新教材高中數(shù)學(xué)第二章平面解析幾何3圓及其方程2圓的一般方程學(xué)案新人教B版選擇性必修第一冊(cè)

PAGEPAGE6圓的一般方程課標(biāo)解讀課標(biāo)要求素養(yǎng)要求回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，探索并掌握?qǐng)A的一般方程.1.直觀(guān)想象、邏輯推理——能根據(jù)給定條件探究圓的一般方程.2.數(shù)學(xué)運(yùn)算——能根據(jù)已知條件求圓的一般方程并解決相關(guān)問(wèn)題.自主學(xué)習(xí)·必備知識(shí)教材研習(xí)教材原句1.圓的一般方程一般地，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2可以化為x2+y2.二元二次方程x2（1）當(dāng)D2+E2-4F>0（2）當(dāng)D2+E2-4F=0時(shí)，滿(mǎn)足方程的實(shí)數(shù)只有x=（3）當(dāng)D2+E自主思考1.方程x2答案：提示不表示圓，方程可化為(x-1)2.若二元二次方程Ax答案：提示①A=C≠0，②B=0，③D2名師點(diǎn)睛1.圓的一般方程體現(xiàn)了圓方程形式上的特點(diǎn)①x2和y2的系數(shù)相等且不為0；②沒(méi)有xy項(xiàng)；③2.圓的一般方程中有三個(gè)系數(shù)，且必須滿(mǎn)足D2+E3.在求圓的方程時(shí)，盡量運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)求解，這樣可以大大減少計(jì)算量．一般地，圓心的重要幾何性質(zhì)為：①圓心在過(guò)切點(diǎn)且與切線(xiàn)垂直的直線(xiàn)上；②圓心在某條弦的中垂線(xiàn)上.互動(dòng)探究·關(guān)鍵能力探究點(diǎn)一圓的一般方程的概念精講精練例判斷方程x2答案：解法一：由方程x2+y∴D∴當(dāng)m=2時(shí)，它表示一個(gè)點(diǎn)；當(dāng)m≠2時(shí)，它表示圓，此時(shí)，圓的圓心為(2m,-m)，半徑r=1解法二：原方程可化為(x-2m)∴當(dāng)m=2時(shí)，它表示一個(gè)點(diǎn)；當(dāng)m≠2時(shí)，它表示圓，此時(shí)，圓的圓心為(2m,-m)，半徑r=5解題感悟形如x2①由圓的一般方程的定義判斷D2+E②將方程配方變形成標(biāo)準(zhǔn)形式后，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征，觀(guān)察是否可以表示圓.遷移應(yīng)用1.若方程x2+yA.k＞5B.k＜5C.k≥5D.k≤5答案：B解析：∵方程x2∴D2+2.（多選）已知圓M的一般方程為x2A.圓M的圓心坐標(biāo)為(-4,3)B.圓M被x軸截得的弦長(zhǎng)為8C.圓M的半徑為5D.圓M被y軸截得的弦長(zhǎng)為6答案：B;C;D解析：圓M的方程可化為(x-4)令y=0，得x=0或x=8，則圓M被x軸截得的弦長(zhǎng)為8，故B中說(shuō)法正確；令x=0，得y=0或y=-6，則圓M被y軸截得的弦長(zhǎng)為6，故D中說(shuō)法正確.探究點(diǎn)二求圓的一般方程精講精練例已知點(diǎn)A(2,2),B(5,3),C(3,-1).（1）求△ABC的外接圓的一般方程；（2）若點(diǎn)M(a,2)在△ABC的外接圓上，求a的值.答案：（1）設(shè)△ABC的外接圓的一般方程為x2由題意，得22+22+2D+2E+F=0,52（2）由（1）知，△ABC的外接圓的方程為x2∵點(diǎn)M(a,2)在△ABC的外接圓上，∴a即a2-8a+12=0，解得a=2或變式若本例中將“點(diǎn)C(3,-1)”改為“圓C過(guò)A,B兩點(diǎn)且圓C關(guān)于直線(xiàn)y=-x對(duì)稱(chēng)”，其他條件不變，求圓C的方程.答案：易知kAB=3-25-2=∴線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)方程為y-5聯(lián)立y=-x,y-5即圓心C的坐標(biāo)為(13半徑r=(∴圓C的方程為(x-13解題感悟應(yīng)用待定系數(shù)法求圓的方程時(shí)應(yīng)注意：（1）如果由已知條件容易求得圓心坐標(biāo)、半徑或需利用圓心坐標(biāo)、半徑列方程，那么一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再用待定系數(shù)法求出a,b,r.（2）如果已知條件與圓心和半徑都無(wú)直接關(guān)系，那么一般采用圓的一般方程，再用待定系數(shù)法求出常數(shù)D,E,F.遷移應(yīng)用1.已知圓C經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(0,2)，B(4,6)，且圓心C在直線(xiàn)l:2x-y-3=0上，則圓C的方程為()A.xB.xC.xD.x答案：C解析：因?yàn)榫€(xiàn)段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4)，AB所在直線(xiàn)的斜率為6-24-0=1，所以線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)的方程為y-4=-(x-2)，即y=6-x，與直線(xiàn)l的方程聯(lián)立，解得圓心坐標(biāo)為(3,3).又圓的半徑r=(3-0)2+(3-2)2.在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)三點(diǎn)(0,0),(1,1),(2,0)的圓的方程為.答案：x解析：設(shè)圓的方程為x2得F=0,1+1+D+E+F=0,4+2D+F=0,解得D=-2,E=0,F=0，即圓的方程為探究點(diǎn)三圓的一般方程的綜合應(yīng)用精講精練例已知一圓過(guò)P(4,-2)，Q(-1,3)兩點(diǎn)，且在y軸上截得的弦長(zhǎng)為43答案：設(shè)圓的方程為x2將P,Q的坐標(biāo)分別代入①，得4D-2E+F=-20,令x=0，由①得y2由題意得|y1-y2|=43∴(y由②③⑤，解得D＝－2,E＝0,F＝－解題感悟解決圓與坐標(biāo)軸相交的有關(guān)題目時(shí)，分別令x=0，y=0，就可求得圓與y軸、x軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)、橫坐標(biāo)，但一般不直接求解，而是利用根與系數(shù)的關(guān)系解決問(wèn)題.遷移應(yīng)用1.已知圓C過(guò)點(diǎn)A(1,2)，B(3,4)，且在x軸上截得的弦長(zhǎng)為6，則圓C的方程是.答案：x2+解析：設(shè)圓C的方程為x2∴D+2E+F=-5①，3D+4E+F=-25②，令y=0，得x2設(shè)圓C與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，則x1∵|x1-由①②③，解得D=12，E=-22，F(xiàn)=27或D=-8，E=-2，F(xiàn)=7，∴圓C的方程為x2+y評(píng)價(jià)檢測(cè)·素養(yǎng)提升課堂檢測(cè)1.圓x2A.(2,3)B.(-2,3)C.(-2,-3)D.(2,-3)答案：D2.若方程x2+yA.(-∞,12C.[12答案：D3.已知圓C:x2+y2+Dx+Ey+3=0，圓心在直線(xiàn)x+y-1=0上，且圓心在第二象限，半徑為答案：2，-4素養(yǎng)演練邏輯推理——與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題1.已知一曲線(xiàn)是與兩個(gè)定點(diǎn)O(0,0),A(a,0)(a≠0)的距離的比為k的點(diǎn)的軌跡，求此曲線(xiàn)的方程，并判斷曲線(xiàn)的形狀.答案：設(shè)M(x,y)是曲線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，由題意及兩點(diǎn)間的距