第2章史密斯圓圖

第2章史密斯圓圖

復(fù)平面上反射系數(shù)的表示方法2.1史密斯阻抗圓圖2.2史密斯導(dǎo)納圓圖2.3史密斯圓圖在集總參數(shù)元件電路中的應(yīng)用2.4

在傳輸線問題的計(jì)算中，經(jīng)常涉及輸入阻抗、負(fù)載阻抗、反射系數(shù)和駐波系數(shù)等量，以及這些量之間的相互關(guān)系，這些量利用前面給出的公式進(jìn)行計(jì)算，并不困難，但比較繁瑣。

為簡化計(jì)算，P.H.Smith開發(fā)了圖解方法，這種方法可以在一個(gè)圖中簡單、直觀地顯示傳輸線上各點(diǎn)阻抗與反射系數(shù)的關(guān)系，該圖解稱為史密斯圓圖。

本章首先在標(biāo)準(zhǔn)復(fù)平面上給出反射系數(shù)的表示方法；然后介紹史密斯阻抗圓圖和導(dǎo)納圓圖的構(gòu)成；隨后介紹如何利用圖解法工具；最后給出史密斯圓圖的應(yīng)用舉例。本章只討論無耗均勻傳輸線的情況。2.1復(fù)平面上反射系數(shù)的表示方法 反射系數(shù)可以用以了解傳輸線上的工作狀態(tài)。反射系數(shù)是傳輸線的基本特性參數(shù)，其既描述了傳輸線上各點(diǎn)反射電壓與入射電壓之間的關(guān)系，也描述了負(fù)載阻抗與特性阻抗的失配度。

史密斯圓圖是在反射系數(shù)的復(fù)平面上建立起來的，為此，首先介紹復(fù)平面上反射系數(shù)的表示方法。

2.1.1反射系數(shù)復(fù)平面 由式（1.28）可知，無耗傳輸線上距離終端為z′處的反射系數(shù)為

式（2.1）表明，反射系數(shù)是復(fù)數(shù)，可以在復(fù)平面上表示Γ（z′），不同的反射系數(shù)Γ（z′）對應(yīng)復(fù)平面上不同的點(diǎn)。

在Γ（z′）=Γr+jΓi的復(fù)平面上，|Γ（z′）|由|ΓL|確定。由式（1.27）有

|ΓL|由負(fù)載阻抗ZL與特性阻抗Z0的失配度決定。 對于均勻無耗傳輸線，同一條傳輸線上各點(diǎn)的反射系數(shù)Γ（z′）在復(fù)平面的同一個(gè)圓上，圓的半徑由|ΓL|決定。

2.1.2等反射系數(shù)圓和電刻度圓 1.等反射系數(shù)圓 式（2.1）表明，在Γ（z′）=Γr+jΓi的復(fù)平面上，同一條傳輸線上各點(diǎn)的反射系數(shù)在同一個(gè)圓上，這個(gè)圓稱為等反射系數(shù)圓。

等反射系數(shù)圓的軌跡是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心、|ΓL|為半徑的圓。因?yàn)?≤|ΓL|≤1，所以所有傳輸線的等反射系數(shù)圓都位于半徑為1的圓內(nèi)，這個(gè)半徑為1的圓稱為單位反射圓。

對負(fù)載阻抗與特性阻抗失配度不同的傳輸線而言，傳輸線的反射系數(shù)模值是不同的，因而就對應(yīng)著不同的等反射系數(shù)圓半徑，這一組半徑不同的等反射系數(shù)圓稱為等反射系數(shù)圓族。

又因?yàn)榉瓷湎禂?shù)的模值與駐波系數(shù)一一對應(yīng)，所以等反射系數(shù)圓族又稱為等駐波系數(shù)圓族。等反射系數(shù)圓族有下面3個(gè)特點(diǎn)。

（1）當(dāng)?shù)确瓷湎禂?shù)圓的半徑為0，即在坐標(biāo)原點(diǎn)處時(shí)，反射系數(shù)的模值|ΓL|=0，駐波系數(shù)ρ=1。所以，反射系數(shù)復(fù)平面上的坐標(biāo)原點(diǎn)為匹配點(diǎn)。

（2）當(dāng)?shù)确瓷湎禂?shù)圓的半徑為1時(shí)，為單位反射圓，單位反射圓上反射系數(shù)的模值|ΓL|=1，駐波系數(shù)ρ=∞。所以，反射系數(shù)復(fù)平面上的單位反射圓對應(yīng)著終端開路、終端短路和終端接純電抗負(fù)載時(shí)傳輸線上各點(diǎn)的反射系數(shù)。

（3）所有等反射系數(shù)圓均在單位反射圓內(nèi)，圓的半徑隨負(fù)載阻抗與特性阻抗失配度的不同而不同，同一條傳輸線上各點(diǎn)的反射系數(shù)在同一個(gè)圓上。 等反射系數(shù)圓如圖2.1所示。

圖2.1等反射系數(shù)圓

2.電刻度圓 可以在單位反射圓的外面畫兩個(gè)同心圓分別標(biāo)明反射系數(shù)相角的變化，其中一個(gè)圓用來標(biāo)明傳輸線電長度一周變化λ/2；另一個(gè)圓用來標(biāo)明相角一周變化360°。

標(biāo)明電長度變化的圓稱為電刻度圓，電刻度圓的起始位置在圓的最左端，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)電刻度的數(shù)值增大。相角的起始位置在圓的最右端，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)相角的數(shù)值增大。電刻度圓和相角變化的情況如圖2.2所示。

圖2.2反射系數(shù)的相角和電刻度圓2.2史密斯阻抗圓圖 史密斯阻抗圓圖用來顯示傳輸線上各點(diǎn)輸入阻抗與反射系數(shù)的關(guān)系。傳輸線上任意一點(diǎn)的反射系數(shù)都與該點(diǎn)的歸一化輸入阻抗有關(guān)，將歸一化輸入阻抗用歸一化電阻和歸一化電抗表示，等歸一化電阻曲線和等歸一化電抗曲線都是圓。

將等電阻圓和等電抗圓畫在反射系數(shù)的復(fù)平面上，就構(gòu)成了史密斯阻抗圓圖。

2.2.1歸一化阻抗

2.2.2等電阻圓和等電抗圓 在反射系數(shù)的復(fù)平面上，歸一化電阻為常數(shù)的曲線稱為等電阻曲線；歸一化電抗為常數(shù)的曲線稱為等電抗曲線。

將式（2.6）變換后得到

（a）等電阻圓（b）等電抗圓圖2.3等電阻圓和等電抗圓

2.2.3史密斯阻抗圓圖

圖2.4史密斯阻抗圓圖的構(gòu)成

圖2.5史密斯阻抗圓圖

由上面圓圖的構(gòu)成可以知道，史密斯阻抗圓圖有如下特點(diǎn)。（1）圓圖旋轉(zhuǎn)1周為λ/2，而非λ。

（2）圓圖上有3個(gè)特殊的點(diǎn)。 ●匹配點(diǎn)。坐標(biāo)為（0，0），此處對應(yīng)于r=1、x=0、

|Γ|=0、ρ=1。

●短路點(diǎn)。坐標(biāo)為（－1，0），此處對應(yīng)于r=0、x=0、|Γ|=1、ρ=∞、φ=180°。 ●開路點(diǎn)。坐標(biāo)為（1，0），此處對應(yīng)于r=∞、x=∞、|Γ|=1、ρ=∞、φ=0°。

（3）圓圖上有3條特殊的線。 ●右半實(shí)數(shù)軸線。線上x=0、r>1，為電壓波腹點(diǎn)的軌跡；同時(shí)，線上r的讀數(shù)也為駐波系數(shù)的讀數(shù)。由駐波系數(shù)可以求得反射系數(shù)的模值。

●左半實(shí)數(shù)軸線。線上x=0、r<1，為電壓波谷點(diǎn)的軌跡；同時(shí)，線上r的讀數(shù)也為行波系數(shù)的讀數(shù)。由行波系數(shù)可以求得反射系數(shù)的模值。

●單位反射系數(shù)圓。線上r=0，為純電抗軌跡，反射系數(shù)的模值為1。

（4）圓圖上有2個(gè)特殊的面。 ●實(shí)軸以上的上半平面是感性阻抗的軌跡。 ●實(shí)軸以下的下半平面是容性阻抗的軌跡。

（5）圓圖上有2個(gè)旋轉(zhuǎn)方向。 ●傳輸線上的點(diǎn)向電源方向移動時(shí)，在圓圖上沿等反射系數(shù)圓順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。 ●傳輸線上的點(diǎn)向負(fù)載方向移動時(shí)，在圓圖上沿等反射系數(shù)圓逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。

（6）由圓圖上的點(diǎn)可以得到4個(gè)參量，其為r、x、|Γ|、φ。

2.2.4史密斯阻抗圓圖的應(yīng)用 1.負(fù)載的阻抗變換 對射頻電路設(shè)計(jì)來說，經(jīng)常需要確定電路的阻抗響應(yīng)。沒有對阻抗性質(zhì)的詳細(xì)了解，就不能恰當(dāng)?shù)仡A(yù)言射頻系統(tǒng)的性能。

一個(gè)典型的情況是負(fù)載阻抗ZL與特性阻抗為Z0、長為l的傳輸線相連的電路，傳輸線的輸入阻抗與負(fù)載阻抗不同，產(chǎn)生了阻抗變換。用史密斯阻抗圓圖可以計(jì)算輸入阻抗。

2.反射系數(shù)和駐波系數(shù)的計(jì)算 使用圓圖可以求出駐波系數(shù)和反射系數(shù)。過zL點(diǎn)的等反射系數(shù)圓與圓圖右半實(shí)數(shù)軸交點(diǎn)的歸一化電阻讀數(shù)即為駐波系數(shù)。由于圓圖上沒有畫出等反射系數(shù)圓族，可由駐波系數(shù)求得反射系數(shù)的模值，駐波系數(shù)與反射系數(shù)模值之間的關(guān)系由式（1.33）給出，為

圖2.6例2.2用圖

圖2.7例2.3用圖3傳輸線上行駐波電壓最大點(diǎn)和最小點(diǎn)位置的計(jì)算用圓圖可以找到傳輸線上行駐波電壓的最大點(diǎn)和最小點(diǎn)。在射頻電路中，如果在傳輸線的電壓最大點(diǎn)或電壓最小點(diǎn)插入λ/4阻抗變換器，可以達(dá)到阻抗匹配。圖2.8例2.4用圖圖2.9例2.5用圖4傳輸線終端短路和終端開路時(shí)的阻抗變換終端短路的傳輸線和終端開路的傳輸線可以等效為電感和電容，這一點(diǎn)在射頻電路中非常重要。在給定頻率下，依據(jù)傳輸線長度和終端條件，可以產(chǎn)生感性和容性兩種阻抗，這種用分布電路技術(shù)實(shí)現(xiàn)集總元件參數(shù)的方法有很大的實(shí)用價(jià)值。圖2.10例2.6用圖圖2.11例2.7用圖在高頻時(shí)，因?yàn)殚_路線周圍溫度、濕度和介質(zhì)其他參量的改變，保持理想的開路條件是困難的。由于這個(gè)原因，在實(shí)際應(yīng)用中短路條件是更可取的。然而，在很高頻率或者當(dāng)用短路通孔連接在印刷電路板上時(shí)，即使是短路線也會引起附加寄生電感而出問題。此外，假如要求電路尺寸為最小，只能采用開路線實(shí)現(xiàn)電容器、采用短路線實(shí)現(xiàn)電感器。5串聯(lián)終端短路傳輸線

為了將負(fù)載阻抗調(diào)節(jié)到某一個(gè)預(yù)期值，可以在距負(fù)載一段距離處串聯(lián)一終端短路的傳輸線。圖2.12例2.8電路圖2.13例2.8用圖23〓史密斯導(dǎo)納圓圖在實(shí)際工作中，有時(shí)電路中需要得到的不是阻抗而是導(dǎo)納。本節(jié)介紹史密斯導(dǎo)納圓圖。231〓歸一化導(dǎo)納將式（2.3）通過簡單的倒置，可以得到歸一化導(dǎo)納。歸一化導(dǎo)納定義為式中式（24）和式（210），歸一化導(dǎo)納可以寫為對于復(fù)數(shù)，有如下關(guān)系式－1=ejπ（2.13）將式（213）代入式（212），歸一化導(dǎo)納為將式（214）和式（24）對比可以看出，在史密斯阻抗圓圖上，將阻抗點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，可以得到歸一化導(dǎo)納的值。圖2.14例2.9用圖圖2.15例2.10用圖232〓史密斯導(dǎo)納圓圖圖2.16史密斯導(dǎo)納圓圖史密斯導(dǎo)納圓圖有如下2個(gè)特點(diǎn)。（1）電導(dǎo)g越小，等電導(dǎo)圓越大。當(dāng)g<1時(shí)，等電導(dǎo)圓與實(shí)數(shù)軸的交點(diǎn)在右半實(shí)數(shù)軸上；當(dāng)g=1時(shí)，等電導(dǎo)圓過原點(diǎn)；當(dāng)g>1時(shí)，等電導(dǎo)圓與實(shí)數(shù)軸的交點(diǎn)在左半實(shí)數(shù)軸上。（2）當(dāng)b<0時(shí)，等電納圓在實(shí)數(shù)軸以上的上半平面，是感性；當(dāng)b>0時(shí)，等電納圓在實(shí)數(shù)軸以下的下半平面，是容性。|b|越小，等電納圓的半徑越大。233〓史密斯阻抗-導(dǎo)納圓圖在實(shí)際應(yīng)用中，電路中經(jīng)常會同時(shí)出現(xiàn)阻抗和導(dǎo)納的值，通常將史密斯阻抗圓圖和史密斯導(dǎo)納圓圖同時(shí)使用，構(gòu)成史密斯阻抗-導(dǎo)納圓圖，如圖2.17所示。圖2.17史密斯阻抗-導(dǎo)納圓圖圖2.18例2.11電路圖2.19例2.11用圖24〓史密斯圓圖在集總參數(shù)元件電路中的應(yīng)用241〓含串聯(lián)集總參數(shù)元件時(shí)電路的輸入阻抗在圖2.20(a)所示的電路中，負(fù)載阻抗ZL與一集總參數(shù)元件ZS相串聯(lián)，輸入阻抗為Zin=ZL+ZS=（RL+RS）+j（XL+XS）（2.16）圖2.20含串聯(lián)集總參數(shù)元件時(shí)電路的輸入阻抗由式（2.16）可以得到歸一化輸入阻抗zin為利用史密斯阻抗圓圖可以求出式（2.17）中的歸一化輸入阻抗zin，如圖2.20(b)所示。式（2.17）的結(jié)果用史密斯阻抗圓圖求解的步驟如下。（1）在圓圖上確定負(fù)載zL的位置，用點(diǎn)A表示。（2）由點(diǎn)A沿等電阻圓移動到點(diǎn)B，以增加歸一化電抗jxS。點(diǎn)B的歸一化阻抗為（3）由點(diǎn)B沿等電抗圓移動到點(diǎn)C，以增加歸一化電阻rS。點(diǎn)C的歸一化阻抗為式（2.17）中的zin還有另一種圖解方法可以求得，如圖2.20(b)所示，步驟如下。（1）由點(diǎn)A沿等電抗圓移動到點(diǎn)B′，以增加歸一化電阻rS。（2）由點(diǎn)B′沿等電阻圓移動到點(diǎn)C，以增加歸一化電抗jxS。2.4.2含并聯(lián)集總參數(shù)元件時(shí)電路的輸入導(dǎo)納

在圖2.21(a)所示的電路中，負(fù)載導(dǎo)納YL與一集總參數(shù)元件YP相并聯(lián)，輸入導(dǎo)納為由式（2.19）可以得到歸一化輸入導(dǎo)納yin為式（2.20）的結(jié)果可以利用史密斯導(dǎo)納圓圖求出，如圖2.21(b)所示。步驟如下。圖2.21含并聯(lián)集總參數(shù)元件電路的輸入導(dǎo)納（1）在圓圖上確定負(fù)載yL的位置，用點(diǎn)A表示。（2）由點(diǎn)A沿等電導(dǎo)圓移動到點(diǎn)B，以增加歸一化電納jbP。點(diǎn)B的歸一化導(dǎo)納為（3）由點(diǎn)B沿等電納圓移動到點(diǎn)C，以增加歸一化電導(dǎo)gP。點(diǎn)C的歸一化導(dǎo)納為式（2.20）中的yin還有另一種圖解方法可以求得，如圖2.21(b)所示，步驟如下。（1）由點(diǎn)A沿等電納圓移動到B′點(diǎn)，以增加歸一化電導(dǎo)gP。（2）由點(diǎn)B′沿等電導(dǎo)圓移動到點(diǎn)C，以增加歸一化電納jbP。243〓含串聯(lián)或并聯(lián)集總電抗元件時(shí)電路的輸入阻抗這是2.4.1和2.4.2節(jié)所述電路的一種特殊情況，電路中串聯(lián)或并聯(lián)的元件是無耗的，即為純電抗性集總元件。在這種情況下，有4種可能的組合，如圖2,22所示。為了求輸入阻抗，應(yīng)預(yù)先計(jì)算出集總電抗元件的歸一化串聯(lián)電抗值jx或歸一化并聯(lián)電納值jb，并假定歸一化負(fù)載zL位于圓圖上的點(diǎn)A。對于圖2.22所示的4種可能電路，從圓圖上的點(diǎn)A開始實(shí)行圖解計(jì)算，如圖2.23所示（圖2.23為史密斯阻抗-導(dǎo)納圓圖）。情況如下所述。

（1）在電路中串聯(lián)電感L時(shí)，電路如圖2.22(a)