4.2.1等差數(shù)列的概念（第1課時(shí)）（教學(xué)課件） 高二數(shù)學(xué)同步備課系列（人教A版2019選擇性必修第二冊(cè)）

第4章數(shù)列人教A版2019選修第一冊(cè)4.2.1等差數(shù)列的概念（第1課時(shí)）01等差數(shù)列的通項(xiàng)公式02等差中項(xiàng)的應(yīng)用目錄學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解等差數(shù)列的概念(難點(diǎn)).2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用(重點(diǎn)、難點(diǎn)).3.掌握等差數(shù)列的判定方法(重點(diǎn)).1.數(shù)列的定義：按確定的順序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列.數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做數(shù)列的項(xiàng).2.數(shù)列的通項(xiàng)公式：如果數(shù)列的第n項(xiàng)an與它的序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)式子就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.3.數(shù)列的遞推公式：知識(shí)回顧

我們知道數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，在函數(shù)的研究中，我們?cè)诶斫饬撕瘮?shù)的一般概念，了解了函數(shù)變化規(guī)律的研究?jī)?nèi)容（如單調(diào)性，奇偶性等）后，通過研究基本初等函數(shù)不僅加深了對(duì)函數(shù)的理解，而且掌握了冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)等非常有用的函數(shù)模型。類似地，在了解了數(shù)列的一般概念后，我們要研究一些具有特殊變化規(guī)律的數(shù)列，建立它們的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，并應(yīng)用它們解決實(shí)際問題和數(shù)學(xué)問題，從中感受數(shù)學(xué)模型的現(xiàn)實(shí)意義與應(yīng)用，下面，我們從一類取值規(guī)律比較簡(jiǎn)單的數(shù)列入手。引言新課引入請(qǐng)看下面幾個(gè)問題中的數(shù)列.

1.北京天壇圜丘壇的地面是由石板鋪成，最中間是圓形的天心石，圍繞天心石的是9圈扇環(huán)形的石板，從內(nèi)到外的石板數(shù)依次為9，18，27，36，45，54，63，72，81.

圜丘壇是我國(guó)明朝嘉慶年間建立的一個(gè)三層露天圓臺(tái)，別名祭天臺(tái)，有圜丘，皇穹宇、神廚、三庫(kù)及宰牲亭等組成。其位于天壇南部，為皇帝冬至日祭天大典的場(chǎng)所。2.XXS,XS,S，M，L，XL，XXL，XXXL型號(hào)的女裝上對(duì)應(yīng)的意大利尺碼分別是：34，36，38，40，42，44，46，483.測(cè)量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大氣溫度，得到從距離地面20m起每升高100m處的大氣溫度（單位：℃）依次為

概念學(xué)習(xí)

①

9，18，27，36，45，54，63，72，81.

②38，40，42，44，46，48.

③25，24，23，22，21.對(duì)于①，我們發(fā)現(xiàn)

18=9+9，27=18+9....81=72+9，換一種寫法，就是

18-9=9，27-18=9....81-72=9.如果用{an}表示數(shù)列①，

那么有a2-a1=9，a3-a2

=9，...a9-a8=9.這表明，數(shù)列①有這樣的取值規(guī)律：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)。數(shù)列②—③也有這樣的取值規(guī)律。

等差數(shù)列的概念

一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示.

例如數(shù)列①②③④的公差依次為9,2,-0.6,-br.等差數(shù)列的符號(hào)語言：

an－an-1

=

d

(d是常數(shù),n≥2且n∈N*)或an+1－an=d

(d是常數(shù),n∈N*)注意：1.判斷一個(gè)數(shù)列是不是等差數(shù)列，主要是由定義進(jìn)行判斷，即判定an+1-an

是不是同一個(gè)常數(shù).2.公差d是每一項(xiàng)(從第2項(xiàng)起)與它的前一項(xiàng)的差，而且公差可以是正數(shù)，負(fù)數(shù)，也可以為0.

練習(xí)1

判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列，若是，求出首項(xiàng)和公差（1）1，3，5，7，9，2，4，6，8，10（2）3，3，3，3，3，3（3）3x，6x，9x，12x，15x（4）95，82，69，56，43，30（5）1，1.1，1.11，1.111，1.1111（6）1，－2，3，－4，5，－6（7）a1=3，公差d=0常數(shù)列a1=3x公差

d=3x×a1=95公差

d=－13××a1=1公差

d=練習(xí)2

判斷題（1）數(shù)列a，2a，3a，4a，…是等差數(shù)列

（）（2）數(shù)列a－2，2a－3，3a－4，4a－5，…是等差數(shù)列（）（3）若an－an+1=3（n∈N*），則{an}是公差為3的等差數(shù)列（）（4）若a2－a1=a3－a2，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列（）若an－an-1=an+1－an（n≥2，n∈N*），則數(shù)列{an}是等差數(shù)列（

）若an－an-1=an+2－an+1（n≥2，n∈N*），則數(shù)列{an}是等差數(shù)列（

）1，2，5，6，9，10,…等差中項(xiàng)

由三個(gè)數(shù)a,A,b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列.這時(shí)，A叫做a與b的等差中項(xiàng).根據(jù)等差數(shù)列的定義可以知道，2A=a+b.探究你能根據(jù)等差數(shù)列的定義推導(dǎo)它的通項(xiàng)公式嗎？設(shè)一個(gè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d,根據(jù)等差數(shù)列的定義,可得an+1－an=d等差數(shù)列的遞推公式所以a2－a1=d，a3－a2=d，a4－a3=d，???于是a2=a1＋d，a3=a2＋d=(a1＋d)＋d=a1＋2d，a4=a3＋d=(a1＋2d)＋d=a1＋3d，??????an=a1＋(n－1)d，(n≥2)當(dāng)n=1時(shí)，a1=a1＋(1－1)d=a1，也就是說，上式當(dāng)n=1時(shí)也成立.這時(shí)，我們把a(bǔ)n=a1＋(n－1)d稱為等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(2)等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系：①公差d≠0的等差數(shù)列{an}的圖象是點(diǎn)(n,an)組成的集合,這些點(diǎn)均勻分布在直線f(x)＝dx＋(a1－d)上.②任給一次函數(shù)f(x)＝kx＋b(k,b為常數(shù)),則f(1)＝k＋b，f(2)＝2k＋b,…,f(n)＝nk＋b,構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列{nk＋b},其首項(xiàng)為________，公差為____.(k＋b)k(1)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的一般形式：通項(xiàng)公式

首項(xiàng)為a1,公差為d的等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=a1＋(n－1)d.an＝am＋(n－m)d(n,m∈N*).③等差數(shù)列{an}的單調(diào)性與公差d有關(guān).

當(dāng)d>0時(shí)，等差數(shù)列{an}為遞增數(shù)列；

當(dāng)d＝0時(shí)，等差數(shù)列{an}為常數(shù)列；

當(dāng)d<0時(shí)，等差數(shù)列{an}為遞減數(shù)列．首項(xiàng)a1公差d的等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為練習(xí)4

求下列等差數(shù)列的通項(xiàng)公式（1）9，18，27，36，45，54，63，72...（2）38，40，42，44，46，48...（3）25，24，23，22，21.

（1）an=9+（n－1）×9=9n

（2）an=38+（n－1）×2=2n+36（3）an=25+（n－1）×（-1）=－n+26等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的一般形式：an＝am＋（n－m）d1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

典例

例2－401是不是等差數(shù)列－5，－9，－13，···的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？解:由a1＝－5，d＝－9＋(－5)＝－4，得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝a1＋(n－1)d＝－5－4(n－1)＝－4設(shè)

－4n－1＝－401，解得

n＝100.∴－401是這個(gè)數(shù)列第100項(xiàng).典例求等差數(shù)列通項(xiàng)公式的方法(1)通過解方程組求得a1，d的值，再利用an＝a1＋(n－1)d寫出通項(xiàng)公式，這是求解這類問題的基本方法．(2)已知等差數(shù)列中的兩項(xiàng)，可用d＝直接求得公差，再利用an＝am＋(n－m)d寫出通項(xiàng)公式．(3)抓住等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，通過an是關(guān)于n的一次函數(shù)形式，列出方程組求解．歸納總結(jié)2.等差中項(xiàng)的應(yīng)用典例歸納總結(jié)課本練習(xí)1.判斷下列數(shù)列是否是等差數(shù)列.如果是，寫出它的公差.2.求下列各組數(shù)的等差中項(xiàng):3.已知{an}是一個(gè)等差數(shù)列，請(qǐng)?jiān)谙卤碇械目崭裉幪钊脒m當(dāng)?shù)臄?shù).4.已知在等差數(shù)列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12.求a4.a1a3a5a7d－782－6.50.515.53.7515－11－245.在7和21中插入3個(gè)數(shù)，使這5個(gè)數(shù)成等差數(shù)列.隨堂檢測(cè)當(dāng)堂達(dá)標(biāo)4.在等差數(shù)列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，則a10＝____.5．(1)在等差數(shù)列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首項(xiàng)a1與公差d.跟蹤訓(xùn)