應(yīng)用多元分析第7章主成分分析

主成分概念首先由KarlParson在1901年引進，當時只對非隨機變量來討論的。1933年Hotelling將這個概念推廣到隨機變量。

第七章主成分分析(Principalcomponentanalysis)§7.1引言

在多數(shù)實際問題中，不同指標之間是有一定相關(guān)性。由于指標較多及指標間有一定的相關(guān)性，勢必增加分析問題的復(fù)雜性。

主成分分析就是設(shè)法將原來指標重新組合成一組新的互相無關(guān)的幾個綜合指標來代替原來指標。同時根據(jù)實際需要從中可取幾個較少的綜合指標盡可能多地反映原來的指標的信息。當前1頁，總共49頁。主成分分析是考察多個數(shù)值變量間相關(guān)性的一種多元統(tǒng)計方法，它是研究如何通過少數(shù)幾個主成分來解釋多變量的方差—協(xié)方差結(jié)構(gòu)。導(dǎo)出幾個主成分，使它們盡可能多地保留原始變量的信息，且彼此間不相關(guān)。當前2頁，總共49頁。一、主成分分析的基本思想將原來眾多具有一定相關(guān)性的指標重新組合成一組新的相互無關(guān)的綜合指標來代替原來指標。以兩個指標為例，信息總量以總方差表示：當前3頁，總共49頁。Principalcomponentin2d當前4頁，總共49頁。One-dimensionalprojection當前5頁，總共49頁。其中y1、y2分別都是x1、x2的線性組合，并且信息盡可能地集中在y1上。在以后的分析中舍去y2，只用主成分y1來分析問題，起到了降維的作用。主成分分析就是通過適當?shù)淖兞刻鎿Q，使新變量成為原變量的線性組合，并尋求主成分來分析事物的一種方法。當前6頁，總共49頁。二、幾何解釋x1x2y1y2當前7頁，總共49頁。旋轉(zhuǎn)變換的目的是為了使得n個樣本點在y1軸方向上的離散程度最大，即y1的方差最大，變量y1代表了原始數(shù)據(jù)的絕大部分信息，在研究某經(jīng)濟問題時，即使不考慮變量y2也損失不多的信息。y1與y2除起了濃縮作用外，還具有不相關(guān)性。y1稱為第一主成分，y2稱為第二主成分。當前8頁，總共49頁。推廣開來，對于p維總體，尋求正交變換，使得在所有正交變換中，所選正交矩陣U，使最大；與不相關(guān)；并且在所有與不相關(guān)的變量中最大；與、不相關(guān)，同時在所有與、不相關(guān)的變量中最大；依次類推。

為總體的主成分，為第一主成分，為第二主成分…當前9頁，總共49頁。三、主成分分析的數(shù)學(xué)原理對原有變量作坐標變換，要求滿足：當前10頁，總共49頁。如果z1=u1’x滿足

則稱z1為第一主成分.如果z2=u2’x滿足

則稱z2為第二主成分.…當前11頁，總共49頁。§7.2總體的主成分

設(shè)為一p維隨機向量，其二階矩存在，記為的特征值，為相應(yīng)的單位特征向量，且相互正交。則yi為第i個主成分。一、主成分的導(dǎo)出當前12頁，總共49頁。二、主成分的性質(zhì)1、主成分的均值與協(xié)方差記當前13頁，總共49頁。

2、主成分的總方差

當前14頁，總共49頁。3、原始變量與主成分的相關(guān)系數(shù)當前15頁，總共49頁。4、m個主成分對原始變量的貢獻率的復(fù)相關(guān)系數(shù)的平方稱為m個主成分與當前16頁，總共49頁。當前17頁，總共49頁。當前18頁，總共49頁。當前19頁，總共49頁。其特征值為相應(yīng)的特征向量為當前20頁，總共49頁。0.0000.8550.0000.9961.0001.000-0.9250.8550.9980.9960.0000.000123I當前21頁，總共49頁。Proc

iml;X={1-2

0,-2

5

0,0

0

2};Val=eigval(x);Vec=eigvec(x);D=1:2;B=(val)[d,1];c=(vec)[,d];F1=(sqrt(inv(diag(X)))*vec*sqrt(diag(val)))[,d];F2=(f1#f1)[,1];F=diag(c*diag(b)*t(c))*inv(diag(x))*j(3,1);Printvalvecbcf1f2f;當前22頁，總共49頁。

VALVECBC5.8284271-0.38268300.92387955.8284271-0.382683020.923879500.382683420.923879500.171572901001

F1F2F-0.9238800.85355340.85355340.997484200.99497470.99497470101當前23頁，總共49頁。Dataw(type=cov);Inputx1x2x3;Cards;1-20-250002;Procprincompcov;Run;當前24頁，總共49頁。ThePRINCOMPProcedureObservations10000Variables3TotalVariance8EigenvaluesoftheCovarianceMatrixEigenvalueDifferenceProportionCumulative15.828427123.828427120.72860.728622.000000001.828427120.25000.978630.171572880.02141.0000EigenvectorsPrin1Prin2Prin3x1-.3826830.000000.923880x20.9238800.000000.382683x30.0000001.000000.000000當前25頁，總共49頁。當前26頁，總共49頁。當前27頁，總共49頁。當前28頁，總共49頁。主成分分析在經(jīng)濟指標綜合評價中的應(yīng)用核心：通過主成分分析，選擇m個主成分y1,y2,…,ym，以每個主成分yi的方差貢獻率αi作為權(quán)數(shù)，構(gòu)造綜合評價函數(shù)，其中為第i個主成分的得分（求出主成分的表達式后，將標準化后的數(shù)據(jù)再代入yi中）

當把m個主成分得分代入F函數(shù)后，即可得到每個樣本的綜合評價函數(shù)得分，以得分的大小排序，可排列出每個樣本的經(jīng)濟效益的名次。當前29頁，總共49頁。5、原始變量對主成分的影響

稱為第i主成分在第j個原始變量上的載荷當前30頁，總共49頁。

當前31頁，總共49頁。當前32頁，總共49頁。分析：y1主要由x3控制，y2主要由x1控制，y3主要由x2

控制Y1的貢獻率為：109.793/117=0.938x1,x2,x3之間的線性關(guān)系當前33頁，總共49頁。Dataw(type=cov);Inputx1x2x3;Cards;16230214304100;Procprincompcov;Run;當前34頁，總共49頁。三、從相關(guān)矩陣出發(fā)求主成分當前35頁，總共49頁。性質(zhì)：當前36頁，總共49頁。例7.2.3在例中，x的相關(guān)矩陣當前37頁，總共49頁。相應(yīng)的主成分為：當前38頁，總共49頁?！?.3樣本的主成分設(shè)數(shù)據(jù)矩陣為當前39頁，總共49頁。樣本協(xié)方差矩陣為樣本相關(guān)矩陣為當前40頁，總共49頁。

例

在制定服裝標準的過程中，對128名成年男子的身材進行了測量，每人測得的指標中含有：身高(x1)、坐高(x2)、胸圍(x3)、手臂長(x4)、肋圍(x5)和腰圍(x6)。所的樣本相關(guān)矩陣如下：X1X2X3X4X5X6

X1X2X3X4X5X61.000.791.000.360.311.000.760.550.351.000.250.170.640.161.000.510.350.580.380.631.00表7.3.1男子身材六項指標的樣本相關(guān)矩陣當前41頁，總共49頁。SAS程序dataexamp731(type=corr);inputx1-x6;cards;1.00.....0.791.00....0.360.311.00...0.760.550.351.00..0.250.170.640.161.00.0.510.350.580.380.631.00;procprincomp;Run;當前42頁，總共49頁。

TheSASSystem08:44Wednesday,November24,20061ThePRINCOMPProcedureObservations10000Variables6EigenvaluesoftheCorrelationMatrixEigenvalueDifferenceProportionCumulative13.287200781.880960730.54790.547921.406240040.947144960.23440.782230.459095080.032753350.07650.858840.426341730.131541600.07110.929850.294800130.168477900.04910.978960.126322230.02111.0000

Eigenvectors

Prin1Prin2Prin3Prin4Prin5Prin6x10.468906-.3647560.092208-.1224270.079696-.785645x20.403726-.3966060.6130110.326444-.0270350.443430x30.3935700.396800-.2788700.655713-.405232-.125342x40.407640-.364842-.704801-.1078290.2345850.370564x50.3374720.5692140.164251-.0192970.7305020.033531x60.4268220.3083690.119265-.660671-.4899410.178828當前43頁，總共49頁。

特征向量

0.469-0.3650.0920.404-0.3970.6130.3940.397-0.2970.408-0.365-0.7050.3370.5690.1640.4270.3080.119

特征值3.2871.4060.459

貢獻率0.5480.2340.077累計貢獻率0.5480.7820.859當前44頁，總共49頁。當前45頁，總共49頁。

例7.3.3測得八項男子徑賽運動紀錄，樣本相關(guān)矩陣如下：X1X2X3X4X5X6

X7X8X1X2X3X4X5X6

X7X8

1.0000.9231.0000.8410.8511.0000.7560.8070.8701.0000.7000.7750.8350.9181.0000.6190.6950.7790.8640.9281.0000.6330.6970.7870.8690.9350.9751.0000.5200.5960.7050.8060.8660.9320.9431.000當前46頁，總共49頁。dataexamp733(type=corr);inputx1-x8;cards;1.000.......0.9231.000......0.8410.8511.000..