材料力學(xué)講義三零

材料力學(xué)講授:顧志榮第十章應(yīng)力狀態(tài)理論基礎(chǔ)

同濟大學(xué)航空航天與力學(xué)學(xué)院

顧志榮材料力學(xué)第十章應(yīng)力狀態(tài)理論基礎(chǔ)一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述二平面應(yīng)力狀態(tài)分析—數(shù)解法三平面應(yīng)力狀態(tài)分析—圖解法四三向應(yīng)力狀態(tài)五廣義虎克定律六三向應(yīng)力狀態(tài)下的變形能一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述第十章應(yīng)力狀態(tài)理論基礎(chǔ)第十章應(yīng)力狀態(tài)理論基礎(chǔ)/一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述1問題的提出2應(yīng)力的三個重要概念3一點應(yīng)力狀態(tài)的描述一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述/1問題的提出

討論基本變形強度問題時的共同特點:危險截面上的危險點只承受正應(yīng)力或剪應(yīng)力F拉(壓):一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述/1問題的提出

扭轉(zhuǎn):討論基本變形強度問題時的共同特點:危險截面上的危險點只承受正應(yīng)力或剪應(yīng)力一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述/1問題的提出

討論基本變形強度問題時的共同特點:危險截面上的危險點只承受正應(yīng)力或剪應(yīng)力一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述/1問題的提出

對于橫截面上既有正應(yīng)力又有剪應(yīng)力的一些點如何建立強度條件?這些點強度條件的危險應(yīng)力如何確定?一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述/1問題的提出

FPl/2l/2S平面5544332211

S平面123S平面

5544332211一應(yīng)力狀態(tài)態(tài)的概念及其其描述/1問題的提出4PlFMz=一應(yīng)力狀態(tài)態(tài)的概念及其其描述/1問題的提出為什么鋼筋混混凝土梁在加加載試驗過程程中,除了在跨中底底部會發(fā)生豎豎向裂縫外,其他部位還會會發(fā)生斜向裂裂紋?這些問題都要要通過應(yīng)力狀狀態(tài)的分析來來解決.2.應(yīng)力狀態(tài)的三三個重要概念念(1)應(yīng)力的面的概概念(2)應(yīng)力的點的概概念(3)應(yīng)力狀態(tài)的概概念第十章應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)理論論基礎(chǔ)/一應(yīng)力狀態(tài)態(tài)的概念及其其描述軸向拉壓同一橫截面上上各點應(yīng)力相相等：FF同一點在斜截截面上時：第十章應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)理論論基礎(chǔ)/一應(yīng)力狀態(tài)態(tài)的概念及其其描述此例表明：即即使同一點在在不同方位截截面上，它的的應(yīng)力也是各各不相同的，，此即應(yīng)力的面的概概念。橫截面上正應(yīng)應(yīng)力分析和切切應(yīng)力分析的的結(jié)果表明：：同一面上不不同點的應(yīng)力力各不相同，，此即應(yīng)力的點的概概念。第十章應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)理論論基礎(chǔ)/一應(yīng)力狀態(tài)態(tài)的概念及其其描述應(yīng)力指明哪一個面上哪一點？哪一點哪個方向面？？第十章應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)理論論基礎(chǔ)/一應(yīng)力狀態(tài)態(tài)的概念及其其描述過一點不同方方向面上應(yīng)力力的集合，稱稱之為這一點點的應(yīng)力狀態(tài)。應(yīng)力狀態(tài)分析析就是研究一點點處沿各個不不同方位的截截面上的應(yīng)力力及其變化規(guī)規(guī)律。第十章應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)理論論基礎(chǔ)/一應(yīng)力狀態(tài)態(tài)的概念及其其描述單元體3.一點應(yīng)力狀態(tài)態(tài)的描述第十章應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)理論論基礎(chǔ)/一應(yīng)力狀態(tài)態(tài)的概念及其其描述圖示為一矩形形截面鑄鐵梁梁，受兩個橫橫向力作用。。從梁表面的的A、B、C三點處取出的的單元體上，，用箭頭表示示出各個面上上的應(yīng)力。課堂練習(xí)第十章應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)理論論基礎(chǔ)/一應(yīng)力狀態(tài)態(tài)的概念及其其描述FPl/2l/2S’平面5544332211S’平面第十章應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)理論論基礎(chǔ)/一應(yīng)力狀態(tài)的概概念及其描述課堂練習(xí)繪圖示梁S’平面上各點的應(yīng)力單元體體123S’平面

5544332211一應(yīng)力狀態(tài)的概概念及其描述/1問題的提出FPlaS第十章應(yīng)力狀狀態(tài)理論基礎(chǔ)/一應(yīng)力狀態(tài)的概概念及其描述課堂練習(xí)繪圖示構(gòu)件固端S截面上、下、左、右切線點處的應(yīng)力力單元體xzy4321S平面第十章應(yīng)力狀狀態(tài)理論基礎(chǔ)/一應(yīng)力狀態(tài)的概概念及其描述SFPyxzMzFQyMx4321143第十章應(yīng)力狀狀態(tài)理論基礎(chǔ)/一應(yīng)力狀態(tài)的概概念及其描述課堂練習(xí)l課堂練習(xí)承受內(nèi)壓、扭轉(zhuǎn)的的薄壁圓筒,試從加強肋之間取取應(yīng)力單元體第十章應(yīng)力狀狀態(tài)理論基礎(chǔ)/一應(yīng)力狀態(tài)的概概念及其描述ｐＤｐπD２４)Dp(xsｐ第十章應(yīng)力狀狀態(tài)理論基礎(chǔ)/一應(yīng)力狀態(tài)的概概念及其描述ｐｐ×Ｄ×ｌ第十章應(yīng)力狀狀態(tài)理論基礎(chǔ)/一應(yīng)力狀態(tài)的概概念及其描述l第十章應(yīng)力狀狀態(tài)理論基礎(chǔ)/一應(yīng)力狀態(tài)的概概念及其描述ltsms第十章應(yīng)力狀狀態(tài)理論基礎(chǔ)/一應(yīng)力狀態(tài)的概概念及其描述ｐ二平面應(yīng)力狀態(tài)態(tài)分析—數(shù)解法第十章應(yīng)力狀狀態(tài)理論基礎(chǔ)第十章應(yīng)力狀狀態(tài)理論基礎(chǔ)/二平面應(yīng)力狀態(tài)態(tài)分析—數(shù)解法1.斜截面上的應(yīng)力已知受力構(gòu)件中的的應(yīng)力單元體求垂直于xy面的任意斜截面ef上的應(yīng)力公式推導(dǎo)使用的符符號規(guī)定：α角由x正向逆時針轉(zhuǎn)到n正向者為正；反之之為負。正應(yīng)力拉應(yīng)力為正壓應(yīng)力為負切應(yīng)力使單元體或其局部部順時針方向轉(zhuǎn)動動為正；反之為負負。第十章應(yīng)力狀狀態(tài)理論基礎(chǔ)/二平面應(yīng)力狀態(tài)態(tài)分析—數(shù)解法αα公式推導(dǎo)(1)面上的應(yīng)力：第十章應(yīng)力狀狀態(tài)理論基礎(chǔ)/二平面應(yīng)力狀態(tài)態(tài)分析—數(shù)解法用斜截面截取，此截面上的應(yīng)力為公式推導(dǎo)(2)面上的應(yīng)力：即單元體兩個相互垂垂直面上的正應(yīng)力之和是一一個常數(shù)。即又一次證明了剪剪應(yīng)力的互等定理理。公式推導(dǎo)(3)面上的應(yīng)力之間的的關(guān)系：第十章應(yīng)力狀狀態(tài)理論基礎(chǔ)/二平面應(yīng)力狀態(tài)態(tài)分析—數(shù)解法2.在何處?該處令,則:即:面上有第十章應(yīng)力狀狀態(tài)理論基礎(chǔ)/二平面應(yīng)力狀態(tài)態(tài)分析—數(shù)解法在何處?令得:任意(為方便)令:可發(fā)現(xiàn):①正應(yīng)力極值有兩個個方面②相差第十章應(yīng)力狀狀態(tài)理論基礎(chǔ)/二平面應(yīng)力狀態(tài)態(tài)分析—數(shù)解法將代入式式,得顯然,在面上3、=?在何處？該處σ=？令面上的正應(yīng)力:即:方位:大小:將代式式,得:4、主平面、主應(yīng)力力、主應(yīng)力的排列列主平面：單元體中中只有正應(yīng)力而沒沒有剪應(yīng)力的平面面稱為主平面。主應(yīng)力：主平面上上的正應(yīng)力稱為該該點的主應(yīng)力。主應(yīng)力的排列：用代數(shù)值確定，排排列為、、三向（空間）應(yīng)力力狀態(tài)第十章應(yīng)力狀狀態(tài)理論基礎(chǔ)/一應(yīng)力狀態(tài)的概概念及其描述5、應(yīng)力狀態(tài)的分類類：平面（二向）應(yīng)力力狀態(tài)第十章應(yīng)力狀狀態(tài)理論基礎(chǔ)/一應(yīng)力狀態(tài)的概概念及其描述xyxy單向應(yīng)力狀態(tài)純剪應(yīng)力狀態(tài)第十章應(yīng)力狀狀態(tài)理論基礎(chǔ)/一應(yīng)力狀態(tài)的概概念及其描述三向應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài)單向應(yīng)力狀態(tài)純剪應(yīng)力狀態(tài)特例特例第十章應(yīng)力狀狀態(tài)理論基礎(chǔ)/一應(yīng)力狀態(tài)的概概念及其描述一點處的平面應(yīng)力狀態(tài)如圖所示。已知

試求（1）斜面上的應(yīng)力；（2）主應(yīng)力、主平面；（3）繪出主應(yīng)力單元體。例題（1）斜面上的應(yīng)力解、(1)斜面上的應(yīng)力（2）主應(yīng)力主平面的方位：哪個主應(yīng)力對應(yīng)于于哪一個主方向，，可以采用以下方方法：主應(yīng)力的方向：主應(yīng)力的方向：++圖示應(yīng)力單元體，，試求斜面ab和bc上的應(yīng)力。在二向應(yīng)力狀態(tài)下下，任意兩個垂直直面上，其σ的和為一常數(shù)。例題分析軸向拉伸桿件件的最大切應(yīng)力的的作用面，說明低低碳鋼拉伸時發(fā)生生屈服的主要原因因。低碳鋼拉伸時，其其上任意一點都是是單向應(yīng)力狀態(tài)。。低碳鋼試樣拉伸至至屈服時表面沿450出現(xiàn)滑移線，是由由最大切應(yīng)力引起起的。例題分析圓軸扭轉(zhuǎn)時最最大切應(yīng)力的作用用面，說明鑄鐵圓圓試樣扭轉(zhuǎn)破壞的的主要原因。鑄鐵圓試樣扭轉(zhuǎn)試試驗時，正是沿著著最大拉應(yīng)力作用用面（即450螺旋面）斷開的。。因此，可以認為為這種脆性破壞是是由最大拉應(yīng)力引引起的。例題三平面應(yīng)力狀態(tài)態(tài)分析—圖解法第十章應(yīng)力狀狀態(tài)理論基礎(chǔ)1、應(yīng)力圓方程(1)(2)對(1)(2)式兩邊平方，將兩兩式相加，并利用用消去和和，，得(3)RR比照解析幾何的曲線方程是一個圓心在(a.0),半徑為R的圓，則是個應(yīng)力圓的方程2.應(yīng)力圓是個信息息源(從力學(xué)觀點分析析）（1）若已知一個應(yīng)應(yīng)力單元體兩個個互相垂直面上上的應(yīng)力就一定定可以作一個圓圓，圓周上的各各點就是該單元元體任意斜截面面上上的應(yīng)力。（2）平面應(yīng)力狀態(tài)態(tài)下任意斜截面面上上的應(yīng)力相互互制約在圓周上上變化。在σ-τ坐標(biāo)系中，標(biāo)定定與微元A、D面上應(yīng)力對應(yīng)應(yīng)的點a和d連ad交s

軸于c點，c即為圓心，cd為應(yīng)力圓半徑。ADa(sx,tx)d(sy,ty)cR3.應(yīng)力圓的畫法點面對應(yīng)——應(yīng)力圓上某一點點的坐標(biāo)值對應(yīng)應(yīng)著微元某一方方向面上的正應(yīng)力和切切應(yīng)力4、幾種對應(yīng)關(guān)系系caA轉(zhuǎn)向?qū)?yīng)——半徑旋轉(zhuǎn)方向與與方向面法線旋旋轉(zhuǎn)方向一致；；二倍角對應(yīng)——半徑轉(zhuǎn)過的角度度是方向面旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角度的兩倍。caDndxA2b(sy,ty)Oca(sx,tx)BABAsxsxADtsodacx'yy'45ox2×45o2×45obeBE（1）對基本變形的的應(yīng)力分析單向拉伸5、應(yīng)力圓的應(yīng)用用單向拉伸x'y'BEsxsxt45oBEs45o45o方向面既有正應(yīng)應(yīng)力又有切應(yīng)力力，但正應(yīng)力不不是最大值，切切應(yīng)力卻最大。。可見：s-45ot-45ottotsa(0,t)d(0,-t)ADbec2×45o2×45os45o＝tBE純剪切（1）對基本變形的的應(yīng)力分析5、應(yīng)力圓的應(yīng)用用BEttBE純剪切s45o＝t5.應(yīng)力圓的應(yīng)用（2）平面應(yīng)力狀態(tài)態(tài)下求任意截面面上的應(yīng)力點面相對應(yīng)，首首先找基準(zhǔn)。轉(zhuǎn)向要相同，夾夾角兩倍整。txsxsytytsoc20adAD主平面：τ=0,與應(yīng)力圓上和橫橫軸交點對應(yīng)的的面5、應(yīng)力圓的應(yīng)用(3)平面應(yīng)力狀態(tài)下下主平面、主應(yīng)應(yīng)力及主方向txsxsytyAD主應(yīng)力的確定tsoc2αoad5、應(yīng)力圓的應(yīng)用(3)平面應(yīng)力狀態(tài)下下主平面、主應(yīng)應(yīng)力及主方向主應(yīng)力排序：tsoc2qpadtsotso5、應(yīng)力圓的應(yīng)用(3)平面應(yīng)力狀態(tài)下下主平面、主應(yīng)應(yīng)力及主方向txysxsytyxADtsoc2oads1s2s1s1os2s2(sx,txy)主方向的確定負號表示從主應(yīng)應(yīng)力的正方向到x軸的正方向為順時轉(zhuǎn)向g5、應(yīng)力圓的應(yīng)用(3)平面應(yīng)力狀態(tài)下下主平面、主應(yīng)應(yīng)力及主方向?qū)?yīng)應(yīng)力圓上的的最高點的面上上切應(yīng)力最大，，稱為“面內(nèi)最大切切應(yīng)力”。tmax5、應(yīng)力圓的應(yīng)用用（4）面內(nèi)最大剪應(yīng)應(yīng)力tsoc2oad例題試用應(yīng)力圓法計計算圖示單元體體e--f截面上的應(yīng)力。。圖中應(yīng)力的單單位為MPa。

例題一點處的平面應(yīng)力狀態(tài)如圖所示。已知

試求（1）斜面上的應(yīng)力；（2）主應(yīng)力、主平面；（3）繪出主應(yīng)力單元體。AD用應(yīng)力圓解法otscdfe解：主應(yīng)力單元體：：三向應(yīng)力狀態(tài)1.三向應(yīng)力狀態(tài)的的概念2.三向應(yīng)力狀態(tài)的的應(yīng)力圓3.一點處的最大應(yīng)應(yīng)力第十章應(yīng)力力狀態(tài)理論基礎(chǔ)礎(chǔ)空間應(yīng)力狀態(tài)：：三個主應(yīng)力均均不為零的應(yīng)力力狀態(tài)s1s2s3四三向應(yīng)力狀狀態(tài)/1.三向應(yīng)力狀態(tài)的的概念szsxsytxty至少有一個主應(yīng)應(yīng)力及其主方向向已知sytxtysxsz三向應(yīng)力狀態(tài)特特例的一般情形形四三向應(yīng)力狀狀態(tài)/1.三向應(yīng)力狀態(tài)的的概念tss3s2IIs1s2s3(1)求平行于σ1的方向面的應(yīng)力力σα、τα,其上之應(yīng)力與σ1無關(guān).于是由σ2、σ3作出應(yīng)力圓I四三向應(yīng)力狀狀態(tài)/2.三向應(yīng)力狀態(tài)的的應(yīng)力圓IIs1

s3IIIs2tsOs2s3s1(2)求平行于σ2的方向面的應(yīng)力力σα、τα,其上之應(yīng)力與σ2無關(guān).于是由σ1、σ3作出應(yīng)力圓Ⅱ四三向應(yīng)力狀狀態(tài)/2.三向應(yīng)力狀態(tài)的的應(yīng)力圓IIItsOs3IIIs2s1IIIs2s1s3(3)求平行于σ3的方向面的應(yīng)力力σα、τα,其上之應(yīng)力與σ3無關(guān).于是由σ1、σ2作出應(yīng)力圓Ⅲ四三向應(yīng)力狀狀態(tài)/2.三向應(yīng)力狀態(tài)的的應(yīng)力圓s1s2s3(4)一點處任意斜截截面上的應(yīng)力σn、τn,其上之應(yīng)力與σ1、σ2、σ3都有關(guān).四三向應(yīng)力狀狀態(tài)/2.三向應(yīng)力狀態(tài)的的應(yīng)力圓在σ-τ平面內(nèi),代表任意斜截面面的應(yīng)力的點或或位于應(yīng)力圓上上,或位于三個應(yīng)力力圓所構(gòu)成的區(qū)區(qū)域內(nèi).IIIs3IIIs2s1Ots四三向應(yīng)力狀狀態(tài)/3.一點處的最大應(yīng)應(yīng)力一點處最大正應(yīng)應(yīng)力與最小正應(yīng)應(yīng)力由σ1和σ3所作成的最大應(yīng)力圓可見:IIIIIIs1s2s3tsOtszyxs2s1s3四三向應(yīng)力狀狀態(tài)/3.一點處的最大應(yīng)應(yīng)力(2)面內(nèi)最大剪應(yīng)力力與一點處最大大剪應(yīng)力ⅠOtss3s2zyxs2s3四三向應(yīng)力狀狀態(tài)/3.一點處的最大應(yīng)應(yīng)力(2)面內(nèi)最大剪應(yīng)力力與一點處最大大剪應(yīng)力Ⅱzyxs1s3s1Otss3s2Ⅰ四三向應(yīng)力狀狀態(tài)/3.一點處的最大應(yīng)應(yīng)力(2)面內(nèi)最大剪應(yīng)力力與一點處最大大剪應(yīng)力Ⅲzyxs2s1s1Ⅱs1Otss3s2Ⅰ四三向應(yīng)力狀狀態(tài)/3.一點處的最大應(yīng)應(yīng)力(2)面內(nèi)最大剪應(yīng)力力與一點處最大大剪應(yīng)力Otxysx在三組特殊方向向面中都有各自自的面內(nèi)最大切切應(yīng)力,即：四三向應(yīng)力狀狀態(tài)/3.一點處的最大應(yīng)應(yīng)力五廣義虎克克定律1.橫向變形與泊松松比2.三向主應(yīng)力狀態(tài)態(tài)的廣義虎克定定律3.三向一般應(yīng)力狀狀態(tài)的廣義虎克克定律4.彈性常數(shù)E、G、μ之間的關(guān)系第十章應(yīng)力力狀態(tài)理論基礎(chǔ)礎(chǔ)各向同性材料的的廣義胡克定律律1、橫向變形與泊泊松比（各向同同性材料）--泊松比yx2、三向應(yīng)力狀態(tài)態(tài)的廣義胡克定定律－疊加法++231231231231231231231分析：(1)即(2)當(dāng)時，即為二向應(yīng)力狀態(tài)：(3)當(dāng)時，即為單向應(yīng)力狀態(tài)；即最大與最小主應(yīng)應(yīng)變分別發(fā)生在在最大與最小主主應(yīng)力方向。

若單元體上作用的不是主應(yīng)力，而是一般的應(yīng)力時，則單元體不僅有線變形，而且有角變形。其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為：

yxz3.三向一般應(yīng)力狀狀態(tài)的廣義虎克克定律4、三個彈性常數(shù)數(shù)E、G、μ之間的關(guān)系邊長為20mm的鋼立方體置于于鋼模中，在頂頂面上受力F=14kN作用。已知，μ=0.3，假設(shè)鋼模的變變形以及立方體體與鋼模之間的的摩擦可以忽略略不計。試求立立方體各個面上上的正應(yīng)力。例題某點的應(yīng)力力狀態(tài)如圖圖所示,當(dāng)σx,σy,σz不變,τx增大時,關(guān)于εx值的說法正正確的是____.A.不變B.增大C.減小D.無法判定εx僅與正應(yīng)力力有關(guān)，而而與切應(yīng)力力無關(guān)。所所以當(dāng)切應(yīng)應(yīng)力增大時時，線應(yīng)變變不變。例題一受扭圓軸軸,直徑d=20mm,圓軸的材料料為,E=200GPa,ν=0.3.現(xiàn)測得圓軸軸表面上與與軸線成450方向的應(yīng)變變?yōu)棣?5.2×10-4,試求圓軸所所承受的扭扭矩.例題已知一圓軸承受軸向拉伸及扭轉(zhuǎn)的聯(lián)合作用。為了測定拉力F和力矩m，可沿軸向及與軸向成45°方向測出線應(yīng)變?，F(xiàn)測得軸向應(yīng)變，45°方向的應(yīng)變?yōu)椤Ｈ糨S的直徑D=100mm,彈性模量E=200Gpa,泊松比=0.3。試求F和m的值。FmmFkuu45°例題解：（1）K點處的應(yīng)力力狀態(tài)分析析在K點取出單元元體：K其橫截面上的的應(yīng)力分量量為：（2）計算外力力F.由廣義胡克克定律：解得：（3）計算外力力偶m.已知式中Ku由解得：因此六三向向應(yīng)力狀態(tài)態(tài)下的變形形能1.體積應(yīng)變2.體積改變與與形狀改變變3.三向應(yīng)力狀狀態(tài)下的變變形比能第十章應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)態(tài)理論基礎(chǔ)礎(chǔ)變形前單元元體體積