2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試新高考仿真模擬卷數(shù)學(xué)(二)答案

第1頁/共1頁2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試·仿真模擬卷數(shù)學(xué)（二）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B.C.（0，1） D.【答案】B【解析】【分析】分別化簡集合，根據(jù)并集的定義求解.【詳解】不等式的解集是集合又因為又，所以滿足函數(shù)中的范圍就是集合所以所以故選：B2.已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法計算方法化簡復(fù)數(shù)，結(jié)合純虛數(shù)的概念求值即可.【詳解】，因為復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以，即.故選：D3.在正方形ABCD中，M是BC的中點．若，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】作圖，根據(jù)圖像和向量的關(guān)系，得到和，進(jìn)而利用，可得答案.【詳解】如圖，，，且在正方形中，，，，，故選：C4.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)單調(diào)性，找出中間值，使其和比較即可.【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性和值域，在上遞減，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的值域可知，；根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，在上遞增，則，在上遞減，故，即，C選項正確.故選：C5.端午佳節(jié)，人們有包粽子和吃粽子的習(xí)俗．四川流行四角狀的粽子，其形狀可以看成一個正四面體．廣東流行粽子里放蛋黃，現(xiàn)需要在四角狀粽子內(nèi)部放入一個蛋黃，蛋黃的形狀近似地看成球，當(dāng)這個蛋黃的表面積是時，則該正四面體的高的最小值為（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意分析可知，當(dāng)該正四面體的內(nèi)切球的半徑為時，該正四面體的高最小，再根據(jù)該正四面體積列式可求出結(jié)果.【詳解】由球的表面積為，可知球的半徑為，依題意可知，當(dāng)該正四面體的內(nèi)切球的半徑為時，該正四面體的高最小，設(shè)該正四面體的棱長為，則高為，根據(jù)該正四面體積的可得，解得.所以該正四面體的高的最小值為.故選：B6.現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)0，l，2，3，4，5，6，7，若將這組數(shù)據(jù)隨機(jī)刪去兩個數(shù)，則剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于4的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先得到刪去的兩個數(shù)之和為4時，此時剩下的數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4，從而得到要想這組數(shù)據(jù)隨機(jī)刪去兩個數(shù)，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于4，則刪去的兩個數(shù)之和要小于4，利用列舉法得到其情況，結(jié)合組合知識求出這組數(shù)據(jù)隨機(jī)刪去兩個數(shù)總共的情況，求出概率.【詳解】0，l，2，3，4，5，6，7刪去兩個數(shù)之和為4時，此時剩下的數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以要想這組數(shù)據(jù)隨機(jī)刪去兩個數(shù)，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于4，則刪去的兩個數(shù)之和要小于4，有四種情況符合要求，將這組數(shù)據(jù)隨機(jī)刪去兩個數(shù)，共有種情況所以將這組數(shù)據(jù)隨機(jī)刪去兩個數(shù)，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于4的概率為.故選：D7.在棱長為3的正方體中，O為AC與BD的交點，P為上一點，且，則過A，P，O三點的平面截正方體所得截面的周長為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)結(jié)合條件作出過A，P，O三點的平面截正方體所得截面，再求周長即得.【詳解】因為，即，取，連接，則，又，所以，所以共面，即過，，三點的正方體的截面為，由題可知，，，所以過A，P，O三點的平面截正方體所得截面的周長為.故選：D.8.不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分離參數(shù)，將變?yōu)?，然后?gòu)造函數(shù)，即將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求最值即可.【詳解】由不等式對任意恒成立，此時，可得恒成立，令，從而問題變?yōu)榍蠛瘮?shù)的最小值或范圍問題；令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故，即，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故，且當(dāng)時，也會取到正值，即在時有根，即等號成立，所以，則，故，故選：C【點睛】本題考查了不等式的恒成立問題，解法一般是分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值或范圍問題，解答的關(guān)鍵是在于將不等式或函數(shù)式進(jìn)行合理的變式，這里需要根據(jù)式子的具體特點進(jìn)行有針對性的變形，需要一定的技巧.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.在平面直角坐標(biāo)系中，圓C的方程為，若直線上存在一點M，使過點M所作的圓的兩條切線相互垂直，則點M的縱坐標(biāo)為（）A.1 B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】首先可根據(jù)圓方程得出圓心與半徑，然后根據(jù)題意得出點、圓心以及兩個切點構(gòu)成正方形，最后根據(jù)以及兩點間距離公式即可得出結(jié)果.【詳解】化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，圓心，半徑為，因為過點M所作的圓的兩條切線相互垂直，所以點M、圓心以及兩個切點構(gòu)成正方形，，因為M在直線上，所以可設(shè)，則，解得：或，所以或，故點M的縱坐標(biāo)為1或.故選：AC.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，若將的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則的值可以是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象可確定和最小正周期，由此可得，結(jié)合可求得，從而得到的解析式，根據(jù)可構(gòu)造方程求得，由此可得可能的取值.【詳解】由圖象可知：，最小正周期，，，，解得：，又，，，，，，解得：，當(dāng)時，；當(dāng)時，.故選：AD.11.大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項都代表太極衍生過程．已知大衍數(shù)列滿足，，則（）A.B.C.D.數(shù)列的前2n項和的最小值為2【答案】ACD【解析】【分析】當(dāng)時，,當(dāng)時，,聯(lián)立可得，利用累加法可得，從而可求得，在逐項判斷即可.【詳解】令且，當(dāng)時，①；當(dāng)時，②，由①②聯(lián)立得.所以，累加可得.令(且為奇數(shù))，得.當(dāng)時滿足上式，所以當(dāng)為奇數(shù)時，.當(dāng)為奇數(shù)時，，所以，其中為偶數(shù).所以，故C正確.所以，故A正確.當(dāng)為偶數(shù)時，，故B錯誤.因為，所以的前2n項和，令，因為數(shù)列是遞增數(shù)列，所以的最小項為，故數(shù)列的前2n項和的最小值為2，故D正確.故選:ACD.【點睛】數(shù)列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差數(shù)列、與二項式系數(shù)、對稱性相關(guān)聯(lián)的數(shù)列的求和．(2)錯位相減：用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列的求和．(3)分組求和：用于若干個等差或等比數(shù)列的和或差數(shù)列的求和．12.已知拋物線的準(zhǔn)線為，焦點為F，點是拋物線上的動點，直線的方程為，過點P分別作，垂足為A，，垂足為B，則（）A.點F到直線的距離為 B.C.的最小值為1 D.的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】對于A，用點到直線的距離公式即可判斷；對于B，利用拋物線的定義即可判斷；對于C，利用基本不等式即可判斷；對于D，利用拋物線的定義可得到，接著求出的最小值即可【詳解】由拋物線的準(zhǔn)線為可得拋物線方程為，焦點為，對于A，點F到直線的距離為，故A正確；對于B，因為在拋物線上，所以利用拋物線的定義可得，即，故B正確；對于C，因為在拋物線上，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，故C錯誤；對于D，由拋物線的定義可得，故，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，取等號，此時，由選項A可得點F到直線的距離為，故的最小值為，故D正確，故選：ABD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知，則______．【答案】##【解析】【分析】利用已知等式可求得，由二倍角正切公式可求得結(jié)果.【詳解】由得：，，.故答案為：.14.函數(shù)的圖象在點處的切線方程是______．【答案】【解析】【分析】求導(dǎo)函數(shù)，可得切線斜率，求出切點坐標(biāo)，運(yùn)用點斜式方程，即可求出函數(shù)的圖象在點處的切線方程.【詳解】，，則，又，切點為，函數(shù)的圖象在點處的切線方程是即.故答案為：.15.名老師帶著名學(xué)生去參加數(shù)學(xué)建模比賽，先要選人站成一排拍照，且名老師同時參加拍照時兩人不能相鄰．則名老師至少有人參加拍照的排列方法有______種．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】分兩種情況討論：①若只有名老師參與拍照；②若名老師都拍照.利用計數(shù)原理、插空法結(jié)合分類加法計數(shù)原理可求得結(jié)果.【詳解】分以下兩種情況討論：①若只有名老師參與拍照，則只選名學(xué)生拍照，此時共有種排列方法；②若名老師都拍照，則只選名學(xué)生拍照，先將學(xué)生排序，然后將名老師插入名學(xué)生所形成的空位中，此時，共有種排列方法.綜上所述，共有種排列方法.故答案為：.16.已知A，B是雙曲線上的兩個動點，動點P滿足，O為坐標(biāo)原點，直線OA與直線OB斜率之積為2，若平面內(nèi)存在兩定點、，使得為定值，則該定值為______．【答案】【解析】【分析】設(shè),根據(jù)得到，，根據(jù)點,在雙曲線上則，代入計算得，根據(jù)雙曲線定義即可得到為定值.【詳解】設(shè),則由,得，則，，點,在雙曲線上,，則，設(shè)分別為直線,的斜率,根據(jù)題意,可知,即，，即在雙曲線上,設(shè)該雙曲線的左、右焦點分別為，由雙曲線定義可知||為定值，該定值為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在中，角的對邊分別是，．（1）求C；（2）若，的面積是，求的周長．【答案】（1）.（2）.【解析】【分析】（1）將化為，由余弦定理即可求得角C.（2）根據(jù)三角形面積求得，再利用余弦定理求得，即可求得答案.【小問1詳解】由題意在中，，即，故，由于，所以.【小問2詳解】由題意的面積是，，即，由，得，故的周長為.18.已知數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，記為數(shù)列的前n項和，求，并證明：當(dāng)時，．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用遞推式相減得出，并驗證首項符合通項，最后得出答案；(2)錯位相減法求前n項和【小問1詳解】，①則，②①-②得，則，當(dāng)n=1時，由①得，∴，∴.【小問2詳解】易得，，①，②②-①得，故，當(dāng)時，19.如圖，四棱錐中，平面平面，為正三角形，底面為等腰梯形，//，．（1）求證：平面；（2）若點為線段上靠近點的三等分點，求二面角的大?。敬鸢浮浚?）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）先用幾何關(guān)系證明，然后根據(jù)余弦定理求出，結(jié)合勾股定理可得，最后利用面面垂直的性質(zhì)定理證明；（2）過作，垂足為，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)先說明可以在處為原點建系，然后利用空間向量求二面角的大小.【小問1詳解】取中點，連接，根據(jù)梯形性質(zhì)和可知，//，且，于是四邊形為平行四邊形，故，則為等邊三角形，故，在中，由余弦定理，，故，注意到，由勾股定理，，即，由平面平面，平面平面，平面，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得，平面.【小問2詳解】過作，垂足為，連接，由平面平面，平面平面，平面，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，平面，為正三角形，，故（三線合一），由和中位線性質(zhì)，//，由（1）知，平面，故平面，于是兩兩垂直，故以為原點，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由（1）知，平面，又//軸，故可取為平面的法向量，又，，根據(jù)題意，，設(shè)，則，解得，又，，，，設(shè)平面的法向量，由，即，于是為平面的法向量，故，二面角大小的范圍是，結(jié)合圖形可知是銳二面角，故二面角的大小為20.為落實體育總局和教育部發(fā)布的《關(guān)于深化體教融合，促進(jìn)青少年健康發(fā)展的意見》，某校組織學(xué)生參加100米短跑訓(xùn)練．在某次短跑測試中，抽取100名女生作為樣本，統(tǒng)計她們的成績（單位：秒），整理得到如圖所示的頻率分布直方圖（每組區(qū)間包含左端點，不包含右端點）．（1）估計樣本中女生短跑成績的平均數(shù)；（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）（2）由頻率分布直方圖，可以認(rèn)為該校女生的短跑成績X服從正態(tài)分布，其中近似為女生短跑平均成績，近似為樣本方差，經(jīng)計算得，，若從該校女生中隨機(jī)抽取10人，記其中短跑成績在以外的人數(shù)為Y，求．附參考數(shù)據(jù)：，隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則，，，，，．【答案】（1）17.4（2）【解析】【分析】(1)結(jié)合頻率分布直方圖中求平均數(shù)公式,即可求解.(2)根據(jù)已知條件,可知，，即可求出，結(jié)合正態(tài)分布的對稱性以及二項分布的概率公式,即可求解.【小問1詳解】估計樣本中女生短跑成績的平均數(shù)為:；【小問2詳解】該校女生短跑成績服從正態(tài)分布,由題可知，，則，故該校女生短跑成績在以外的概率為：，由題意可得,,.21.已知橢圓的左焦點為F，右頂點為A，離心率為，B為橢圓C上一動點，面積的最大值為．（1）求橢圓C的方程；（2）經(jīng)過F且不垂直于坐標(biāo)軸直線l與C交于M，N兩點，x軸上點P滿足，若，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由題意可得，，再結(jié)合可求出，從而可求出橢圓的方程；（2）由題意設(shè)直線為（），，設(shè)，將直線方程代入橢圓方程中化簡利用根與系數(shù)的關(guān)系，然后由可得，再根據(jù)可求得結(jié)果.【小問1詳解】因為橢圓的離心率為，所以，因為面積的最大值為，所以，因為，所以解得，所以橢圓C的方程為；【小問2詳解】，設(shè)直線為（），，不妨設(shè)，設(shè)，由，得，則，所以，因為，所以，所以，所以，所以，因為，所以，所以，所以，解得，因為，所以，，所以，，所以，化簡得