結(jié)構(gòu)力學(xué)矩陣位移法課件

《結(jié)構(gòu)力學(xué)教程》（I）第10章矩陣位移法§10-1概述§10-2局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃嚒?0-3整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃嚒?0-4連續(xù)梁的整體剛度矩陣§10-5剛架的整體剛度矩陣§10-6荷載列陣§10-7計(jì)算步驟及算例§10-8忽略軸向變形時(shí)剛架的整體分析§10-9桁架結(jié)構(gòu)的整體分析主要內(nèi)容2、基本思路1）手算位移法（1）取基本體系——構(gòu)造各自獨(dú)立的單跨超靜梁的組合體；（2）寫(xiě)出桿端彎矩表達(dá)式——建立各桿件的桿端彎矩與桿端位移間的關(guān)系；

3）矩陣位移法——它是以結(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量的結(jié)構(gòu)分析方法。由于它易于實(shí)現(xiàn)計(jì)算過(guò)程程序化，故本章只對(duì)矩陣位移法進(jìn)行討論。桿件結(jié)構(gòu)的矩陣位移法也被稱為桿件結(jié)構(gòu)的有限元法。§10-1概述

（3）根據(jù)結(jié)點(diǎn)、截面的平衡條件——建立力的平衡方程，即位移法方程。2）矩陣位移法

（1）結(jié)構(gòu)離散化——?jiǎng)澐謫卧?；?）單元分析——建立單元的桿端力與桿端位移間的關(guān)系，形成單元?jiǎng)偠染仃?；?）整體分析——建立整個(gè)結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移與結(jié)點(diǎn)荷載間的關(guān)系，形成結(jié)構(gòu)剛度矩陣?！?0-1概述下面用一道例題來(lái)說(shuō)明矩陣位移法的基本思路。用位移法解該題：2、桿端彎矩：

1、未知量：M1M3M2i1i2§10-1概述132把以上解題過(guò)程寫(xiě)成矩陣形式：1、確定未知量：可以通過(guò)編號(hào)來(lái)解決（一個(gè)結(jié)點(diǎn)一個(gè)轉(zhuǎn)角未知量）。2、桿端彎矩表達(dá)式（按桿件來(lái)寫(xiě)）1-2桿單元?jiǎng)偠确匠蘉1M3M2i1i2§10-1概述132寫(xiě)成矩陣形式12122-3桿單元?jiǎng)偠确匠蘉1M3M2i1i2§10-1概述132寫(xiě)成矩陣形式23233、位移法方程：……①……

②……

③位移法方程寫(xiě)成矩陣形式：整體剛度矩陣4、解方程得：5、回代得：桿端彎矩

以上五個(gè)方面就是我們?cè)诒菊轮行枳屑?xì)研究的。M1M3M2i1i2§10-1概述132123123結(jié)點(diǎn)荷載列陣結(jié)點(diǎn)位移列陣

因此一個(gè)剛結(jié)點(diǎn)就有3個(gè)位移：，而且支座位移也要作為未知量。

在確定未知量時(shí)：●

不忽略軸向變形；●

所有單元都是兩端固定的。先處理法：是直接給未知量編號(hào)。后處理法：是先給結(jié)點(diǎn)編號(hào)（包括支座結(jié)點(diǎn)），然后按一個(gè)結(jié)點(diǎn)3個(gè)位移再減去支座約束計(jì)算?！?0-2局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃嚭筇幚矸ǎ航Y(jié)點(diǎn)編號(hào)如圖所示，先處理法：12341,2,34,5,60,0,00,0,0例1：

因此未知量為6個(gè)。結(jié)點(diǎn)編號(hào)如圖所示，編號(hào)順序?yàn)椋合人?，后豎向，再轉(zhuǎn)動(dòng)。位移為零編“0”號(hào)。由于：§10-2局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃嚭筇幚矸ǎ簡(jiǎn)卧幪?hào)如圖所示，先處理法：12341,2,34,5,60,0,00,0,0例1：

單元編號(hào)如圖所示，①②③①單元兩頭的結(jié)點(diǎn)號(hào)為：“1”、“2”，如果結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)已知，單元的位置就定了。①②③①單元兩頭的結(jié)點(diǎn)號(hào)為：“1,2,3”、“4,5,6”，如果結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)已知，單元的位置同樣定了?！?0-2局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃囅忍幚矸ǎ汉筇幚矸ǎ?24531,2,34,5,60,0,80,0,04,5,7例3：結(jié)點(diǎn)編號(hào)如圖所示，由于：因此未知量為8個(gè)。結(jié)點(diǎn)編號(hào)如圖所示，8個(gè)未知量，號(hào)就編到8?！?0-2局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃囅忍幚矸ǎ汉筇幚矸ǎ?24531,2,34,5,60,0,80,0,04,5,7例3：?jiǎn)卧幪?hào)如圖所示，單元編號(hào)如圖所示。①②③①單元“1”、“2”對(duì)應(yīng)②單元“1”、“4”對(duì)應(yīng)③單元“3”、“5”對(duì)應(yīng)①②③①單元“123”、“456”對(duì)應(yīng)②單元“123”、“008”對(duì)應(yīng)③單元“457”、“000”對(duì)應(yīng)§10-2局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃嚭筇幚矸ǎ?2341,23,40,00,5例4：結(jié)點(diǎn)編號(hào)如圖所示，桁架一個(gè)結(jié)點(diǎn)2各線位移，由于：因此未知量為5個(gè)。先處理法：結(jié)點(diǎn)編號(hào)如圖所示，8個(gè)未知量，號(hào)就編到8?！?0-2局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃?/p>

3、建立坐標(biāo)坐標(biāo)系：局部坐標(biāo)整體坐標(biāo)1）局部坐標(biāo)作用：用于表明桿端力及單元定位方法：x軸與桿件重合及順時(shí)針轉(zhuǎn)原則。標(biāo)法如圖所示，箭頭表示x軸的方向，y軸不標(biāo)出。①單元的起始點(diǎn)是“1”，終點(diǎn)是“2”。1234①②③ABFAXFBXFBYFAYMABMBA§10-2局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃嚭筇幚矸ǎ豪?：局部坐標(biāo)如圖所示，1234①②③⑥⑤④①單元“1”、“2”對(duì)應(yīng)⑤單元“4”、“1”對(duì)應(yīng)…單元定位向量：①1231②42③34④41⑤32⑥先起始點(diǎn)后終點(diǎn)§10-2局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃嚴(yán)?：先處理法：局部坐標(biāo)如圖所示，…①單元“1,2”、“3,4”對(duì)應(yīng)1,23,40,00,5①②③⑥⑤④⑤單元“0,5”、“1,2”對(duì)應(yīng)單元定位向量：①1234②00120534③0005④0512⑤0034⑥§10-2局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃?、單元?jiǎng)偠染仃?/p>

單元?jiǎng)偠染仃嚒獌啥斯潭▎卧?，由兩端發(fā)生單位位移產(chǎn)生的桿端力的矩陣形式。單元?jiǎng)偠染仃嚲植孔鴺?biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃囌w坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃嚤竟?jié)先介紹局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃?/p>

以兩端固定單元為研究對(duì)象，讓其兩端各發(fā)生3個(gè)位移，求出6個(gè)桿端力，然后寫(xiě)成矩陣形式，即可得到單元?jiǎng)偠染仃?。?0-2局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃噯卧问?/p>

——兩端固定單元桿端位移

——每端各三個(gè)位移，

桿端力

——每端各三個(gè)桿力，正負(fù)號(hào)規(guī)定——與局部坐標(biāo)一致為正，相反為負(fù)。eE，A，Il122u2v1ue211v1q2qx2Fy2F2Mx1F1My1Fe12§10-2局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃?/p>

當(dāng)兩端固定單元的兩端同時(shí)發(fā)生六個(gè)位移時(shí)，六個(gè)桿端力可利用疊加原理求出：

1號(hào)桿端

2號(hào)桿端§10-2局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃嚢褩U端力與桿端位移的表達(dá)式寫(xiě)成矩陣形式：EAL-EAL6EIL2-6EIL24EIL2EIL12EIL3-12EIL300000000-EAL0000EAL6EIL200006EIL2-12EIL36EIL2-6EIL22EIL12EIL3-6EIL24EIL-6EIL2FX1FY1FX2Fy2M2M1u2u1v2v2=§10-2局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃嘐AL-EAL6EIL2-6EIL24EIL2EIL12EIL3-12EIL300000000-EAL0000EAL6EIL200006EIL2-12EIL36EIL2-6EIL22EIL12EIL3-6EIL24EIL-6EIL2FX1FY1FX2Fy2M2M1u2u1v2v2=可縮寫(xiě)成:----單元?jiǎng)偠确匠獭?0-2局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠确匠蹋浩渲校?---單元桿端力列陣----單元桿端位移列陣FX1FY1FX2Fy2M2M1=u2u1v2v2=§10-2局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃嘐AL-EAL6EIL2-6EIL24EIL2EIL12EIL3-12EIL300000000-EAL0000EAL6EIL200006EIL2-12EIL36EIL2-6EIL22EIL12EIL3-6EIL24EIL-6EIL2=----單元?jiǎng)偠染仃囈部蓪?xiě)成：1221…①§10-2局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)●

單元?jiǎng)偠染仃囀菞U端力用桿端位移來(lái)表達(dá)的聯(lián)系矩陣。=ijkjik●

其中每個(gè)元素稱為單元?jiǎng)偠认禂?shù)，表示由于單位桿端位移引起的桿端力。由反力互等定理可知：，

因此單元?jiǎng)偠染仃囀菍?duì)稱矩陣?！?/p>

第k列元素分別表示當(dāng)?shù)趉個(gè)桿端位移=1時(shí)引起的六個(gè)桿端力分量?！?/p>

一般單元的單元?jiǎng)偠染仃囀瞧娈惥仃?。，不存在逆矩陣?！?0-2局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃嘐AL-EAL6EIL2-6EIL24EIL2EIL12EIL3-12EIL300000000-EAL0000EAL6EIL200006EIL2-12EIL36EIL2-6EIL22EIL12EIL3-6EIL24EIL-6EIL2=1221由上述一般單元的剛度矩陣，可以根據(jù)實(shí)際情況處理后，得到特殊情況下的單元?jiǎng)偠染仃??！?0-2局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃嘐AL-EAL6EIL2-6EIL24EIL2EIL12EIL3-12EIL300000000-EAL0000EAL6EIL200006EIL2-12EIL36EIL2-6EIL22EIL12EIL3-6EIL24EIL-6EIL2=123456123456例如：已知兩端固定單元兩頭只發(fā)生轉(zhuǎn)角，其它位移等于零，同時(shí)只需要寫(xiě)桿端彎矩。處理的方法是：把下面剛度矩陣的第1、2、4、5行和列劃掉即可?！?0-2局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃?/p>

兩端固定單元兩頭只發(fā)生轉(zhuǎn)角的單元?jiǎng)偠染仃嚕?EIL2EIL2EIL=12124EIL§10-2局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃嘐AL-EAL6EIL2-6EIL24EIL2EIL12EIL3-12EIL300000000-EAL0000EAL6EIL200006EIL2-12EIL36EIL2-6EIL22EIL12EIL3-6EIL24EIL-6EIL2=123456123456又如：已知兩端固定單元沒(méi)有軸向變形，也不需要寫(xiě)桿端軸力。處理的方法是：把下面剛度矩陣的第1、4行和列劃掉即可?！?0-2局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃?/p>

兩端固定單元不考慮軸向變形的單元?jiǎng)偠染仃嚕?EIL24EIL12EIL36EIL2-6EIL22EIL-12EIL36EIL2-12EIL36EIL2-6EIL22EIL12EIL3-6EIL24EIL-6EIL2=12341234§10-2局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃嘐AL-EAL6EIL2-6EIL24EIL2EIL12EIL3-12EIL300000000-EAL0000EAL6EIL200006EIL2-12EIL36EIL2-6EIL22EIL12EIL3-6EIL24EIL-6EIL2=123456123456再如：對(duì)于軸力桿件的單元?jiǎng)偠染仃?，處理的方法是：把下面剛度矩陣的?、3、5、6行和列劃掉即可?！?0-2局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃?/p>

軸力桿件的單元?jiǎng)偠染仃噾?yīng)該是2×2的，但考慮到斜桿在整體坐標(biāo)中的需要，寫(xiě)成4×4的。-EAL0EAL00=123412340000-EAL0EAL0000§10-2局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃嚒?0-3整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃?/p>

整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃嚾缜八觯瑸榱吮硎鰲U端力，需要每個(gè)單元都要有自己的一套局部坐標(biāo)系。但當(dāng)要建立位移法方程時(shí)，則需要結(jié)構(gòu)有一套統(tǒng)一的整體坐標(biāo)系，因此在建立方程之前，必須把局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃囖D(zhuǎn)換成整體坐標(biāo)下的。下面以一根斜桿為例，說(shuō)明兩套坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換方法。yxα§10-3整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃噚1Fy1F1Mx2Fy2F2Myxyxα局部坐標(biāo)系中的桿端力x1Fy1F1Mx2Fy2F2M整體坐標(biāo)系中的桿端力yxyxyxα局部坐標(biāo)系中桿端力與整體坐標(biāo)系中桿端力之間的關(guān)系：x1Fy1F1Mx2Fy2F2Myxx1Fy1F1Mx2Fy2F2Myxα局部坐標(biāo)系中的桿端力整體坐標(biāo)系中的桿端力§10-3整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃嚻渲校篬T]——單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣同理：0000100000000100000000000000可縮寫(xiě)成：寫(xiě)成矩陣形式§10-3整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃嘯T]——單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣；0000100000000100000000000000[T]=其中：是一正交矩陣,[T]-1=[T]T。……②§10-3整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃囌w坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃嚲植孔鴺?biāo)下的單元?jiǎng)偠确匠蹋簩ⅱ?、⑤式代入③式，有：與

比較，令：

……③桿端力、桿端位移局部坐標(biāo)和整體坐標(biāo)的關(guān)系式：……④……⑤等式兩邊前乘，得：§10-3整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃嚺c同階，性質(zhì)類似：●

一般單元的是奇異矩陣。●

是對(duì)稱矩陣?！癖硎驹谡w坐標(biāo)系第j個(gè)桿端位移分量=1時(shí)引起的第i個(gè)桿端力。整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃嚕骸蕖?0-3整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃囉?jì)算步驟：

1）對(duì)每個(gè)結(jié)點(diǎn)（包括支座結(jié)點(diǎn)）用先處理法或后處理法進(jìn)行編號(hào)；對(duì)每個(gè)單元進(jìn)行編號(hào)；對(duì)每個(gè)單元分別建立局部坐標(biāo)；對(duì)結(jié)構(gòu)建立一套整體坐標(biāo)。2）對(duì)每個(gè)單元按式①寫(xiě)出局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃嚒?）對(duì)每個(gè)單元按式②寫(xiě)出坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣。4）對(duì)每個(gè)單元按式⑥求出整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃?。?0-3整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃嚴(yán)?：求圖示結(jié)構(gòu)各單元的整體剛度矩陣，桿長(zhǎng)5m,A=0.5m2,I=1/24m4,E=3×104Mpa。解：1）編號(hào)、建立坐標(biāo)如圖所示。①②1231,2,30,0,00,0,4yx2）寫(xiě)出各單元局部坐標(biāo)下的剛度矩陣。§10-3整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃?）寫(xiě)出各單元整體坐標(biāo)下的剛度矩陣單元①的局部坐標(biāo)與整體坐標(biāo)一致，因此沒(méi)有必要轉(zhuǎn)換，即：kk單元②：=900，轉(zhuǎn)換矩陣為：T113556223446xy②②§10-3整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃噆kTT123000123000k104×1221§10-3整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃嚴(yán)?：求整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃嘇=0.5m2,I=1/24m4,E=3×107Mpa。yx1231,2,30,0,00,0,06m8m6m②①①解：編號(hào)建立坐標(biāo)如圖所示?！?0-3整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃嚔冖賙①k由于①單元的局部坐標(biāo)與整體坐標(biāo)一致，因此：§10-3整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃噯卧冢?36.870轉(zhuǎn)換矩陣為：T§10-3整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃噆②TTk②②§10-3整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃嚔?23426123456②xy§10-3整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃?、編號(hào)、建立坐標(biāo)如圖所示。2、單元?jiǎng)偠染仃嚕ň植孔鴺?biāo)與整體坐標(biāo)是一致的）。M1M3M2i1i2132§10-4連續(xù)梁的整體剛度矩陣重做一下概述中的例題：①②3、位移法方程——整體剛度方程這是目前會(huì)做的由前面得到的位移法方程：……①……

②……

③§10-4連續(xù)梁的整體剛度矩陣寫(xiě)成矩陣形式：可以縮寫(xiě)成：——整體剛度方程§10-4連續(xù)梁的整體剛度矩陣整體剛度方程：其中：——整體剛度矩陣——結(jié)構(gòu)位移列陣——結(jié)構(gòu)荷載列陣本節(jié)中主要討論連續(xù)梁的整體剛度矩陣。12312312212233整體剛度矩陣形成步驟：

把單元的定位向量標(biāo)在整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃囘吷?；把單元?jiǎng)偠染仃囍幸阎ё灰茷榱愕男泻土袆澣?；整體剛度矩陣[K]的階數(shù)等于結(jié)構(gòu)未知量數(shù)，若未知量為n，[K]就是n×n的方陣；把各單元?jiǎng)偠染仃嘯k]e按定位向量對(duì)入座于整體剛度矩陣，形成[K]?！?0-4連續(xù)梁的整體剛度矩陣?yán)?：①②④⑤2）單元?jiǎng)偠染仃?2345§10-4連續(xù)梁的整體剛度矩陣解：1）編號(hào)及建立坐標(biāo)123456i1i5i4i3i212122323③3434454556563）整體剛度矩陣23456234564i1+4i22i22i24i2+4i32i32i34i3+4i42i42i44i4+4i52i52i54i5§10-4連續(xù)梁的整體剛度矩陣0000000000006EI1L24EI1L12EI1L3-6EI1L22EI1L-12EI1L36EI1L26EI1L26EI1L24EI1L2EI1L-6EI1L212EI1L3-6EI1L2-6EI1L2-12EI1L3例2：?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚕?21230,00,12,000010001=①1212§10-4連續(xù)梁的整體剛度矩陣整體剛度矩陣：6EI2L24EI2L12EI2L3-6EI2L22EI2L-12EI2L36EI2L26EI2L26EI2L24EI2L2EI2L-6EI2L212EI2L3-6EI2L2-6EI2L2-12EI2L3=②012001203223=§10-4連續(xù)梁的整體剛度矩陣4EI1L4EI2L-6EI2L212EI2L3-6EI2L2+1221§10-5剛架的整體剛度矩陣剛架的整體剛度矩陣一定求解方法與連續(xù)梁的基本相同，步驟如下：

1）編號(hào)、建立坐標(biāo)。2）寫(xiě)出局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃嚒?）把局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃囖D(zhuǎn)換成整體坐標(biāo)下的。4）把單元定位向量標(biāo)在整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃囘吷?，并劃去已知支座位移等于零的行和列?）按定位向量號(hào)用對(duì)號(hào)入座的方法集合成整體剛度矩陣。例1：求圖示結(jié)構(gòu)各單元的整體剛度矩陣，桿長(zhǎng)5m,A=0.5m2,I=1/24m4,E=3×104Mpa。解：1）編號(hào)、建立坐標(biāo)如圖所示。①②1231,2,30,0,00,0,4yx2）寫(xiě)出各單元局部坐標(biāo)下的剛度矩陣?！?0-5剛架的整體剛度矩陣①②1231,2,30,0,00,0,4yx①1230041230041313①①×104

00001230300301005003050100×10412341234§10-5剛架的整體剛度矩陣kkTT1230001230001221k104×②§10-5剛架的整體剛度矩陣123123k104×②120－3003000－300100拼裝整體剛度矩陣：K104×

0000123030030100500305010012341234+100+12-30+300-30§10-5剛架的整體剛度矩陣整體剛度矩陣的特點(diǎn)：1）整體剛度系數(shù)（kij）的意義

——表示當(dāng)?shù)趈個(gè)結(jié)點(diǎn)位移分量Δ1=1（其它結(jié)點(diǎn)位移分量為零）時(shí)所產(chǎn)生的第i個(gè)結(jié)點(diǎn)力Fi；2）整體剛度是對(duì)稱矩陣（反力互等定理）；3）整體剛度矩陣是滿秩非奇異矩陣（先處理法，已考慮約束條件）；4）整體剛度矩陣是稀疏、帶狀矩陣（有許多零元素，且非零元素都分布在以主對(duì)角線為中心的傾斜帶狀區(qū)城內(nèi)）?！?0-5剛架的整體剛度矩陣?yán)?：圖示有中間鉸剛架，求其整體剛度矩陣?！?0-5剛架的整體剛度矩陣①②1421,2,3yx桿長(zhǎng)5m,A=0.5m2,I=1/24m4,E=3×104Mpa。③34,5,64,5,70,0,00,0,05解：1）編號(hào)、建立坐標(biāo)2）整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃嚔?04×30000-30000012300-12300301000-3050-30000300000-12-30012-30030500-301001234561234561122§10-5剛架的整體剛度矩陣120-30-120-30030000-3000-30010030050-12030120300-300003000-300503001001230001230001144104×②§10-5剛架的整體剛度矩陣120-30-120-30030000-3000-30010030050-12030120300-300003000-300503001004570004570003355104×③§10-5剛架的整體剛度矩陣

1234567K300+1200-30-300000012+300300-123000-3030100+1000-30500-30000300+1200-300-12-30012+300-300030500-301000000-3000100104×1234567§10-6荷載列陣把位移法方程寫(xiě)成矩陣形式：----結(jié)點(diǎn)荷載列陣一列n行，n——未知量的個(gè)數(shù)，由作用在結(jié)點(diǎn)上的集中力組成，按編號(hào)的順序及的順序由上而下排列，若某方向上沒(méi)有集中力就填0。---等效結(jié)點(diǎn)荷載列陣

---整體剛度方程其中{F}----荷載列陣荷載列陣通常有兩部分組成:1）結(jié)點(diǎn)荷載列陣§10-6荷載列陣?yán)豪篎pMFpx12453yFp2MFp1x1234y1,2,34,5,60,0,00,0,01,2,34,5,64,5,70,0,00,0,0由節(jié)間荷載組成：例：（a）內(nèi)力=（b）內(nèi)力+（c）內(nèi)力（b）內(nèi)力：固端力——可查表（c）內(nèi)力：用矩陣位移法求解2）等效結(jié)點(diǎn)荷載列陣

Fp原結(jié)構(gòu)（a）FpFp（b）（c）=+等效結(jié)點(diǎn)荷載§10-6荷載列陣

把所有有結(jié)點(diǎn)位移的地方用附加剛臂或鏈桿固定起來(lái)，求出這些剛臂和鏈桿中的反力，把反力反向的加在結(jié)點(diǎn)上，即為等效結(jié)點(diǎn)荷載。等效結(jié)點(diǎn)荷載求解方法：=+FpqqFp1320,0,00,0,01,2,3FPe1FPe2FPe31320,0,00,0,01,2,3§10-6荷載列陣qFp132取出“1”號(hào)結(jié)點(diǎn)qL2qL212FP2FPL8FP2qL2qL212FPL8132FP2qL2qL212FPL8等效結(jié)點(diǎn)荷載下一步的工作是如何把以上的計(jì)算過(guò)程用矩陣形式來(lái)表示。§10-6荷載列陣xyqFp132①②?、?、②單元，求出固端力，并按局部坐標(biāo)寫(xiě)成矩陣形式，稱為局部坐標(biāo)下的單元固端力列陣。qqL2qL2①qL212qL2120FP0qL2qL212qL2qL212=①FPFP2FPL8FP2FPL8②0FP0=②FP2FPL8FP2FPL8§10-6荷載列陣把局部坐標(biāo)下的單元固端力列陣轉(zhuǎn)換成整體坐標(biāo)下的，并反號(hào)，稱為整體坐標(biāo)下的單元固端力列陣。FP②=TTFP②單元②：=900，轉(zhuǎn)換矩陣為：TFP00=②FP2FPL8FP2FPL8FP①FP①=§10-6荷載列陣把定位向量標(biāo)在整體坐標(biāo)下的單元固端力列陣邊上。FP00=②FP2FPL8FP2FPL80FP0qL2qL212qL212=①qL2100032210003§10-6荷載列陣按對(duì)號(hào)入座的方式，求出等效結(jié)點(diǎn)荷載列陣。1320+0FPL8FP2+qL2qL212P=1）求出局部坐標(biāo)下的單元固端力列陣；2）求出整體坐標(biāo)下的單元固端力列陣；3）按定位向量形成等效結(jié)點(diǎn)荷載列陣。等效結(jié)點(diǎn)荷載的求解步驟：§10-6荷載列陣?yán)呵髨D示結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點(diǎn)荷載{P}。解:1）求單元①單元②4.8kN/m8kNyx5m2.5m2.5m§10-6荷載列陣①②1,2,30,0,40,0,02）求123004123000{P}=1234§10-6荷載列陣0+412+010－5－10+04125－10=1）編號(hào)及建立坐標(biāo)；3）求出整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚕?）求出結(jié)構(gòu)的荷載列陣；§10-7計(jì)算步驟和算例6）解方程，求出結(jié)點(diǎn)位移{Δ}。7）按公式：求出各桿桿端內(nèi)力。計(jì)算步驟：2）求出局部坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚕?）按單元定位向量形成整體剛度矩陣；§10-7計(jì)算步驟和算例例1：求圖示結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。橫梁b1×h1=0.5m×1.26m,

立柱b2×h2=0.5m×1m。解:1)編號(hào)、建立坐標(biāo)000xy6m12m1kN/m000123456①②③§10-7計(jì)算步驟和算例2）局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃嚵旱脑紨?shù)據(jù)：柱的原始數(shù)據(jù)：§10-7計(jì)算步驟和算例×10－3§10-7計(jì)算步驟和算例×10－3②§10-7計(jì)算步驟和算例3)整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃噯卧佟ⅱ?α=90o)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為：

T§10-7計(jì)算步驟和算例轉(zhuǎn)換后單元①、③在整體坐標(biāo)下的剛度矩陣為：×10－3123000123000456000456000§10-7計(jì)算步驟和算例×10－3②單元②的局部坐標(biāo)與整體坐標(biāo)一致，因此沒(méi)有必要轉(zhuǎn)換。123456123456§10-7計(jì)算步驟和算例4）按單元定位向量形成整體剛度矩陣三個(gè)單元的定位向量如下：把三個(gè)單元的定位向量標(biāo)在整體單元?jiǎng)偠冗吷??！?0-7計(jì)算步驟和算例×10－352.5+2.31-52.50.58+83.3-0.583.473.473.47-3.473.47-3.47-3.47-3.47-0.580.58+83.352.5+2.31-52.513.927.8+27.813.927.8+27.8-6.94-6.94-6.94-6.94000000000000123456123456§10-7計(jì)算步驟和算例5）求荷載列陣（1）固端力列陣局部坐標(biāo)下的（2）固端力列陣整體坐標(biāo)下的（3）等效結(jié)點(diǎn)荷載列陣123000123456由于沒(méi)有結(jié)點(diǎn)荷載，因此荷載列陣等于等效結(jié)點(diǎn)荷載列陣?！?0-7計(jì)算步驟和算例6）解方程由方程解得結(jié)點(diǎn)位移如下：§10-7計(jì)算步驟和算例7）求桿端力單元①：

§10-7計(jì)算步驟和算例單元②：②§10-7計(jì)算步驟和算例單元③：③§10-7計(jì)算步驟和算例8）根據(jù)桿端力繪制內(nèi)力圖1.240.430.43＋8.492.093.044.38M圖(kN.m)FQ圖(kN)FN圖(kN)4.76＋1.240.43

1.241.24＋§10-7計(jì)算步驟和算例1.24對(duì)圖示剛架進(jìn)行分析時(shí)忽略軸向變形。2）單元定位向量§10-8忽略軸向變形時(shí)剛架的整體分析①②③2012因此，1、2、3號(hào)點(diǎn)的豎向位移等于零，并且水平位移相等。1）編號(hào)及建立坐標(biāo)1031

245340,0,00,0,0①③②①104×30000-30000012300-12300301000-3050-30000300000-12-30012-30030500-3010010210310210311223）整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃嚒?0-8忽略軸向變形時(shí)剛架的整體分析120-30-120-30030000-3000-30010030050-12030120300-300003000-300503001001020001020001144104×②§10-8忽略軸向變形時(shí)剛架的整體分析120-30-120-30030