吉林市2024-2025學(xué)年度高三第一次模擬測試 （一模）數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

后附原卷掃描版保密·啟用前后附原卷掃描版吉林市普通中學(xué)2024-2025學(xué)年度高中畢業(yè)年級第一次模擬測試數(shù)學(xué)試題說明：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，貼好條形碼。2.答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。答非選擇題時(shí)，用0.5毫米的黑色簽字筆將答案寫在答題卡上。字體工整，筆跡清楚。3.請按題號順序在答題卡相應(yīng)區(qū)域作答，超出區(qū)域所寫答案無效；在試卷上、草紙上答題無效。4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求.1.已知復(fù)數(shù)z=i+1,則|z|=A.0B.1c.2D.22.“cosα<0”是“角α為第二象限角”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件3.已知.A={-2,-1,0,1,2},B={x∈N|x2∈A},則A∩B=A.{1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{-1,0,1}4.已知向量a=(t+1,-1),b=(2,1),則A.若ab,則t=-12B.若aC.若a⊥b,則t=-32D.若5.在ΔABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,A=2B,2a=3b,則cosB=高三數(shù)學(xué)試題第1頁(共6頁)A.34B.C.236.已知等差數(shù)列{log?a?}的公差為1,則aA.1B.3C.9D.277.設(shè)樣本數(shù)據(jù)x?,x?,…,x????的平均數(shù)為x，標(biāo)準(zhǔn)差為s，若樣本數(shù)據(jù)4x1+1,4x2+1,?,4x????+1A.1B.C.4D.48.已知函數(shù)fx=2sinωx+ω0,0<<π2)的部分圖象如圖所示，若函數(shù)f(A.215C.25二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列不等式成立的是A.若ac2>bc2,則a>bB.若a>b,則(ac2>bc2C.若ac2≥bc2,則a≥bD.若a≥b,則ac2≥bc2高三數(shù)學(xué)試題第2頁(共6頁)10.如圖,在△ABC中,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),點(diǎn)E為AC上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn),AB=2,AC=3,∠BAC=60°,點(diǎn)G為ADAB.AE是AB在C.D11.已知函數(shù)fxA.f(x)是周期函數(shù)B.-1<f(x)<1C.f(x)在(0,π)上恰有1個(gè)極值點(diǎn)D.關(guān)于x的方程fx三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.其中14題的第一空填對得2分，第二個(gè)空填對得3分.12.中國成功搭建了國際首個(gè)通信與智能融合的6G外場試驗(yàn)網(wǎng)，并形成貫通理論、技術(shù)、標(biāo)準(zhǔn)和應(yīng)用的全產(chǎn)業(yè)鏈創(chuàng)新環(huán)境.某科研院在研發(fā)6G項(xiàng)目時(shí)遇到了一項(xiàng)技術(shù)難題，由甲、乙兩個(gè)團(tuán)隊(duì)分別獨(dú)立攻關(guān).已知甲、乙團(tuán)隊(duì)攻克該項(xiàng)技術(shù)難題的概率分別為0.8和0.7，則該科研院攻克這項(xiàng)技術(shù)難題的概率為.13.已知集合A={x|x=2n,n∈N·},B={x|x=3",n∈N·},將A∪B中所有元素按從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)列{an}，則數(shù)列{an}的前20項(xiàng)和為.14.已知函數(shù)fx=2x-3x-2-ex,gx=2x-3x-(參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.7,ln3≈1.1,ln7≈1.95,ln17≈2.8.)高三數(shù)學(xué)試題第3頁(共6頁)四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.(本小題滿分13分)在新時(shí)代改革開放的浪潮中，吉林省踐行習(xí)近平總書記“綠水青山就是金山銀山，冰天雪地也是金山銀山”的發(fā)展理念，繪就了“一山一水一通道”的四季旅游璀璨畫卷，形成了“一山兩湖三江四季”的旅游IP矩陣.吉林某校為促進(jìn)學(xué)生對家鄉(xiāng)山水人文的了解，組織學(xué)生參加知識競賽，比賽分為初賽和決賽，根據(jù)初賽成績，僅有30%的學(xué)生能進(jìn)入決賽.現(xiàn)從參加初賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取100名，記錄并將成績分成以下6組：[40，50)，[50，60)，[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如下圖所示的頻率分布直方圖.(Ⅰ)求頻率分布直方圖中a的值，并由此估計(jì)進(jìn)入決賽學(xué)生的初賽成績最低分；(Ⅱ)從樣本成績在[60，90)內(nèi)的學(xué)生中，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取6人，再從這6人中任意抽取2人訪談，求至多有一人成績在[60，70)內(nèi)的概率.高三數(shù)學(xué)試題第4頁(共6頁)16.(本小題滿分15分)已知冪函數(shù)fx=xαα(Ⅰ)求關(guān)于x的不等式.f2(Ⅱ)若存在x使得f(x),f(tx),f(lnx)成等比數(shù)列，求正實(shí)數(shù)t的取值范圍.17.(本小題滿分15分)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,(Ⅰ)求數(shù)列an(Ⅱ)求數(shù)列-1??1Sn的前(Ⅲ)求數(shù)列an+2Sn高三數(shù)學(xué)試題第5頁(共6頁)18.(本小題滿分17分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,(Ⅰ)若C=π4,b=(Ⅱ)求證:2(Ⅲ)當(dāng)tanA-119.(本小題滿分17分)已知函數(shù)f(Ⅰ)當(dāng)a=0時(shí),若f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y=(Ⅱ)(i)證明:曲線.y=(ii)若f(x)>1當(dāng)且僅當(dāng)x>0,求a的取值范圍.雙擊打開原卷掃描版命題、校對：高三數(shù)學(xué)核心組高三數(shù)學(xué)試題第6頁(共6頁)吉林地區(qū)普通高中2024—2025學(xué)年度高三年級第一次模擬考試數(shù)學(xué)學(xué)科參考答案一、單選題：本大題共8題，每小題5分，共40分.12345678CBBDADCB二、多選題：本大題共3題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.91011ADBCBCD10.D教學(xué)提示(法一)平面向量基本定理+三點(diǎn)共線BG設(shè)A,G,D三點(diǎn)共線,所以43λ=1即因?yàn)?法二)平面向量基本定理+三點(diǎn)共線設(shè)BGCGCG由對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等求出λ，μ.(法三)坐標(biāo)法(法四)過點(diǎn)D作DF平行于BE,交AC于點(diǎn)F,易得DF=GE(法五)由梅涅勞斯定理得11?BG11.教學(xué)提示B.因?yàn)閑?≥x+1≥x+|sinx|,所以e?-C.f'x=cosx-sinxex-xcosx+sinxex-x2,令D.關(guān)于x的方程fx=13的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為hx=e?-x圖象與m參考h1故當(dāng)x≥0時(shí)，h(x)與m(x)的圖象恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)x<0時(shí),h(x)與m(x)的圖象無公共點(diǎn).綜上，關(guān)于x的方程fx三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.其中14題的第一空填對得2分，第二個(gè)空填對得3分.12.0.9413.34514.2(2分),6(3分)14.教學(xué)提示x1,ex1)與點(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn)(所以2+(1x28.5<利用零點(diǎn)存在性定理并結(jié)合參考數(shù)據(jù)可得又6.5-16四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.【解析】(1)因?yàn)?0.010+0.025+0.030+a+0.010+0.005)×10=1所以α=0.020.-------------------------------------2分(注：a=0.02本次不扣分，教學(xué)中注意強(qiáng)調(diào)格式的規(guī)范性.)根據(jù)初賽成績，僅有30%的學(xué)生能進(jìn)入決賽，則估計(jì)進(jìn)入決賽學(xué)生的初賽成績最低分為初賽成績的第70百分位數(shù).因?yàn)?0.010+0.025+0.030)×10=0.65<0.70(0.010+0.025+0.030+0.020)×10=0.85>0.70所以第70百分位數(shù)在區(qū)間[70，80)內(nèi).(法一)設(shè)第70百分位數(shù)為x，則0.65+(x-70)×0.020=0.70,所以×=72.5.所以估計(jì)進(jìn)入決賽學(xué)生的初賽成績最低分為72.5分.……………6分(法二)因?yàn)?0所以估計(jì)進(jìn)入決賽學(xué)生的初賽成績最低分為72.5分.-------------------6分(Ⅱ)由題知,成績在區(qū)間[60,70),[70,80),[80,90)內(nèi)學(xué)生人數(shù)的頻率比為3:2:1,則在區(qū)間[60,70)內(nèi)抽取3人,記為‘a(chǎn)在區(qū)間[70,80)內(nèi)抽取2人,記為b?,b?;在區(qū)間[80,90)內(nèi)抽取1人,記為C.從這6人中抽取2人訪談，試驗(yàn)的樣本空間Ω={a?a?,a?a?,a?b?,a?b?,a?C,a?a?,a?b?,a?b?,a?c,a?b?,a?b?,a?c,b?b?,b?c,b?c}其中共有15個(gè)樣本點(diǎn).----------------------------10分設(shè)事件A=“至多有一人成績在[60，70)內(nèi)”，(法一)事件A={a?b?,a?b?,a?c,a?b?,a?b?,a?c,a?b?,a?b?,a?c,b?b?,b?c,b?c},則n(A)=12,所以P所以至多有一人成績在[60，70)內(nèi)的概率為45…………………13(法二)事件A=a1a1a1a3所以至多有一人成績在[60，70)內(nèi)的概率為.……………13分4(注：利用組合數(shù)求試驗(yàn)樣本空間中的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)，不列舉也給分.)16.【解析】(1)由f9=9?=3得α=12故fx=x.----------------------2分由題2x-1<x,故(注：忽略定義域扣1分.)(Ⅱ)由題f2tx即關(guān)于x的方程t=lnxx在(令gx=lnxxx1)則當(dāng)x>1時(shí),y=t則g令g'x=0,令g'x<0,令g'x>0,得1故g(x)在(1,e]上單調(diào)遞增,在(e,+∞)上單調(diào)遞減.…………………--------12分當(dāng)x=e時(shí),g(x)取得極大值g又g(1)=0,當(dāng)x→+∞時(shí),g(x)→0,所以正實(shí)數(shù)t的取值范圍是…………………~--15分((0,18(注：1.學(xué)生需要掌握基本初等函數(shù)解析式；2.第二問x的范圍有誤，扣2分；3.解答過程第二問需描述函數(shù)g(x)圖象的變化趨勢，未說明但答對，本次不扣分.具體答題過程可參考人教A版選擇性必修二P95-例7.)17.【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則2a1+4d=所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為(an=2()由(Ⅰ)可知Sn=n則-所以H=(1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)+…+(2n-1-2n)(2n-1+2n)-----------8分=-n2n(Ⅲ由(Ⅰ)(□得an+2所以Γn=1(注：或表述為Tn=18.【解析】(IO在△ABC中,由C=π4得tanC=1,所以tanA=3tanC因?yàn)閍nB所以B為銳角，從而sin同理可得inA=又b=tanc=所以S=12(注)也可由正弦定理，得a=所以S=12(Ⅲ(法一)因?yàn)閠anA=3tanC,所以sinAcosA=3sina?a2即a整理得2a2-2(法二)過點(diǎn)B作BD⊥AC,垂足為D.因?yàn)閠anA=3tanC,所以BDAD=3?BD又因?yàn)锳D+CD=4AD=b,所以AD=因?yàn)锽C所以a2-3b即2a2-2(Ⅲ)因?yàn)閠anA=3tanC,所以tan從而tanA-1因?yàn)閠anA,tanC同號,則0<A<π2所以tan當(dāng)且僅當(dāng)tanC即當(dāng)tanA-1tanB取最小值3219.【解析】IO當(dāng)a=0時(shí),(f0=b,f'0=b-(Ⅱ)(i)證明:因?yàn)閒(x)定