高考數(shù)學（理）一輪講義第1講集合的概念與運算

/11/11/第一章集合與常用邏輯用語第1講集合的概念與運算考綱要求考情分析命題趨勢1．了解集合的含義、元素與集合的屬于關(guān)系．2．能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題．3．理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集．4．理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集．5．理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集．6．能用韋恩(Venn)圖表達集合間基本關(guān)系及集合的基本運算．2023·全國卷Ⅰ，12023·全國卷Ⅱ，22023·全國卷Ⅲ，12016·江蘇卷，12016·四川卷，12016·天津卷，11．集合間的運算：交集、并集、補集等．2．常以一些特殊符號⊕，?，*等來連接兩個集合，賦予集合一種新運算，或者給集合一種新背景．3．常運用數(shù)軸或韋恩圖及數(shù)形結(jié)合思想來求解含未知參數(shù)的集合間的關(guān)系、運算，常用分類討論求解．4．考題形式多為選擇、填空題．分值：5分1．元素與集合(1)集合元素的特性：__確定性__、__互異性__、無序性．(2)集合與元素的關(guān)系：若a屬于集合A，記作__a∈A__；若b不屬于集合A，記作__b?A__.(3)集合的表示方法：__列舉法__、__描述法___、圖示法．(4)常見數(shù)集及其符號表示數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號?。。###__N*或N＋____Z____Q__?。?！R###2．集合間的基本關(guān)系表示關(guān)系文字語言記法集合間的基本關(guān)系子集集合A中任意一個元素都是集合B中的元素__A?B__或__B?A__真子集集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個元素不屬于A__AB__或__BA__相等集合A的每一個元素都是集合B的元素，集合B的每一個元素也都是集合A的元素A?B且B?A?A＝B空集空集是__任何__集合的子集??A空集是__任何非空__集合的真子集?B且B≠?3．集合的基本運算(1)三種基本運算的概念及表示集合的并集集合的交集集合的補集圖形符號A∪B＝__{x|x∈A或____x∈B}__A∩B＝__{x|x∈A且____x∈B}__?UA＝__{x|x∈U且____x?A}__(2)三種運算的常見性質(zhì)①A∪B＝A?B?A，A∩B＝A?A?B.②A∩A＝__A__，A∩?＝__?__.③A∪A＝__A__，A∪?＝__A__.④A∩?UA＝__?__，A∪?UA＝__U__，?U(?UA)＝__A__.⑤A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB?A∩(?UB)＝?.1．思維辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)．(1)集合{x2＋x,0}中，實數(shù)x可取任意值．(×)(2)任何集合都至少有兩個子集．(×)(3)集合{x|y＝eq\r(x－1)}與集合{y|y＝eq\r(x－1)}是同一個集合．(×)(4)若A＝{0,1}，B＝{(x，y)|y＝x＋1}，則A?B.(×)解析(1)錯誤．由元素的互異性知x2＋x≠0，即x≠0且x≠－1．(2)錯誤．?只有一個子集．(3)錯誤．{x|y＝eq\r(x－1)}＝{x|x≥1}，{y|y＝eq\r(x－1)}＝{y|y≥0}．(4)錯誤．集合A是數(shù)集，集合B是點集．2．(2023·浙江卷)已知集合P＝{x|－1<x<1}，Q＝{x|0<x<2}，那么P∪Q＝(A)A．(－1,2) B．(0,1)C．(－1,0) D．(1,2)解析根據(jù)集合的并集的定義，得P∪Q＝(－1,2)．3．(2023·全國卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，則(A)A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝RC．A∪B＝{x|x>1} D．A∩B＝?解析集合A＝{x|x<1}，B＝{x|x<0}，∴A∩B＝{x|x<0}，A∪B＝{x|x<1}．故選A．4．(2023·全國卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，則A∩B中元素的個數(shù)為(B)A．3 B．2C．1 D．0解析聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝1，,y＝x，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(2),2)，,y＝\f(\r(2),2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(\r(2),2)，,y＝－\f(\r(2),2)，))則A∩B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))))，有2個元素．5．已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，則?R(A∪B)＝__{x|x≤2或x≥10}__.解析∵A∪B＝{x|2<x<10}，∴?R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}．一集合的基本概念集合元素性質(zhì)的應(yīng)用警示(1)確定集合的元素是什么，即集合是數(shù)集還是點集．(2)看這些元素滿足什么限制條件．(3)根據(jù)限制條件列式求參數(shù)的值或確定集合中元素的個數(shù)，但要注意檢驗集合是否滿足元素的互異性．【例1】(1)已知集合A＝{0,1,2}，則集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的個數(shù)是(C)A．1 B．3C．5 D．9(2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一個元素，則a＝(D)A．eq\f(9,2) B．eq\f(9,8)C．0 D．0或eq\f(9,8)解析(1)∵A＝{0,1,2}，∴B＝{x－y|x∈A，y∈A}＝{0，－1，－2，1,2}．故集合B中有5個元素．(2)當a＝0時，顯然成立；當a≠0時，Δ＝(－3)2－8a＝0，即a＝eq\f(9,8).二集合的基本關(guān)系(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合關(guān)系時，必須優(yōu)先考慮空集的情況，否則會造成漏解．(2)已知兩個集合間的關(guān)系求參數(shù)時，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點間的關(guān)系，進而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系，常用數(shù)軸、Venn圖等來直觀解決這類問題．【例2】(1)設(shè)P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，則(C)A．P?Q B．Q?PC．?RP?Q D．Q??RP(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，則實數(shù)m的取值范圍為__(－∞，3]__解析(1)因為P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}＝{y|y≤1}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y>0}，所以?RP＝{y|y>1}，所以?RP?Q，選C．(2)∵B?A，∴①若B＝?，則2m－1<m＋1，此時m②若B≠?，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1≥m＋1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5，))解得2≤m≤3.由①②可得，符合題意的實數(shù)m的取值范圍為(－∞，3]．三集合的基本運算集合基本運算的求解規(guī)律(1)離散型數(shù)集或抽象集合間的運算，常借用Venn圖求解．(2)集合中的元素若是連續(xù)的實數(shù)，常借助數(shù)軸求解，但是要注意端點值能否取到等號的情況．(3)根據(jù)集合運算求參數(shù)，先把符號語言譯成文字語言，然后適時應(yīng)用數(shù)形結(jié)合求解．【例3】(1)(2023·廣東汕頭期末)已知集合A＝{x|y＝ln(1－2x)}，B＝{x|x2≤x}，全集U＝A∪B，則?U(A∩B)＝(C)A．(－∞，0) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C．(－∞，0)∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))(2)設(shè)集合U＝R，A＝{x|2x(x－2)<1}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，則圖中陰影部分表示的集合為(B)A．{x|x≥1} B．{x|1≤x<2}C．{x|0<x≤1} D．{x|x≤1}(3)已知集合A＝{1,3，eq\r(m)}，B＝{1，m}，A∪B＝A，則m＝(B)A．0或eq\r(3) B．0或3C．1或eq\r(3) D．1或3解析(1)因為A＝{x|y＝ln(1－2x)}＝{x|1－2x>0}＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))，B＝{x|x(x－1)≤0}＝[0,1]，所以U＝A∪B＝(－∞，1]，又A∩B＝eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，所以?U(A∩B)＝(－∞，0)∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，故選C．(2)∵2x(x－2)<1，∴x(x－2)<0，∴0<x<2，即A＝{x|0<x<2}．又∵y＝ln(1－x)，∴1－x>0，∴x<1，即B＝{x|x<1}，∴A∩B＝{x|0<x<1}．圖中陰影部分表示?A(A∩B)，∴?A(A∩B)＝{x|1≤x<2}，故選B．(3)∵A∪B＝A，∴B?A，∴m∈A，∴m＝3或m＝eq\r(m)，解得m＝0或3，故選B．四集合中的創(chuàng)新題集合定義新情景的解決方法解決集合的新情景問題，應(yīng)從以下兩點入手：(1)正確理解創(chuàng)新定義，這類問題不是簡單的考查集合的概念或性質(zhì)問題，而是以集合為載體的有關(guān)新定義問題．常見的命題形式有新概念、新法則、新運算等．(2)合理利用集合性質(zhì)．運用集合的性質(zhì)是破解新定義型集合問題的關(guān)鍵，在解題時要善于從題設(shè)條件給出的數(shù)式中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，但關(guān)鍵之處還是合理利用集合的運算與性質(zhì)．【例4】已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定義集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，則A⊕B中元素的個數(shù)為(C)A．77 B．49C．45 D．30解析A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}＝{(－1，0)，(0,0)，(1,0)，(0,1)，(0，－1)}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，A⊕B表示點集．由x1＝－1,0,1，x2＝－2，－1,0,1,2，得x1＋x2＝－3，－2，－1,0,1,2,3，共7種取值可能．同理，由y1＝－1，0,1，y2＝－2，－1,0,1,2，得y1＋y2＝－3，－2，－1,0,1,2,3，共7種取值可能．當x1＋x2＝－3或3時，y1＋y2可以為－2，－1,0,1,2中的一個值，分別構(gòu)成5個不同的點．當x1＋x2＝－2，－1,0,1,2時，y1＋y2可以為－3，－2，－1,0,1,2,3中的一個值，分別構(gòu)成7個不同的點．故A⊕B共有2×5＋5×7＝45(個)元素．1．(2023·全國卷Ⅱ)設(shè)集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，則B＝(C)A．{1，－3} B．{1,0}C．{1,3} D．{1,5}解析因為A∩B＝{1}，所以1∈B，即1是方程x2－4x＋m＝0的根，所以1－4＋m＝0，m＝3，方程為x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B＝{1,3}，故選C．2．(2023·北京卷)若集合A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|x<－1或x>3}，則A∩B＝(A)A．{x|－2<x<－1} B．{x|－2<x<3}C．{x|－1<x<1} D．{x|1<x<3}解析由集合交集的定義可得A∩B＝{x|－2<x<－1}，故選A．3．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，則滿足條件A?C?B的集合C的個數(shù)為(D)A．1 B．2C．3 D．4解析A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，∵A?C?B，∴滿足條件的集合C有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}共4個，故選D．4．設(shè)A，B是非空集合，定義A?B＝{x|x∈A∪B且x?A∩B}．已知集合A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，則A?B＝__{0}∪[2，＋∞)__.解析A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|0<x<2}，則A?B＝{0}∪[2，＋∞)．易錯點1不注意檢驗集合元素的互異性錯因分析：對于含字母參數(shù)的集合，根據(jù)條件求出字母的值后，容易忽略檢驗是否滿足集合元素的互異性及其他條件．【例1】已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2a2＋5a，12，\f(6,a－1)))，且－3∈A，求實數(shù)a的值．解析∵A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2a2＋5a，12，\f(6,a－1)))，且－3∈A，∴①當2a2＋5a＝－3時，2a2＋5a＋解得a＝－1或a＝－eq\f(3,2)，其中a＝－1時，2a2＋5a＝eq\f(6,a－1)＝－3，與集合元素的互異性矛盾，舍去；a＝－eq\f(3,2)時，A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－3，12，－\f(12,5)))滿足題意．②當eq\f(6,a－1)＝－3時，a＝－1，由①知應(yīng)舍去．綜上，a的值為－eq\f(3,2).【跟蹤訓練1】已知集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3，a－2，a2＋1}，若A∩B＝{－3}，求A∪B.解析由A∩B＝{－3}知，－3∈B.又a2＋1≥1，故只有a－3，a－2可能等于－3.①當a－3＝－3時，a＝0，此時A＝{0,1，－3}，B(－3，－2,1)，A∩B＝(1，－3)，故a＝0舍去．②當a－2＝－3時，a＝－1，此時A＝{1,0，－3}，B＝(－4，－3,2)，滿足A∩B＝{－3}，從而A∪B＝{－4，－3,0,1,2}．易錯點2忽略空集錯因分析：空集是個特殊集合．在以下四種條件中不要忽略B是空集的情形：①B?A；②BA(A非空)；③B∩A＝B；④B∪A＝A.【例2】設(shè)集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}．若B?A，則實數(shù)a的取值范圍是________.解析因為A＝{0，－4}，所以B?A分以下三種情況：①當B＝A時，B＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的兩個根，由根與系數(shù)的關(guān)系，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4?a＋1?2－4?a2－1?>0，,－2?a＋1?＝－4，,a2－1＝0，))解得a＝1；②當B≠?且BA時，B＝{0}或B＝{－4}，并且Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，此時B＝{0}滿足題意；③當B＝?時，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1．綜上所述，所求實數(shù)a的取值范圍是{a|a≤－1或a＝1}．答案(－∞，－1]∪{1}【跟蹤訓練2】(2023·江西臨川一中月考)已知集合A＝{x|3≤3x≤27}，B＝{x|log2x>1}．(1)分別求A∩B，(?RB)∪A；(2)已知集合C＝{x|1<x<a}，若C?A，求實數(shù)a的取值集合．解析(1)∵3≤32≤27，即31≤3x≤33，∴1≤x≤3，∴A＝{x|1≤x≤3}．∵log2x>1，即log2x>log22，∴x>2，∴B＝{x|x>2}，∴A∩B＝{x|2<x≤3}，?RB＝{x|x≤2}，∴(?RB)∪A＝{x|x≤3}．(2)由(1)知A＝{x|1≤x≤3}，當C為空集時，a≤1；當C為非空集合時，可得1<a≤3.綜上所述，a≤3.課時達標第1講[解密考綱]本考點考查集合中元素的性質(zhì)、集合之間的關(guān)系、集合的運算(一般以不等式、函數(shù)、方程為載體)，一般以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，排在靠前的位置，題目難度不大．一、選擇題1．(2023·河南鄭州質(zhì)量預測)設(shè)全集U＝{x∈N*|x≤4}，集合A＝{1,4}，B＝{2,4}，則?U(A∩B)＝(A)A．{1,2,3} B．{1,2,4}C．{1,3,4} D．{2,3,4}解析因為U＝{1,2,3,4}，A∩B＝{4}，所以?U(A∩B)＝{1,2,3}，故選A．2．(2023·天津卷)設(shè)集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，則(A∪B)∩C＝(B)A．{2} B．{1,2,4}C．{1,2,4,6} D．{x∈R|－1≤x≤5}解析A∪B＝{1,2,4,6}，(A∪B)∩C＝{1,2,4}，故選B．3．設(shè)集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lgx≤0}，則M∪N＝(A)A．[0,1] B．(0,1]C．[0,1) D．(－∞，1]解析∵M＝{x|x2＝x}＝{0,1}，N＝{x|lgx≤0}＝{x|0<x≤1}，∴M∪N＝{x|0≤x≤1}，故選A．4．已知集合A＝{y|y＝|x|－1，x∈R}，B＝{x|x≥2}，則下列結(jié)論正確的是(A)A．－3∈A B．3?BC．A∩B＝B D．A∪B＝B解析由題知A＝{y|y≥－1}，因此A∩B＝{x|x≥2}＝B，故選C．5．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，則集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的個數(shù)為(C)A．5 B．4C．3 D．2解析當x＝－1，y＝0時，z＝－1；當x＝－1，y＝2時，z＝1；當x＝1，y＝0時，z＝1；當x＝1，y＝2時，z＝3，故集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}＝{－1,1,3}中的元素個數(shù)為3，故選C．6．滿足M?{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的個數(shù)是(B)A．1 B．2C．3 D．4解析由題意可知a1，a2∈M且a3?M，所以M＝{a1，a2}或M＝{a1，a2，a4}．故選B．二、填空題7．設(shè)集合M＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<\f(1,2)))))，N＝{x|x2≤x}，則M∩N＝eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).解析因為N＝[0,1]，所以M∩N＝eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).8．若{3,4，m2－3m－1}∩{2m，－3}＝{－3}，則m＝__1解析由集合中元素的互異性，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－3m－1＝－3，,2m≠－3，,2m≠3，,2m≠4，))所以m＝1．9．已知集合A＝{x|x2＋x－6<0}，B＝{x|y＝lg(x－a)}，且A?B，則實數(shù)a的取值范圍是__(－∞，－3]__.解析因為A＝(－3,2)，B＝(a，＋∞)，A?B，所以a≤－3.三、解答題10．(2023·湖北武漢模擬)設(shè)集合A＝{x|x2－x－6<0}，B＝{x|x－a≥0}．(1)若A∩B＝?，求實數(shù)a的取值范圍；(2)是否存在實數(shù)a，使得A∩B＝{x|0≤x<3}成立？若存在，求出a的值及對應(yīng)的A∪B；若不存在，說明理由．解析A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|x≥a}．(1)如圖，若A∩B＝?，則a≥3，所以a的取值范圍是[3，＋∞)．(2)存在，如圖，a＝0時，A∩B＝