2022年江蘇省南通市普通高校對口單招高等數(shù)學一自考測試卷(含答案及部分解析)

2022年江蘇省南通市普通高校對口單招高等數(shù)學一自考測試卷(含答案及部分解析)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.若f(x)有連續(xù)導數(shù)，下列等式中一定成立的是

A.d∫f(x)dx=f(x)dx

B.d∫f(x)dx=f(x)

C.d∫f(x)dx=f(x)+C

D.∫df(x)=f(x)

2.當α＜x＜b時，f'(x)＜0，f'(x)＞0。則在區(qū)間(α，b)內(nèi)曲線段y=f(x)的圖形A.A.沿x軸正向下降且為凹B.沿x軸正向下降且為凸C.沿x軸正向上升且為凹D.沿x軸正向上升且為凸

3.已知y=ksin2x的一個原函數(shù)為y=cos2x，則k等于()。A.2B.1C.-1D.-2

4.A.A.-(1/2)B.1/2C.-1D.2

5.

A.僅有水平漸近線

B.既有水平漸近線，又有鉛直漸近線

C.僅有鉛直漸近線

D.既無水平漸近線，又無鉛直漸近線

6.

等于()．

7.設f(x)=x3+x，則等于()。A.0

B.8

C.

D.

8.

9.A.A.3B.1C.1/3D.010.微分方程y"-y'=0的通解為()。A.

B.

C.

D.

11.

12.函數(shù)f(x)=lnz在區(qū)間[1，2]上拉格朗日公式中的ε等于()。

A.ln2

B.ln1

C.lne

D.

13.

14.已知斜齒輪上A點受到另一齒輪對它作用的捏合力Fn，F(xiàn)n沿齒廓在接觸處的公法線方向，且垂直于過A點的齒面的切面，如圖所示，α為壓力角，β為斜齒輪的螺旋角。下列關于一些力的計算有誤的是()。

A.圓周力FT=Fncosαcosβ

B.徑向力Fa=Fncosαcosβ

C.軸向力Fr=Fncosα

D.軸向力Fr=Fnsinα

15.

16.方程x2+y2-z=0表示的二次曲面是()。A.橢球面B.圓錐面C.旋轉拋物面D.柱面

17.A.

B.

C.

D.

18.A.充分條件B.必要條件C.充要條件D.以上都不對19.A.dx+dyB.1/3·(dx+dy)C.2/3·(dx+dy)D.2(dx+dy)

20.設y=f(x)在[0，1]上連續(xù)，且f(0)>0，f(1)<0，則下列選項正確的是

A.f(x)在[0，1]上可能無界

B.f(x)在[0，1]上未必有最小值

C.f(x)在[0，1]上未必有最大值

D.方程f(x)=0在(0，1)內(nèi)至少有一個實根

二、填空題(20題)21.

22.

23.

24.

25.設z=sin(y+x2)，則．26.設區(qū)域D由曲線y=x2，y=x圍成，則二重積分27.y=ln(1+x2)的單調增加區(qū)間為______．

28.

29.

30.

31.方程cosxsinydx+sinxcosydy=O的通解為______.

32.

33.

34.設z=tan(xy-x2)，則=______．

35.

36.

37.

38.

39.40.三、計算題(20題)41.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區(qū)域內(nèi)，以線段AB為下底作內(nèi)接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

42.43.設平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．44.求函數(shù)一的單調區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點．45.求曲線在點(1，3)處的切線方程．46.求函數(shù)y=x-lnx的單調區(qū)間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．47.48.49.求函數(shù)f(x)=x3-3x+1的單調區(qū)間和極值．50.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數(shù)．51.

52.證明：53.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則

54.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

55.求微分方程的通解．

56.

57.已知某商品市場需求規(guī)律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

58.研究級數(shù)的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發(fā)散，其中常數(shù)a>0．59.

60.

四、解答題(10題)61.設z=x2y+2y2，求dz。62.63.

64.

65.

66.67.求由曲線y=x2(x≥0)，直線y=1及Y軸圍成的平面圖形的面積·

68.

69.

70.

五、高等數(shù)學(0題)71.求∫x3。lnxdx。

六、解答題(0題)72.

參考答案

1.A解析：若設F'(x)=f(x)，由不定積分定義知，∫f(x)dx=F(x)+C。從而

有：d∫f(x)dx=d∫F(x)+C]=F'(x)dx=f(x)dx，故A正確。D中應為∫df(x)=f(x)+C。

2.A由于在(α，b)內(nèi)f'(x)＜0，可知f(x)單調減少。由于f"(x)＞0，

可知曲線y=f'(x)在(α，b)內(nèi)為凹，因此選A。

3.D本題考查的知識點為可變限積分求導。由原函數(shù)的定義可知(cos2x)'=ksin2x，而(cos2x)'=(-sin2x)·2，可知k=-2。

4.A

5.A

6.D解析：本題考查的知識點為牛頓一萊布尼茨公式和定積分的換元法．

因此選D．

7.A本題考查的知識點為定積分的對稱性質。由于所給定積分的積分區(qū)間為對稱區(qū)間，被積函數(shù)f(x)=x3+x為連續(xù)的奇函數(shù)。由定積分的對稱性質可知

可知應選A。

8.B

9.A

10.B本題考查的知識點為二階常系數(shù)齊次微分方程的求解。微分方程為y"-y'=0特征方程為r2-r=0特征根為r1=1，r2=0方程的通解為y=C1ex+c2可知應選B。

11.C解析：

12.D由拉格朗日定理

13.B

14.C

15.C

16.C本題考查的知識點為二次曲面的方程。

將x2+y2-z=0與二次曲面標準方程對照，可知其為旋轉拋面，故應選C。

17.C據(jù)右端的二次積分可得積分區(qū)域D為選項中顯然沒有這個結果，于是須將該區(qū)域D用另一種不等式（X-型）表示.故D又可表示為

18.D極限是否存在與函數(shù)在該點有無定義無關.

19.C本題考查了二元函數(shù)的全微分的知識點，

20.D

21.

22.

23.1

24.25.2xcos(y+x2)本題考查的知識點為二元函數(shù)的偏導數(shù)計算．

可以令u=y+x2，得z=sinu，由復合函數(shù)偏導數(shù)的鏈式法則得

26.本題考查的知識點為計算二重積分．積分區(qū)域D可以表示為：0≤x≤1，x2≤y≤x，因此

27.(0，+∞)本題考查的知識點為利用導數(shù)符號判定函數(shù)的單調性．

由于y=ln(1+x2)，其定義域為(-∞，+∞)．

又由于，令y'=0得唯一駐點x=0．

當x＞0時，總有y'＞0，從而y單調增加．

可知y=ln(1+x2)的單調增加區(qū)間為(0，+∞)．

28.

29.[-11]30.本題考查的知識點為二重積分的直角坐標與極坐標轉化問題。

31.sinx·siny=C由cosxsinydx+sinxcosydy=0，知sinydsinx+sinxdsiny=0，即d(sinx·siny)=0，兩邊積分得sinx·siny=C，這就是方程的通解.

32.3/2

33.

34.本題考查的知識點為二元函數(shù)的偏導數(shù)．

z=tan(xy-x2)，

35.1

36.

37.

解析：

38.239.F(sinx)＋C．

本題考查的知識點為不定積分的換元法．

40.

41.

42.43.由二重積分物理意義知

44.

列表：

說明

45.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

46.

47.

48.

49.函數(shù)的定義域為

注意

50.51.由一階線性微分方程通解公式有

52.

53.由等價無窮小量的定義可知

54.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

55.

56.

57.需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．