末是的一級(jí)極點(diǎn)，并且有證明因?yàn)榧?，所以為的一?jí)零點(diǎn)，從而是的一級(jí)極點(diǎn)。，所以其中在處解析且。又因?yàn)?，所以其中在處解析且。故是的一?jí)極點(diǎn)。由規(guī)則知，，而，所以令，即得。例4計(jì)算積分，其中為正向圓周：。解函數(shù)在圓周內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn)，。因?yàn)樵谔幉坏扔诹悖?，但，所以是函?shù)的一級(jí)極點(diǎn)。由規(guī)則I，得根據(jù)留數(shù)定理得函數(shù)在處的留數(shù)也可以借助于規(guī)則求。對(duì)此例來(lái)說(shuō)，利用規(guī)則III要比用規(guī)則I求留數(shù)容易。例5計(jì)算積分，其中為正向圓周：。解被積函數(shù)在圓周內(nèi)有四個(gè)一級(jí)極點(diǎn)：。根據(jù)規(guī)則得，，由留數(shù)定理得例6計(jì)算積分，其中為正向圓周：。解顯然是被積函數(shù)的一級(jí)極點(diǎn)，是被積函數(shù)的二級(jí)極點(diǎn)。而所以以上我們介紹了求極點(diǎn)處留數(shù)的若干公式。用這些公式解題一般說(shuō)來(lái)是比較簡(jiǎn)單的，但是對(duì)某些特殊情況未必盡然。例如求函數(shù)在處留數(shù)。首先應(yīng)確定是被積函數(shù)的幾級(jí)極點(diǎn)。因?yàn)樗允堑娜?jí)零點(diǎn)。由的表達(dá)式知，是的三級(jí)極點(diǎn)。利用規(guī)則。得由此可見(jiàn)，往下的計(jì)算要先對(duì)一個(gè)分式函數(shù)求二階導(dǎo)數(shù)，然后對(duì)求導(dǎo)的結(jié)果求極限，計(jì)算十分復(fù)雜。對(duì)這類(lèi)問(wèn)題，我們可以直接利用已知函數(shù)的洛朗展開(kāi)式求。因?yàn)樗宰ⅲ喝绻瘮?shù)在極點(diǎn)處級(jí)數(shù)不是，它的實(shí)際級(jí)數(shù)要比低，這時(shí)兩邊同乘以得從而所以一般說(shuō)來(lái)，在應(yīng)用公式時(shí)，為了計(jì)算方便不要把取得比實(shí)際級(jí)數(shù)高。但對(duì)一些特殊情況把取得比實(shí)際級(jí)數(shù)高，計(jì)算反而方便。上邊例子中的留數(shù)可以用下述方法求。由此可見(jiàn)解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于根據(jù)具體問(wèn)題靈活地選擇方法，不要拘泥于套公式。三．無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)設(shè)函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)解析，為圓環(huán)域內(nèi)繞原點(diǎn)的任一條正向簡(jiǎn)單閉曲線，那末積分的值與無(wú)關(guān)，我們稱此定值為函數(shù)在點(diǎn)的留數(shù)，記作值得注意的是這里積分曲線的方向是負(fù)的，也就是取順時(shí)針?lè)较颉．?dāng)時(shí)，有所以也就是說(shuō)，在點(diǎn)的留數(shù)等于它在處的去心鄰域內(nèi)洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)式中的系數(shù)變號(hào)。由上述討論可得下面的定理。定理二如果函數(shù)在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)只有有限個(gè)孤立奇點(diǎn)，那末在所有各奇點(diǎn)（包括點(diǎn)）處的留數(shù)的總和必等于零。證明設(shè)函數(shù)的有限奇點(diǎn)分別為，無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。作繞原點(diǎn)的正向閉曲線，并將包含在它的內(nèi)部。根據(jù)留數(shù)定理和在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)處留數(shù)的定義，有關(guān)于在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)處的留數(shù)，我們有如下的規(guī)則。規(guī)則證明（略）例7計(jì)算積分，其中為正向圓周