傳熱學(xué)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

傳熱學(xué)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱第一頁，共九十五頁，2022年，8月28日１、重點(diǎn)內(nèi)容：

①非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的基本概念及特點(diǎn)；②集總參數(shù)法的基本原理及應(yīng)用；③一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題。

2、掌握內(nèi)容：

①確定瞬時(shí)溫度場(chǎng)的方法；②確定在一時(shí)間間隔內(nèi)物體傳導(dǎo)熱量計(jì)算方法。

第二頁，共九十五頁，2022年，8月28日3.1非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的基本概念物體的溫度隨時(shí)間而變化的導(dǎo)熱過程為非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。自然界和工程上許多導(dǎo)熱過程為非穩(wěn)態(tài)，t=f()冶金、熱處理與熱加工中工件被加熱或冷卻；鍋爐、內(nèi)燃機(jī)等裝置起動(dòng)、停機(jī)、變工況；自然環(huán)境溫度；供暖或停暖過程中墻內(nèi)與室內(nèi)空氣溫度。1定義第三頁，共九十五頁，2022年，8月28日2非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分類周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：物體的溫度隨時(shí)間而作周期性的變化非周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱（瞬態(tài)導(dǎo)熱）：物體的溫度隨時(shí)間不斷地升高（加熱過程）或降低（冷卻過程），在經(jīng)歷相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間后，物體溫度逐漸趨近于周圍介質(zhì)溫度，最終達(dá)到熱平衡。物體的溫度隨時(shí)間的推移逐漸趨近于恒定的值著重討論瞬態(tài)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。第四頁，共九十五頁，2022年，8月28日第五頁，共九十五頁，2022年，8月28日非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程中在熱量傳遞方向上不同位置處的導(dǎo)熱量是不同的；不同位置間導(dǎo)熱量的差別用于（或來自）該兩個(gè)位置間內(nèi)能隨時(shí)間的變化，這是區(qū)別與穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的一個(gè)特點(diǎn)。對(duì)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱一般不能用熱阻的方法來作問題的定量分析。第六頁，共九十五頁，2022年，8月28日

3溫度分布第七頁，共九十五頁，2022年，8月28日4幾個(gè)同的階段依據(jù)溫度變化的特點(diǎn)，可將加熱或冷卻過程分為三個(gè)階段。第八頁，共九十五頁，2022年，8月28日不規(guī)則情況階段(右側(cè)面不參與換熱

)：溫度分布顯現(xiàn)出部分為非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱規(guī)律控制區(qū)和部分為初始溫度區(qū)的混合分布，即：在此階段物體溫度分布受初始溫度分布的影響較大。必須用無窮級(jí)數(shù)描述。

第一階段第九頁，共九十五頁，2022年，8月28日正常情況階段(右側(cè)參與換熱)當(dāng)右側(cè)面參與換熱以后，物體中溫度分布不受初始溫度的影響，主要取決于邊界條件及物性，此時(shí)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程進(jìn)入到正規(guī)狀況階段。環(huán)境的熱影響已經(jīng)擴(kuò)展到整個(gè)物體內(nèi)部，即物體（或系統(tǒng)）不再受到初始溫度分布影響的階段?？梢杂贸醯群瘮?shù)描述第二階段第十頁，共九十五頁，2022年，8月28日建立新的穩(wěn)態(tài)階段，理論上需要無限長(zhǎng)時(shí)間物體各處的溫度達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)第三階段兩類非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的區(qū)別：瞬態(tài)導(dǎo)熱存在著有區(qū)別的三個(gè)不同階段，而周期性導(dǎo)熱不存在。

第十一頁，共九十五頁，2022年，8月28日5熱量變化Φ1－－板左側(cè)導(dǎo)入的熱流量Φ2－－板右側(cè)導(dǎo)出的熱流量各階段熱流量的特征：不規(guī)則情況階段段：Φ1急劇減小，Φ2保持不變；正常情況階段：Φ1逐漸減小，Φ2逐漸增大。

第十二頁，共九十五頁，2022年，8月28日在規(guī)定的初始條件及邊界條件下求解導(dǎo)熱微分方程式，是本章主要任務(wù)。非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的求解實(shí)質(zhì)三個(gè)不同坐標(biāo)系下導(dǎo)熱微分方程式，用矢量形式統(tǒng)一表示為：溫度的拉普拉斯算子第十三頁，共九十五頁，2022年，8月28日初始條件的一般形式簡(jiǎn)單特例

f(x,y,z)=t0邊界條件：著重討論第三類邊界條件第十四頁，共九十五頁，2022年，8月28日學(xué)習(xí)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的目的：(1)溫度分布和熱流量分布隨時(shí)間和空間的變化規(guī)律(2)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的導(dǎo)熱微分方程式：第十五頁，共九十五頁，2022年，8月28日(3)求解方法：分析解法、近似分析法、數(shù)值解法分析解法：分離變量法、積分變換、拉普拉斯變換近似分析法：

集總參數(shù)法、積分法數(shù)值解法：有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、分子動(dòng)力學(xué)模擬第十六頁，共九十五頁，2022年，8月28日1）定義：2）Bi

物理意義：物體內(nèi)部單位導(dǎo)熱面積上的導(dǎo)熱熱阻與單位表面積上的對(duì)流換熱熱阻之比。Bi的大小反映了物體在非穩(wěn)態(tài)條件下內(nèi)部溫度場(chǎng)的分布規(guī)律。

3）特征數(shù)（準(zhǔn)則數(shù)）：表征某一物理現(xiàn)象或過程特征的無量綱數(shù)。

4）特征長(zhǎng)度：是指特征數(shù)定義式中的幾何尺度。無量綱特征數(shù)（準(zhǔn)則數(shù)）

-畢渥數(shù)第十七頁，共九十五頁，2022年，8月28日第三類邊界條件下Bi數(shù)對(duì)平板中溫度分布的影響在第三類邊界條件下，確定非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱物體中的溫度變化特征與邊界條件參數(shù)的關(guān)系。

已知：平板厚2、初溫t0、表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h、平板導(dǎo)熱系數(shù)，將其突然置于溫度為t∞的流體中冷卻。

第十八頁，共九十五頁，2022年，8月28日平板中溫度場(chǎng)的變化會(huì)出現(xiàn)以下三種情形：

第十九頁，共九十五頁，2022年，8月28日（1）表面對(duì)流換熱熱阻幾乎可以忽略，因而過程一開始平板的表面溫度就被冷卻到t∞

隨著時(shí)間的推移，整體地下降，逐漸趨近于一致第二十頁，共九十五頁，2022年，8月28日（2）平板內(nèi)部導(dǎo)熱熱阻幾乎可以忽略，因而任一時(shí)刻平板中各點(diǎn)的溫度接近均勻，隨著時(shí)間的推移，整體地下降，逐漸趨近于t∞第二十一頁，共九十五頁，2022年，8月28日平板中不同時(shí)刻的溫度分布介于上述兩種極端情況之間。（3）與

的數(shù)值比較接近

兩個(gè)熱阻的相對(duì)大小對(duì)于物體中非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的溫度場(chǎng)的變化具有重要影響。引入表征這兩個(gè)熱阻比值的無量綱數(shù)畢渥數(shù)。第二十二頁，共九十五頁，2022年，8月28日3.2零維問題的分析法－集總參數(shù)法

定義：忽略物體內(nèi)部導(dǎo)熱熱阻、認(rèn)為物體溫度均勻一致的分析方法。此時(shí)，，溫度分布只與時(shí)間有關(guān)，即，與空間位置無關(guān)。因此，也稱為零維問題。工程上把Bi﹤0.1作為該情況的判據(jù)近似分析法第二十三頁，共九十五頁，2022年，8月28日集總參數(shù)法的簡(jiǎn)化分析如果物體的導(dǎo)熱系數(shù)很大，或幾何尺寸很小，或表面換熱系數(shù)極低，其導(dǎo)熱問題都可能屬于這一類型的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題。

第二十四頁，共九十五頁，2022年，8月28日3.2.1

集總參數(shù)法溫度場(chǎng)的分析解h,tAφcΔΕρ,c,V,t0一個(gè)集總參數(shù)系統(tǒng)，其體積為V、表面積為A、密度為、比熱為c，初始溫度為t0，突然放入溫度為t、換熱系數(shù)為h的環(huán)境中冷卻。求物體溫度隨時(shí)間變化的依變關(guān)系

第二十五頁，共九十五頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)模型建立利用兩種方法根據(jù)導(dǎo)熱微分方程的一般形式進(jìn)行簡(jiǎn)化；利用能量守恒熱平衡關(guān)系：內(nèi)熱能隨時(shí)間的變化率ΔΕ＝通過表面與外界交換的熱流量φ。第二十六頁，共九十五頁，2022年，8月28日方法一導(dǎo)熱微分方程：

物體內(nèi)部導(dǎo)熱熱阻很小，忽略不計(jì)。物體溫度在同一瞬間各點(diǎn)溫度基本相等，即t僅是τ的一元函數(shù)，與坐標(biāo)x、y、z無關(guān)，即:第二十七頁，共九十五頁，2022年，8月28日qv可視為廣義熱源，而且熱交換的邊界不是計(jì)算邊界（零維無任何邊界）界面上交換的熱量應(yīng)折算成整個(gè)物體的體積熱源，即：

物體被冷卻，φ應(yīng)為負(fù)值適用于本問題的導(dǎo)熱微分方程式h,tAφΔΕρ,c,V,t0第二十八頁，共九十五頁，2022年，8月28日當(dāng)物體被冷卻時(shí)（t>t）,由能量守恒可知方法二適用于本問題的導(dǎo)熱微分方程式物體與環(huán)境的對(duì)流散熱量=物體內(nèi)能的減少量

h,tAφcΔΕρ,c,V,t0第二十九頁，共九十五頁，2022年，8月28日初始條件控制方程方程式改寫為：導(dǎo)熱微分方程:第三十頁，共九十五頁，2022年，8月28日

積分過余溫度比其中的指數(shù)：溫度呈指數(shù)分布傅立葉數(shù)第三十一頁，共九十五頁，2022年，8月28日應(yīng)用集總參數(shù)法時(shí)，物體過余溫度隨時(shí)間的變化關(guān)系是一條負(fù)自然指數(shù)曲線，或者無因次溫度的對(duì)數(shù)與時(shí)間的關(guān)系是一條負(fù)斜率直線

第三十二頁，共九十五頁，2022年，8月28日導(dǎo)熱體在時(shí)間0－內(nèi)傳給流體的總熱量：當(dāng)物體被加熱時(shí)(t<t)，計(jì)算式相同。3.2.2導(dǎo)熱量計(jì)算式、時(shí)間常數(shù)與傅立葉數(shù)1、導(dǎo)熱量計(jì)算瞬時(shí)熱流量第三十三頁，共九十五頁，2022年，8月28日方程中指數(shù)的量綱：2、時(shí)間常數(shù)即與的量綱相同第三十四頁，共九十五頁，2022年，8月28日上式表明：當(dāng)傳熱時(shí)間等于時(shí)，物體的過余溫度已經(jīng)達(dá)到了初始過余溫度的36.8％。稱為時(shí)間常數(shù)，也稱弛豫時(shí)間，用表示。第三十五頁，共九十五頁，2022年，8月28日如果導(dǎo)熱體的熱容量（cV

）小、換熱條件好（hA大），那么單位時(shí)間所傳遞的熱量大、導(dǎo)熱體的溫度變化快，時(shí)間常數(shù)(Vc/hA)小時(shí)間常數(shù)反映了系統(tǒng)處于一定的環(huán)境中所表現(xiàn)出來的傳熱動(dòng)態(tài)特征，與其幾何形狀、密度及比熱有關(guān)，還與環(huán)境的換熱情況相關(guān)。同一物質(zhì)不同的形狀其時(shí)間常數(shù)不同，同一物體在不同的環(huán)境下時(shí)間常數(shù)也是不相同。

第三十六頁，共九十五頁，2022年，8月28日θ/θ0τ/τs0.386101當(dāng)物體冷卻或加熱過程所經(jīng)歷的時(shí)間等于其時(shí)間常數(shù)時(shí)，即τ=τc，則τ=4τc，時(shí)工程上認(rèn)為=4τc時(shí)導(dǎo)熱體已達(dá)到熱平衡狀態(tài)第三十七頁，共九十五頁，2022年，8月28日3

物理意義無量綱熱阻無量綱時(shí)間Fo越大，熱擾動(dòng)就能越深入地傳播到物體內(nèi)部物體，各點(diǎn)的溫度就越接近周圍介質(zhì)的溫度。Fo物理意義：表征非穩(wěn)態(tài)過程進(jìn)行深度的無量綱時(shí)間。第三十八頁，共九十五頁，2022年，8月28日3.2.3集總參數(shù)系統(tǒng)的適用范圍

如何去判定一個(gè)任意的系統(tǒng)是集總參數(shù)系統(tǒng)？特征長(zhǎng)度的取值特征長(zhǎng)度第三十九頁，共九十五頁，2022年，8月28日工程計(jì)算中，物體中各點(diǎn)過余溫度的差別小于5%對(duì)厚為2δ的無限大平板對(duì)半徑為R的無限長(zhǎng)圓柱對(duì)半徑為R的球是與物體幾何形狀有關(guān)的無量綱常數(shù)沒有考慮兩端第四十頁，共九十五頁，2022年，8月28日對(duì)于一個(gè)復(fù)雜形體的形狀修正系數(shù)時(shí)，可以將修正系數(shù)M取為1/3，即第四十一頁，共九十五頁，2022年，8月28日例題

一直徑為5cm的鋼球，初始溫度為450℃，忽然被置于溫度為30℃的空氣中。設(shè)鋼球表面與周圍環(huán)境間的傳熱系數(shù)為24W/(m2.K)，試計(jì)算鋼球冷卻到300℃所需的時(shí)間。已知鋼球的c=0.48kJ/(kg.K),h=7753kg/m3,=33W/(m.K)。解：首先檢驗(yàn)是否可用集總參數(shù)法。為此計(jì)算Bi數(shù)：可以采用集總參數(shù)法。第四十二頁，共九十五頁，2022年，8月28日據(jù)式由此解得：第四十三頁，共九十五頁，2022年，8月28日例題：一溫度計(jì)的水銀泡呈圓柱狀,長(zhǎng)20mm,內(nèi)徑為4mm,初始溫度為t0,今將其插入到溫度較高的儲(chǔ)氣罐中測(cè)量氣體溫度.設(shè)水銀泡同氣體間的對(duì)流換熱表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h=11.63W/(m2.K),水銀泡一層薄玻璃的作用可忽略不計(jì),試計(jì)算此條件下溫度計(jì)的時(shí)間常數(shù),并確定插入5min后溫度計(jì)讀數(shù)的過余溫度為初始溫度的百分之幾?水銀的物性參數(shù)如下:解:首先檢驗(yàn)是否可用集總參數(shù)法?？紤]到水銀泡柱體的上端面不直接受熱,故可以用集總參數(shù)法第四十四頁，共九十五頁，2022年，8月28日即經(jīng)5min后溫度計(jì)讀數(shù)的過余溫度為初始過余溫度的13.3%。也就是說，在這段時(shí)間內(nèi)溫度計(jì)的讀數(shù)上升了這次測(cè)量中溫度躍升的86.7%如何減少溫度計(jì)響應(yīng)時(shí)間？？？第四十五頁，共九十五頁，2022年，8月28日例：一直徑為5cm,長(zhǎng)為30cm的鋼圓柱體,初始溫度為30℃,將其放入爐溫為1200℃的加熱爐中加熱,升溫到800℃方可取出。設(shè)鋼圓柱體與煙氣間的復(fù)合換熱表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為140W/(m2.K),鋼的物性參數(shù)取c=0.48kJ/(kg.K),=33W/(m.K)。問需多少時(shí)間才能達(dá)到要求。解:首先檢驗(yàn)是否可用集總參數(shù)法.為此計(jì)算Biv可以采用集總參數(shù)法，又第四十六頁，共九十五頁，2022年，8月28日由此解得：第四十七頁，共九十五頁，2022年，8月28日§3.3典型一維物體非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分析解工程上經(jīng)常遇到內(nèi)部熱阻不能忽略的、第三類邊界條件下的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。數(shù)學(xué)分析法求解困難，一般用數(shù)值計(jì)算和比擬法求解幾何形狀和邊界條件簡(jiǎn)單的可解微分方程，本節(jié)主要介紹諾模圖（略去數(shù)學(xué)分析過程）第四十八頁，共九十五頁，2022年，8月28日厚度

2

的無限大平壁，、a為已知常數(shù)；=0時(shí)溫度為t0;突然把平板放到溫度為t的介質(zhì)中；壁表面與介質(zhì)之間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h。兩側(cè)冷卻情況相同、溫度分布對(duì)稱。取中心為原點(diǎn)。1、平板加熱/冷卻第四十九頁，共九十五頁，2022年，8月28日導(dǎo)熱微分方程：初始條件：第三類邊界條件：(對(duì)稱性)第五十頁，共九十五頁，2022年，8月28日第五十一頁，共九十五頁，2022年，8月28日采用分離變量法求解：與Fo數(shù)、Bi數(shù)及η有關(guān)具體過程參見教材P57~60第五十二頁，共九十五頁，2022年，8月28日可查表求部分Bi數(shù)下的μn值P59μn為超越方程的根：第五十三頁，共九十五頁，2022年，8月28日第五十四頁，共九十五頁，2022年，8月28日2、圓柱半徑為R的一實(shí)心圓柱，、a為已知常數(shù)；初始溫度為t0;初始瞬間把兩側(cè)介質(zhì)溫度降低為t并保持不變；圓柱表面與流體之間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h為常數(shù)。與Fo數(shù)、Bi數(shù)及η有關(guān)第一類貝塞爾函數(shù)查表P572附錄14第五十五頁，共九十五頁，2022年，8月28日3、球半徑為R的一實(shí)心球，、a為已知常數(shù)；初始溫度為t0;初始瞬間把兩側(cè)介質(zhì)溫度降低為t并保持不變；圓柱表面與流體之間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h為常數(shù)。與Fo數(shù)、Bi數(shù)及η有關(guān)第五十六頁，共九十五頁，2022年，8月28日平板、圓柱與球中的無量綱過余溫度與Fo數(shù)、Bi數(shù)及無量綱距離η有關(guān)。x/l0第五十七頁，共九十五頁，2022年，8月28日3.3.2非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱正常情況階段分析解的簡(jiǎn)化1、非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱正常情況的物理概念和數(shù)學(xué)含義物理概念：非周期性的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程在進(jìn)行到一定深度后，初始條件對(duì)物體中無量綱溫度分布的影響基本消失，溫度分布主要取決與邊界條件的影響，非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的這一階段稱為正常情況階段。數(shù)學(xué)含義：取無窮級(jí)數(shù)第一項(xiàng)。第五十八頁，共九十五頁，2022年，8月28日以平板為例進(jìn)行說明特征值μn是Bi數(shù)的函數(shù)。在一定的Bi下，特征值μn隨n的增加而迅速增長(zhǎng)。當(dāng)Bi＝1時(shí)，μn的前4個(gè)值：無窮級(jí)數(shù)第一項(xiàng)后各項(xiàng)隨Fo數(shù)增大而迅速減小。數(shù)值計(jì)算表明，F(xiàn)o>0.2后，略去無窮級(jí)數(shù)中的第二項(xiàng)及以后各項(xiàng)所得的計(jì)算結(jié)果與按完整級(jí)數(shù)計(jì)算結(jié)果的偏差小于1%。第五十九頁，共九十五頁，2022年，8月28日與時(shí)間無關(guān)，只取決于邊界條件以平板為例進(jìn)行分析平板中心處過余溫度中心面x=0=f(Bi,x/l)第六十頁，共九十五頁，2022年，8月28日當(dāng)Fo>0.2時(shí)，可采用上述計(jì)算公式求得非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱物體的溫度場(chǎng)及交換的熱量，也可采用簡(jiǎn)化的擬合公式和諾模圖求得。3.3.3正規(guī)熱狀況的實(shí)用計(jì)算方法=f(Bi,x/l)第六十一頁，共九十五頁，2022年，8月28日諾模圖工程技術(shù)中，為便于計(jì)算，采用按分析解的級(jí)數(shù)第一項(xiàng)繪制的一些圖線，叫諾模圖。海斯勒?qǐng)D：諾模圖中用以確定溫度分布的圖線，稱海斯勒?qǐng)D。第六十二頁，共九十五頁，2022年，8月28日諾謨圖三個(gè)變量，因此，需要分開來畫以無限大平板為例，F(xiàn)0>0.2時(shí)，取其級(jí)數(shù)首項(xiàng)即可=f(Bi,x/l)第六十三頁，共九十五頁，2022年，8月28日P62圖3-6第六十四頁，共九十五頁，2022年，8月28日P61圖3-5第六十五頁，共九十五頁，2022年，8月28日定義無量綱的熱量其中Qτ為0時(shí)間內(nèi)傳導(dǎo)的熱量（內(nèi)熱能的改變量）

第六十六頁，共九十五頁，2022年，8月28日P62圖3-7第六十七頁，共九十五頁，2022年，8月28日如何利用線算圖a）由時(shí)間求溫度的步驟為：計(jì)算Bi數(shù)、Fo數(shù)和x/δ

，從圖3-5中查找θm/θ0

和從圖3-6中查找θ/θm

，計(jì)算出，最后求出溫度tb)由溫度求時(shí)間步驟為：計(jì)算Bi數(shù)、x/δ和θ/θ0,從圖3-6中查找θ/θm,計(jì)算θm/θ0然后從圖3-5中查找Fo,再求出時(shí)間

。

c）平板吸收（或放出）的熱量，可在計(jì)算Q0、Bi數(shù)、Fo數(shù)后，從圖3-7中Q/Q0查找，再計(jì)算出第六十八頁，共九十五頁，2022年，8月28日目前，隨著計(jì)算技術(shù)的發(fā)展，直接應(yīng)用分析解及簡(jiǎn)化擬合公式計(jì)算的方法受到重視。

線算圖法評(píng)述優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)潔方便。缺點(diǎn)：準(zhǔn)確度有限，誤差較大。第六十九頁，共九十五頁，2022年，8月28日解的應(yīng)用范圍教材中的諾謨圖及擬合函數(shù)僅適用恒溫介質(zhì)的第三類邊界條件或第一類邊界條件的加熱及冷卻過程，并且F0>0.2例題3-1P63例題3-2P64第七十頁，共九十五頁，2022年，8月28日無限長(zhǎng)圓柱體和球體加熱（冷卻）過程分析1.無限長(zhǎng)圓柱trt∞t∞t0hh0式中r0為無限長(zhǎng)圓柱體的半徑

類似有：和P71圖13、圖14、圖15第七十一頁，共九十五頁，2022年，8月28日2.球體tt∞αrt00球體處理方法與無限長(zhǎng)圓柱體完全相同，相應(yīng)的線算圖查相關(guān)參考書與手冊(cè)。注意點(diǎn)：特征尺寸R為球體的半徑，r為球體的徑向方向。第七十二頁，共九十五頁，2022年，8月28日對(duì)分析解的討論1.Fo準(zhǔn)則對(duì)溫度分布的影響Fo0.2時(shí)，進(jìn)入正常情況階段，平壁內(nèi)所有各點(diǎn)過余溫度的對(duì)數(shù)都隨時(shí)間按線性規(guī)律變化，變化曲線的斜率都相等。θm/θ0隨Fo增大而減小。Fo<0.2時(shí)是瞬態(tài)溫度變化的初始階段，各點(diǎn)溫度變化速率不同第七十三頁，共九十五頁，2022年，8月28日2.Bi準(zhǔn)則對(duì)溫度分布的影響B(tài)i（Bi=h/

）表征了給定導(dǎo)熱系統(tǒng)內(nèi)的導(dǎo)熱熱阻與其和環(huán)境之間的換熱熱阻的對(duì)比關(guān)系。當(dāng)Bi時(shí)，意味著表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h

，對(duì)流換熱熱阻趨于0。平壁的表面溫度幾乎從冷卻過程一開始，就立刻降到流體溫度t

。第七十四頁，共九十五頁，2022年，8月28日當(dāng)Bi0時(shí)，意味著物體的熱導(dǎo)率很大、導(dǎo)熱熱阻

0（Bi=h/

）。物體內(nèi)的溫度分布趨于均勻一致?？捎眉倕?shù)法求解.第七十五頁，共九十五頁，2022年，8月28日求解非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的一般步驟：1、先校核Bi是否滿足集總參數(shù)法條件，若滿足，則優(yōu)先考慮集總參數(shù)法；若性質(zhì)屬于h或δ未知，可先假設(shè)，然后校核；2、如不能用集總參數(shù)法，則嘗試用諾謨圖或近似公式；3、若上述方法都不行則采用數(shù)值解。4、確定溫度分布、加熱或冷卻時(shí)間、熱量。非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱求解方法第七十六頁，共九十五頁，2022年，8月28日第七十七頁，共九十五頁，2022年，8月28日第七十八頁，共九十五頁，2022年，8月28日答：紅磚的導(dǎo)熱系數(shù)小，以致Bi(Bi=h/)較大，即在非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱現(xiàn)象中，內(nèi)部熱阻較大，當(dāng)一塊被燒至高溫的紅磚被迅速投入一桶冷水中后，其內(nèi)部溫差較大，從而產(chǎn)生較大的熱應(yīng)力，則紅磚會(huì)自行破裂。例：一塊被燒至高溫(超過400℃)的紅磚，迅速投入一桶冷水中，紅磚自行破裂，而鐵塊則不會(huì)出現(xiàn)此現(xiàn)象。試解釋其原因。第七十九頁，共九十五頁，2022年，8月28日例：一塊厚200mm的大鋼板，鋼材的密度為ρ=7790kg/m3，比熱容cp=170J/(kg·K)，導(dǎo)熱系數(shù)為43.2W/(m·K)，鋼板的初始溫度為20℃，放入1000℃的加熱爐中加熱，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h=300W/(m2·K)。試求加熱40分鐘時(shí)鋼板的中心溫度。解：根據(jù)題意，δ=200/2=100mm=0.1m

☆畢渥數(shù)為：第八十頁，共九十五頁，2022年，8月28日傅里葉數(shù)為

查圖3-5可得

鋼材的熱擴(kuò)散率為

第八十一頁，共九十五頁，2022年，8月28日§3-4二維及三維問題的求解對(duì)于二維及三維典型幾何形狀物體的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的分析解，可以利用一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的分析解的組合求得。例如：長(zhǎng)方柱體、短園柱體及短方柱體。1、無限長(zhǎng)方柱體的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題已知：初始溫度t0，過程開始時(shí)被置于t∞、h的流體中。求溫度場(chǎng)。P72第八十二頁，共九十五頁，2022年，8月28日無限長(zhǎng)方柱體可以看成是厚度為2x和厚度為2y兩塊無限大平壁垂直相交形成的，其溫度場(chǎng)為兩塊無限大平壁溫度場(chǎng)的乘積：第八十三頁，共九十五頁，2022年，8月28日短圓柱體長(zhǎng)為2l、半徑為r的短圓柱體可以看成厚度為2l的無限大平壁與半徑為r無限長(zhǎng)圓柱體垂直相交得到，其溫度表達(dá)式：第八十四頁，共九十五頁，2022年，8月28日短方柱體短方柱體（2δ1×2δ2×2δ3）的解是三個(gè)厚度分別為2δ1×2δ2×2δ3的大平板解的乘積。例題3-5P73第八十五頁，共九十五頁，2022年，8月28日§3-5半無限大的物體1.半無限大物體的概念半無限大物體是非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱研究中的一個(gè)特有的概念。其特點(diǎn)是從x=0的界面開始可以向正的x方向及其他兩個(gè)坐標(biāo)（y,z）方向無限延伸。

第八十六頁，共九十五頁，2022年，8月28日現(xiàn)實(shí)中不存在這樣的半無限大物體，但是在研究物體中非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的初始階段，則有可能把實(shí)際物體當(dāng)作半無限大物體來處理。例如：初始溫度均勻的有限厚度的平板，其一側(cè)表面突然所到熱擾動(dòng)、或者壁溫突然升高到一定值并保持不變，或者突然受到恒定的熱流密度加熱，當(dāng)擾動(dòng)的影響還局限在表面附近而尚未深入到平板內(nèi)部中去時(shí)，就可有條件地把該平板視為一“半無限大物體”。第八十七頁，共九十五頁，2022年，8月28日

高斯誤差函數(shù)2第一類邊界條件下半無限大物體的理論求解（1）溫度場(chǎng)的求解:一個(gè)半無限大物體初始溫度均勻（t0），在τ=0時(shí)刻，x=0的一側(cè)