-高中數(shù)學(xué)課時(shí)練習(xí)4排列與排列數(shù)公式含解析新人教A版選修2-

PAGEPAGE5排列與排列數(shù)公式基礎(chǔ)全面練(20分鐘35分)1．有5名同學(xué)被安排在周一至周五值日，已知同學(xué)甲只能在周一值日，那么5名同學(xué)值日順序的編排方案共有()A．12種B．24種C．48種D．120種【解析】選B.因?yàn)橥瑢W(xué)甲只能在周一值日，所以除同學(xué)甲外的4名同學(xué)將在周二至周五值日，所以5名同學(xué)值日順序的編排方案共有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＝24(種).2．從2，3，5，7四個(gè)數(shù)中任選兩個(gè)分別相除，則得到的結(jié)果有()A．6個(gè)B．10個(gè)C．12個(gè)D．16個(gè)【解析】選C.符合題意的商有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝4×3＝12個(gè)．3．(2021·桂林高二檢測(cè))化簡(jiǎn)：eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(8),\s\do1(12)),Aeq\o\al(\s\up1(7),\s\do1(12)))＝________．【解析】由題得eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(8),\s\do1(12)),Aeq\o\al(\s\up1(7),\s\do1(12)))＝eq\f(12×11×…×6×5,12×11×…×6)＝5.答案：54．5本不同的課外讀物分給5位同學(xué)，每人一本，則不同的分配方法有________種．【解析】利用排列的概念可知不同的分配方法有Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))＝120種．答案：1205．某信號(hào)兵用紅、黃、藍(lán)3面旗從上到下掛在豎直的旗桿上表示信號(hào)，每次可以任掛1面、2面或3面，并且不同的順序表示不同的信號(hào)，則一共可以表示________種不同的信號(hào)．【解析】第1類，掛1面旗表示信號(hào)，有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))種不同方法；第2類，掛2面旗表示信號(hào)，有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))種不同方法；第3類，掛3面旗表示信號(hào)，有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))種不同方法．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，可以表示的信號(hào)共有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))＋Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＋Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝3＋3×2＋3×2×1＝15(種).答案：156．一條鐵路有n個(gè)車站，為適應(yīng)客運(yùn)需要，新增了m個(gè)車站，且知m>1，客運(yùn)車票增加了62種，問(wèn)原有多少個(gè)車站？現(xiàn)在有多少個(gè)車站？【解析】由題意可知，原有車票的種數(shù)是Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))種，現(xiàn)有車票的種數(shù)是Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n＋m))種，所以Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n＋m))－Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))＝62，即(n＋m)(n＋m－1)－n(n－1)＝62.所以m(2n＋m－1)＝62＝2×31.因?yàn)閙<2n＋m－1，且n≥2，m，n∈N*；所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝2，,2n＋m－1＝31，))解得m＝2，n＝15，故原有15個(gè)車站，現(xiàn)有17個(gè)車站．綜合突破練(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1．下列各等式正確的是()A．Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(2011))＝2011×2010B．Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(2011))＝2011×2010×2009C．Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(2011))＝2011×2010×2009×2008D．Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(2011))＝2011×2010×2009×2008×2007【解析】選B.注意排列數(shù)公式右邊式子特點(diǎn)對(duì)于Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝n(n－1)…(n－m＋1)當(dāng)Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))的上標(biāo)為m時(shí)右邊有m項(xiàng)．2．3名男生和4名女生排成一排，男生不相鄰的排法有()A．480種B．720種C．1440種D．360種【解析】選C.4名女生先排好，共有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))種排法，讓3名男生去插空，有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))種方法，故共有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))·Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))＝1440種．3．乘積m(m＋1)(m＋2)…(m＋19)(m＋20)(m∈N＋)可表示為()A．Aeq\o\al(\s\up1(21),\s\do1(m＋20))B．Aeq\o\al(\s\up1(21),\s\do1(m))C．Aeq\o\al(\s\up1(20),\s\do1(m＋20))D．Aeq\o\al(\s\up1(20),\s\do1(m))【解析】選A.因?yàn)樽畲髷?shù)為m＋20，所以共有21個(gè)自然數(shù)連續(xù)相乘，根據(jù)排列公式可得m(m＋1)(m＋2)…(m＋19)(m＋20)＝Aeq\o\al(\s\up1(21),\s\do1(m＋20)).4．已知3Aeq\o\al(\s\up1(n－1),\s\do1(8))＝4Aeq\o\al(\s\up1(n－2),\s\do1(9))，則n等于()A．5B．7C．10D．14【解析】選B.由eq\f(8！,（9－n）！)×3＝eq\f(9！,（11－n）！)×4，得(11－n)(10－n)＝12，解得n＝7，n＝14(舍).5．六人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有()A．192種B．216種C．240種D．288種【解析】選B.(1)當(dāng)最左端排甲的時(shí)候，排法種數(shù)為Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))；(2)當(dāng)最左端排乙的時(shí)候，排法種數(shù)為Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4)).因此不同的排法種數(shù)為Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))＋Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＝120＋96＝216.二、填空題(每小題5分，共15分)6．如果Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝15×14×13×12×11×10，那么n＝________，m＝________．【解析】15×14×13×12×11×10＝Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(15))，故n＝15，m＝6.答案：1567．不等式Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n－1))－n<7的解集為_(kāi)_______．【解析】由Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n－1))－n<7，得(n－1)(n－2)－n<7，整理，得n2－4n－5<0，解得－1<n<5.又n－1≥2且n∈N*，即n≥3且n∈N*，所以n＝3或n＝4.答案：{3，4}8．某人射擊8槍，命中4槍，則4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數(shù)為_(kāi)_______．【解析】先把連在一起命中的三槍“捆綁”在一起，然后從4槍不命中之間的三個(gè)空位及兩端兩個(gè)空位共5個(gè)空位中選出2個(gè)進(jìn)行排列，有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))＝20種．答案：20三、解答題(每小題10分，共20分)9．求證：(1)Aeq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(n))＝Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))·Aeq\o\al(\s\up1(n－m),\s\do1(n－m))；(2)eq\f(（2n）！,2n·n！)＝1·3·5…(2n－1).【證明】(1)Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))·Aeq\o\al(\s\up1(n－m),\s\do1(n－m))＝eq\f(n！,（n－m）！)(n－m)！＝n?。紸eq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(n))，所以原式成立．(2)eq\f(（2n）！,2n·n！)＝eq\f(2n·（2n－1）·（2n－2）…4·3·2·1,2n·n！)＝eq\f(2nn·（n－1）…2·1·（2n－1）（2n－3）…3·1,2n·n！)＝eq\f(n！·1·3…（2n－3）（2n－1）,n！)＝1·3·5…(2n－1)＝右邊，所以原式成立．【補(bǔ)償訓(xùn)練】化簡(jiǎn)：eq\f(1,2！)＋eq\f(2,3！)＋eq\f(3,4！)＋…＋eq\f(9,10！)＝________．【解題指南】根據(jù)eq\f(n－1,n！)＝eq\f(n,n！)－eq\f(1,n！)＝eq\f(1,（n－1）！)－eq\f(1,n！)，然后各項(xiàng)相加后相消可得結(jié)果．【解析】因?yàn)閑q\f(n－1,n！)＝eq\f(n,n！)－eq\f(1,n！)＝eq\f(1,（n－1）！)－eq\f(1,n！)，所以eq\f(1,2！)＋eq\f(2,3！)＋eq\f(3,4！)＋…＋eq\f(9,10！)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2！)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2！)－\f(1,3！)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9！)－\f(1,10！)))＝1－eq\f(1,10！).答案：1－eq\f(1,10！)10．用0，1，2，3，4五個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)．其中：有幾個(gè)四位偶數(shù)，若按從小到大排列3204是第幾個(gè)數(shù)？【解題指南】(1)先排個(gè)位數(shù)字，分兩類：①0在個(gè)位時(shí)有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))種；②2或4在個(gè)位時(shí)按個(gè)位、千位、十位和百位的順序排，有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))種，求和即可得結(jié)果；(2)由高位到低位逐級(jí)分為：①千位是1或2時(shí)；②千位是3時(shí)，百位可排0，1或2.(i)當(dāng)百位排0，1時(shí)，(ii)當(dāng)百位排2時(shí)，分別求出以上各種情況的四位數(shù)的個(gè)數(shù)，從而可得結(jié)果．【解析】(1)方法一：先排個(gè)位數(shù)字，分兩類：①0在個(gè)位時(shí)有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))種；②2或4在個(gè)位時(shí)按個(gè)位、千位、十位和百位的順序排，有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))種，故共有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))＋Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＝60個(gè)四位偶數(shù)．方法二：間接法．若無(wú)限制條件，總排列數(shù)為Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(5))，其中不符合條件的有兩類：①0在千位，有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))種；②1或3在個(gè)位，有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))種，則四位偶數(shù)有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(5))－Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))－Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＝60個(gè)．(2)方法一：(分類法)由高位到低位逐級(jí)分為：①千位是1或2時(shí)，有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))個(gè)；②千位是3時(shí)，百位可排0，1或2.(i)當(dāng)百位排0，1時(shí)，有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))個(gè)，(ii)當(dāng)百位排2時(shí)，比3204小的僅有3201一個(gè)，故比3204小的四位數(shù)共有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))＋Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＋1＝61個(gè)，3204是第62個(gè)數(shù)．方法二：(間接法)Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))－(Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))＋Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＋Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2)))＝62個(gè)．創(chuàng)新遷移練1．(2021·欽州高二檢測(cè))規(guī)定Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(x))＝x(x－1)…(x－m＋1)，其中x∈R，m∈N*，且Aeq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(x))＝1，這是排列數(shù)Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))(n，m∈N*，且m≤n)的一種推廣．則＝________，則函數(shù)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(x))的單調(diào)減區(qū)間為_(kāi)_______．【解析】因?yàn)锳eq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(x))＝x(x－1)…(x－m＋1)，所以Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(eq\r(3)＋1))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)＋1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)＋1－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)＋1－2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)＋1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)－1))＝2eq\r(3).因?yàn)閒(x)＝Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(x))＝