《數(shù)學(xué)分析（第4版）》14-2函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開

一、泰勒級(jí)數(shù)二、初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)

展開式

由泰勒公式知道,可以將滿足一定條件的函數(shù)表示為一個(gè)多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng)的和.如果能將一個(gè)滿足適當(dāng)條件的函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上表示成一個(gè)冪級(jí)數(shù),就為函數(shù)的研究提供了一種新的方法.§2函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開數(shù)學(xué)分析

第十四章冪級(jí)數(shù)*點(diǎn)擊以上標(biāo)題可直接前往對(duì)應(yīng)內(nèi)容在第六章§3的泰勒定理中曾指出,

若函數(shù)f在點(diǎn)x0

的某鄰域內(nèi)存在直至n+1階的連續(xù)導(dǎo)數(shù),這里為拉格朗日型余項(xiàng)其中在x與x0之間,稱(1)式為f在點(diǎn)的泰勒公式.§2函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開泰勒級(jí)數(shù)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式泰勒級(jí)數(shù)則后退前進(jìn)目錄退出由于余項(xiàng)是關(guān)于的高階無窮小,

在點(diǎn)附近f可用(1)式右邊的多項(xiàng)式來近似代替,這是泰勒公式帶來的重要結(jié)論.再進(jìn)一步,設(shè)函數(shù)f在處存在任意階導(dǎo)數(shù),就可以由函數(shù)f得到一個(gè)冪級(jí)數(shù)通常稱(3)式為f在處的泰勒級(jí)數(shù).§2函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開泰勒級(jí)數(shù)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式因此例1由于函數(shù)在處的任意階導(dǎo)數(shù)都等于0(見第六章§4第二段末尾),

§2函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開泰勒級(jí)數(shù)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式對(duì)于級(jí)數(shù)(3)是否能在點(diǎn)附近確切地表達(dá)f,說級(jí)數(shù)(3)在點(diǎn)附近的和函數(shù)是否就是f

本身,就是本節(jié)所要著重討論的問題.這即或者請(qǐng)先看一個(gè)例子.

因此f在的泰勒級(jí)數(shù)為顯然它在上收斂,且其和函數(shù).

由此看到,對(duì)一切都有.上例說明,具有任意階導(dǎo)數(shù)的函數(shù),都能收斂于該函數(shù)本身,那么怎樣的函數(shù),其泰勒級(jí)數(shù)才能收斂于它本身呢?§2函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開泰勒級(jí)數(shù)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式泰勒級(jí)數(shù)并不哪怕在很小的一個(gè)鄰域內(nèi).

定理14.11上等于它的泰勒級(jí)數(shù)的和函數(shù)的充

對(duì)一切滿足不等式的x,有

是f在點(diǎn)這里泰勒公式的余項(xiàng).設(shè)f在點(diǎn)具有任意階導(dǎo)數(shù),那么f在區(qū)間分條件是:

如果f能在點(diǎn)的某鄰域上等于其泰勒級(jí)數(shù)的和函數(shù),§2函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開泰勒級(jí)數(shù)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式的這一鄰域內(nèi)可展開成泰勒級(jí)數(shù),則稱函數(shù)f在點(diǎn)并稱等式的右邊為f在處的泰勒展開式,或冪級(jí)數(shù)展開式.

稱為麥克勞林級(jí)數(shù).§2函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開泰勒級(jí)數(shù)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式由級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)求導(dǎo)性質(zhì)可得:即冪級(jí)數(shù)展開式是唯一的.收斂區(qū)間上的和函數(shù),

上的泰勒展開式,

就是f

在則若f

為冪級(jí)數(shù)在在實(shí)際應(yīng)用上,主要討論函數(shù)在處的展開式:§2函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開泰勒級(jí)數(shù)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式從定理14.11知道,下面列出當(dāng)時(shí)的積分型余項(xiàng)、拉格朗日型余項(xiàng)和柯西型余項(xiàng),余項(xiàng)對(duì)確定函數(shù)能否展開為冪級(jí)數(shù)是極為重要的,

以便于后面的討論.

例2求下面k次多項(xiàng)式函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式.解由于即多項(xiàng)式函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式就是它本身.§2函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開泰勒級(jí)數(shù)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式因而例3求函數(shù)f(x)=ex的冪級(jí)數(shù)展開式.解顯見于是對(duì)任何實(shí)數(shù)x,§2函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開泰勒級(jí)數(shù)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式的拉格朗日余項(xiàng)為都有§2函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開泰勒級(jí)數(shù)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式例4所以在上可以展開為麥克勞

林級(jí)數(shù):§2函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開泰勒級(jí)數(shù)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式有同樣可證(或用逐項(xiàng)求導(dǎo)),在上有§2函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開泰勒級(jí)數(shù)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式例5所以的麥克勞林級(jí)數(shù)是用比式判別法容易求得級(jí)數(shù)(5)的收斂半徑,且

當(dāng)時(shí)收斂,時(shí)發(fā)散,§2函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開泰勒級(jí)數(shù)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式故級(jí)數(shù)(5)的收斂域

是.下面討論在上它的余項(xiàng)的極限.當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),因拉格朗日型余項(xiàng)不易估計(jì),故改用柯西型余項(xiàng).

§2函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開泰勒級(jí)數(shù)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式對(duì)拉格朗日型余項(xiàng),有此時(shí)有這就證得在上

的冪級(jí)數(shù)展開式就是(5).

將(5)式中x換成就得到函數(shù)處的泰勒展開式:其收斂域?yàn)椤?函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開泰勒級(jí)數(shù)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式例6討論二項(xiàng)式函數(shù)的展開式.解

當(dāng)為正整數(shù)時(shí),就是例2.下面討論不等于正整數(shù)時(shí)的情形,于是

的麥克勞林級(jí)數(shù)是§2函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開泰勒級(jí)數(shù)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式這時(shí)運(yùn)用比式法,可得(6)的收斂半徑.由比式判別法,§2函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開泰勒級(jí)數(shù)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式在內(nèi)考察它的柯西型余項(xiàng)故有

從而有所以在§2函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開泰勒級(jí)數(shù)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式對(duì)于收斂區(qū)間端點(diǎn)的情形,與的取值有關(guān):§2函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開泰勒級(jí)數(shù)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式一般來說,只有比較簡單的函數(shù),根據(jù)冪級(jí)數(shù)展開式的唯一性,§2函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開泰勒級(jí)數(shù)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式間接地求得函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式.

其冪級(jí)數(shù)展開式能在更多情況下可以從已知的展開通過變量代換、四則運(yùn)算或逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)前面的展開冪級(jí)數(shù)的方法,稱為直接展開法.

用直接展開法求得.式出發(fā),求積等方法，這就是間接展開的根據(jù).不管用什么方法得到的冪級(jí)數(shù)的系數(shù)都是一樣的.例7以與分別代入(8)與(9)式,可得對(duì)(10)、(11)分別逐項(xiàng)求積可得§2函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開泰勒級(jí)數(shù)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式例8求在處的冪級(jí)數(shù)展開式.因此§2函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開泰勒級(jí)數(shù)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式解

熟練掌握某些初等函數(shù)的展開式，對(duì)于今后用間接方法求冪級(jí)數(shù)展開十分方便.

特別是例3～例7的結(jié)果,用類似方法可得.(13)§2函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開泰勒級(jí)數(shù)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式所以例9計(jì)算的近似值,精確到解

可以在展開式中令,得

.

.級(jí)數(shù)前10000項(xiàng)的和,§2函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開泰勒級(jí)數(shù)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式令代入(13)式,有這是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù),故有為了誤差小于0.0001,就必須計(jì)算

為此在(13)式中收斂得太慢.

估計(jì)余項(xiàng):§2函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開泰勒級(jí)數(shù)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式取n=4,有因此例10用間接方法求非初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式.解以代替ex的展開式中的x,得再逐項(xiàng)求積,在上的展開式:§2函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開泰勒級(jí)數(shù)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式最后舉例說明怎樣用冪級(jí)數(shù)形式表示某些非初等函數(shù).就得到

F(x)用上述級(jí)數(shù)的部分和逐項(xiàng)逼近的過程,示于下圖: