石大數(shù)學教育學課件04數(shù)學學習的基本理論

第四章數(shù)學學習的基本理論

所謂數(shù)學學習理論，是以學生的數(shù)學學習作為研究對象，揭示其自身的性質(zhì)、特點、過程和規(guī)律的學問。它主要研究的內(nèi)容有學習的意義和分類、數(shù)學學習過程理論，數(shù)學學習與心理學、教育學的關(guān)系等。第一節(jié)數(shù)學學習的概念及其特點一、學習的概念

學生的學習定義為：在教師的指導下，有目的、有計劃、有組織、有步驟地獲得知識，形成技能，發(fā)展思維的過程。

數(shù)學學習是指學生在教育的情境中，以數(shù)學語言為中介，自覺地積極主動地掌握數(shù)學概念、法則、定理、公式，形成數(shù)學活動的經(jīng)驗，發(fā)展數(shù)學技能和思想品質(zhì)的過程。二、學生學習的特點學生的學習旨在獲得人類已有知識。學生的學習過程是一種基本規(guī)定的程序。學生的學習是在教師的指導下進行的。學生的學習是以學習基礎(chǔ)知識和基本技能為主。三、數(shù)學學習的特點數(shù)學學習是從理論（或間接經(jīng)驗）到實踐，再由實踐上升到理論的過程。數(shù)學學習是從具體到抽象，再由抽象到具體的過程。數(shù)學學習是邏輯思維發(fā)展的過程。數(shù)學學習是數(shù)學美的鑒賞過程。數(shù)學學習是一個辯證的理性認識過程。四、數(shù)學學習的分類加涅（1）信號學習（2）刺激—反應學習（3）連鎖學習（4）言語聯(lián)結(jié)學習（5）辨別學習（6）概念學習（7）原理學習（8）問題解決學習2奧蘇伯爾（從認知過程出發(fā)，把學習分成3類）（1）符號學習（2）概念學習（3）命題學習數(shù)學學習的分類3.布魯姆（依學習目標分類）（1）知識學習（2）理解學習（3）應用學習（4）分析學習（5）綜合學習（6）評價學習4.曹才翰（依數(shù)學內(nèi)容的表現(xiàn)形式將學習分類）（1）數(shù)學知識學習（2）數(shù)學活動經(jīng)驗學習（3）創(chuàng)造性數(shù)學活動經(jīng)驗學習第二節(jié)教育心理學與數(shù)學學習

學習過程是學生掌握知識、發(fā)展智能、培養(yǎng)素質(zhì)的過程，是學習者主體發(fā)揮主觀能動性的過程。對學生的學習過程進行深入了解和分析，是教育心理學研究的重點。對學習的研究在國外曾出現(xiàn)過三種學習理論，即行為主義的學習理論，認知學派的學習理論和建構(gòu)主義觀點的學習理論。我國古代有一些哲學家和教育學家，他們通過自身的實踐，總結(jié)出來了一些學習理論，也值得我們借鑒。

一、行為主義的學習理論

也叫聯(lián)結(jié)主義的學習理論，把學習看成是刺激與反應之間形成聯(lián)結(jié)的過程，學習過程的研究就是：“給出已知的刺激，觀察學習者的反應，從而探索人們的行為規(guī)律”。二十世紀五、六十年代前，在國外主要盛行的是聯(lián)結(jié)主義，其主要代表人物有桑代克、斯金納等。1．桑代克的聯(lián)結(jié)主義試誤說

美國心理學家桑代克認為學習是刺激和反應的聯(lián)結(jié)，即學習就是形成一定的“刺激一反應”聯(lián)結(jié)(S—R聯(lián)結(jié))，而這種聯(lián)結(jié)主要是通過試誤建立的，就是說，在重復的嘗試中，錯誤的反應逐漸被摒除，正確的反應則不斷得到加強，直至最后形成了固定的“刺激一反應”聯(lián)結(jié)，因而把學習可看成是一種試誤的過程。

桑代克的學習理論多數(shù)是出自對動物的實驗，并將動物實驗推及人類，因而他的理論存在著刻板和機械的傾向，忽視了人的學習的社會性、主觀能動作用和學習過程中理解的作用。盡管如此，桑代克的學習理論對當今學生的學習動機，引導學生在嘗試的過程中應用推理和批判的方法，在概念、原理、法則學習之后予以必要的重復練習并在以后的學習中加以應用，重視學習者對學習的心理準備等方而，值得我們借鑒。2．斯金納的操作性條件反射學習

斯金納繼承和發(fā)展了桑代克的聯(lián)結(jié)主義學習理論，他提出了“刺激一反應一強化”的學習模式。他研究了人類行為(反應)與外部條件(刺激)的關(guān)系，他認為在操作性活動條件的場合，強化刺激和反應的形式是關(guān)聯(lián)的。如果在操作性活動發(fā)生之后，隨即呈現(xiàn)強化刺激物，反應就會增強；如果在操作性活動發(fā)生之后，沒有強化刺激物出現(xiàn)，反應就會減弱。斯金納的操作性條件反射學習說，它是將動物實驗推及人類的，因而對人的復雜的學習行為難以作出令人滿意的解釋。

二、認知學派的學習理論

認知學派認為，行為主義的“刺激一反應”學習理論把人的學習等同于動物的學習，而對人的復雜的學習行為難以作出令人滿意的解釋。他們認為行為主義只關(guān)注輸入和輸出變量，對學習過程中的復雜多樣的心理過程無從了解。

認知學派提出“輸入一加工一輸出”的學習模式，重點研究信息的獲取、加工、存儲、使用的過程，研究輸入和輸出之間的各種可變因素。認知主義學派的代表人物有格式塔學派、托爾曼、加涅、布魯納、奧蘇伯爾、皮亞杰、馬登等。

3．布魯納的認知一發(fā)現(xiàn)學習理論

布魯納是美國教育心理學家，他把學習看做是認知過程，看做是學生主動獲取知識和不斷發(fā)展智慧的過程。他認為，學習就是類目及其編碼系統(tǒng)的形成，教師應當向?qū)W生提供具體的東西，以便讓學生“發(fā)現(xiàn)”自己的組織(編碼系統(tǒng))。布魯納的學習理論強調(diào)理解的作用，強調(diào)認知結(jié)構(gòu)與教材結(jié)構(gòu)的結(jié)合，強調(diào)學生的主動性、獨立性。并主張“發(fā)現(xiàn)學習”，認為學生在一定情境中，對學習材料的親身體驗，通過內(nèi)部動機的作用，從而發(fā)現(xiàn)、認識、理解、掌握知識，才是學習者最重要的環(huán)節(jié)。

布魯納的數(shù)學學習實驗

布魯納還進行了大量的數(shù)學學習實驗，從中總結(jié)出了四個數(shù)學學習原理：

(1)建構(gòu)原理；

(2)符號原理；

(3)比較和變式原理；

(4)關(guān)聯(lián)原理。這四條原理對數(shù)學學習研究具有重要的參考價值。4．奧蘇伯爾的認知接受學習理論

奧蘇伯爾認為：學生的學習主要是通過語言形式理解知識的意義，接受系統(tǒng)的知識，他提出了“有意義學習”的概念，要使學習成為有意義的學習，必須具備三個條件：

(1)學習材料對學生有潛在意義；

(2)學習者認知結(jié)構(gòu)中具備適當?shù)挠^念用來同化新知識；

(3)學習者要具有有意義學習的心愿。

有意義學習

有意義學習是掌握事物的意義，把握事物內(nèi)部實質(zhì)性聯(lián)系的學習。一個內(nèi)容是否有意義，與學習者頭腦中的認知結(jié)構(gòu)有關(guān)系，學習過程是在原有認知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，形成新的認知結(jié)構(gòu)的過程；原有認知結(jié)構(gòu)對于新的學習始終是一個最關(guān)鍵的因素；一切新的學習都是在過去的學習的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的，接受新的知識總是通過與原來的有關(guān)知識相互聯(lián)系、相互作用，然后才形成新的知識結(jié)構(gòu)。5．加涅的信息加工學習理論

加涅是美國著名心理學家，他把人的學習過程看做類似于計算機的操作，提出了學習的信息加工理論。加涅把學習看成是一個復雜的、不斷抽象的模式體系，即把學習新知識看成是新的信息輸入進來，和原有的知識經(jīng)驗相聯(lián)系，并對它進行信息加工處理，形成一個高一級的模式體系。加涅按照由簡到繁、從低到高的原則，還把學習分成8個層次(見本章第一節(jié)“四、數(shù)學學習的分類”)，他的學習理論重視知識的系統(tǒng)性，重視循序漸進，重視新舊知識的聯(lián)系和學生的學習基礎(chǔ)，對數(shù)學學習有著一定的指導作用。三、建構(gòu)主義觀點的學習理論

20世紀80年代以來，在認知理論基礎(chǔ)上逐漸形成了建構(gòu)主義觀點的學習理論，建構(gòu)主義與認知主義在性質(zhì)上的差異表現(xiàn)為：前者是一種認識理論。后者是關(guān)于如何從事心理學研究的一種主張或立場。建構(gòu)主義的意義在于“對認識活動本質(zhì)的哲學分析”，是認知心理學研究的一個直接結(jié)果。

建構(gòu)主義認為，認識并非是對客觀實在的被動反映，而是主體以已有的知識和經(jīng)驗為基礎(chǔ)的主動建構(gòu)過程，其核心所在有兩點：

(1)所有知識都是建構(gòu)出來的；

(2)在建構(gòu)過程中，主體已有的認知結(jié)構(gòu)發(fā)揮了特別重要的作用。且認知結(jié)構(gòu)處于不斷地發(fā)展之中。

現(xiàn)代建構(gòu)主義與教學活動之間存在密切的聯(lián)系，因此，其觀念在教育工作者中獲得了廣泛重視。不少學者認為，建構(gòu)主義對傳統(tǒng)的教學思想提出了嚴峻的挑戰(zhàn)。

按照建構(gòu)主義的觀點看待數(shù)學學習和數(shù)學教學，學生需要對每一個數(shù)學概念構(gòu)造自己的理解，使得“教”的作用不再是演講、解釋，或者企圖去“傳送”知識，而是為促使學生進行心智建構(gòu)創(chuàng)設(shè)學習環(huán)境和條件。這種教學方法的關(guān)鍵，是將每一個數(shù)學慨念，按皮亞杰的認識理論分解成許多發(fā)展性的步驟，這些步驟的確定要基于對學生的觀察和談話。四、中國的學習理論

我國古代，就有許多杰出的教育家，他們辦學授徒，培養(yǎng)人才，在他們的教育實踐中，概括總結(jié)出了許多重要的學習理論，這些學習理論的特點：(1)從人才成長的高度出發(fā)來探索學習與人才成長的規(guī)律；(2)注意學習知識與思想、意志、品德的培養(yǎng)相結(jié)合，德智體美互相協(xié)調(diào)發(fā)展；(3)主張把學習過程建立在人的全部心理活動基礎(chǔ)上，發(fā)揮智力因素與非智力因素的“群體效應”；(4)在認識過程中，重視思維的核心作用，主張學思結(jié)合、記思結(jié)合；(5)在知識的掌握過程中，主張學用結(jié)合，重在實踐；(6)在學習方法上，主張在教師的啟發(fā)幫助下，由學生自己主動地、獨立地獲取知識。

我國的學習理論的主要論點有：立志、樂學、持恒、博學、慎思、自得、篤行。

關(guān)于學習過程，先秦時期的思孟學派，在總結(jié)先哲們的學習理論的基礎(chǔ)上提出了“博學之，審問之，慎思之，明辨之，篤行之”五階段的學習過程理論，其中博學是基礎(chǔ)，審問、慎思、明辨是關(guān)鍵，篤行是結(jié)果。南宋教育家朱熹在繼承前人的基礎(chǔ)上，更加重視“立志”的作用，并強調(diào)學習中的“時習”。他提出了“立志一博學一審問一慎思一明辨一時習一篤行”七階段的學習過程理論。

近些年來，我國不少學者在總結(jié)、繼承我國古代學習過程理論的基礎(chǔ)上，指出了學習過程應建立在智力因素和非智力因素的共同基礎(chǔ)上，提出了學習過程結(jié)構(gòu)模式的主線有兩條(見圖4—2)：一條是圍繞智力因素展開的，即學、思、習、行等條件對“知行統(tǒng)一”過程發(fā)生作用，其中學與思又分為博學、審問、慎思、明辨四個階段；另一條是圍繞非智力因素展開的，即以情、意為主的條件對“知行統(tǒng)一”過程發(fā)生影響與作用。

五、各種學習理論在數(shù)學學習中的應用

每一種學習理論都有其所長和所短，這和他們探討學習的角度不同有關(guān)。如行為主義從刺激一反應來探討行為的變化，認知主義側(cè)重研究通過理解與認識來獲得意義和意象。

要將各種學習理論適當?shù)貞迷跀?shù)學學習中，就必須將各種學習理論作一綜合的整理，根據(jù)數(shù)學知識的層次和學生的思維水平確定學習過程的各個環(huán)節(jié)。

第三節(jié)數(shù)學學習的過程一、數(shù)學學習中數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的變化過程1．數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的現(xiàn)代觀點

對于數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的認識，有許多不同的看法，在我國數(shù)學教育界，具有代表性的看法有下面兩種：（1）數(shù)學的認知結(jié)構(gòu)，即學生頭腦中的數(shù)學知識結(jié)構(gòu)，它由兩部分組成，一是最基本的知識；二是其他知識與最基本的知識的聯(lián)系。(2)數(shù)學的認知結(jié)構(gòu)，是學生頭腦中的數(shù)學知識按照自己理解的深度、廣度，結(jié)合自己的感覺、知覺、記憶、思維、聯(lián)想等認知特點而組合成的—個具有內(nèi)部規(guī)律的整體結(jié)構(gòu)。以上兩種說法，都具有一定的合理性，只不過，前一個觀點注重考慮的是某一個階段學生的整體認知結(jié)構(gòu)水平，而后一個觀點注重強調(diào)其個別差異。這里主要采用后一種觀點．數(shù)學認知結(jié)構(gòu)有以下特點：

①它是學生數(shù)學知識結(jié)構(gòu)寫其心理結(jié)構(gòu)相互作用的

產(chǎn)物。②它存在于學生的頭腦之中，其主要的組織是已有的數(shù)學知識和經(jīng)驗。③不同的學生，其數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的內(nèi)容和組織方面有不同的特征。④數(shù)學認知結(jié)構(gòu)可按抽象程度的不同和內(nèi)容、性質(zhì)的不同，分為許多不同的層次。學生的大腦是一個數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的集合，大腦一旦接受到刺激(例如數(shù)學信息)，其數(shù)學認知結(jié)構(gòu)就開始進行辨別、區(qū)分、加工、處理，從而會做出相應的反應。⑤數(shù)學認知結(jié)構(gòu)是一種積極的組織，大腦一旦接受到新的數(shù)學信息，就會自動地用相應的認知結(jié)構(gòu)對新信息進行加工處理。⑥數(shù)學認知結(jié)構(gòu)還是一個不斷變化的動態(tài)組織，隨著數(shù)學活動的進行，其數(shù)學認知結(jié)構(gòu)將不斷地分化和重組，并逐漸調(diào)整得更為精確、層次更高、結(jié)構(gòu)更復雜、內(nèi)容更豐富。⑦數(shù)學認知結(jié)構(gòu)具有多項功能。例如，學生既能利用它來掌握新的數(shù)學知識，獲取新的數(shù)學經(jīng)驗，又能借助于它創(chuàng)造性地解決數(shù)學問題。2．數(shù)學學習的一般過程

現(xiàn)代認知學習理論認為，數(shù)學學習的過程乃是新的學習內(nèi)容與學生原有的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)相互作用而形成新的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的過程。數(shù)學學習的一般認知過程可分為以下四個階段：

(1)輸入階段學習起源于學習情境，輸入階段實質(zhì)上就是給學生創(chuàng)設(shè)學習情境，提供新的學習內(nèi)容。在這一學習情境中學生原有的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)和新的學習內(nèi)容之間發(fā)生認知沖突，在心理上產(chǎn)生學習新知識的需要(即“心向”)。（2）相互作用階段

產(chǎn)生學習需要后，學生原有的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)和新的學習內(nèi)容發(fā)生作用，并以同化和順應兩種基本形式，進入相互作用階段。所謂同化，就是把新學習的內(nèi)容納入到原有數(shù)學認知結(jié)構(gòu)中去，從而擴大原有認知結(jié)構(gòu)的過程。

所謂順應，就是當原有認知結(jié)構(gòu)不能接納新的學習內(nèi)容時，必須改組或部分改組原有的認知結(jié)構(gòu)，以適應新的學習內(nèi)容的過程。

相互作用階段的結(jié)果是產(chǎn)生了新的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的雛形。(3)操作階段

在產(chǎn)生新的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)雛形的基礎(chǔ)上，通過練習、應用等活動，使新的學習內(nèi)容得以鞏固，從而形成新的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的過程。通過這一階段的學習，學生學到了一定的數(shù)學技能，使新數(shù)學知識與原數(shù)學認知結(jié)構(gòu)之間產(chǎn)生較為密切的聯(lián)系。（4）輸出階段

基于第三階段學生對初步形成的新的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的認知(即數(shù)學的認知結(jié)構(gòu)的元認知)，通過解決數(shù)學問題，使初步形成的新的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)趨于完善，最終形成新的良好的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)，學生的數(shù)學能力得到發(fā)展，從而達到良好的數(shù)學學習的預期目標。

要順利完成四個階段任務，數(shù)學教師首先要確定和貫徹數(shù)學教學的原則，重視學生在學習中的主體地位，通過多種教學方式創(chuàng)設(shè)良好的情境；要了解學生已知了什么，掌握到何種程度，心理狀態(tài)如何，然后考慮數(shù)學教學內(nèi)容的難易程度、呈現(xiàn)序列等，確定學生建立新的認知結(jié)構(gòu)的切人點和生長點，確保學生原有認知結(jié)構(gòu)與新的數(shù)學知識的相互作用。

二、數(shù)學知識的學習過程1．原名及公理的學習過程(1)原名的學習

原名又稱原始概念，是數(shù)學中的無定義概念。給概念下定義時，用到的概念必須是以前定義過的概念，這樣順次上溯，勢必出現(xiàn)不能用前述方式定義的概念，這樣的概念就稱為原名(或原始概念)。原名雖不能用其他概念來定義，但卻是定義其他概念的基礎(chǔ)，在數(shù)學中，“點”、“直線”、“平面”、“立體”、“集合”、邏輯學中的“邏輯”等都是原名。原名的學習

在教與學的過程中對原名一般是采取描述法和抽象法明確概念的，用直觀說明或者指明對象的方法。例如“由一類事物組成的集體稱為一個集合”，這是對集合概念的說明而不是集合的定義。又如，用拉緊的繩和由小孔中射入的光線來抽象出直線的概念，這就是一種直觀說明與抽象法的綜合應用；又如“0，l，2，3，4，…叫做自然數(shù)”，這就是指明對象的方法。(2)公理的學習

數(shù)學公理是無條件承認的相互制約的規(guī)定，

是一些不證自明的命題，在理論形式上，公理是邏輯推理的大前提，是數(shù)學理論系統(tǒng)需要用作自己的出發(fā)點的少數(shù)思想的規(guī)定，它們的真實性不是由邏輯推理來證明的，而是經(jīng)過人們長期的實踐來檢驗和證實的。在數(shù)學公理的學習過程中，首先，應當充分了解什么是公理，體會到引入公理的必要性；理解并記憶公理的具體內(nèi)容，并在推理和計算中熟練的給予應用。2．概念的學習過程

(1)數(shù)學概念的意義和特點

概念是反映事物本質(zhì)屬性的最基本的思維形式，任何一門學科都是以基本的概念為基礎(chǔ)的，在學習過程中，如果概念不清，將導致思維的混亂。數(shù)學概念是反映現(xiàn)實世界的空間形式、數(shù)量關(guān)系及事物的本質(zhì)屬性的思維形式。數(shù)學中的命題是由概念構(gòu)成的，數(shù)學中的推理和證明又是由命題構(gòu)成的。數(shù)學概念具有抽象性的特點，它的抽象性和具體性又是相對的。

數(shù)學概念不僅產(chǎn)生于客觀世界中的具體事物，而且產(chǎn)生于“思維結(jié)果”(例如，零指數(shù)冪、零階乘、無窮遠點等)，就概念的引入及其反映屬性與現(xiàn)實內(nèi)容相脫離來看，具有相對獨立性；數(shù)學中的多數(shù)概念都是在原始概念(原名)的基礎(chǔ)上形成的，并且須以邏輯定義，并以語言形式使之固定。在一個數(shù)學分支中，諸概念形成一個結(jié)構(gòu)嚴謹?shù)母拍铙w系，并將概念之間的邏輯聯(lián)系清晰地表達出來。（2）學習數(shù)學概念的兩種基本形式

數(shù)學概念的學習可分為以下兩種基本形式：①概念的形成在教學條件下，從大量具體實例出發(fā)，從學生實際經(jīng)驗的肯定例證中，以歸納的方法概括出一類事物的本質(zhì)屬性，即概念形成。在數(shù)學學習中，對于初次接觸的或較難理解的概念往往采用概念形成的學習方式。以減少學習上的困難。例如，對于初次接觸“變量”和“函數(shù)”的初中生，可以用概念形成的方式讓他們獲得這兩個概念。

②概念同化

學生在學習直接用定義形式陳述的概念時，

他們主動地與其認知結(jié)構(gòu)中原有的有關(guān)概念相互聯(lián)系，相互作用，并領(lǐng)會新概念的本質(zhì)屬性，從而獲得新概念，這種獲得概念的方式叫做概念同化。這一過程中，同樣要進行積極的思維，但這與概念形成有所不同。首先，概念同化的學習，應著重分析概念定義中的每一個字、詞、句，做到“咬文嚼字”，明確概念。并將新概念的本質(zhì)屬性與原有認識結(jié)構(gòu)中的適當概念相聯(lián)系，明確新概念是原有概念的“限定”，并能把它從原有概念中分離出來。其次，要把新概念與原有認知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)概念融合在一起．納入認知結(jié)構(gòu)中．以便于記憶和應用。(3)概念形成與概念同化的區(qū)別與聯(lián)系

概念形成主要依靠的是對具體事物的抽象，

概念同化則主要依靠的是學生對新舊知識的聯(lián)系；且概念形成與人類自發(fā)形成概念的方式接近，而概念同化則是具有一定邏輯思維水平的人自覺學習概念的主要方式。中學階段，在低年級，概念形成的形式用得比較多；在高年級，概念同化是獲得概念的主要方式；但對較難理解的或新學科(新內(nèi)容)開始時的一些概念，仍采取概念形成的學習方式。概念形成與概念同化的區(qū)別與聯(lián)系

在數(shù)學概念的實際學習過程中，概念形成與概念同化這兩種方式往往又是結(jié)合使用的，這樣既符合學生學習概念時由具體到抽象的認識規(guī)律，掌握形式化的數(shù)學概念背后的事實，又能使學生在有限的時間內(nèi)較快地理解概念所反映的事物的本質(zhì)屬性，掌握更多的數(shù)學概念，提高數(shù)學學習的效益。(4)影響數(shù)學概念學習的因素

在數(shù)學概念學習中，不同的學生對數(shù)學概念的接受和理解程度也不相同。影響數(shù)學概念學習的因素很多，

①學生原有的認知結(jié)構(gòu)學習數(shù)學概念時，學生總是從他們原有的認知結(jié)構(gòu)出發(fā)，去認知、理解和區(qū)分事物的各種聯(lián)系和性質(zhì)。在數(shù)學學習中，學生原有的認知結(jié)構(gòu)是否合理、科學，深度、廣度如何，都影響著學生對概念的學習。

②有關(guān)新概念的感性材料和感性經(jīng)驗概念形成和概念同化，主要依賴的是對感性材料和經(jīng)驗的抽象概括。

③抽象概括的能力水平

抽象概括是概念形成必不可少的步驟，也是概念同化的關(guān)鍵，所以，小學生學習概念直接受到他們抽象概括水平的制約。低年級學生只能根據(jù)事物的直觀形象形成概念，中年級學生已能利用表象的概括形成概念，而高年級學生則能通過對一類事物的本質(zhì)特征和內(nèi)部聯(lián)系的概括而獲得概念。若學生的概括能力差，就不能抓住對象的本質(zhì)屬性，不能明確概念的內(nèi)涵和外延。沒有抽象和概括，就不可能形成概念。④語言表達能力

任何一個概念都是用詞或符號來表達的。定義都是用文字語言和數(shù)學符號來表達的，可見語言表達已經(jīng)成為概念學習的重要一環(huán)。3．數(shù)學定理(公式、法則)的學習過程學好數(shù)學定理(這里包括公式、法則等)是判斷、推理和進一步論證的關(guān)鍵。數(shù)學定理是經(jīng)過數(shù)學證明確認其真實性的命題。數(shù)學定理的學習，應當了解定理的由來，認識定理的條件和結(jié)論，掌握定理的證明方法，熟悉定理的適用范圍和應用時的注意事項；并在此基礎(chǔ)上把握定理間的內(nèi)在聯(lián)系，把所學的知識系統(tǒng)化。

數(shù)學定理學習的關(guān)鍵是搞清楚數(shù)學定理結(jié)構(gòu)中各概念之間的關(guān)系。新定理的學習與原數(shù)學認

知結(jié)構(gòu)中有關(guān)知識存在著三種關(guān)系：下位關(guān)系、上位關(guān)系和并列關(guān)系。

①下位關(guān)系與下位學習

如果原有認知結(jié)構(gòu)中有層次上高于新定理的知識，那么新定理和原有認知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識就構(gòu)成下位關(guān)系。此時，新定理可以直接和原數(shù)學認知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識發(fā)生聯(lián)系，直接納入原有的認知結(jié)構(gòu)中，充實原有的認知結(jié)構(gòu)，這樣的學習叫下位學習。在下位學習中，新定理和原有的認知結(jié)構(gòu)的作用方式主要是同化。②上位關(guān)系和上位學習

如果新學習的定理在概括程度上高于原有認知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識，這種關(guān)系叫上位關(guān)系。此時，新定理中概念之間的關(guān)系是通過歸納、概括比它層次低的已有知識獲得的。也就是說，要通過對已有知識的歸納、綜合與概括，將原有的認知結(jié)構(gòu)改變?yōu)樾碌恼J知結(jié)構(gòu)，這樣的學習叫上位學習。由于上位學習必須通過改造原有的認知結(jié)構(gòu)才能完成，所以，一般說來，上位學習比下位學習困難。在上位學習中，新定理與原有的認知結(jié)構(gòu)作用的方式主要是順應。③并列關(guān)系與并列學習

如果新學習的定理與原有認知結(jié)構(gòu)有一定聯(lián)系，但是，既不能構(gòu)成下位關(guān)系，也不能構(gòu)成上位關(guān)系，新定理和原有認知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識的這種關(guān)系稱為并列關(guān)系。此時，學習新定理的關(guān)鍵便在于尋找這種聯(lián)系，使它們在一定意義上進行類比、這樣的學習叫做并列學習。例如，不等式的有關(guān)定理和原有認知結(jié)構(gòu)中方程的有關(guān)知識之間的關(guān)系即是如此。三、數(shù)學活動經(jīng)驗的學習過程1．數(shù)學活動的概念

數(shù)學活動可分為廣義的數(shù)學活動和狹義的數(shù)學活動。廣義的數(shù)學活動是指學習數(shù)學、研究數(shù)學、教授數(shù)學、應用數(shù)學等活動，它要受時代的哲學、經(jīng)濟、文化、科學、技術(shù)、人際關(guān)系等社會環(huán)境因素的影響，因此它必須包括交流、討論、評價和修正等過程，同時它又反過來影響社會各領(lǐng)域；數(shù)學活動的概念

狹義的數(shù)學活動則是指在校學生參與的所有數(shù)學學習和實踐等活動，它既包含數(shù)學知識學習和數(shù)學技能訓練等過程，又包含針對一個數(shù)學專題或?qū)嶋H問題，組織和指導學生通過閱讀、觀察、探索、假設(shè)、驗證、推廣、應用及討論、交流等一系列活動，培養(yǎng)和發(fā)展他們分析問題與解決問題的能力的實踐過程。這里所說的數(shù)學活動主要是指狹義的數(shù)學活動。2．數(shù)學活動經(jīng)驗的學習過程

數(shù)學活動經(jīng)驗是在數(shù)學活動中積累起來的感性認識，其外在表現(xiàn)是某項數(shù)學技能。數(shù)學技能是在數(shù)學學習過程中，通過訓練而形成的一種外部動作或內(nèi)部心智的活動方式，它往往表現(xiàn)為完成數(shù)學任務所需要的動作的協(xié)調(diào)和心智過程的自動化。數(shù)學活動經(jīng)驗的學習過程實際上就是數(shù)學技能的形成過程。

根據(jù)技能的表現(xiàn)形式可以將數(shù)學技能分為外部操作技能和內(nèi)部心智技能。運用工具作圖、測量、使用計算工具(算盤、數(shù)學用表、計數(shù)器、計算機)等的技能都是動作技能，而數(shù)的計算技能、式的恒等變形技能、解方程、解不等式、推理論證技能、運用數(shù)學方法的技能等都是心智技能。雖然操作技能與心智技能的形成過程有本質(zhì)的區(qū)別，但是兩種技能的形成都必須經(jīng)過教師的示范和學生反復的模仿練習。因此，數(shù)學活動經(jīng)驗的學習離不開模仿接受的方法。

模仿是數(shù)學學習中不可忽視的學習方法，教科書中的敘述、圖形、證明的書寫格式，以及教師的講解、板演操作示范等都是學生模仿的