高等幾何課后答案

#高等幾何課后答案（第三版）（總17頁）--本頁僅作為文檔封面，使用時請直接刪除即可內頁可以根據需求調整合適字體及大小-高等幾何課后答案（第三版）第一章仿射坐標與仿射變換L經過？和ESN）的豆線AE與宜線丁+\y-6=0相交于P盤，求（AfiP2?L?線AB的方程為工+9y-15=0；F點的坐標為住弓）；（ABP）=-1.求一仿射變換，它使直線丁+2』-1=0上的毎介點都不虬且使點①-1）更為點（-L2）.2.在山線r+2y—1=0上仟収謝點月（l.O.fi（-hl）dl]-T-A（l,D）m>,更一1J）T（一1,1）,又點⑴一1）?—1,2兒3”未館射變換=7j--3r+1i\y"=4j--F2y+4的不變點和蘋變直線?3*變點為（—￡■,一2）?不變jfi線為2苫-2$-3二0?￡4工一$二0?4?問在仿射變換下，丁列圖形的對應圖形為何？①菱形：②正方形：③稱形；④尋腰三角形.（1）平行囲邊形；⑵平行四邊形；G）梯形；U）二彌形

下述性質是否是俊射性質？三角形的三高裁挨點；三角形的三中鏡拱點；三角形內篠于一圓；一角的平分線上的點到兩邊等距.5,0）為仿射性質*其余皆不是.第二章射影平面習題一】?下列鼻些圖形具有射鄴性質？平行直錢；二點其線?V艮統(tǒng)共點；兩點冏的脛離i兩頁裂的夾帚；兩相尊答gg具有射澎性質.z求iif：ff蕙四邊晤可以射齡堆平廳四邊諾-捉示閑四邊融兩對對邊的交點連線取作影涓線，作中心射嚴即得.工在平面世上有一覽直線p?口0為射右▼投射到平面『上得到直線/求證當0變動時通過定點3.捉示：平面（O1?/?）f皆交于立線P，它們與平面『的交線為P「氐…，如果P-弓J交于點P,則P；，P；，…都通過點P,如果p是無窮遠點，則U彼此平行.

4.設三直錨巴齊，Q.Q—出局交于一點S十比分81交二宣線昇丄于p,.<ji也與Pi?q八兄.求證：丙踐Fg與化w,的亶點.0底習Q尺的交點后氏與RJ；的文點?=點片熱且比直線與H共點.可且遠取射影中心y與另-平面八時es■:點射影成平面*上的無窮遠點.如圖2-2-3^時皆為平行四邊形的對角線交點，容易證明它們共線」L所共直線與h平行根據路合性上肘娜性質，斯以lw兀線、」門比r［線qam丄共點.低用德護搭定理址朗：任帝四邊形各討時邊屮點的連毅制二旺舟賤中點的連紛相直T、點.5提示;如圈A27設也功形朋CD也邊中點依次為E,F(GfL對侑線的中點呈F,Q,研究三點形PEH和QGF.利用德薩格定理的逆定理，可以證明其對應頂點連線EG,FH,PQcSAH【:D是囂面花點K在酬上.直錢調過X井別^AUAC于卩?么另一直純迪過兒分別爻DB.DC'卡肥已求證:與審交于AD6捉山?如圈2-2-5?W：:點舷R?4和RSD,劉應邊交點PQ小呂二X,QAXSD=C,A/JxD/e=S?閡曲X.B.C共線，根據德譯格疋埋的逆K理，必仃對曲頂點的連線?扶點?習題二試求下列諸點的齊次坐標■先寫出所有組,再任遺一組，（1）（2）3疋卜丁亠。上的無窮遠點】（3）坐標軸上的無窮遠點，1F答：（1）｛（hD.ph（円0,卩），（2円~|~円卩），卩匸0?任選-^：（0,0,1）,（1-0,1）,（0,1,1）（6,5.1）.<2）（L-3,0）?G）（1,0,0）,（0,1,0）.下列踐點、若它的筆齊Ifc坐插存在,塔把它耳出來’（2r-L-l）tf/Ti?一-4）,（孕,-哼），無血壬），無.肖正鉞號任jg逸取時冋（"，十1?±打表示幾牛相異點？答；四個和異點.求下列各直線的夷撫踐坐標：<0T?h（2）『軸：門）無窮遠克線汀4〉通過原點且料率為2的直嫌4..答：<1>[0,1川〕⑴[1,0,0]⑶DDiOi1]⑷[2,-1,0]

匸球尸列諸踐坐掠所表直紐的方程：[O匸球尸列諸踐坐掠所表直紐的方程：[O5M]dlJ（—叮jK-UOjG下列諸方程各表示什么陽堰彷?l=t）kUE-=0h*T|+U^-*-0,2m,+ETj答=點（1,0,0）,點（山h-1兒點<1,1,1）點（2,hD兒兩^<1,-4,0）和門，-1,0）.勾出F列命題的對偶命題.門）兩點決定一豆蝴；（的射影平SS上星少存在四條宜踐亍其中住何三條不共點；（3〉設-個變諭的二點形-它的兩蟲谷通過一個定點-術三頂點徑共點的三宜絃上出!1第三邊也通過一個定點，答：（1）兩直線必交于黒Q)射影平面上至少存在四個點，其中任何三點不共細脫■-受動的，線形，它的兩刑.點備粗-疋宜線上，而.'…邊各經過共線的「個點)則第二個頂點也在-務龍點線上?乳已知點求證FTPEtPs共賤+并求ifm的悄，懐P3-/Pj+mPj若鬥■卩"巴為三直賤獅氟」=1*m=2-4??^tB,C為三椿畀共甥點，琨還:可適當堆揮啟』的齊撫坐標一扒而便廠十“點中壬層(:點前堡標一寫出茗對僵情配取證明:設AfH,C的齊次坐標分別為絢畀打Y,則根據世埋戈4,存在常數人恥便f=+訕「因為A,民C為不同的點，斯以1^0,加芒山収A點的坐標為怙「B點的坐標為心「則有(■'-a+A?習題四〕?⑴求連接兩點(3+i+2+itl)+tl-it2+i」)的直線方民(2)求直線(]?g+(2+扎口“上的實點卑(1)沖-先+%=0；⑵實占為Q,-1,1〉.求證:三點(1?1Q共虬將量后一點的坐掠表示為前兩點的找件爼合一2.設應⑴一i,2W(bi4),匸?6—1,0)由于-導“琴^故二點共線.求證】兩:a點所定直嶷與其崗共純復點所定直鉤為兩條共駆直線.3?證I小設兩復點壯"所定復直線為人則共瓢復點石應在f的共純復直線j上，同理b也在j上論石確定復直線L對偶命題：兩復直線所交之復點，艮這兩直線時共覷復血線所交之復點，為曲我和復點.第三章射影變換與射影坐標習題一1-設九氐二門衛(wèi)為共賤五點［求讓：AB,CDi-MB.DE>(AB,EC)=L.I.證明:(AH.CYJ)*(AH.DE)*(AH.FC?)_GA/JT：\(/V/E)_,-(AHD)TAITTeT(A/忙〕-1'若4(2J.-1J.H<I.-1,1)FC(IPOr0^D(l?氐-R為共■線四貞求⑷QH轉f：=^-GAiH)幼打為i：=Ah乩D=2A-.VJ?嗎打為D=A-^H?聽tiGvj,(n)=--=-.3.設幾(1J?l),性f1「?1巴門衛(wèi)?1)為共統(tǒng)三點?巨fF,巴.耳戸」二2用珂的坐標.4巳知直繪的再怪井則為且(“」」」=-y,?h的右程3.設州?凡?烏?已?匕円是六T爪同的共爼點求出:證明⑵如學門(0rP.P^P.F.KP,F2.PrPJ—｛尺FjiP>P.KPiF^FiPJ;⑴與第1題類似.很Jg定叉證明.J-(戸』」_幾尸J?MtP.P.乩如圖3-為直住?C■為片B延低議上一點,CMSH的切線M為切點，壊證M在Afi±的射摩H是匚芙于前関和共穩(wěn)點.,Lf0H證法門VfH?」W\^ZC：MH的內外角平分線(圖2-3-I)-證法門先證明命題:設(AB,CD)=-L0旳f：D之中總則(X1=0A?0J3■反之亦真■在本題中可氐先證明OA2=0H*(X9已知宜純的方程分列為2工-汕"乩址*-"0」工-廠咗工-if求證四直魁共點、并求n已iu四直線:Q」一*i工fi4：才=b工J4h-y二幻k十鮎A:~孔工耳X井點用器Li；12?攝乩過原點作仆別打此網FL線Th的FL線創(chuàng):習題二1.我證:如果-堆射JB對應値直統(tǒng)I上的無菊遠點對應直姣廠上的無曲遠點?則這卜對應一定是仿船對應，h堤示：因為仿射對應足保持共線三點的單比不變的，設A,E,（?是點線f上的任意］二曰，其射影對應點是/上的A\B\C.又/_L的巴對應/上的P；，所以（A氏CPQ=FM,CP；）,閡此（ABC）=（ABC）.2-帕果三點晤MBC的邊肚“加用甘分別通過在同一直疑的三屮F.儀用「只煩點H￡各在一條定直統(tǒng)上?求證：尬點A擔在一條定直線上.證明：如圖更二點形A.BiG是滿足條件的另二點形,則有

佗占，…諜n「…｝卩侶朋「…用尺cc,，…）■闔為PQURQ是同-直線’即PR是自對應元素，故有F（B,B「一）^R?,C"T所以局應直線的交點乩A「…艾線?■3如杲點m<f）a<r）底/js；于門點、求近：巴p：與ff’的交點w的換述足■條宜妊證明用果o是口對阪駄則m天m所以『』；通過遙視中心卩（定蟲），如圖2-3-鼻I川為vox是完亍卩扛ij妝的村跡m汀枚右：W\OV（>￥）=-I山」Fi線兒「0*是周運『5所以0X是烽固迄F［線.

如呆0不是門對皿點?設0作為d上的點時0■廠V「在1上兒0作為廠」:的點時UT■如圖2—3—Ub則有(OU,Ff」二wo」n=(ov\/jjr.),Eii此側到o血h対應.所以⑴,□?巴天⑴.“"；?『；)?故得三直線巴『；共止證明；任意-條干通覽完全四點形質點的住線與兗全四點孫的二對對邊的變點’是図于同一對合的匚對對應點門線Z打完工網山丿妝川匯D門線Z打完工網山丿妝川匯D的1燉村邊的交點為從廠：⑦ae.人?“)黃umQ)「聽以這叢-亍對述變換.mt?rQ)?qm=me職)根據宦理2.4知?這肘簾變換是一個對乳習題三1設直就/上的點巴Wh尺HhFJU經射廉時應-噴檢對應廠上的點P7-lLP\(0),P\(-2)r^射惦對應式、井化為齊枕塑標式■求岀/上的無窮遠點前對應點（1-0）-r（-4-3）-rU-3）-F；（1-0）2,求直戰(zhàn)丿i!自身的射彩變檢式?慢巴W）■耳m.P.分91時應點-V匕知fb軸上的射蹋蜚換式為*_2_r一1工二試求坐標原點,無硏遠點的對應點，答：tQd）-（1-3）?（1Q*Q.1k釈氐卜財影變換的自時應元康的參敘：（1）-2A+I=0；⑵2A7+1*4.答：（I）I：L（2）-y：W.（3）2門.5、求對合的方種?這個對含的二電元索的＞?S：⑴2與芍⑵方程』十挙十"0的很⑴2AA-5(ArA)i12=0：⑵a竝"*卩“f廠)*y=CL□加別昔的隣對討嵐點曲燼敕為：1?試求財合的力程fl-a點的拳數答心rQ?A）-1=0.-1二2JT習題四求射申變SL使點仃山4）?{0」.叮，"??1）?仙』舁）展次對應點0-O.DJJQJ?冊?（趴山1）兀1J45.2-求射誇企橫的世變換式■井求岀常潸魏卽心-0的對應直馥的方程2.答=根據公式（4.4）,求出逆變換為：j曲］二3r；卜2,ri一才；?<Mj=—2.t|!■,r2卜3.tjfIMj=一.??；一3.^2卜5.丁;?心二。的對應直線為：工；卜3??；—5『：二0求射幣璧換‘的；匸心+X：S伴；寧L

應；二心的不疣點坐祁一3.解：根據公式（4.6）列岀特征方程:（樣一1）」=山樣=1（三覽根】.將嚴二1代入不變點方程組（心5）?得和二Q■和二Q上的點都是不變點?即廠二口是不變點列.求射據孌換I曲=4刁-{河；一百乂1-3x2［中;_「■心-左』対不變無索.4.解=特11￡方程少JQ丨1）（彈卜2）（嚴—3）={1卩解得蘆、——1嚴工=_工、m=3*將特征值代入不變直方程組?得不變點均CbkO）（II6?5^不變直線為：工［1工工\Tj,=Qir|—Tj=0I6r（—Tj=0第四章變換群與幾何學第五章二次曲線的射影理論習題一5設闖個二點形A/丈和A?「崗時外切于一簫二次曲線’求讓它町也同時內悽T-般一衣曲娃5.證'!JI：i￡：Jl'JBAfiC和八方同時外切J曲線乩如圖2-5-I.有a（心■廣?小"■廣"】兀口""「廣?小「?廠"】?lMa(Afrp//pr)7<A(rfJ3rfB)fl｝天AC?民CJR九

蕓由曲4盧肘母對應入一；蕓的戟東巧-和恥7応二。所陶戰(zhàn)的一階曲線的方檯.解:兩射影線束可風寫為:習題二1.寫出布利安桑定理的逆定理幷加以證明:::從示=利用〔級曲線的射幫世義.:::給定二階曲線上為金點、可以產生多少條柏斯卡純？對偶地、対于二級曲純情況如忖？=60帕斯卡線?對偶地，對于［級曲線的氛提示：利用九比&?沁打;個元素狗環(huán)狀恂列時性質及AC°A/d與A6A-A^Aj,A2A〕表示同選取d因此己知山點形能決疋磊外切六邊舷也有60=60帕斯卡線?對偶地，對于［級曲線的已和射衫平丙上的五傘點M無三耆共線h利用怖斯節(jié)定理r求作韭中1占的切線1解瘓—齡曲線食上的五個點為A「電,A""占、試作忌點的切線?如圖2-5-2.WJA,R為：階曲線的切線.WJA,R為：階曲線的切線.在內接于刪的葫金三點形AHC和AHC中、設AlixAli=I\HCxJjC=Q^CAx(:A=U證明卩燦況三點拱敎.5?提示；舟--^之頂點禰列枕序為A玫:ABC,圓為:次曲線，It］帕斯卡疋理可知丄點Jt線?證明忡斯卡定理的逆定理6.捉示=利用1階曲線的射彩泄義.習題三1.恩考：若直接以二般曲錢出戲、知忖孝慮極點?極統(tǒng)的幌念及求法？1,提示;用對偶原則*可先討論亙線的極點.2?證明定理3.5推論3:鍛FA、FB為二階曲域的初縱苦其中aa切點,則ah為p點的y?提示:用配撮原則證明.已知一條直線"求作p關于二階曲魏的機點捉爪:在p上任収一-點，作它們的極線的交點'已鈾二階曲線上一點從來作”點的機線.梃示:過H任作衛(wèi)線畀乍茁此直線的極點5,巳和二階曲錢（〔「）12jtJ十4工］.T1■+ftjTj工丄十工；二0-1（1）求點P（121）關于（C?）的極線;<2）求直線廠=0蕓于（C）的概點.答=（D7丁.+2丁』+fijF,=0；⑵么-6,7）.求點（5,1,7）關于二階曲我:2_rf+3_r；+_r；一fkr._r=一2x（x2一4_r丄_r」=0的極線.6.答：丁丄=0?7?設AHCI）是二階曲錢的內接四點1XYZ是甘邊三點形I求證n>（'雉的切識交在直線上.Adj處的切線也交在rz直線上.捉示：設b.c處的.切線交于卩，則p的極線圧BC,而BOAD=X）f^UlX的極