新課標人教A版數(shù)學必修1教案

1.1.1集合的含義與表示

教學目的：要求學生初步理解集合的概念，理解元素與集合間的關系,

掌握集合的表示法，知道常用數(shù)集及其記法.

教學重難點：1、元素與集合間的關系

2、集合的表示法

教學過程：

一、集合的概念

實例引入：

(1)1?20以內的所有質數(shù)；

⑵我國從1991~2003的13年內所發(fā)射的所有人造衛(wèi)星；

⑶金星汽車廠2003年生產的所有汽車；

(4)2004年1月1日之前與我國建立外交關系的所有國家；

⑸所有的正方形；

(6)黃圖盛中學2004年9月入學的高一學生全體.

結論：一般地，我們把研究對象統(tǒng)稱為元素；把一些元素組成的

總體叫做桑合，也簡稱集.

二、集合元素的特征

(1)確定性：設A是一個給定的集合，x是某一個具體對象，則或

者是A的元素，或者不是A的元素，兩種情況必有一種且只有一種

成立.

(2)互異性：一個給定集合中的元素，指屬于這個集合的互不相同

的個體(對象)，因此，同一集合中不應重復出現(xiàn)同一元素.

(3)無序性：一般不考慮元素之間的順序，但在表示數(shù)列之類的特

殊集合時、通常按照習慣的由小到大的數(shù)軸順序書寫

練習：判斷下列各組對象能否構成一個集合

(1)2,3,4(2)(2,3),(3,4)(3)三角形

(4)2,4,6,8,…(5)1,2,(1,2),{1,2}

⑹我國的小河流⑺方程x2+4=0的所有實數(shù)解

⑻好心的人⑼著名的數(shù)學家⑩方程x2+2x+l=0的解

三、集合相等

構成兩個集合的元素一樣，就稱這兩個集合相等

四、集合元素與集合的關系

集合元素與集合的關系用“屬于”和“不屬于”表示：

(1)如果a是集合A的元素，就說a屬于A,記作a《A

(2)如果a不是集合A的元素，就說a不溫于A,記作a￡A

五、常用數(shù)集及其記法

非負整數(shù)集(或自然數(shù)集)，記作N；

除0的非負整數(shù)集，也稱正整數(shù)集，記作N*或N+；

整數(shù)集,記作Z；

有理數(shù)集，記作Q；

實數(shù)集，記作R.

練習：(1)已知集合乂=h，b,c}中的三個元素可構成某一三角

形的三條邊，那么此三角形一定不是()

A直角三角形B銳角三角形C鈍角三角形D等腰三角形

(2)說出集合｛L2｝與集合｛x=l,y=2｝的異同點？

六、集合的表示方式

(1)列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內；

(2)描述法：用集合所含元素的共同特征表示的方法.(具體方法)

例1、用列舉法表示下列集合：

(1)小于10的所有自然數(shù)組成的集合；

(2)方程x2=x的所有實數(shù)根組成的集合；

(3)由1?20以內的所有質數(shù)組成。

例2、試分別用列舉法和描述法表示下列集合：

(1)由大于10小于20的的所有整數(shù)組成的集合；

(2)方程x2-2=2的所有實數(shù)根組成的集合.

注意：(1)描述法表示集合應注意集合的代表元素

(2)只要不引起誤解集合的代表元素也可省略

練習：觀察集合A=｛y\y=x2+1,xe/?)

B=｛x\x=t2+1吠町

C=｛(x,y)ly=x2+1,xS/?)

有什么區(qū)別？

七、小結

集合的概念、表示；集合元素與集合間的關系；常用數(shù)集的記法.

八、作業(yè)

§1.1.2集合間的基本關系

教學目的：讓學生初步了解子集的概念及其表示方法，同時了解相等

集合、真子集和空集的有關概念.

教學重難點：1、子集、真子集的概念及它們的聯(lián)系與區(qū)別；

2、空集的概念以及與一般集合間的關系.

教學過程：

一、復習（結合提問）：

1.集合的概念、集合三要素

2.集合的表示、符號、常用數(shù)集、列舉法、描述法

3.關于“屬于”的概念

二、新課講授

（一）子集的概念

1.實例:A={1,2,3}B={1,2,3,4,5}引導觀察.

結論：對于兩個集合A和B,如果集合A的任何一個元素都是集合

B的元素，則說:這兩個集合有包含關系，稱集合A為集合B的子集，

記作仁B（或BnA）,讀作“A含于B”（或“B包含A”）.

2.反之：集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AaB已

（或B（zA）

（-）空集的概念

不含任何元素的集合叫做至巢，記作,并規(guī)定：空集是任何集合的

子集.

（三）“相等”關系

1、實例:設A={x|x2-l=0}“元素相同”

結論：對于兩個集合A與B,如果集合A的任何一個元素都是集合B

的元素，同時，集合B的任何一個元素都是集合A的元素，我們就說

集合A等于集合B,記作A=B（即如果A=B同時BqA那么A=B）.

2、①任何一個集合是它本身的子集.A三A

②真子集:如果A=B，且AwB那就說集合A是集合B的真子

集，記作A臣B

③空集是任何非空集合的真子集.

④如果AcB,B=C,那么AcC.

證明：設x是A的任一元素，則xeA

0AcB,xeB又?BcC/.xeC從而A=C

同樣；如果AcB,BcC，那么AcC

（三）例題與練習

例1、設集合A={1,3,a},B={1,a2-a+l）

AoB,求a的值

練習1：寫出集合人=色，b,c}的所有子集，并指出哪些是真子集？

有多少個？

例2、求滿足3叢+2=0}*M={x|x2-l=0}的集合M.

例3、若集合A={x|x2+x-6=0},B={x|ax+l=0}

且B至A,求a的值.

練習2：集合M={x|x=l+a\acN*},P={x|x=a2-4a+5,aeN*}

下列關系中正確的是（）

AMgPBP^M

CM=PDP且P^M

三、小結

子集、真子集、空集的有關概念.

四、作業(yè)

§1.1.3集合的基本運算

教學目的：

1、深刻理解并掌握交集與并集的概念及有關性質；

2、掌握全集與補集的概念及其表示法.

教學重難點：交集與并集的概念、性質及運算

教學過程：

（一）復習：子集的概念及有關符號與性質

提問（板演）：用列舉法表示集合：A={6的正約數(shù)},B={10的正約

數(shù)},C={6與10的正公約數(shù)},并用適當?shù)姆柋硎舅鼈冎g的關系.

解：A={L2,3,6},B={L2,5,10）,C={1,2}CcA,CcB

（-）全集

定義：如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素，

集合就可以看作一個全集■.通常用U來表示.

如：把實數(shù)R看作全集U,則有理數(shù)集Q的補集CuQ是全體無理數(shù)

的集合.

（三）補集

1、實例：S是全班同學的集合，集合A是班上所有參加校運會同學

的集合，集合B是班上所有沒有參加校運動會同學的集合.集合B是

集合S中除去集合A之后余下來的集合.

結論：設S是一個集合，A是S的一個子集（即AqS）,由S中所

有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的在集

記作：CSA即CsA={x|xeS且xgA}/

2.例：S={1,2,3,4,5,6}A={1}3,5}CSA={2,4,6}

（四）并集與交集

公共部分AAB合并在一起AUB

2、定義：

(1)交集：由屬于集合A且屬于集合B的所有元素所組成的集合，

稱為集合A和集合B的支案,記作AGB,即AGB={X|XGA且xeB}.

(2)并集：由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，

稱為集合A和集合B曲并集,記作AUB，即AUB={X|XGA或xeB).

(五)例題與練習

例1、(1)若$={2,3,4},A={4,3},貝UCsA=.

(2)若5={三角形},A={銳角三角形}，則CsA=o

(3)若U={1,3,a2+2a+l},A={1,3},貝a=。

(4)若A={0,2,4},CuA={-l,2},CuB={-l,0,2},求

B=o

練習1：判斷正誤

(1)若U={四邊形},A={梯形},則CUA={平行四邊形}

(2)若U是全集，且A=B,則CUA=CUB

(3)若U={1,2,3},A=U,則CUA=。

思考：已知A={x|x<3},B={x|x<a}

(1)若A=B,CRB=CRA是否成立？

(2)CRA=CR(CR(CRB),求a的取值范圍.

例2、新華中學開運動會，設A={x|x是新華中學高一年級參加百米

賽跑的同學},B={x|x是新華中學高一年級參加跳高比賽的同學},求

AAB.

例3、設平面內直線h上點的集合為L”直線k上點的集合為L2,用

集合的運算表示h、12的位置關系.

練習2：

1、設A={x|x是等腰三角形},B={x|x是直角三角形},求AGB.

2、設A={x|x>-2},B={x|x<0},求AClB.

3、若A={x|x=4n,n￡Z},B={x|x=6n,n《Z},求AGB.

4、A={x|aWxWa+3},B={x|xV-l或x>5},分別求出滿足下列條件

的a的取值范圍：⑴AAB=0(2)AGB=A

例4、已知集合人={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求AUB.

例5、已知A={x|-l<x<2},B={x|lVxV3}求AUB.

例6、已知U={x|x是小于9的正整數(shù)},A={1,2,3},B={3,4,5,

6},求CUA,CUB.

練習3：

1已知。為全集,M、NCU,且MAN=N,貝U

A、CuMCCuNB、CuMqCuN

C;CuN2MD、MBCuN

2、全集U={x|xW8,且x￡N*},A臣U,B呈U且AGB={4,5},

(CUB)AA={1,2,3},(CUA)n(CUB)={6,7,8},^<^AB.

3、已知A={x|-lVxV3},AAB=0,AUB=R，求B.

4^已知集合A={x|x2-3x+2=0},B-{x|x2-ax+a-l=0},C={x|x2-mx+2=0},

且AUB=A,AnC=C,求a,m的值.

(六)小結

全集、補集、交集、并集的有關概念和性質及其運算

(七)作業(yè)

課題：§121函數(shù)的概念

教材分析：函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學模型.高中階段不僅把函數(shù)看成變量之

間的依賴關系，同時還用集合與對應的語言刻畫函數(shù)，高中階段更注重函數(shù)模型

化的思想.

教學目的：(1)通過豐富實例，進一步體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關系的重要數(shù)學模型,

在此基礎上學習用集合與對應的語言來刻畫函數(shù)，體會對應關系在刻畫函數(shù)概念

中的作用；

(2)了解構成函數(shù)的要素；

(3)會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域；

(4)能夠正確使用“區(qū)間”的符號表示某些函數(shù)的定義域：

教學重點：理解函數(shù)的模型化思想，用合與對應的語言來刻畫函數(shù)；

教學難點：符號“尸f(x)”的含義，函數(shù)定義域和值域的區(qū)間表示；

教學過程：

一、引入課題

1.復習初中所學函數(shù)的概念，強調函數(shù)的模型化思想；

2.閱讀課本引例，體會函數(shù)是描述客觀事物變化規(guī)律的數(shù)學模型的思想：

(1)炮彈的射高與時間的變化關系問題；

(2)南極臭氧空洞面積與時間的變化關系問題；

(3)“八五”計劃以來我國城鎮(zhèn)居民的恩格爾系數(shù)與時間的變化關系問題

備用實例：

我國2003年4月份非典疫情統(tǒng)計:

日期222324252627282930

新增確診病例數(shù)1061058910311312698152101

3.引導學生應川集合與對應的語言描述各個實例中兩個變量間的依賴關系；

4.根據(jù)初中所學函數(shù)的概念，判斷各個實例中的兩個變量間的關系是否是函數(shù)關系.

二、新課教學

(-)函數(shù)的有關概念

1.函數(shù)的概念：

設A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應關系f,使對于集合A中的任意一個

數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應，那么就稱f：A-B為從集合A到集合B

的一個函數(shù)(function).

記作：y=f(x),xGA.

其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域(domain)；與x的值相對應

的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合x￡A｝叫做函數(shù)的值域(range).

注意：

①“尸f(x)”是函數(shù)符號，可以用任意的字母表示，如“產g(x)”；

②函數(shù)符號“y=f(x)”中的f(x)表示與x對應的函數(shù)值，一個數(shù)，而不是f乘x.

2.構成函數(shù)的三要素：

定義域、對應關系和值域

3.區(qū)間的概念

(1)區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；

(2)無窮區(qū)間；

(3)區(qū)間的數(shù)軸表示.

4.一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的定義域和值域討論

(由學生完成，師生共同分析講評)

(-)典型例題

1.求函數(shù)定義域

課本P2。例1

解:(略)

說明：

①函數(shù)的定義域通常由問題的實際背景確定，如果課前三個實例；

②如果只給出解析式y(tǒng)=f(x),而沒有指明它的定義域，則函數(shù)的定義域即是指能使這

個式子有意義的實數(shù)的集合；

③函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式.

鞏固練習：課本P22第1題

2.判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)

課本P21例2

解：(略)

說明：

①構成函數(shù)三個要素是定義域、對應關系和值域.由于值域是由定義域和對應關系決

定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應關系完全一致，即稱這兩個函數(shù)相等(或為同一

函數(shù))

②兩個函數(shù)相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)

值的字母無關。

鞏固練習：

①課本P22第2題

②判斷下列函數(shù)f(X)與g(X)是否表示同一個函數(shù)，說明理由？

(1)f(x)=(x—1)°；g(x)=1

(2)f(x)=x；g(x)=

(3)f(x)=x2；f(x)=(x+I)2

(4)f(x)=|x|；g(x)=

(三)課堂練習

求卜列函數(shù)的定義域

(1)f(x)=——

x—|x|

⑵f(x)=--

1+-

X

(3)f(x)-J-X2-4X+5

A/4-X2

(4)f(x)=

x-1

(5)f(x)=A/X2-6x+10

(6)f(x)=J1—x+Jx+3-1

三、歸納小結，強化思想

從具體實例引入了函數(shù)的的概念，用集合與對應的語言描述了函數(shù)的定義及其相關概

念，介紹了求函數(shù)定義域和判斷同一函數(shù)的典型題目，引入了區(qū)間的概念來表示集合。

四、作業(yè)布置

課本P28習題1.2(A組)第1—7題(B組)第1題

課題：§122函數(shù)的表示法

教學目的：(1)明確函數(shù)的三種表示方法；

(2)在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù);

(3)通過具體實例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應用；

(4)糾正認為“y=f(x)”就是函數(shù)的解析式的片面錯誤認識.

教學重點：函數(shù)的三種表示方法，分段函數(shù)的概念.

教學難點：根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)，什么才算“恰當”？分段函數(shù)的表示

及其圖象.

教學過程：

五、引入課題

5.復習：函數(shù)的概念；

6.常用的函數(shù)表示法及各自的優(yōu)點：

(1)解析法；

(2)圖象法；

(3)列表法.

六、新課教學

(-)典型例題

例1.某種筆記本的單價是5元，買x(x&{l,2,3,4,5})個筆記本需要y元.試用

三種表示法表示函數(shù)y=f(x).

分析：注意本例的設問，此處“y=f(x)”有三種含義，它可以是解析表達式，可以是圖

象，也可以是對應值表.

解：(略)

注意：

①函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，注意判斷?

個圖形是否是函數(shù)圖象的依據(jù)；

②解析法：必須注明函數(shù)的定義域；

③圖象法：是否連線；

④列表法：選取的自變量要有代表性，應能反映定義域的特征.

鞏固練習：

課本P27練習第1題

例2.下表是某校高一(1)班三位同學在高一學年度幾次數(shù)學測試的成績及班級及班

級平均分表：

第一次第二次第三次第四次第五次第六次

王偉988791928895

張城907688758680

趙磊686573727582

班平均分88.278.385.480.375.782.6

請你對這三們同學在高一學年度的數(shù)學學習情況做?個分析.

分析：本例應引導學生分析題目要求，做學情分析，具體要分析什么？怎么分析？借助

什么工具？

解：(略)

注意：

①本例為了研究學生的學習情況，將離散的點用虛線連接，這樣更便于研究成績的變

化特點；

②本例能否用解析法？為什么？

鞏固練習：

課本P27練習第2題

例3.畫出函數(shù)y=|x|.

解：(略)

鞏固練習：課本P27練習第3題

拓展練習：

任意畫一個函數(shù)尸f(x)的圖象，然后作出尸|f(x)|和y=f(|x|)的圖象，并嘗試簡要說明

三者(圖象)之間的關系.

課本P27練習第3題

例4.某市郊空調公共汽車的票價按下列規(guī)則制定：

（1）乘坐汽車5公里以內，票價2元；

（2）5公里以上，每增加5公里，票價增加1元（不足5公里按5公里計算）.

已知兩個相鄰的公共汽車站間相距約為1公里，如果沿途（包括起點站和終點站）設

20個汽車站，請根據(jù)題意，寫出票價與里程之間的函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)的圖象.

分析：本例是一個實際問題，有具體的實際意義.根據(jù)實際情況公共汽車到站才能停車,

所以行車里程只能取整數(shù)值.

解：設票價為y元，里程為x公里，同根據(jù)題意，

如果某空調汽車運行路線中設20個汽車站（包括起點站和終點站），那么汽車行駛的里

程約為19公里，所以自變量x的取值范圍是{xdN*|x<19}.

由空調汽車票價制定的規(guī)定，可得到以卜函數(shù)解析式：

'20<x<5

515<x<19

根據(jù)這個函數(shù)解析式，可畫出函數(shù)圖象，如卜圖所示:

九

5-

4-

3-

2-

1-

O15101519x

注意：

①本例具有實際背景，所以解題時應考慮其實際意義；

②本題可否用列表法表示函數(shù)，如果可以，應怎樣列表？

實踐與拓展：

請你設計張乘車價目表，讓售票員和乘客非常容易地知道任意兩站之間的票價.（可

以實地考查一下某公交車線路）

說明：象上面兩例中的函數(shù)，稱為分段函數(shù).

注意：分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個不同的方程，而就寫函數(shù)值幾種不同的表達式并

用一個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況.

七、歸納小結，強化思想

理解函數(shù)的三種表示方法，在具體的實際問題中能夠選用恰當?shù)谋硎痉▉肀硎竞瘮?shù)，注

意分段函數(shù)的表示方法及其圖象的畫法.

八、作業(yè)布置

課本P28習題1.2（A組）第8—12題（B組）第2、3題

課題：§122映射

教學目的：（1）了解映射的概念及表示方法，了解象、原象的概念；

（2）結合簡單的對應圖示，了解一一映射的概念.

教學重點：映射的概念.

教學難點：映射的概念.

教學過程：

九、引入課題

復習初中已經遇到過的對應：

1.對于任何一個實數(shù)a,數(shù)軸上都有唯一的點P和它對應；

2.對于坐標平面內任何一個點A,都有唯一的有序實數(shù)對（x,y）和它對應；

3.對于任意一個三角形，都有唯一確定的面積和它對應；

4.某影院的某場電影的每張電影票有唯一確定的座位與它對應；

5.函數(shù)的概念.

十、新課教學

1.我們已經知道，函數(shù)是建立在兩個非空數(shù)集間的一種對應，若將其中的條件''非空數(shù)集"

弱化為“任意兩個非空集合”，按照某種法則可以建立起更為普通的元素之間的對應關

系，這種的對應就叫映射（mapping）（板書課題）.

2.先看兒個例子，兩個集合A、B的元素之間的一些對應關系

（1）開平方；

（2）求正弦

（3）求平方；

（4）乘以2；

3.什么叫做映射？

一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f,使對于集合A

中的任意一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素yij之對應，那么就稱對應f：AfB

為從集合A到集合B的一個映射（mapping）.

記作“f：AfB”

說明：

（1）這兩個集合有先后順序，A到B的射與B到A的映射是截然不同的.其中f表示

具體的對應法則，可以用漢字敘述.

（2）“都有唯一”什么意思？

包含兩層意思：一是必有一個；二是只有一個，也就是說有且只有一個的意思。

4.例題分析：下列哪些對應是從集合A到集合B的映射？

（1）A={P|P是數(shù)軸h的點},B=R,對應關系f：數(shù)軸上的點與它所代表的實數(shù)對應；

（2）A={P|P是平面直角體系中的點},B={（x,y）|xdR,yGR},對應關系f：平

面直角體系中的點與它的坐標對應；

（3）A={三角形},B={x|x是圓},對應關系f：每一個三角形都對應它的內切圓；

（4）A={x|x是新華中學的班級},B={x|x是新華中學的學生},對應關系f：每一個

班級都對應班里的學生.

思考：

將（3）中的對應關系f改為：每一個圓都對應它的內接三角形；（4）中的對應關系f

改為：每一個學生都對應他的班級，那么對應f：BfA是從集合B到集合A的映射嗎？

5.完成課本練習

十一、作業(yè)布置

補充習題

課題：§1.3.1函數(shù)的單調性

教學目的：(1)通過已學過的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調性及其幾何意義;

(2)學會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質；

(3)能夠熟練應用定義判斷數(shù)在某區(qū)間上的的單調性.

教學重點：函數(shù)的單調性及其幾何意義.

教學難點：利用函數(shù)的單調性定義判斷、證明函數(shù)的單調性.

教學過程：

十二、引入課題

1.觀察下列各個函數(shù)的圖象，并說說它們分別反映了相應函數(shù)的哪些變化規(guī)律：

②能否看出函數(shù)的最大、最小值？

③函數(shù)圖象是否具有某種對稱性？

2.畫出下列函數(shù)的圖象，觀察其變化規(guī)律：y”

1.f(x)=X

①從左至右圖象上升還是下降?1-

②在區(qū)間上，隨著x的增一力——

大，Rx)的值隨著.

yA

2.f(x)=-2x+1

①從左至右圖象上升還是下降?..

②在區(qū)間____________上，隨著X的增

大，f(x)的值隨著______?-1ix

3.f(x)=x2-1

y彳k

①在區(qū)間________—上，f(x)的值隨

著X的增大而?1

②在區(qū)間____________上，f(x)的值隨

著X的增大而-1ix

-1-

十三、新課教學

(一)函數(shù)單調性定義

1.增函數(shù)

一般地，設函數(shù)y=f(x)的定義域為I,

如果對于定義域I內的某個區(qū)間D內的任意兩個自變量X|,X2,當X|〈X2時，都有

f(xi)<f(x2),那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)(increasingfunction).

思考：仿照增函數(shù)的定義說出減函數(shù)的定義.(學生活動)

注意:

①函數(shù)的單調性是在定義域內的某個區(qū)間上的性質，是函數(shù)的局部性質：

②必須是對于區(qū)間D內的任意兩個自變量X],X2；當X|<X2時，總有f(X|)<f(X2).

2.函數(shù)的單調性定義

如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)

間具有(嚴格的)單調性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調區(qū)間：

3.判斷函數(shù)單調性的方法步驟

利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調性的?般步驟：

①任取Xi，X2GD,且X|〈X2；

②作差*X|)-f(X2)；

?變形(通常是因式分解和配方)；

?定號(即判斷差f(X1)-f(X2)的正負)；

⑤下結論(即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調性).

(-)典型例題

例L(教材P34例1)根據(jù)函數(shù)圖象說明函數(shù)的單調性.

解：(略)

鞏固練習：課本P38練習第1、2題

例2.(教材P34例2)根據(jù)函數(shù)單調性定義證明函數(shù)的單調性.

解：(略)

鞏固練習：

①課本P38練習第3題；

②證明函數(shù)＞=_￥+—在(1,+8)上為增函數(shù).

X

例3.借助計算機作出函數(shù)y=-X?+2IxI+3的圖象并指出它的的單調區(qū)間.

解：(略)

思考：畫出反比例函數(shù)＞=4的圖象.

x

①這個函數(shù)的定義域是什么？

②它在定義域/上的單調性怎樣？證明你的結論.

說明：本例可利用兒何畫板、函數(shù)圖象生成軟件等作出函數(shù)圖象.

十四、歸納小結，強化思想

函數(shù)的單調性?般是先根據(jù)圖象判斷，再利用定義證明.畫函數(shù)圖象通常借助計算機,

求函數(shù)的單調區(qū)間時必須要注意函數(shù)的定義域，單調性的證明一般分五步：

取值一作差一變形一定號一下結論

十五、作業(yè)布置

1.書面作業(yè)：課本P45習題1.3(A組)第1-5題.

2.提高作業(yè)：設f(x)是定義在￡上的增函數(shù)，f(xy)=f(x)+fi(y),

①求f(0)、瑁)的值；

②若的尸1,求不等式f(x)+f(x-2)＞l的解集.

課題：§131函數(shù)的最大(小)值

教學目的：(1)理解函數(shù)的最大(小)值及其兒何意義；

(2)學會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質；

教學重點：函數(shù)的最大(小)值及其兒何意義.

教學難點：利用函數(shù)的單調性求函數(shù)的最大(小)值.

教學過程：

十六、引入課題

畫出下列函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象解答下列問題：

①說出y=f(x)的單調區(qū)間，以及在各單調區(qū)間上的單調性：

②指出圖象的最高點或最低點，并說明它能體現(xiàn)函數(shù)的什么特征？

(1)/(x)=-2x+3(2)/(x)=—2x+3xe［-1,2］

(3)/(x)=x2+2x+1(4)f(x)=x2+2x+lxe[-2,2]

十七、新課教學

(-)函數(shù)最大(小)值定義

1.最大值

?般地，設函數(shù)y=f(x)的定義域為1,如果存在實數(shù)M滿足：

(1)對于任意的xe/,都有f(x)<M；

(2)存在使得f(x0)=M

那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值(MaximumValue).

思考：仿照函數(shù)最大值的定義，給出函數(shù)產f(x)的最小值(MinimumValue)的定義.(學

生活動)

注意：

①函數(shù)最大(小)首先應該是某一個函數(shù)值，即存在x()G/,使得f(xo)=M；

②函數(shù)最大(小)應該是所有函數(shù)值中最大(小)的，即對于任意的xe/,都有f(x)

<M(f(x)\M).

2.利用函數(shù)單調性的判斷函數(shù)的最大(小)值的方法

①利用二次函數(shù)的性質(配方法)求函數(shù)的最大(小)值

②利用圖象求函數(shù)的最大(小)值

?利用函數(shù)單調性的判斷函數(shù)的最大(小)值

如果函數(shù)尸f(x)在區(qū)間［a,b］上單調遞增，在區(qū)間［b,c］匕單調遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b

處有最大值f(b)；

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上單調遞減，在區(qū)間［b,c］上單調遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b

處有最小值f(b)；

(-)典型例題

例1.(教材P36例3)利用二次函數(shù)的性質確定函數(shù)的最大(小)值.

解：(略)

說明：對于具有實際背景的問題，首先要仔細審清題意，適當設出變量，建立適當?shù)暮?/p>

數(shù)模型，然后利用二次函數(shù)的性質或利用圖象確定函數(shù)的最大(小)值.

鞏固練習：如圖，把截面半徑為

25cm的圓形木頭鋸成矩形木料，/T----------交卜

如果矩形一邊長為x,面積為y/夕/\

試將y表示成x的函數(shù)，并畫出I)

函數(shù)的大致圖象，并判斷怎樣鋸\1_____1/

才能使得截面面積最大？，

例2.(新題講解)

旅館定價

一個星級旅館有150個標準房，經過一段時間的經營，經理得到一些定價和住房率

的數(shù)據(jù)如下：

房價(元)住房率(％)

16055

14065

12075

10085

欲使每天的的營業(yè)額最高，應如何定價？

解：根據(jù)已知數(shù)據(jù)，可假設該客房的最高價為160元，并假設在各價位之間，房價

與住房率之間存在線性關系.

設y為旅館一天的客房總收入，X為與房價160相比降低的房價，因此當房價為

X

（160—x）元時，住房率為（55+為」0）%,于是得

X

y=150-（160-x）-（55+--10）%.

X

由于（55+步」0）%W1,可知0WxW90.

因此問題轉化為：當0<xW90時，求y的最大值的問題.

將y的兩邊同除以一個常數(shù)0.75,得yI=-X2+50X+17600.

由于二次函數(shù)y?在x=25時取得最大值，可知y也在x=25時,取得最大值，此時

房價定位應是160—25=135（元），相應的住房率為67.5%,最大住房總收入為13668.75

（元）.

所以該客房定價應為135元.（當然為了便于管理，定價140元也是比較合理的）

2

例3.（教材P37例4）求函數(shù)y=——在區(qū)間［2,6］上的最大值和最小值.

x-1

解：（略）

注意：利用函數(shù)的單調性求函數(shù)的最大（?。┲档姆椒ㄅc格式.

鞏固練習：（教材P38練習4）

十八、歸納小結，強化思想

函數(shù)的單調性一般是先根據(jù)圖象判斷，再利用定義證明.畫函數(shù)圖象通常借助計算機,

求函數(shù)的單調區(qū)間時必須要注意函數(shù)的定義域，單調性的證明?般分五步：

取值一作差一變形一定號一下結論

十九、作業(yè)布置

3.書面作業(yè)：課本P45習題1.3（A組）第6、7、8題.

提高作業(yè)：快艇和輪船分別從A地和C地同時開出，如下圖，各沿箭頭方向航行，

快艇和輪船的速度分別是45km/h和15km/h,已知AC=150km,經過多少時間后，

快艇和輪船之間的距離最短？

課題：§132函數(shù)的奇偶性

-----------A

教學目的：（1）理解函數(shù)的奇偶性fjt幾何意義:-------

（2）學會運用函數(shù)圖多畦和研究函數(shù)的性質；

（3）學會判斷函數(shù)的@偶性.

教學重點：函數(shù)的奇偶性及其幾&於義.

教學難點：判斷函數(shù)的奇偶性的方法與格式.

教學過程：

二十、引入課題

1.實踐操作：（也可借助計算機演示）

取一張紙，在其上畫出平面直角坐標系，并在第一象限任畫一可作為函數(shù)圖象的圖形，

然后按如下操作并回答相應問題：

①以y軸為折痕將紙對折，并在紙的背面(即第二象限)畫出第一象限內圖形的痕跡，

然后將紙展開，觀察坐標系中的圖形；

問題:將第一象限和第二象限的圖形看成一個整體,則這個圖形可否作為某個函數(shù)y=f(x)

的圖象,若能請說出該圖象具有什么特殊的性質？函數(shù)圖象上相應的點的坐標有什么特

殊的關系？

答案：(1)可以作為某個函數(shù)y=f(x)的圖象，并且它的圖象關于y軸對稱；

(2)若點(x,f(x))在函數(shù)圖象上，則相應的點(一X,f(x))也在函數(shù)圖象上，

即函數(shù)圖象上橫坐標互為相反數(shù)的點，它們的縱坐標一定相等.

②以y軸為折痕將紙對折，然后以x軸為折痕將紙對折，在紙的背面(即第三象限)

畫出第一象限內圖形的痕跡，然后將紙展開，觀察坐標系中的圖形：

問題:將第?象限和第三象限的圖形看成一個整體，則這個圖形可否作為某個函數(shù)y=f(x)

的圖象，若能請說出該圖象具有什么特殊的性質？函數(shù)圖象上相應的點的坐標有什么特

殊的關系？

答案：(1)可以作為某個函數(shù)y=f(x)的圖象，并且它的圖象關于原點對稱；

(2)若點(x,f(x))在函數(shù)圖象上，則相應的點(一X,-f(x))也在函數(shù)圖象上，

即函數(shù)圖象上橫坐標互為相反數(shù)的點，它們的縱坐標也一定互為相反數(shù).

2.觀察思考(教材P39、P40觀察思考)

二十一、新課教學

(-)函數(shù)的奇偶性定義

象上面實踐操作①中的圖象關于y軸對稱的函數(shù)即是偶函數(shù)，操作②中的圖象關于原點

對稱的函數(shù)即是奇函數(shù).

1.偶函數(shù)(evenfunction)

一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內的任意一個x,都有H—x尸出x),那么f(x)就叫做偶

函數(shù).

(學生活動)：仿照偶函數(shù)的定義給出奇函數(shù)的定義

2.奇函數(shù)(oddfunction)

一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內的任意一個x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做奇

函數(shù).

注意：

①函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質；

②由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義城內的任

意一個X,則一X也一定是定義域內的一個自變量(即定義域關于原點對稱).

(-)具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征

偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱；

奇函數(shù)的圖象關于原點對稱.

(三)典型例題

1.判斷函數(shù)的奇偶性

例1.(教材P36例3)應用函數(shù)奇偶性定義說明兩個觀察思考中的四個函數(shù)的奇偶性.(本

例由學生討論，師生共同總結具體方法步驟)

解：(略)

總結：利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：

①首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關于原點對稱；

②確定我一X)與*x)的關系；

?作出相應結論：

若f(—x)=f(x)或f(—X)—f(x)=O,則f(x)是偶函數(shù)；

若出一x)=-[x)或f(-x)+f(x)=o,則f(x)是奇函數(shù).

鞏固練習:(教材P41例5)

例2.(教材P46習題1.3B組每1題)

解：(略)

說明：函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是，定義域關于原點對稱，所以判斷函數(shù)的奇偶

性應應首先判斷函數(shù)的定義域是否關于原點對稱，若不是即可斷定函數(shù)是非奇非偶函

數(shù).

2.利用函數(shù)的奇偶性補全函數(shù)的圖象

(教材P41思考題)

規(guī)律：

偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱；

奇函數(shù)的圖象關于原點對稱.

說明：這也可以作為判斷函數(shù)奇偶性的依據(jù).

鞏固練習：(教材P42練習1)

3.函數(shù)的奇偶性與單調性的關系

(學生活動)舉兒個簡單的奇函數(shù)和偶函數(shù)的例子，并畫出其圖象，根據(jù)圖象判斷奇函

數(shù)和偶函數(shù)的單調性具有什么特殊的特征.

例3.已知f(x)是奇函數(shù)，在(0,+°°)上是增函數(shù)，證明：f(x)在(一8,0)上也是增函

數(shù)

解：(由一名學生板演，然后師生共同評析，規(guī)范格式與步驟)

規(guī)律：

偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上單調性相反；

奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上單調性一致.

二十二、歸納小結，強化思想

本節(jié)主要學習了函數(shù)的奇偶性，判斷函數(shù)的奇偶性通常有兩種方法,即定義法和圖象法,

用定義法判斷函數(shù)的奇偶性時，必須注意首先判斷函數(shù)的定義域是否關于原點對稱.單調性

與奇偶性的綜合應用是本節(jié)的一個難點，需要學生結合函數(shù)的圖象充分理解好單調性和奇偶

性這兩個性質.

二十三、作業(yè)布置

4.書面作業(yè)：課本P46習題1.3(A組)第9、10題，B組第2題.

2.補充作業(yè)：判斷下列函數(shù)的奇偶性：

②/(x)-x3-2x

?f(x)-a(xeR)

x(l-x)x>0,

④f(x)=<

x(l+x)x<0.

3.課后思考：

已知/(x)是定義在R上的函數(shù),

設g(x)二也小L力⑴二失5

①試判斷g(x)與〃(x)的奇偶性；

②試判斷g(x),〃(x)與/'(X)的關系；

?由此你能猜想得出什么樣的結論，并說明理由.

課題：§2.1.1指數(shù)

教學目的：(1)掌握根式的概念;

(2)規(guī)定分數(shù)指數(shù)幕的意義；

(3)學會根式與分數(shù)指數(shù)幕之間的相互轉化;

(4)理解有理指數(shù)基的含義及其運算性質；

(5)了解無理數(shù)指數(shù)幕的意義

教學重點：分數(shù)指數(shù)幕的意義，根式與分數(shù)指數(shù)幕之間的相互轉化，有理指數(shù)幕的運算性質

教學難點：根式的概念，根式與分數(shù)指數(shù)塞之間的相互轉化，了解無理數(shù)指數(shù)塞.

教學過程：

二十四、引入課題

1.以折紙問題引入，激發(fā)學生的求知欲望和學習指數(shù)概念的積極性

2.由實例引入，了解指數(shù)指數(shù)概念提出的背景，體會引入指數(shù)的必要性;

3.復習初中整數(shù)指數(shù)基的運算性質；

a-a=a

(amy=am"

(ab)n=anb"

4.初中根式的概念；

如果一個數(shù)的平方等于a,那么這個數(shù)叫做a的平方根，如果一個數(shù)的立方等于a,

那么這個數(shù)叫做a的立方根：

二十五、新課教學

(一)指數(shù)與指數(shù)幕的運算

I.根式的概念

--般地，如果x"=a,那么x叫做a的n次方根(nthroot),其中〃>1,且〃wN

當“是奇數(shù)時，正數(shù)的〃次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的〃次方根是一個負數(shù).此時，。的

九次方根用符號后表示.

式子后叫做根式(radical),這里〃叫做根指數(shù)(radicalexponent),〃叫做被開方數(shù)

(radicand).

當〃是偶數(shù)時，正數(shù)的〃次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù).此時，正數(shù)。的正的〃

次方根用符號卷表示，負的〃次方根用符號一標表示.正的“次方根與?負的〃次方根可

以合并成土爪(a>0).

由此可得：負數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是0,記作《歷=0.

思考：(課本P58探究問題)叱=a一定成立嗎？.(學生活動)

結論：當〃是奇數(shù)時，叱=a

I—[a(a>0)

當”是偶數(shù)時，必屋=|a|=4

[-a(a<0)

例1.(教材P58例D.

解:(略)

鞏固練習：(教材P58例1)

2.分數(shù)指數(shù)累

正數(shù)的分數(shù)指數(shù)暴的意義

規(guī)定：

m__

a"='y[a^(a>0,m,neN*,n>\)

J—(a>0,m,neN*,〃>1)

Ma

a

0的正分數(shù)指數(shù)基等于0,0的負分數(shù)指數(shù)幕沒有意義

指出：規(guī)定了分數(shù)指數(shù)幕的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)，那

么整數(shù)指數(shù)幕的運算性質也同樣可以推廣到有理數(shù)指數(shù)幕.

3.有理指數(shù)幕的運算性質

(1)a',ar=ar+s(a>0,r,seQ)；

(2)(ar)s=ar,(a>0,r,seQ)；

(3)(ab)r=aras(a>0,b>0,reQ).

引導學生解決本課開頭實例問題

例2.(教材P60例2、例3、例4、例5)

說明：讓學生熟練掌握根式與分數(shù)指數(shù)幕的互化和有理指數(shù)幕的運算性質運用.

鞏固練習：(教材P63練習1-3)

4.無理指數(shù)幕

結合教材.P62實例利用逼近的思想理解無理指數(shù)'幕的意義.

指出：一般地，無理數(shù)指數(shù)幕a是無理數(shù))是一個確定的實數(shù).有理數(shù)指數(shù)

幕的運算性質同樣適用于無理數(shù)指數(shù)幕.

思考：(教材P63練習4)

鞏固練習思考：：(教材P62思考題)

例3.（新題講解）從盛滿1升純酒精的容器中倒HJ升，然后用水填滿，再倒出升,

33

又用水填滿，這樣進行5次，則容器中剩下的純酒精的升數(shù)為多少？

解：（略）

點評：本題還可以進一步推廣，說明可以用指數(shù)的運算來解決生活中的實際問題.

二十六、歸納小結，強化思想

本節(jié)主要學習了根式與分數(shù)指數(shù)嘉以及指數(shù)塞的運算,分數(shù)指數(shù)累是根式的另,種表示

形式，根式與分數(shù)指數(shù)幕可以進行互化.在進行指數(shù)幕的運算時，?般地，化指數(shù)為正指數(shù),

化根式為分數(shù)指數(shù)事，化小數(shù)為分數(shù)進行運算，便于進行乘除、乘方、開方運算，以達到化

繁為簡的目的，對含有指數(shù)式或根式的乘除運算，還要善于利用轅的運算法則.

二十七、作業(yè)布置

5.必做題：教材P69習題2.1（A組）第1—4題.

6.選做題：教材P70習題2.1（B組）第2題.

課題：§2.1.2指數(shù)函數(shù)及其性質

教學任務：（1）使學生了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景，認識數(shù)學與現(xiàn)實生活及其他學科的聯(lián)

系；

（2）理解指數(shù)函數(shù)的的概念和意義，能畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解指

數(shù)函數(shù)的單調性和特殊點；

（3）在學習的過程中體會研究具體函數(shù)及其性質的過程和方法，如具體到一般的

過程、數(shù)形結合的方法等.

教學重點：指數(shù)函數(shù)的的概念和性質.

教學難點：用數(shù)形結合的方法從具體到一般地探索、概括指數(shù)函數(shù)的性質.

教學過程：

二十八、引入課題

（備選引例）

5.（合作討論）人口問題是全球性問題，由于全球人口迅猛增加，已引起全世界關

注.世界人口2000年大約是60億，而且以每年1.3%的增長率增長，按照這種增長

速度，到2050年世界人口將達到100多億，大有“人口爆炸”的趨勢.為此，全

球范圍內敲起了人口警鐘，并把每年的7月11日定為“世界人口日”，呼吁各國要

控制人口增長.