高等土力學第四章沉降分析

高等土力學第四章沉降分析第一頁，共五十五頁，2022年，8月28日§4沉降分析SettlementAnalysis§4.1概述§4.2地基中的應力§4.3土的壓縮性§4.4沉降組成分析§4.5沉降計算方法第二頁，共五十五頁，2022年，8月28日§4.1概述變形豎向變形水平向變形（側向）Lateraldisplacement沉降（下沉）Settlement隆起（上抬）Heave研究地基的變形與穩(wěn)定是土力學的根本任務。第三頁，共五十五頁，2022年，8月28日§4.1概述沉降沉降量（絕對沉降）——影響正常使用（如管道壓壞）不均勻沉降（相對沉降）——建筑物開裂,甚至倒塌沉降分析—土力學的基本課題之一，土木工程設計的重要內容。引起地基沉降的原因可分為:①內因：土體具有壓縮性——參數不易確定②外因：土體中應力改變——外部荷載引起，難以準確計算。第四頁，共五十五頁，2022年，8月28日§4.1概述沉降的精確計算取決于:①應力計算的準確性；②土體性狀（如壓縮性—應力應變關系）的正確測定。已有很多種方法計算地基沉降：一、解析法(彈性理論法)基于半空間體彈性理論——布辛涅斯克（Bussinisq）解（集中荷載作用下6個應力分量、3個位移分量解）缺點：彈性系數難定常用于（瞬時）初始沉降計算。二、分層總和法—規(guī)范法最為常用。三、Skempton—Bjerrum法考慮孔壓消散，r為孔壓系數A的函數。第五頁，共五十五頁，2022年，8月28日§4.1概述四、三維壓縮非線性模量法（龔）五、應力路徑法實際應力路徑較難模擬。六、原位試驗法現場荷載試驗等。過于局限性七、有限單元法—最能考慮實際復雜情況八、從實測資料推算地基總沉降—最可靠，但屬事后行為。拉壓第六頁，共五十五頁，2022年，8月28日§4.2地基中的應力§4.2.1引言

地基中自重應力的計算問題即屬于一維問題。第七頁，共五十五頁，2022年，8月28日§4.2地基中的應力§4.2.2自重應力自重應力——土本身自重引起。在建筑物建造前即存在，故又稱為初始應力。只有有效應力，才能使土粒彼此擠緊，從而引起土體變形。而自重應力作用下的土體變形一般均已完成（欠固結土除外），故自重應力通常均指自重有效應力，一般將豎向自重有效應力簡稱為自重應力。自重應力計算式為：

n—從地面到深度z處的土層總數；—深度處的自重應力，kPa；—第i層土的天然重度，地下水位以下的土層取浮重度，kN/m3；hi—第i層土的厚度，m。第八頁，共五十五頁，2022年，8月28日§4.2地基中的應力§4.2.2自重應力除豎向自重應力外，地基中還有側向自重應力。由于在任一水平面上都均勻地無限分布，故地基土在自重應力作用下只能產生豎向變形，而不能發(fā)生側向變形和剪切變形，即有

則由彈性力學中的廣義虎克定律有：可得其中，稱為土的側壓力系數或靜止土壓力系數。其中，-土體有效應力泊松比第九頁，共五十五頁，2022年，8月28日§4.2地基中的應力§4.2.3附加應力

地基附加應力：建筑物荷重在土體中引起的附加于原有應力之上的應力。

計算方法：假定地基為均質的線彈性半空間體、不考慮基礎剛度（即將基底壓力視為柔性荷載）、直接利用彈性力學中的彈性半空間理論解。一、豎向集中力的地基附加應力1．布辛涅斯克（法國Boussinesq，1885）解（集中力作用于地面）第十頁，共五十五頁，2022年，8月28日§4.2地基中的應力§4.2.3附加應力2．明德林（R.D.Mindlin，1936）解（集中力作用于地基內）

地基內作用一豎向集中力時地基中應力計算第十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日§4.2地基中的應力§4.2.3附加應力當一集中力作用于地基內時，地基中附加應力計算可采用彈性理論中半無限彈性體內作用一豎向集中應力時的明德林（R.D.Mindlin，1936）解。如上圖設置坐標系，距表面距離c處作用一個集中力P，地基中附加應力表示式為

第十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日§4.2地基中的應力§4.2.3附加應力第十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日§4.2地基中的應力§4.2.3附加應力第十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日§4.2地基中的應力§4.2.3附加應力式中；

；

c=集中力作用點的深度，m；μ=土的泊松比。

比較可見，當c＝0時，明德林解即蛻化為布辛涅斯克解，因此也可以認為布辛涅斯克解是明德林解的一個特例。第十五頁，共五十五頁，2022年，8月28日§4.2地基中的應力§4.2.3附加應力二、分布荷載下的地基附加應力（一）均布矩形荷載1、角點下的附加應力：

其中Kz為角點附加應力系數。

2、其它點的附加應力采用角點法計算，即：

通過計算點o將荷載分成若干個矩形荷載，從而使點o成為劃分出的各個矩形的公共角點，然后再根據迭加原理計算。共有以下四種情況：(a)O點在荷載面的邊緣：

其中KzI、KzII

為相應于面積Ⅰ和Ⅱ的角點附加應力系數。ⅡⅠ

o第十六頁，共五十五頁，2022年，8月28日§4.2地基中的應力§4.2.3附加應力

（b）O點在荷載面內：

其中KzI、KzII、KzIII、KzIV為相應于面積I、II、III、IV的角點附加應力系數。

如果O位于荷載中心，則有：，故表4-3可有可無。

（c）O點在荷載面的邊緣外側：荷載面（abcd）＝面積Ⅰ（ofbg）-面積Ⅱ（ofah）+面積Ⅲ（oecg）-面積Ⅳ（oedh）則ⅠⅡⅣⅢOhbgcfoead第十七頁，共五十五頁，2022年，8月28日§4.2地基中的應力§4.2.3附加應力（d）O點在荷載面的角點外側

荷載面（abcd）＝面積Ⅰ（ohce）-面積Ⅱ（ohbf）-面積Ⅲ（ogde）+面積Ⅳ（ogaf）則

必須注意:在角點法中，查附加應力系數時所用的L和B均指劃分后的矩形（如ohbf、ohce等）的長和寬。第十八頁，共五十五頁，2022年，8月28日§4.2地基中的應力§4.2.3附加應力（二)其它分布荷載(圓形、三角形、梯形等)下的地基附加應力仍基於並應用迭加原理計算。

其中K—附加應力系數（三）的分布規(guī)律第十九頁，共五十五頁，2022年，8月28日§4.3土的壓縮性

壓縮性的概念：天然土是由土顆粒、水、氣組成的三相體，是一種多孔介質材料。在壓力作用下，土骨架將發(fā)生變形、土中孔隙將減少、土的體積將縮小，土的這一特性稱為土的壓縮性。簡言之，土在壓力作用下體積縮小的特性即為土的壓縮性。土的壓縮特性及固結的概念：與金屬等其它連續(xù)介質材料不同，土受壓力作用后的壓縮并非瞬間完成，而是隨時間逐步發(fā)展并趨穩(wěn)定的。土體壓縮隨時間發(fā)展的這一現象或過程稱為固結。因此，土的壓縮和固結是密不可分的，壓縮是土固結行為的外在表現，而固結是土壓縮的內在本質。如果說外荷載（附加應力）是引起地基變形的外因，那么土具有壓縮性就是地基變形的根本內因。因此，研究土的壓縮性是合理計算地基變形的前提，也是土力學中重要的研究課題之一。第二十頁，共五十五頁，2022年，8月28日§4.3土的壓縮性§4.3.1壓縮試驗和壓縮曲線土的壓縮性指標有：壓縮系數a或壓縮指數Cc、壓縮模量Es和變形模量E0。一般用室內壓縮試驗測定土的壓縮性指標。這種試驗簡便經濟實用。室內壓縮試驗是在下圖所示的常規(guī)單向壓縮儀上進行的。常規(guī)單向壓縮儀及壓縮試驗示意圖第二十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日§4.3土的壓縮性§4.3.1壓縮試驗和壓縮曲線試驗時，用金屬環(huán)刀取高為20mm、直徑為50mm（或30mm）的土樣，并置于壓縮儀的剛性護環(huán)內。土樣的上下面均放有透水石。在上透水石頂面裝有金屬圓形加壓板，供施荷。壓力按規(guī)定逐級施加，后一級壓力通常為前一級壓力的兩倍。常用壓力為：50，100，200，400和800kPa。施加下一級壓力，需待土樣在本級壓力下壓縮基本穩(wěn)定（約為24小時），并測得其穩(wěn)定壓縮變形量后才能進行。（先進的實驗設備可實現連續(xù)加荷。）

壓縮曲線是壓縮試驗的主要成果，表示的是各級壓力作用下土樣壓縮穩(wěn)定時的孔隙比與相應壓力的關系。繪制壓縮曲線，須先求得對應于各級壓力的孔隙比。由實驗數據計算各級壓力下孔隙比，如下式：第二十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日§4.3土的壓縮性§4.3.1壓縮試驗和壓縮曲線壓縮曲線（孔隙比e為縱坐標，壓力p為橫坐標），也就是土的孔隙比e與有效應力的關系曲線，有兩種：e-p曲線：采用普通直角坐標繪制（如圖（ａ））。e-logp曲線：采用半對數（指常用對數）坐標繪制（如圖（b））。大量的試驗研究表明：土的e-logp曲線后半段接近直線。(a)e-p曲線(b)e-logp曲線壓縮曲線第二十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日§4.3土的壓縮性§4.3.1壓縮試驗和壓縮曲線土的壓縮曲線越陡，其壓縮性越高。故可用e-p曲線的切線斜率來表征土的壓縮性，該斜率就稱為土的壓縮系數，定義為：顯然e-p曲線上各點的斜率不同，故土的壓縮系數不是常數。a越大，土壓縮性越高。實用上，可以采用割線斜率來代替切線斜率。式中：a——計算點處土的壓縮系數，kPa-1或MPa-1；通常用壓力間隔由p1=100kPa增加至p2=200kPa所得的壓縮系數a1-2來評價土的壓縮性：a1-2≥0.5屬高壓縮性；a1-2=0.1~0.5屬中壓縮性；a1-2≤0.1屬低壓縮性第二十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日§4.3土的壓縮性§4.3.1壓縮試驗和壓縮曲線土的壓縮指數Cc：e-logp曲線后半段直線的斜率：顯然，與壓縮系數類似，壓縮指數越大，則土的壓縮性越高。注意：CC是無量綱常數。土的壓縮模量：又稱側限壓縮模量，土在完全側限條件下壓力增量與相應的豎向應變增量之比值。Es越小，則土的壓縮性越高。體積壓縮系數mv：土在完全側限條件下體積應變增量與壓力增量之比，即：第二十五頁，共五十五頁，2022年，8月28日§4.3土的壓縮性§4.3.1壓縮試驗和壓縮曲線土的變形模量E0

，其定義是：土在無側限條件下的豎向應力增量與相應豎向應變增量之比，即：E0的室內確定方法。根據廣義虎克定律：在側限（一維）條件下：所以：第二十六頁，共五十五頁，2022年，8月28日§4.3土的壓縮性§4.3.1壓縮試驗和壓縮曲線故有：另有Es的定義：所以可得：其中第二十七頁，共五十五頁，2022年，8月28日§4.3土的壓縮性§4.3.2先期固結壓力和土的固結狀態(tài)土在歷史上所經受過的最大豎向壓力（有效應力）稱為先期固結壓力（又稱為前期固結壓力），常用pc表示。卡薩格蘭德（A.Cassagrande）于1936年提出了確定先期固結壓力的經驗作圖法（如右圖），這也是至今確定pc值最為常用的一種近似法。1.在e-logp曲線上找出曲率半徑最小的一點A，過A點作水平線A1和切線A2；確定先期固結壓力pc的Cassagrande法第二十八頁，共五十五頁，2022年，8月28日§4.3土的壓縮性§4.3.2先期固結壓力和土的固結狀態(tài)2.作角1A2的平分線AB，與e-logp曲線后半段（即直線段）的延長線交于C點；3.C點所對應的壓力即為先期固結壓力pc。Cassagrande法簡單、易行，但其準確性在很大程度上取決于土樣的質量（如擾動程度）和作圖經驗（如比例尺的選?。┑?。先期固結壓力常用于判斷土的固結狀態(tài)。為此，將土的先期固結壓力pc與土現在所受的壓力p0的比值OCR定義為土的超固結比OCR，即：土的固結狀態(tài)在一定條件下是可以相互轉化的。第二十九頁，共五十五頁，2022年，8月28日§4.3土的壓縮性§4.3.3彈性變形和殘余變形(回彈、再壓縮曲線)§4.3.4土的變形參數和相互間關系（書192表4—7）土的回彈曲線和再壓縮曲線第三十頁，共五十五頁，2022年，8月28日§4.4沉降組成分析按變形機理可將地基總沉降S分為三部分，即：經驗系數Sd：初始沉降，又稱不排水沉降，由剪切變形引起（）；對于一維問題，Sd＝0；Sc：主固結沉降，由土體固結而引起。即在荷載作用下,土中的水逐漸排出，孔隙體積相應減少（取決于土層厚度，土的性質，排水條件）而發(fā)生的沉降；Ss：次固結沉降，孔隙水停止排出后，由于土骨架蠕變而緩慢發(fā)生；該部分沉降一般<10%。第三十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日§4.4沉降組成分析

需要注意的是：1、瞬時沉降sd的產生需要一定的時間2、土體固結沉降Sc，也有短時間完成的，如鄰近排水面的土體的固結，幾乎是瞬時發(fā)生的3、將地基沉降分成三部分是從變形機理角度考慮，并不是從時間角度劃分的，地基固結沉降和次固結沉降難以在時間上分開，初始沉降與固結沉降在時間上也難以截然分開。第三十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日§4.5沉降計算方法

的計算—彈性理論法(集中荷載下地表任一點沉降)

—分層總和法p.203;考慮應力歷史計算方法p.206；規(guī)範推薦法.

—次固結曲線p.222現場資料推算法;三點法;Asaoka法第三十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日§4.5沉降計算方法次固結沉降計算：土體次固結引起孔隙比變化可近似地用下式計算e第三十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日§4.5沉降計算方法次固結沉降計算式中：-次固結系數，為半對數圖（e-logt)上直線斜率；t-所求次固結變形時間；t1-壓縮試驗中次固結開始時間，相當于主固結完成時間。于是次固結沉降可采用下式計算式中：-第i層土次固結系數；e0i-第i層土初始孔隙比；Hi-第i層土厚度；ti-第i層土次固結變形開始產生時間；t-計算所求次固結沉降Ss產生的時間。地基土體次固結變形也可采用粘彈性模型計算。第三十五頁，共五十五頁，2022年，8月28日§4.5沉降計算方法三點法：0堆載s1stt3t2t1s2s3堆載s第三十六頁，共五十五頁，2022年，8月28日§4.5沉降計算方法（簡化法）總結：第三十七頁，共五十五頁，2022年，8月28日分層總和法分層總和法是一類沉降計算方法的總稱，在這類方法中，將壓縮層范圍內的地基土層分成若干層，分別計算各分層土體的豎向壓縮量，然后求和得到總豎向壓縮量，即總沉降量。在分層計算土體壓縮量時，一般采用一維壓縮模式。

1.普通分層總和法假定：無側向變形。故可用室內壓縮試驗得到的指標計算沉降；取基底中心軸線上的附加應力sz計算沉降。假定①將使沉降偏小，假定②則使沉降偏大。兩者相互補充。第三十八頁，共五十五頁，2022年，8月28日式中△Si=第i層土的壓縮量；εi=第i層土的側限壓縮應變；Hi=第i層土的厚度；n=地基沉降計算深度（壓縮層厚度）范圍內所劃分的土層數。因為所以第三十九頁，共五十五頁，2022年，8月28日式中，第i分層土的平均自重應力；

，第i分層土的平均自重應力和平均附加應力之和；，第i分層土的平均附加應力；=第i層土底面和頂面處的自重應力；=第i層土底面和頂面處的附加應力；在e~p曲線上對應的孔隙比；=第i層土的壓縮系數(kPa-1)和壓縮模量(kPa)。第四十頁，共五十五頁，2022年，8月28日分層總和法的計算步驟：

分層總和法示意圖第四十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日計算基底附加壓力p0；分層：地下水位面和各土層交界面；層厚取0.4b（b為基底寬度）或1～2m；計算自重應力（基底、各分層處）；計算附加應力（基底中心線與各分層交界點處）；計算；由值在e~p曲線上查對應的孔隙比；確定地基沉降計算深度（即地基壓縮層厚度）：一直往下算，直至（如其下有高壓縮性土，須算至）；計算各分層沉降：

計算總沉降：第四十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日2、考慮前期固結壓力的分層總和法考慮前期固結壓力的分層總和法又稱為法。

正常固結（NC）土的沉降計算正常固結（NC）土的曲線第四十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日因為所以

其中，,第i分層土的平均附加應力（平均有效應力增量）；=第i分層土平均自重應力=第i分層土的初始孔隙比（相應于）；=從原始壓縮曲線確定的第i分層土的壓縮指數；Hi=第i分層土的厚度。

第四十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日

超固結（OC）土的沉降計算利用由原始壓縮和再壓縮曲線分別確定的土壓縮指數cc和回彈指數ce進行計算。分兩種情況。

超固結（OC）土的曲線:（a）；（b）第四十五頁，共五十五頁，2022年，8月28日（a）某分層土的有效應力增量

式中，n=壓縮土層中有效應力增量的分層數。第四十六頁，共五十五頁，2022年，8月28日（b）某分層土的有效應力增量

式中，m=壓縮土層中有效應力增量的分層數。（3）地基總固結沉降Sc=Scn+Scm第四十七頁，共五十五頁，2022年，8月28日建筑地基基礎設計規(guī)范法

規(guī)范：《建筑地基基礎設計規(guī)范》—GB50007-2002

特點：計算中采用平均附加應力系數（而不是附加應力系數—普通分層總和法）。

平均附加應力系數的定義：

式中K=附加應力系數（參見第4章）。對于均布矩形荷載(面積lx

b)，平均豎向附加應力系數值可由l/b和z/b查表6-6，其他情況可參閱有關規(guī)范。

深度z范圍內的附加應力面積A：式中:p0=對應于荷載效應永久組合時的基礎底面處的附加壓力（即荷載作用密度）。第四十八頁，共五十五頁，2022年，8月28日

基底至地基任意深度z范圍內的土層壓縮量：第四十九頁，共五十五頁，2022年，8月28日

規(guī)范推薦的地基沉降計算示意