動量和能量守恒

動量和能量守恒第一頁，共二十七頁，2022年，8月28日質(zhì)點(diǎn)的動量定理(續(xù)）注意：沖量是矢量。沖量的方向?yàn)閯恿吭隽康姆较蛸|(zhì)點(diǎn)動量定理在直角坐標(biāo)系中的分量式為：顯然，質(zhì)點(diǎn)在某一軸線上的動量增量，僅與該質(zhì)點(diǎn)在此軸線上所受外力的沖量有關(guān)。其速度變化不相同,但動量的變化卻是一樣的。由動量定理知:在相等的沖量作用下,不同質(zhì)量的物體因此動量p作為描述物體機(jī)械運(yùn)動的狀態(tài)參量.(還有r)下頁上頁結(jié)束返回第二頁，共二十七頁，2022年，8月28日二.質(zhì)點(diǎn)系的動量定理1??2S設(shè)系統(tǒng)內(nèi)有兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)1和2,質(zhì)量分別為m1和m2,分別受外力F1和F2作用.F1F2兩質(zhì)點(diǎn)間的相互作用為F12和F21F12F21對各質(zhì)點(diǎn)有動量定理:上兩式相加得:即:F12+F21=0由于F12和F21是作用力和反作用.則:下頁上頁結(jié)束返回第三頁，共二十七頁，2022年，8月28日質(zhì)點(diǎn)系的動量定理續(xù)即作用于兩質(zhì)點(diǎn)組成系統(tǒng)的合外力的沖量等于系統(tǒng)內(nèi)兩質(zhì)點(diǎn)動量之和的增量.推廣到n個(gè)質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)由于內(nèi)力總是成對出現(xiàn),即則:或:I=p-p0上式表明:作用于系統(tǒng)的合外力的沖量等于系統(tǒng)動量的增量——質(zhì)點(diǎn)系的動量定理.對在無限小的時(shí)間間隔或作用于質(zhì)點(diǎn)系的合外力等于質(zhì)點(diǎn)系動量隨時(shí)間的變化率.下頁上頁結(jié)束返回第四頁，共二十七頁，2022年，8月28日例1.如圖,一質(zhì)量為0.20kg、速率為5m/s的鋼球,以與鋼板法線成60°角的方向撞擊在鋼板上,并以相同的速率和角度彈回來.設(shè)球與鋼板的碰撞時(shí)間為0.05s.求在此碰撞時(shí)間內(nèi)鋼板所受到的平均沖力.解：已知v1=v2=v=5m/s建立如圖坐標(biāo)系yxv1v2對鋼球,由動量定理的分量式=2mvcos=mvsin-mvsin=0因此,球受的平均沖力為則鋼板受的作用力與球受的力大小相等,方向相反.代入數(shù)據(jù)有F′的方向與Ox軸正向相反下頁上頁結(jié)束返回第五頁，共二十七頁，2022年，8月28日三質(zhì)點(diǎn)系的動量守恒定律由動量定理當(dāng)系統(tǒng)所受合外力為零時(shí),即Fex=0時(shí),系統(tǒng)的動量不變.即:系統(tǒng)所受合外力為零時(shí),系統(tǒng)的總動量將保持不變———動量守恒定律在直角坐標(biāo)系中的分量式為式中C1、C2和C3均為恒量。下頁上頁結(jié)束返回第六頁，共二十七頁，2022年，8月28日應(yīng)用動量守恒時(shí)注意：1.動量是矢量.系統(tǒng)的總動量不變是指系統(tǒng)內(nèi)各物體動量的矢量和不變,而不是指哪個(gè)物體的動量不變.2.系統(tǒng)所受合外力為零時(shí),系統(tǒng)的動量守恒.但在應(yīng)用時(shí)若外力遠(yuǎn)小于系統(tǒng)的內(nèi)力時(shí)可近似認(rèn)為動量守恒.3.動量守恒式可單獨(dú)應(yīng)用其分量式.即某方向外力為零.則該方向動量守恒(反映了力的獨(dú)立性和疊加性).4.動量守恒定律是物理學(xué)最普遍、最基本的定律之一.在微觀領(lǐng)域牛頓定律不適用,而動量守恒卻適用.5.動量定理和動量守恒只在慣性系中成立.因此運(yùn)用它時(shí)要選定一慣性參考系.下頁上頁結(jié)束返回第七頁，共二十七頁，2022年，8月28日例2.P40如圖，一質(zhì)量為m的球在質(zhì)量為M的1/4圓弧滑槽中從靜止滑下。設(shè)圓弧的半徑為R，如所有摩擦都可忽略，求當(dāng)小球m滑到槽底時(shí)，M滑槽在水平上移動的距離。解:先受力分析水平方向不受外力，故水平方向動量守恒.以向右為x正向,有解得沒m在槽上運(yùn)動時(shí)間為t,運(yùn)動距離為R下頁上頁結(jié)束返回MgNmgvV滑槽在水平上移動的距離第八頁，共二十七頁，2022年，8月28日§2.4功動能勢能機(jī)械能守恒§2.4.1功功率定義：力對質(zhì)點(diǎn)所作的功為力在質(zhì)點(diǎn)位移方向的分量與位移大小的乘積。元功：?ABFdrdA=Fcosds=F·dr這里

|dr|=ds則總功：功是標(biāo)量。功有正功、負(fù)功之分。功是力對空間的累積效應(yīng)。功可以用圖示法來計(jì)算。在Fcos~s曲線中，曲線下的面積等于變力的功Fcosss1s2下頁上頁結(jié)束返回第九頁，共二十七頁，2022年，8月28日功在直角坐標(biāo)系中的表示由合力的功若幾個(gè)力同時(shí)作用在質(zhì)點(diǎn)上，則即：合力的功等于各分力所作功的代數(shù)和。功的單位:焦耳(Joule).符號:J量綱：ML2T-2功率單位：瓦特(Watt)1W=1J·s-1下頁上頁結(jié)束返回第十頁，共二十七頁，2022年，8月28日例1.一質(zhì)量為m的小球豎直落入水中,剛接觸水面時(shí)其速率為v0.設(shè)球在水中所受浮力與重力相等,水的阻力為Fr=

-bv,b為一常量.求阻力對球的功與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系.解:取水面為坐標(biāo)原點(diǎn)O,豎直向下為Ox軸正向.水的阻力作功為即由牛頓運(yùn)動定律故下頁上頁結(jié)束返回第十一頁，共二十七頁，2022年，8月28日§2.42.質(zhì)點(diǎn)的動能定理設(shè)質(zhì)點(diǎn)m在合外力F的作用下,從點(diǎn)1沿運(yùn)動到點(diǎn)2，1?2?F?其在A、B點(diǎn)的速率分別為v1和v2v1v2力F作的元功為dr又因?yàn)楣史e分后有定義：為質(zhì)點(diǎn)的動能。上式表明：合外力對質(zhì)點(diǎn)作的功,等于質(zhì)點(diǎn)動能的增量—動能定理.注意1.功是過程量,動能是狀態(tài)量.功是動能狀態(tài)變化的量度.2.該定理適用于慣性系,且只能應(yīng)用于同一慣性系.下頁上頁結(jié)束返回第十二頁，共二十七頁，2022年，8月28日例題2.0已知質(zhì)量m=1.0Kg,0=30o.求10o時(shí),小球的速率v解:小球在任意時(shí)刻受重力P與拉力T.PT外力作功dr且cos=sin,ds=-ld代積分上下限由動能定理因?yàn)関0=0代入數(shù)據(jù)l=1m,0=30o,=10o所以v=1.53m/s第十三頁，共二十七頁，2022年，8月28日§2.4.3保守力與非保守力勢能一、萬有引力、重力、彈性力作功的特點(diǎn)1.重力作功xyP質(zhì)量為m的物體在重力作用下,沿acb,重力P對物體作力為a??b?cdA=P·drdr故：或y1y2上式表明：重力作功只與質(zhì)點(diǎn)的起始和終了位置有關(guān)，而與所經(jīng)過的路徑無關(guān)。引入勢能后有：重力作等于物體重力勢能增量的負(fù)值。下頁上頁結(jié)束返回第十四頁，共二十七頁，2022年，8月28日2.萬有引力作功質(zhì)點(diǎn)m受到M(固定不動)的萬有引力M?mrr+drdrer為沿r的單位矢量er則萬有引力作功為:如圖erdrdr所以積分:rAABrB可見,萬有引力作功也只取決于質(zhì)點(diǎn)的起始和終了位置而與所經(jīng)過的路徑無關(guān).下頁上頁結(jié)束返回第十五頁，共二十七頁，2022年，8月28日3.彈力作功Fmox質(zhì)量為m的物體與一彈簧相連,設(shè)O為平衡點(diǎn)當(dāng)質(zhì)點(diǎn)位移為x時(shí)x質(zhì)點(diǎn)受彈性力為F=-kxi彈性力作功為彈簧由x1x2時(shí)xFdAdxx1x2可見對在彈性限度內(nèi),具有勁度系數(shù)為k的彈簧來說.彈性力所作的功也只由彈簧起始和終了位置決定,而與彈性形變的過程無關(guān).下頁上頁結(jié)束返回第十六頁，共二十七頁，2022年，8月28日二.保守力與非保守力保守作功的數(shù)學(xué)表達(dá)式

保守力與非保守力作功只與物體的始末位置有關(guān),與路徑無關(guān)的力叫保守力.保守力作功的數(shù)學(xué)表達(dá)式設(shè)一物體在保守力作用下從點(diǎn)A沿路徑ACB運(yùn)動到B.或沿路徑ADB運(yùn)動到B.ACBD有而則=0物體沿任意閉合路徑運(yùn)動一周時(shí),保守力所作的功為零.保守力作功的數(shù)學(xué)表達(dá)式.非保守力作功則一定有下頁上頁結(jié)束返回第十七頁，共二十七頁，2022年，8月28日三.勢能由保守力作功重力作功萬有引力作功彈力作功可寫為統(tǒng)一的一般形式EP為物體的勢能.此時(shí)有三種勢能重力勢能引力勢能彈性勢能保守力作對物體作的功等于物體勢能增量的負(fù)值.一維情況下有:對小x來說作用于x軸上的保守力等于物體勢能對x的導(dǎo)數(shù)的負(fù)值.下頁上頁結(jié)束返回第十八頁，共二十七頁，2022年，8月28日2.4.4質(zhì)點(diǎn)系的動能定理與功能原理一.質(zhì)點(diǎn)系的動能定理對單一質(zhì)點(diǎn)有A=Ek-Ek0對質(zhì)點(diǎn)系(多個(gè)質(zhì)點(diǎn))則有系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)初動能和是這些質(zhì)點(diǎn)末動能和是作用在各質(zhì)點(diǎn)上的力所作功之和.即作用于質(zhì)點(diǎn)系的力所作的功.等于該質(zhì)點(diǎn)系的動能增量若作用于質(zhì)點(diǎn)的力可分為系統(tǒng)外的力與系統(tǒng)內(nèi)的力，則內(nèi)=A外+A內(nèi)則質(zhì)點(diǎn)系的動能的增量等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的一切外力作的功與一切內(nèi)力所作的功之和。下頁上頁結(jié)束返回A外+A內(nèi)第十九頁，共二十七頁，2022年，8月28日二、質(zhì)點(diǎn)系的功能原理A內(nèi)又可分為保守內(nèi)力和非保守內(nèi)力A內(nèi)=A內(nèi)保+A內(nèi)非而即系統(tǒng)內(nèi)保守力作功等于勢能增量的負(fù)值。則質(zhì)點(diǎn)系動能定理為A外+A內(nèi)保+A內(nèi)非則進(jìn)一步變?yōu)锳外+A內(nèi)非令叫系統(tǒng)的機(jī)械能.則:A外+A內(nèi)非=E-E0機(jī)械能的增量,等于外力與非保守內(nèi)力對質(zhì)點(diǎn)系作功之和.——質(zhì)點(diǎn)系的功能原理注意：A外是質(zhì)點(diǎn)系的外力作功之和,不是合外力的功。下頁上頁結(jié)束返回A內(nèi)保第二十頁，共二十七頁，2022年，8月28日m原點(diǎn)O處勢能為零例3一輕彈簧一端系于固定斜面的上端，另一端連著質(zhì)量為m的物塊，物塊與斜面的摩擦系數(shù)為，彈簧的勁度系數(shù)為k,斜面傾角為，今將物塊由彈簧的自然長度拉伸l后由靜止釋放，物塊第一次靜止在什么位置？xoy解：取彈簧自然伸長為原點(diǎn)在物塊向上滑至x處時(shí)由功能原理物塊靜止時(shí)v=0可解得第二十一頁，共二十七頁，2022年，8月28日2.4.5機(jī)械能守恒定律當(dāng)A外=0,A內(nèi)非=0時(shí)，有E=E0即：或即Ek=-EP當(dāng)作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力和非保守內(nèi)力不作功時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系的機(jī)械能守恒?；蛘f在滿足機(jī)械能守恒條件下，動能的增量必等于勢能的減少。在封閉系統(tǒng)內(nèi)，不論發(fā)生何種變化過程，各種形式的能量可以互相轉(zhuǎn)化，但能量的總和是恒量?！芰渴睾愣蓮墓δ荜P(guān)系可見：功是能量變換或變化的一種量度。下頁上頁結(jié)束返回第二十二頁，共二十七頁，2022年，8月28日例1如圖,一雪橇從高度為50m的山頂上點(diǎn)A沿冰道由靜止下滑.坡道AB長500m.雪橇在水平冰道繼續(xù)滑行若干米后停止在C.若摩擦系數(shù)為0.050.求此雪橇沿水平冰道滑行的路程.A?BC解:坡道上受力分析如圖PFNFf以雪橇、冰道、地球?yàn)橄到y(tǒng),只有非保守—摩擦力作功h由功能原理A=A1+A2=(EP2+Ek2)–(EP1+Ek1)已知EP1=mgh,Ek1=0,在C點(diǎn)EP2=0,Ek2=0在坡道上=-smgcos-mgs平道上A2=-mgs所以-mgh=-mg(s+s)=500m下頁上頁結(jié)束返回第二十三頁，共二十七頁，2022年，8月28日例、宇宙速度1.人造衛(wèi)星第一宇宙速度衛(wèi)星繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)的發(fā)射速度v設(shè)衛(wèi)星以v1豎直向上,在高度h處以v作勻速圓周運(yùn)動以地球,衛(wèi)星為系統(tǒng)機(jī)械能守恒:整理:由牛頓定律和萬有引力定律得令因?yàn)閔?RE此時(shí)下頁上頁結(jié)束返回第二十四頁，共二十七頁，2022年，8月28日2人造行星第二宇宙速度衛(wèi)星脫離地球,成為太陽系的行星.此時(shí)衛(wèi)星離地球無限遠(yuǎn).EP=0若此時(shí)動能也為零,Ek=0則總機(jī)械能E=EP+Ek=0設(shè)物體發(fā)射最小速度為v2由機(jī)械能守恒:解得v2為第二宇宙速度.若發(fā)射速度大于v2則E>0此時(shí)衛(wèi)星繞太陽作橢圓運(yùn)動,成為人造行星能量與以地球?yàn)閰⒖枷档年P(guān)系如下:E<0E=0拋物線E>0雙曲線下頁上頁