微元法及定積分的幾何應(yīng)用

6.5定積分的幾何應(yīng)用利用定積分解決實(shí)際問題的關(guān)鍵：建立定積分的式子，即找出被積函數(shù)和積分區(qū)間。建立定積分式子的方法：微元法〔又稱元素法〕定積分微元法的實(shí)質(zhì)：對能夠用定積分解決的實(shí)際問題，尋找其被積函數(shù)和積分區(qū)間的方法。定積分的定義表達(dá)式：1、分割：2、近似代替：3、求和：4、取極限：abxyo分成n個(gè)小區(qū)間知識回憶定積分的定義表達(dá)式：1、分割：2、近似代替：3、求和：4、取極限：abxyo分成n個(gè)小區(qū)間：第i個(gè)小曲邊梯形面積曲邊梯形面積：任取知識回憶定積分的定義表達(dá)式：1、分割：2、近似代替：3、求和：4、取極限：abxyo分成n個(gè)小區(qū)間：第i個(gè)小曲邊梯形面積曲邊梯形面積：任取知識回憶觀察以下演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．播放觀察以下演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察以下演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察以下演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察以下演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察以下演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察以下演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察以下演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察以下演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察以下演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察以下演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察以下演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察以下演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察以下演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察以下演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察以下演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．定積分的定義表達(dá)式：1、分割：2、近似代替：3、求和：4、取極限：abxyo分成n個(gè)小區(qū)間：第i個(gè)小曲邊梯形面積曲邊梯形面積：任取知識回憶1、分割：2、近似代替：3、求和：4、取極限：abxyo分成n個(gè)小區(qū)間曲邊梯形面積：任取abxyoxx+dx區(qū)間長度：dx面積總量：1、分割：2、近似代替：3、求和：4、取極限：abxyo分成n個(gè)小區(qū)間曲邊梯形面積：任取abxyoxx+dx區(qū)間長度：dx面積總量：面積微元通過尋找局部量的近似值〔A的微元〕來構(gòu)造定積分的方法所求量為U，滿足以下3個(gè)條件：進(jìn)一步推廣〔2〕所求量U關(guān)于區(qū)間具有可加性；（3）部分量U能表示成的形式（1）所求量U與變量

的變化區(qū)間有關(guān)；第三步：以所求量的微元為被積表達(dá)式，寫出在區(qū)間上的定積分，得第二步：寫出在任一小區(qū)間上的微元．用定積分微元法計(jì)算某個(gè)量U的步驟第一步：

根據(jù)問題的具體情況，選取一個(gè)積分變量（如），并確定積分區(qū)間

;上述方法稱為微元法或元素法，也稱為微元分析法．1、選變量2、求微元3、列積分二.平面圖形的面積1．直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積面積微元:yo面積(1)由連續(xù)曲線y=f(x)(f(x)

0),直線x=a,x=b(a<b)及x軸所圍成的平面圖形的面積xyoab面積微元:(2)由連續(xù)曲線y=f(x),y=g(x),直線x=a,x=b(a<b)所圍成的平面圖形的面積:解先求兩曲線的交點(diǎn)選x為積分變量,例1

abox

y體積元素:旋轉(zhuǎn)體的體積為三.旋轉(zhuǎn)體的體積直線OP的方程為解例1

xyo1y=exy=x例3

圍成的平面圖形的面積.xoy解

由對稱性:交點(diǎn)dcxyo及y軸圍成的平面圖形的面積為及y軸圍成的平面圖形的面積為：dcxyo解兩曲線的交點(diǎn)例3

此法麻煩。此題選y為積分變量比較好,選擇積分變量的原那么：(1)積分容易；(2)盡量少分塊.假設(shè)f(x)有正有負(fù),那么曲邊梯形面積為xyoabcdcxyoab一般地，xyodcbdcxyob

旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸．圓柱圓錐圓臺(tái)三、立體的體積1、旋轉(zhuǎn)體的體積abox

y體積元素:旋轉(zhuǎn)體的體積為直線OP的方程為解例1

例2x

yOab解

x

yOabx

ycdox

ydc例3解

圓柱殼法下面再介紹一個(gè)新方法.yxo1214作業(yè)第五節(jié)習(xí)題

(第